Одновременная стабилизация SIMO-систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

Одновременная стабилизация SIMO-систем

© М.Ш. Мисриханов1, В.Н. Рябченко1, Н.Е. Зубов1'2, Е.А. Микрин1'2

1 ОАО «Ракетно-космическая корпорация "Энергия" имени С.П. Королёва», г. Королев Московской области, 141070, Россия 2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

На основе ленточных матриц специальной структуры определены необходимые условия одновременной стабилизации линейных SIMO-систем. Приведены практические примеры решения задач одновременной стабилизации SIMO-систем.

Ключевые слова: линейные SIMO-системы, ленточные матрицы, одновременная стабилизация, регулятор, характеристический полином.

Проблема одновременной стабилизации многомерных динамических систем характерна для многих практических приложений, когда требуется поддерживать (осуществлять) асимптотическую устойчивость объекта управления, параметры которого меняются от режима к режиму, причем информация об этих изменениях отсутствует либо недостоверна.

В данной работе приводятся необходимые условия и практические примеры одновременной стабилизации, полученные на основе ленточных матриц специальной структуры.

Заданы: линейные SIMO-системы (Single Input Multi Output)

x (t) = лЛ (t)+ьл (t), (1)

X2 (t) = A2X2 (t) + b2«2 (t) , (2)

где (t) e R" — вектор состояния 1-й системы; u1 (t) e R1 — скалярный вход 1-й системы; x2 (t) e R" — вектор состояния 2-й системы;

u2 (t) e R1 — скалярный вход 2-й системы; M — множество действительных чисел.

Требуется: найти регулятор k е Мn такой, что с помощью законов управления

U (t) = -kT Xj (t), (3)

U (t) = -k T X2 (t) (4)

одновременно стабилизируются SIMO-системы (1) и (2). Решение.

Рассмотрим характеристические полиномы матриц A1 и A2

ёй (XIп - Л,) = кп + а'п-хХп- +... + а,к + а(0''},

(5)

где I — индекс, принимающий значения 1 и 2; 1„ — единичная матрица размера пхп; X е С ; С — множество комплексных чисел.

Обозначим через §и„ нулевую строку размера 1хп, тогда компактная запись ленточной матрицы управляемости ¡-й системы имеет вид

Г -ь1л,

0

0

ьм -ь^л, 0

О ь1 Т-ь,1 л,

0 0 ь1

_ _____

0

0

т

-ь1 л

1хп

V 1 п у

% ь1 -

ГI л

п

ч01хп у

'(ьл).

Здесь ® — символ операции кронекерова произведения. Символом е М(п 1)хп обозначена матрица — левый делитель нуля (аннулятор) ранга п - 1 [1], т. е.

Ь-Ь = о(п_1)х1.

Для полностью управляемой динамической 81МО-системы между коэффициентами а(^ характеристического полинома (5) и ленточной матрицей управляемости

01ХП

V 1п У

'I.Л

V 1х п у

>К Л,)

(6)

имеется следующая однозначная взаимосвязь:

( а(,)

а,

а,

О)

а

а

(>•)

п - 2

иг

п-1

(Г

1хп

vv 1п У

® ь + -

V 1хп у

>(ь+А,)

Г у(,) Л 1 1_

у (О

2

у (О

1 п-1

у (О V п у

(7)

Здесь

ГГо Л

°1х п

vv 1п )

% ь 1 -

ГI„ Л

V °1х п )

'К А, )

) К

Г ТЛ

11

т (,■) 1 2

Т (¿) 1 п-1

Т (,)

V п )

, Т« е Мп, Ь+Тп = 1,(8)

01хп

V 1п У

® ь+ -

'I.л

V 1хп у

>(а, ) =

-Ь+А, 0 0 |- 0

Ь+ -Ь+А 0 - 0

0 Ь+ -Ь+А, - 0

0 0 ь+

-Ь+А,

0 0 0 1 -1 Ь+

При этом замыкание обратной связью вида

и (*) = -к т X (*)

определяет следующие закономерности:

м. (XI п - л, + Ъкт) = хп + рП-Л"+ • • •+р<г +Р0},

Р("

Ри-2

В(!) Vе«-1 У

Г™('■) >

а

а

а)

а

а

(г)

и-2

(г)

и-1

_/ т(г) | т(г) | | т(г) | т(0\т

V 11 I12 \ I1 и-1 | 1 и )

V и-1 У

( к

к,

V ки У

где

( I к2

Вводя обозначения

кп-1 \к ) = к1

•(9)

(10)

(11)

(12)

Г ' Га?3 ^

р(г 3 а(!'3

р(г3 = , а(!3 = Тт -(Т(!) ! Г(!'3 I . .. ! Г(!) , 1 а - (Т1 1 Т 2 1 1 Т-1

РП°2 и п - 2

в(!') 1а п-1

1

перепишем уравнение (12) в компактном виде

Р(г} - а(г} = ТАтк.

(14)

Если законы управления (10) стабилизируют БШО-системы (1), (2), то в правой части уравнений (14) векторы р(г) представляют коэффициенты устойчивых полиномов.

Уравнения (14) в силу выполнения условий невырожденности матриц Т^ (т. е. при условии полной управляемости БТМО-систем)

йег ТА ф 0

могут быть переписаны как

Т-т (рС) -а(г}) = к

или эквивалентно

ТА-тр(0 - ТА-та(0 = к.

При подстановке / = 1, 2 в (17) получаем

[Г- тр(1) - Т- та(1) = к, 77тр(2) - Та>(2) = к,

(15)

(16)

(17)

(18)

и далее

Та-тр(1) - Та-та(1) = Т^^ -

- т а(2)

(19)

Группируя в (19) члены таким образом, чтобы в правой части оставались независимые от введения обратной связи члены, получаем

Vг-Vв - V« -V^,

или в другом виде

в(

(т-т I -Т-т) — = (т-т I -Т-т)

ТА I тА ) в(2) (ТА I ТА )

V )

(1) а()

а(2) V )

Матричное уравнение (21) в силу структуры матрицы (Т | -ТАт) е Е"х2",

(20)

(21)

(22)

очевидно имеющей полный ранг по строкам, всегда является совместным с множеством решений

р(2) V У

(1) а()

t Kf ) (T |-г-) а + (T | -г- )) .(23)

а(2)

V У

Не уменьшая общности, можно положить, что

(т | -г?) =

= 0,5

i г т Л

__ Л.

1A

v 2 У

тЛ

T л

T1

Л

(т | -Т? ) =

формулу (23) также можно преобразовать следующим образом:

(24)

(25)

^ Л ~Р(2)

V

= 0,5

р(2)

V У

у)Л

Р(2У

V У

= 0,5

= 0,5

'т T ^ -Al Т -Tt a J 1 T A2 / V) ] a(2) V J

t t t - t 1 A! 1 Ai _t t t - t Л 1 Ai 1A2 fa® Л

•_t t t - t 1A2 1 Ai -_t t t-t 1 a2 1A2 У a(2)) V У

In -T T T-t Л A 1 A A1 A2 К1

-T T T-T 1A21A In У a(2) V У

fTT\

Ta tt

A V 2 У

f T t Л

Ф,

T1

a2 V 2 У

^ T t Л

1 A!

Ф,

T1

V T A У

Ф,

(26)

или в раскрытом виде

2Р(1) = а(1) - TaTTa-tа(2) + 2Т^Ф = а(1) - Т^ (Т-а(2) - 2ф), 2в(2) = а(2) - TA2Т-Tа(1) + 2ТА2 Ф = а(2) - Tj ((а(1) - 2ф).

(27)

Ясно, что законы управления (10) будут стабилизировать БШО-системы (1), (2), если и только если существует вектор

при котором векторы

Ф е

3 ^

(28)

P(i 3 =

Pi

а)

о(0

rn-2

В0')

i = 1,2,

(29)

представляют устойчивые полиномы.

n

Таким образом, задача одновременной стабилизации Б1М0-систем (1) и (2) сводится к задаче выбора вектора (28) во множестве решений (26), (27).

Если указанный вектор выбран, то регулятор, одновременно стабилизирующий 81М0-системы (1) и (2), находится по формуле (16), при этом полиномы и собственные значения матриц

Л,. -Ь, (рю -аЮ)Т ТА1 (30)

являются устойчивыми.

Схематично задача одновременной стабилизации двух систем приведена на рис. 1.

в(1) 1 1

в(2) _ / 2

I п • -Т Т т-Т А1 А

-ТТТ-Т ! А А ; I п

а

(1)

а

(2)

т Т

Заданная часть

Искомые параметры

Варьируемые параметры

Рис. 1. Задача одновременной стабилизации двух систем

Из (26) вытекают необходимые условия одновременной стабилизации.

Лемма 1. Для одновременной стабилизации линейных Б1МО-систем

X1 (Г) = Л^ () + V! () , X 2 () = А2Х2 () + Ь 2и2 () регулятором к е Мп в законах управления

щ (I) = -к т X! (I),

и2 ( ) = -к Т Х2 ( )

необходимо существование решения ф е Мп линейного матричного неравенства

(п- тЛ 1А

Т т

1А

V 2 У

Ф + 0,5

IП -Т ТТ-т 1 4 1 А

-Т т Т-т 1А1А 1п

Г (1)Л а()

а(2) V У

> 0.

(31)

Доказательство леммы 1. Действительно, решение задачи одновременной стабилизации означает, что характеристические полиномы

Л* (\1п - Л, + Ь, (Р(г3 - а(,) )Т ГА-1) = Г + Р«Г-1 + - + в>*. + Ро3

(I = 1,2) с векторами коэффициентов (29) — гурвицевы.

Хорошо известно, что необходимым условием гурвицевости любого полинома является положительность его коэффициентов. Таким образом, необходимое условие гурвицевости характеристических полиномов с векторами коэффициентов (29) имеет вид

(О

Р(г) =

Р(

в0')

Ри-2

В0')

Vе"-1 у

> 0, I = 1,2,

откуда, согласно формуле (26), следует линейное матричное неравенство (31).

Для 81МО-систем второго порядка (например, математических маятников) необходимое условие, приведенное в теореме 1, является и достаточным. При этом линейное матричное неравенство (31), условие выбора параметров и искомый регулятор имеют, соответственно, вид

( у(1)т ^ м

Т(1)т 1 2

т(

(2)Т

Т(2)Т 1 2

(ф >

4^2 у

+ 0,5

(1 0 > ( Т (1)Т ^ Т1 ( Т(2)Т ^ 11

0 V 1 у т 21)Т V 2 у Т(2)Т V12 у

( т (2)Т ^

т__

т (2)Т

V 1 2 у

( Т(1)Т ^ 1 1

-1

т21)т

V 2 у

0 ^

(а!1) ^

а

(1)

а

(2)

а(2) V 1 у

> 0 ,(32)

V 1 У

>

тг

ТОТ

^ У

+ 0,5

"-о

а|1) V 1 У

тг

тГ

т|2)Т

а(2) "-о

а{2)

V 1 У

(33)

кх

к2

V 2 У

У11

т 21)т V 2 У

(34)

Обратимся к неравенству (31) и подставим в него вместо вектора Ф следующий вектор:

(( I

0,5

Г (1)Л а()

а(2) V у

(1)

+

¥

¥ (2) V у

(35)

В результате получим цепочку эквивалентных линейных матричных неравенств

(т тЛ Тт

V Т А у

(т-т I Тт\

А ! )

0,5

Га® Л

а~2)"

V у

Г^а) Л

V2) V у

+ 0,5

-ТтТ-т 1А 1 А

ггтт-т Л Г (1) Л

а(2) V у

> 0,

тЛ

Та тт

1 А

V 2 У

г

((Т ¡ТаЯ

У»л '

V У

0

0 I-

а(2) V У

> 0.

\т1т:т(!) ^ Га(1)л

1 А Л-,

т т т-т

Т Л2 Т Л!

¥

¥

(2)

а'

а

(2)

> 0.

(36)

V У V у

Формула (36) позволяет сформулировать лемму 1 в другом виде.

Лемма 2. Для одновременной стабилизации линейных SIMO-систем

х 1 (Г) = Л^ () + Ьхих (Г), X2 () = А2х2 () + Ь2и2 () , регулятором к е Мп в законах управления

щ (I) = -к т X! (I),

и

(t) = -к т X2 (t),

необходимо существование решения у = (у(1)т | у(2)т) еР2у линейного матричного неравенства

М

^0) ^

V У

(1) 'а()

+

а(2)

V У

> 0,

(37)

где

М =

т I Т т Т

1 п _| Т А1 Т А2

Ттт~т 1 1

у Т А2 Т А[ | 1 п у

(38)

Анализ матрицы (38) показывает, что она вырождена (см. (31), (35)) и имеет следующее множество собственных чисел:

eigМ = {0,....,0,2,....,2},

(39)

п п

т. е. имеет п нулей и п двоек .

Для рассматривавшегося ранее случая одновременной стабилизации маятников линейное матричное неравенство (32) заменяется следующим:

(1 10 > ( У (1)Т ^ 11 (У(2)Т ^ 11

0 V _ У у 21)т V 2 У У(2)Т V12 У

( У (2)т ^ у_

У (2)Т

V 12 У

( у(!)Т ^

У?т

V 2 У

-1

1_| 0 ^ 0 и

V I У

(„ (1) ^

+

а

(1) 1

(2) 0

а(2)

V 1 У

а

а

> 0. (40)

Здесь

вектор

¥ = (¥ (1)т |¥(2)т V е ™4

неизвестным считается 4-мерный )т

Распространение полученных соотношений по индукции на случай количества БШО-систем /' = 2, 3,..., т дает утверждение.

Теорема 1. Для одновременной стабилизации линейных Б1МО-систем

х 1 ) = А^х^ () + Ь 1и1 ),...,

Хт С) = АтХт С) + Ьтит С) ,

регулятором к е Мп в законах управления

их () = -кт х1 (),...,

ит {() = -к т х т {(),

необходимо существование решения у е №тп линейного матричного неравенства

( (1) > ( (1) ^ а'

м +

¥( ш ) а( ш) V У

> 0,

(41)

* Положительных чисел!

где

M =

In T т T-Т 1A 1A U Ai 1 A2 --- 1T1 -T 1 Ai 1 Am-i Tт 1 - т_ч 1 A2 1 Am-i 1T1 -T 1 Ai 1 Am 1 A2 1 Am

TT T-T 1 Am-i 1A [т t 1 - t ч | 1 Am-i 1 A2 In r1T 1-T A ^ A Am-i Am

TT T-T 1 Am 1 Ai j 1 Am 1 A2 r1T Ta"t Am Am-i In

(42)

Матрица (42) обладает следующими свойствами:

1. Размеры матрицы M равны mn х mn , т. е.

M е .

2. Ранг матрицы M равен размерности пространства состояний n, т. е.

rank M = n.

3. Матрица M имеет ровно n собственных значений равных n и n(m -1) собственных значений равных 0, т. е.

eig M =

0...0, m...m

n( m-1) n

4. Максимальный ранг левого делителя нуля матрицы M равен n(m -1), т. е.

rank = n(m -1).

К сказанному необходимо добавить, что, следуя альтернативе Фредгольма, нетрудно показать, что разрешимость (совместность) линейного матричного неравенства (41) эквивалентна разрешимости (совместности) линейного матричного уравнения

M fX = 0

(43)

и линейного матричного неравенства

X >-

г (1) Л а()

а(т) V У

(44)

Таким образом, теорема 1 принимает следующий вид.

Теорема 2. Для одновременной стабилизации линейных Б1МО-систем

х 1 (7) = Л^ (7) + Ь^ (7),..., Хт С) = АтХт С) + Ь„и„ С) >

регулятором к е

в законах управления их () = -кт х1 (),...,

ит (') = -к Т х т ((),

необходимо либо существование решения у ричного неравенства

линейного мат-

М

¥

(1)

¥

(т)

(1)

а

а( т) V у

> 0,

где

м =

Iп 1 ТтТ-т т А; Т А2 Т т Т - т 1А Т А»-1 Т т Т-т Т А1 Т А»

т т т-Т и- Т т Т-т Т А2 Т А»-1 Т т Т-т Т А2 Т А»

Тт Т-т Т А»-! Т А 1 тт т-т 1 Т А»-! т А2 Iп Тт Т-т А»-1 Ат

Т т Т-т т А» Т А; т т Т-т 1А»1А2 ГГа» ТА-т Ат А»-1 I п

либо существование решения линейного матричного уравнения

М X = 0,

где

X > -(а^ ! ••• | а

«Т | ... | а(т)Т

I I

Рассмотрим пример.

Пусть заданы существенно неустойчивые БТМО-шстемы

Г т > {3,2534 -8,8362

^ Хи у 2,1089 V 11,8482

УЧ^ У V ' У Г 1 плс \

+

1,458

т2,1

V Х2'2 У V

0,1725 1-0,2053 0,204УГ072~595"

т2,1

+

V "2'2 У

0,04747

1,746 0Д554

«1,

и2'

(45)

(46)

п

тп

и требуется найти регулятор

кт = (к \к2), такой, чтобы замкнутые 81МО-системы

" 7Л г 1,458 Л

Л1,1

V к1>2 У

2,1

V к2'2 У

-21,82 -353,7

1,293 0,6204

-29,85 -413,2

-2,467 -36,49

0,04747

1,746 0,1554

(к1 ! к2)

(к1 | к2)

х

х1,1

V к1>2 У

х

2,1 V *2>2 У

(47)

(48)

(49)

были одновременно стабилизируемы.

Составляя ленточные матрицы управляемости (6) для систем (45), (46) и вычисляя их правые делители нуля (8), получим матрицы Та из (13):

=

^-17,6938 1,4580 > , = ^-0,4851 1,7463

2,9203 V 0,0475 У 0,3306 V 0,1554

(50)

Используя (50), вычислим коэффициенты характеристических полиномов систем (45), (46) и составим соответствующие векторы коэффициентов (7). Получим

а(1) =

Г (1)Л а о

ар

V 1 У

' 57,1855 ' -15Д01^

а(2) =

Г (2) л а( )

а

(2)

V 1 У

0,0868 " — 4320

(51)

Как видно из (51), БШО-системы (45), (46) действительно являются неустойчивыми, а их коэффициенты характеристических полиномов отличаются более чем на 3 порядка.

На основе матриц (50) составим матрицу (38) линейного матричного неравенства (37)

М =

1 0 12,0240 -6,7919

0 1 -0,2201 0,7738

0,0991 0,8697 1 0

0,0282 1,5397 0 1

(52)

Таким образом, рассматриваемая задача окажется разрешимой, если разрешимо (совместно) линейное матричное неравенство

1 0 12,0240 -6,7919

0 1 -0,2201 0,7738

0,0991 0,8697 1 0

0,0282 1,5397 0 1

^ Г 57,1855 л

VI

(2)

+

V

-15,1015

1м08б8Г ~-а,4320

> 0 .(53)

Для решения (53) воспользуемся альтернативой Фредгольма и техникой делителей нуля. Для этого найдем положительный правый делитель левого делителя нуля матрицы (52). Последовательно получим:

М ^ =

0,0701 0,7209 -0,6846 -0,0815

-0,0398 0,4868 0,5856 -0,6469

X> о = (М

^0,9661л 0,0907 0Д747 0,1669

(54)

При этом, при некотором г > 0, выполняется неравенство

к ^ (0,9661^ ( (1)^ ао ( 57,1855 ^

= гХ> 0 = г 0,0907 0,1747 > а11) а02)) = -15,1015 0,0868

к, 0,1669 V а(2) V 1 -0,4320 V У

Пусть, например, г = 200, тогда

(V!"л ^193,2243^ ( 57,1855 ^

V» 18,1488 > -15,1015

V!2' 34,9305 0,0868

IV?'у 33,3893 V У -0,4320 V У

при этом будем иметь

чл

0,5

а

а

(1) (2)

+

у»

У2"

V у

г 12,4834 л 21874413

^ л

V 1 у

У(1)Т у1)т

Ч^2 у

+ 0,5

а

а

Трт

У(2)т

а

(2)

а

(2)

'443,6342 21,1960

V

у

^ 1 V 1

(у(2)Т ^

хр

(ф ^

Чф2 У

+ 0,5

(а(2) ^

0

(2)

1

а,

а

Г

кх

к2

V 2 у

ТГ

V 1 У Л-1

(Т(2)Т ^

(х (1)Т ^ 1

Т(1)т

(„ (1) ^

а

а

(1)

V 1 У

69,9497 663466

у

Р11} -а11)

V

у

17,1950 23675167

(55)

Импульсные переходные характеристики замкнутых БШО-систем (48), (49) с регулятором (47), (55)

V к1>2 У

-21,8^! -353,7' 1729^|07б204

т1,1

(X > (-29,85 -413,2

^ Х2,2 У -2,467 Ч -36,49

-УУ -1'2 У

Х2,1

УЧ Х2'2 У

представлены на рис. 2.

(Р )

1

)р\ Х1,2 )

\ \

Х2,2(0

Рис. 2. Переходные импульсные характеристики одновременно стабилизируемых систем

На основе ранее найденного делителя нуля (54) можно синтезировать множество других стабилизирующих регуляторов. Так, при г = 170 получим

V к У

14,6157 л 20ТГ0392

при г = 180 —

г 15,4755 л 212^650

к к

V V

V

при г = 190 —

Г 1'\

V 2 У

16,3352 224,6909

у

и т. д.

Общий характер изменения параметров стабилизирующего регулятора приведен на рис. 3.

к

к

--1--

0 20 г = 170

160 180

200

г = 370

Рис. 3. Характер изменения параметров стабилизирующего регулятора

Пусть заданы неустойчивые SШD-системы с существенно различающимися параметрами:

^ 18,2819

V 12 у

20,1613

-18,3883Vх, , ^ (0,1472Л

19,8908

V 12 у

+

2,2957

м,,

50

40

60

80

120

т2,1

V 2'2 У

-0.0702 "0ТГ285~

-0.2063 "00302"

т2,1

V "2'2

+

2.7526 0Л383

и2

Как и прежде, требуется найти регулятор вида (47), чтобы замкнутые системы были устойчивыми. Сначала получим матрицы Т^

Т4 =

-45,1411 0,1472 > , = ^-0,3868 2,7526^

44,9366 2,2957 У 0,3633 V 0,1383 У

(56)

и на их основе — векторы коэффициентов

(1)'

а(1) =

а,

а

(1)

V 1 у

7,0904 -1,6089

а(2) =

^а (2

а

(2)

0,0174 ' -0,0600

На основе матриц (56) составим матрицу линейного матричного неравенства

М =

1 1 0 | 123,3358 0,9320^

| 5,9787 0,8936

0,0085 -0,0089 г ^ | 1 0

-0,0571 V 1,1786 Т 0 "" 1 1 У

Ее положительный правый делитель левого делителя нуля

М ^ =

0,0378 -0,7358 | -0,2646 0,6223

0,0018 -0,1982 | 0,9643 0,1755

равен

х>о -

0,8562' 0,3578 0,0041 0,3728

При г = 5 будем иметь следующий стабилизирующий регулятор:

Г 7, Л

V 2 У

V

1,2801 1-4764

У

Общий характер изменения параметров этого стабилизирующего регулятора приведен на рис. 4.

Рис. 4. Характер изменения параметров стабилизирующего регулятора (II)

ЛИТЕРАТУРА

[1] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. Москва, Наука, 2002.

[2] Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Ленточная формула решения задачи А.Н. Крылова. Автоматика и Телемеханика, 2007, № 12, с. 53-69.

[3] Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Алгебраические и матричные методы в теории линейных MIMO-систем. Вестник ИГЭУ, 2005, вып. 5, с. 196-240.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н., Микрин Е.А., Зубов Н.Е. Одновременная стабилизация SIMO-систем. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 10. URL: http://engjournal.ru/catalog/it/nav/1078.html

Мисриханов Мисрихан Шапиевич — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник научно-технического центра ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва». Автор более 150 работ в области проблем управления космическими аппаратами.

Рябченко Владимир Николаевич — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник научно-технического центра ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва». Автор более 200 работ в области проблем управления космическими аппаратами.

Зубов Николай Евгеньевич — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке научно-технического центра ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва», профессор кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 70 работ в области проблем управления космическими аппаратами. e-mail: Nikolay.Zubov@rsce.ru

Микрин Евгений Анатольевич — д-р техн. наук, академик РАН, первый заместитель генерального конструктора ОАО «РКК "Энергия" имени С.П. Королёва», заведующий кафедрой «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 работ в области проблем управления космическими аппаратами.