CC BY
8
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ЛИНЕЙНЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ АРГУМЕНТА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Эмирова И.С. Email: [email protected]
Эмирова Ирина Султановна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала
Аннотация: дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений: в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном топливе, ряде экономических проблем, биофизических и многих других. Наличие запаздывания в изучаемой системе зачастую оказывается причиной явлений, существенно влияющих на ход процесса.
В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах.
Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение
Tv(t) = g(t), t > 0, с неограниченными линейными операторными коэффициентами Bmi(t), область определения которых принадлежит X , область значений - Y, где X, Y -
и и и и 1 dm -
гильбертовы пространства, X ^ Y, I - > • , ]m = — • —_> m = 0, П — 1,
' X Y ' = im ' dtm '
n—1 m , ч
T = D — £ £Ami(t)D:Laki Lamv(t) = v(aj), Bmo(t) = Bmo = cornif, «mo =1,
0 < a < 1, i = 1, s ■
mi > '
Доказывается теорема о непрерывной обратимости оператора T : X ¡0 ^ с
экспоненциально убывающими коэффициентами■
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, гильбертово пространство, экспоненциально убывающие коэффициенты, линейное отклонение аргумента, резольвента.
ONE-TO-ONE RESOLVABILITY OF FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE n -th ORDER WITH EXPONENTIAL DECREASING COEFFICIENTS AND LINEAR DEVIATION OF ARGUMENT
Emirova I.S.
Emirova Irina Sultanovna — PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, DAGESTAN STATE UNIVERSITY, MAKHACHKALA
Abstract: differential equations with deviating argument, especially differential equations with the delayed one, describing the processes with post action find a lot of applications: in the theory of self— oscillatory systems, when studying problems, associated with burning in rocket fuel, in a series of economic, biophysical and many other problems■ The presence of delay in the system studied is often the reason of the phenomena, essentially influencing the process■
Investigations on operator- differential equations in various spaces have got wide development during last years■
Functional-differential equation Tv (t) = g(t), t > 0, with unlimited linear operator coefficients Bmj (t), range of definition X and range of values Y of which belong Hilbert space,
X с Y, H >H Dm - 1. dl, m = 0, n —1 T - D-YZ A™
X 1 ' im dtm m=0 i=0 J
Lamv(t)= v{ami t ), Bmo (t)- Bmo = corn t ^ = 1 0 < a™<1 i = 1 s
considered.
r0,a pt0
p+
coefficients is proved.
Keywords: functional-differential equation, Hilbert space, exponential decreasing coefficients, linear deviation of argument, resolvent.
УДК 517.929
Исследуем уравнение
n—1 k
Theorem on continuous reversibility of the operator T : X"'a ^ Y t^ with exponential decreasing
r'P r+
Tv (t) - Dy{t) — Y Z Bmi itDTLmA) = g (t), t > 0, (1)
m=0 i=0
с неограниченными линейными операторными коэффициентами Bmj(t): X —> Y, IB (t)M|7 — c||v|| ' X и Y - гильбертовы пространства, X С Y, ||-Ц^ > Ц-Ц^ ,
D - 1 . dm ' Lamiv(t) = v(amt) Bm0 (t) - Bm0 = COnSt, ^ = 1 i dt
0 < a < 1, i = 1, m, m = 0, n — 1.
mi > ' 7
-n,a тл0,а -v-na
rp . Vn,a _ т^0,а vr
Оператор T . X —r Y , где пространство Л , имеет норму
P+° Р+0 Р+0
" ' n—1 .. ... .. ... Л
dt
a = const g Р,
| ехр<2ог )(!| IV |; +| IV" >(г 12
V Щ V т=0 ) )
а пространство 1 . - норму И+0
(+» ^
| ехр(2^ )|| v(t )||2 йг
V г0 )
В доказательстве мы используем и пространство I^ (И^0 , X) , имеющее норму
||v(t )|| = Л ^(г )Цйг
V г0
Если уравнение (1) рассматривается на полуоси г > 0, то начальное множество = {0}, а начальное условие приводится к условиям (0) = , т = 0, П — 1.
Уравнение (1) можно записать в виде
( n—1 Л n—1 s
hv(t ) - ( d:—y Bm0 d: Mt )=g (t )+z Y ¿m, (t p:Lamiv(t ).
\ m=0 J m=0 i=1
Для оператора И0 резольвентный оператор будет иметь вид
( п-1
RM(Bm0 ) = {№ В,^'
V 5=0
Для ¿У^ ) = ( ),
, где
р(() {0 ¿>1, 0 <р(г )< 1, р(г )е с»,
п
т^ )=У срд^ )-
р=0
П-1 5
УУВ (г)уСрД(т-р)у(а АБрр(а А =
У у / у тт\ I/ у т t \ тг / ^ ' \ тг /
т=0 1=0 р=0
П-1 5 .. _ .
= р(0дЧ0 - р^)У У Вт1(фку(ат11) + р^)У У Вт1 (фку(аш t) +
т=0 1=0 т=0 1=0
п п-1 _ 5 т
+ У с^"^ ) - У УГВШ (г )У срв(т-рЦат^ № (ал ) =
р=1 т=0 1=0
п
= р(Ш+ У срв^р\(( )в>(/)-
=0
р=1
п-1 5
У ' У ' Вт1 (t)
У српграл)в(т-р) - р(Рт
р=0
Лат/)= §1 (t)'
Следовательно,
/ \ п
ИЛ ) = Р( к()+У срв^р\(. )+У )р(t В^к/ )=
р=1 т
п-1 5 т / \
^ (t)+УУВтМ)УУО; Дтр(а,^)Д(т-рЧат;)- Ф (t)
^ ^ У ^ У ^ Вт1 (t ' У ^ сmDt V(aт1)
т=0 1=1 р=0
Если к этому уравнению применим преобразование Фурье, то " /
Ш(М)= Я(Вт0 }( ^ ^ ))
+
с рв,
р(t)
Чр=!
+
+
1 п-1 5 1 М
УУ—| ехР
■\12ж т=0 1=1 а 0
-1
> а
V т1
С , \
Ча I V ^а
тг у V тг у
\Р
а
^ Щ- Я-р^тО )Ф Н)
ТеоРема Пусть резольвента Яц(Вт0) регулярна, ||^п 1Rя(Bo |х = 0(1)' \\мnRм(Bmо 1= 0(1), 1т И<а, Н^», т = °п - 1 Тогда
непрерывной обратимости оператора Т: Хп,а ^ 71 . должно существовать £ > 0
ЯУ Я!0
для
такое, что
\\Вш к)7 < £ ехр(- а(1 - ат1 У)
Доказательство. Перепишем уравнение (1) в виде
5
т=0 1=1
т=0 1=0
/
n—1 s
ъ ъ(t KMt
dt <
/ \ / \ n—1 s
Tv (t) = V(t )— Tv(t ) = g(t) , где Tv (t Ь — z (t )D:v(aJ )
m—0 i—0
Оценим норму оператора T •
(| T1v(t )| Г)2 — J exp(2at
—a
n—1 s 1 a
< snZZ— J exp
m=0 i—1 ami —a n—1 s 1 a
+ snZZ— J exp
2a —
V ami
f \
B.
Ilv(m Ht)2 dt
2a —
V ami У
B_
a
V шз y ' t л
+
V ami У
v'"'(t)2.dt < ce2(|v(t)|r)
т=0 '=1 атг —к
Оператор И0 имеет обратный оператор в силу теоремы 1 [2]. Из последнего неравенства по теореме из функционального анализа об обратимости оператора, который мало отличается
гр . тдП,^ . хг0,а
от обратимого, следует, что оператор T . X ^ —т 1 ^ непрерывно обратим. А это что
означает существование единственного решения v(t ) уравнения Tv — g ,
принадлежащего
\rn,a
пространству X для
R-î-
V g(t)e 70
R4
0,a
. Теперь покажем, что решение обращается в
нуль для t < 10, m — 0, n — 1. Для любого a: < a существует единственное решение
v(t IГ <1 g (t ) Г, т
v(t )e XRna1
^ и справедливо неравенство
a n_1 a
Jexp(2at) Z||v(m)(t)|2 +||v(n)(t)|2 dt < c Jexp(2a1t|g(t|2dt
— c
J exp(2a/ ) g (t ) J dt ■
7 t0—e
Тогда получим, что
J exp(2a1t | v(t 12хЛ < c J exp(2a,ij| g(t) 2 dt.
Обе части
полученного неравенства умножим на
10—e
(— 2a1t 0 ).
Следовательно,
J exp(2a (t —10 )|v(t)|\dt < c J exp[2ax (t —10 )]| g(t ) 7 dt
<
< c
J exp[2a(t — t0 )]|| g(t | J dt — c0 ■
Из-за условий на резольвенту можно полагать а у отрицательным. Тогда мы имеем
t0—e t0—e
""il vl""2 "
exp[— 2a1 (t0— e—10)] J llv(t12xdt < J exp[2a(t —10 )]|v(t12xdt < c0
— GO
— GO
a
—a
a
a
a
to —S
exp(- 2a s) j ||v(t)|^dt < c0
—ад
to-s
Отсюда етедует j ||y(t)|^dt < CQ exp^Za^] ^ 0 при al ^ад . Таким
—ад
t0—s i \ образом, Vs > 0 j* ||y(t)|2 dt = 0, что означает равенство почти всюду решения v(t)
—ад
в (— ад, 10 — s). В силу произвольности S > 0 v(t) = 0, t < 10. Аналогично можно показать, что V™ (f) = 0, t < f^, m = 1, n — 1.
Список литературы / References
1 Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала. ИПЦ ДГУ, 2001. 256 с.
2 Чан Р. О разрешимости уравнений с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве // Сб. статей студентов, аспирантов и преподавателей университета. Махачкала, 1993. С. 184-187.
