Однозначная разрешимость функционально-дифференциального уравнения n-го порядка с экспоненциальными коэффициентами и линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ЛИНЕЙНЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ АРГУМЕНТА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Эмирова И.С. Email: [email protected]

Эмирова Ирина Султановна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала

Аннотация: дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений: в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном топливе, ряде экономических проблем, биофизических и многих других. Наличие запаздывания в изучаемой системе зачастую оказывается причиной явлений, существенно влияющих на ход процесса.

В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах.

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение

Tv(t) = g(t), t > 0, с неограниченными линейными операторными коэффициентами Bmi(t), область определения которых принадлежит X , область значений - Y, где X, Y -

и и и и 1 dm -

гильбертовы пространства, X ^ Y, I - > • , ]m = — • —_> m = 0, П — 1,

' X Y ' = im ' dtm '

n—1 m , ч

T = D — £ £Ami(t)D:Laki Lamv(t) = v(aj), Bmo(t) = Bmo = cornif, «mo =1,

0 < a < 1, i = 1, s ■

mi > '

Доказывается теорема о непрерывной обратимости оператора T : X ¡0 ^ с

экспоненциально убывающими коэффициентами■

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, гильбертово пространство, экспоненциально убывающие коэффициенты, линейное отклонение аргумента, резольвента.

ONE-TO-ONE RESOLVABILITY OF FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE n -th ORDER WITH EXPONENTIAL DECREASING COEFFICIENTS AND LINEAR DEVIATION OF ARGUMENT

Emirova I.S.

Emirova Irina Sultanovna — PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, DAGESTAN STATE UNIVERSITY, MAKHACHKALA

Abstract: differential equations with deviating argument, especially differential equations with the delayed one, describing the processes with post action find a lot of applications: in the theory of self— oscillatory systems, when studying problems, associated with burning in rocket fuel, in a series of economic, biophysical and many other problems■ The presence of delay in the system studied is often the reason of the phenomena, essentially influencing the process■

Investigations on operator- differential equations in various spaces have got wide development during last years■

Functional-differential equation Tv (t) = g(t), t > 0, with unlimited linear operator coefficients Bmj (t), range of definition X and range of values Y of which belong Hilbert space,

X с Y, H >H Dm - 1. dl, m = 0, n —1 T - D-YZ A™

X 1 ' im dtm m=0 i=0 J

Lamv(t)= v{ami t ), Bmo (t)- Bmo = corn t ^ = 1 0 < a™<1 i = 1 s

considered.

r0,a pt0

p+

coefficients is proved.

Keywords: functional-differential equation, Hilbert space, exponential decreasing coefficients, linear deviation of argument, resolvent.

УДК 517.929

Исследуем уравнение

n—1 k

Theorem on continuous reversibility of the operator T : X"'a ^ Y t^ with exponential decreasing

r'P r+

Tv (t) - Dy{t) — Y Z Bmi itDTLmA) = g (t), t > 0, (1)

m=0 i=0

с неограниченными линейными операторными коэффициентами Bmj(t): X —> Y, IB (t)M|7 — c||v|| ' X и Y - гильбертовы пространства, X С Y, ||-Ц^ > Ц-Ц^ ,

D - 1 . dm ' Lamiv(t) = v(amt) Bm0 (t) - Bm0 = COnSt, ^ = 1 i dt

0 < a < 1, i = 1, m, m = 0, n — 1.

mi > ' 7

-n,a тл0,а -v-na

rp . Vn,a _ т^0,а vr

Оператор T . X —r Y , где пространство Л , имеет норму

P+° Р+0 Р+0

" ' n—1 .. ... .. ... Л

dt

a = const g Р,

| ехр<2ог )(!| IV |; +| IV" >(г 12

V Щ V т=0 ) )

а пространство 1 . - норму И+0

(+» ^

| ехр(2^ )|| v(t )||2 йг

V г0 )

В доказательстве мы используем и пространство I^ (И^0 , X) , имеющее норму

||v(t )|| = Л ^(г )Цйг

V г0

Если уравнение (1) рассматривается на полуоси г > 0, то начальное множество = {0}, а начальное условие приводится к условиям (0) = , т = 0, П — 1.

Уравнение (1) можно записать в виде

( n—1 Л n—1 s

hv(t ) - ( d:—y Bm0 d: Mt )=g (t )+z Y ¿m, (t p:Lamiv(t ).

\ m=0 J m=0 i=1

Для оператора И0 резольвентный оператор будет иметь вид

( п-1

RM(Bm0 ) = {№ В,^'

V 5=0

Для ¿У^ ) = ( ),

, где

р(() {0 ¿>1, 0 <р(г )< 1, р(г )е с»,

п

т^ )=У срд^ )-

р=0

П-1 5

УУВ (г)уСрД(т-р)у(а АБрр(а А =

У у / у тт\ I/ у т t \ тг / ^ ' \ тг /

т=0 1=0 р=0

П-1 5 .. _ .

= р(0дЧ0 - р^)У У Вт1(фку(ат11) + р^)У У Вт1 (фку(аш t) +

т=0 1=0 т=0 1=0

п п-1 _ 5 т

+ У с^"^ ) - У УГВШ (г )У срв(т-рЦат^ № (ал ) =

р=1 т=0 1=0

п

= р(Ш+ У срв^р\(( )в>(/)-

=0

р=1

п-1 5

У ' У ' Вт1 (t)

У српграл)в(т-р) - р(Рт

р=0

Лат/)= §1 (t)'

Следовательно,

/ \ п

ИЛ ) = Р( к()+У срв^р\(. )+У )р(t В^к/ )=

р=1 т

п-1 5 т / \

^ (t)+УУВтМ)УУО; Дтр(а,^)Д(т-рЧат;)- Ф (t)

^ ^ У ^ У ^ Вт1 (t ' У ^ сmDt V(aт1)

т=0 1=1 р=0

Если к этому уравнению применим преобразование Фурье, то " /

Ш(М)= Я(Вт0 }( ^ ^ ))

+

с рв,

р(t)

Чр=!

+

+

1 п-1 5 1 М

УУ—| ехР

■\12ж т=0 1=1 а 0

-1

> а

V т1

С , \

Ча I V ^а

тг у V тг у

\Р

а

^ Щ- Я-р^тО )Ф Н)

ТеоРема Пусть резольвента Яц(Вт0) регулярна, ||^п 1Rя(Bo |х = 0(1)' \\мnRм(Bmо 1= 0(1), 1т И<а, Н^», т = °п - 1 Тогда

непрерывной обратимости оператора Т: Хп,а ^ 71 . должно существовать £ > 0

ЯУ Я!0

для

такое, что

\\Вш к)7 < £ ехр(- а(1 - ат1 У)

Доказательство. Перепишем уравнение (1) в виде

5

т=0 1=1

т=0 1=0

/

n—1 s

ъ ъ(t KMt

dt <

/ \ / \ n—1 s

Tv (t) = V(t )— Tv(t ) = g(t) , где Tv (t Ь — z (t )D:v(aJ )

m—0 i—0

Оценим норму оператора T •

(| T1v(t )| Г)2 — J exp(2at

—a

n—1 s 1 a

< snZZ— J exp

m=0 i—1 ami —a n—1 s 1 a

+ snZZ— J exp

2a —

V ami

f \

B.

Ilv(m Ht)2 dt

2a —

V ami У

B_

a

V шз y ' t л

+

V ami У

v'"'(t)2.dt < ce2(|v(t)|r)

т=0 '=1 атг —к

Оператор И0 имеет обратный оператор в силу теоремы 1 [2]. Из последнего неравенства по теореме из функционального анализа об обратимости оператора, который мало отличается

гр . тдП,^ . хг0,а

от обратимого, следует, что оператор T . X ^ —т 1 ^ непрерывно обратим. А это что

означает существование единственного решения v(t ) уравнения Tv — g ,

принадлежащего

\rn,a

пространству X для

R-î-

V g(t)e 70

R4

0,a

. Теперь покажем, что решение обращается в

нуль для t < 10, m — 0, n — 1. Для любого a: < a существует единственное решение

v(t IГ <1 g (t ) Г, т

v(t )e XRna1

^ и справедливо неравенство

a n_1 a

Jexp(2at) Z||v(m)(t)|2 +||v(n)(t)|2 dt < c Jexp(2a1t|g(t|2dt

— c

J exp(2a/ ) g (t ) J dt ■

7 t0—e

Тогда получим, что

J exp(2a1t | v(t 12хЛ < c J exp(2a,ij| g(t) 2 dt.

Обе части

полученного неравенства умножим на

10—e

(— 2a1t 0 ).

Следовательно,

J exp(2a (t —10 )|v(t)|\dt < c J exp[2ax (t —10 )]| g(t ) 7 dt

<

< c

J exp[2a(t — t0 )]|| g(t | J dt — c0 ■

Из-за условий на резольвенту можно полагать а у отрицательным. Тогда мы имеем

t0—e t0—e

""il vl""2 "

exp[— 2a1 (t0— e—10)] J llv(t12xdt < J exp[2a(t —10 )]|v(t12xdt < c0

— GO

— GO

a

—a

a

a

a

to —S

exp(- 2a s) j ||v(t)|^dt < c0

—ад

to-s

Отсюда етедует j ||y(t)|^dt < CQ exp^Za^] ^ 0 при al ^ад . Таким

—ад

t0—s i \ образом, Vs > 0 j* ||y(t)|2 dt = 0, что означает равенство почти всюду решения v(t)

—ад

в (— ад, 10 — s). В силу произвольности S > 0 v(t) = 0, t < 10. Аналогично можно показать, что V™ (f) = 0, t < f^, m = 1, n — 1.

Список литературы / References

1 Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала. ИПЦ ДГУ, 2001. 256 с.

2 Чан Р. О разрешимости уравнений с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве // Сб. статей студентов, аспирантов и преподавателей университета. Махачкала, 1993. С. 184-187.