CC BY
13
УДК 629.7.05
Н.Е. Зубов1, Е. А. Микрин1'2, С. С. Негодяев2,3, В. Н. Рябченко2,4
1 Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С.П. Королева 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Зцентральный научно-исследовательский институт химии и механики им. Д.И. Менделеева 4ОАО «Федеральная сетевая компания Единой энергетической системы»
Синтез одноканальной системы разгрузки кинетического момента инерционных исполнительных органов космического аппарата
Рассматривается задача гравитационной разгрузки кинетического момента инерционных исполнительных органов космического аппарата в канале тангажа для круговых и эллиптических орбит с использованием ленточного критерия управляемости. Синтезированы законы управления гравитационной разгрузки и стабилизации заданного положения космического аппарата, однозначно определяемые параметрами объекта и задаваемыми коэффициентами характеристического уравнения.
Ключевые слова: инерционные исполнительные органы, разгрузка кинетического момента, обратная связь по состоянию, замкнутая система, ленточный критерий управляемости, ортогональный делитель нуля.
1. Введение
Использование инерционных исполнительных органов (ИИО) в контурах управления ориентацией космического аппарата (КА) позволяет на порядок повысить точность ориентации [1].
Принцип функционирования ИИО основан на обмене кинетическим моментом между корпусом КА и системой ИИО. Под действием моментов внешних сил КА приобретает угловую скорость и, следовательно, кинетический момент. Далее, за счет управления кинетический момент КА передается с корпуса КА на систему ИИО, и угловая скорость КА обнуляется [1]. Таким образом, ИИО является «интегратором» моментов внешних сил, действующих на КА. Если момент внешних сил имеет постоянную составляющую, то происходит накопление кинетического момента системы ИИО и, как следствие, ее насыщение. При достижении предельной величины располагаемого запаса кинетического момента системы ИИО необходимо провести сброс (разгрузку) накопленного кинетического момента.
Реализовать разгрузку можно путем включения реактивных двигателей [1]. Однако при этом расходуется топливо. Безрасходный сброс накопленного кинетического момента, в частности, можно осуществить с использованием момента гравитационных сил. В этом случае разгрузка реализуется путем задания определенного углового движения КА относительно гравитационного поля Земли на участках полета, свободных от решения целевой задачи. Метод управления угловым движением при одновременном регулировании накапливаемого на ИИО кинетического момента позволяет сделать гравитационную разгрузку полностью автономной за счет небольших угловых отклонений от положения равновесной ориентации, рассчитываемых в контуре управления, с целью создания разгружающего гравитационного момента.
Исследованию такого управления КА в канале тангажа для круговых и эллиптических орбит с использованием ленточного критерия управляемости при реализации модального подхода и посвящена данная статья.
Линеаризованные уравнения углового движения КА с ИИО для канала тангажа в случае круговых орбит при учете действия гравитационного момента в соответствии с [2] имеют вид
^ = 3^2 0 + ^ . (1)
и г о г Л г
Применительно к задаче разгрузки кинетического момента уравнения (1) можно записать так:
____ Н ---- у/
7 , Нг — ,
(2)
здесь ’]х,3у— главные центральные моменты инерции КА, шо — орбитальная угловая скорость движения для круговой орбиты, Нх — кинетический момент ИИО в канале тангажа, их — управляющий момент в канале тангажа, "9 — малый угол отклонения от углового положения (0, 0, во) в канале тангажа $ = в — во-
Соответственно для эллиптических орбит уравнения (2) будут иметь вид [3]
$ = 3рг со8(26>о)$ + 3рт (8іп(20о) - 2ревїп V — т*-,Нг
Управляющее воздействие иг будем формировать в виде линейной комбинации:
(3)
иг — —Кг\'д — Кг2'& + КгзНг + ^г4 у М.
0
(4)
В дальнейшем в силу большей общности уравнений для эллиптических орбит рассмотрим именно их.
При переходе к описанию в пространстве состояний уравнения (3) и (4) будут иметь следующий вид:
'х{ 0 1 0 0'
Х2 «21 0 0 0
Хз 0 0 0 0
х4_ 0 0 1 0_
Х\
Х§
Х3
_Х4_
+
0
и2
0
з(і)
(5)
где
Пг
—к х — \К-
г1
Кг§
-К
гЗ
—Кг4~\
Х\
Х§
Х3
Х4
«21 —
2 г3 V .]
(6)
к-' — вектор коэффициентов регулятора, а вектор состояния имеет компоненты
т Т
х
— [х1 | Х2 | Х3 | х4\Т —
в
в
Нг
Динамическая система (5) является нестационарной с медленно меняющимися периодическими коэффициентами. Для применения математического аппарата стационарных систем аппроксимируем коэффициент Й21 кусочно-постоянной функцией вида
N
а§1 — ^ ](Щ — іі)а%2і — 1(і — іі+і))аг2і.
г=1
1
1
0
0
0
Примем для г = 1 момент времени прохождения перигея В этом случае система (5) становится стационарной.
2. Ленточный критерий управляемости и его применение для синтеза управления
Найдем решение задачи разгрузки на основе ленточного критерия управляем,ост,и, описанного в [4, 5].
Рассмотрим динамическую систему в виде пары, матриц с постоянным,и, коэффициентами:
(А Ь), (7)
где А є Мпхп, Ь є Мп, М1 пара (7) описывает систему
х(і) = Ах(і) + Ь-и(і).
А
р-мерное вещественное пространство. Другими словами,
(8)
(9)
Где — единичная матрица размера пхп, С — комплексная плоскость. Пусть также 01хп — нулевая строка размера 1 х п, тогда динамическая система (7), (8) полностью управляема, если ленточная матрица управляем,ост,и, [4]
Г—Ь^А 0 0 0 '
ь£ —Ь^А 0 0
0 ь£ —Ь^А 0
0 0 ь£
—Ь^А
0 0 0 Ь^ _
'1х п
0ь
имеет полный ранг по строкам.
Здесь 0 — символ операции кронекерова произведения, например,
ац а12
&21 &22_
'Ьп Ь12 Ь13
Ь21 Ь22 Ь23
Ьз1 Ьз2 Ьзз_
ацЬц ацЬ12 ац Ъ1з аиЬц аиЬи аиЬи
ацЬ21 ацЬ22 ац Ь2з а12Ъ21 й12Ь22 а12Ъ2з
ацЪз 1 ацЬз2 ац Ъзз а12Ъз1 а12Ъз2 а12Ъзз
й2іЬц ^21^12 а21Ьз а22Ьц а22Ь12 а22Ь1з
а2\Ъ21 0/21^22 а21Ь2з а22Ь21 а22^22 й22Ъ2з
0’21Ъз1 &21Ьз2 а21Ьзз а22Ьз1 й22Ъз2 а22Ьзз.
Символом Ьд € К(п 1')хп обозначена матрица — левый делитель нуля, (аннулятор) ранга п — 1, т.е.
Ьд = °(п- 1)х1.
Заметим, что далее по тексту символом Хд будет обозначаться [5] левый делитель нуля, (аннулятор) матрицы X максимального ранга, Хд — правый делитель нуля (аннулятор) матрицы X максимального ранга, Х+ — псевдообратная матрица Мура-Пенроуза.
Для полностью управляемой динамической системы между коэффициентами аг характеристического полинома (9) и ленточной матрицей управляемости
0
1хп
1г.
0
1п
имеется следующая однозначная взаимосвязь:
ао
&1
&п— 2
®п-1
01
1хп
(Ь+А))
Х1
%п-1
I
п
I
п
I
п
I
п
I
п
Здесь § — 0 — ненулевой скаляр,
0ь
01
0 (Ь+А) =
'—Ь+А 0 0 0 '
Ь+ —Ь+А 0 0
0 Ь+ —Ь+А 0
0 0 Ь+
—Ь+А
0 0 0 Ь+
1п
0 Ьд —
1п
0 (ЬдА)
XI
Хп- 1
Хп
0.
(11)
Другими словами, для полностью управляемой многомерной системы (и только для нее) решение однородного уравнения (11) является вектором, а не матрицей.
Справедливой оказывается следующая
Теорема [4]. Пусть линейная система (7), (8) полностью управляемая и имеет характеристический полином (9). Тогда, регулятор кт в законе обратной связи, обеспечивающий замкнутой системе заданный характеристический полином
ёе^АТп — А + Ькт) = Хп + Рп-1Хп 1 + ■ ■ ■ + ДА + Ро,
определяется формулой где
кТ — ДаГ
1
Да — [о!о — @о | &1 — @1 Т — (Х1 | Х2 | ■ ■
матрица Крылова,
■ ■ | &п—1 $п—1 ]
Хп-1 | Хп)
(12)
(13)
1п
0 Ьд —
’1хп
_1_
0 (ЬдА) =
к
Х1
Хп- 1
Хп
Хп — Ь.
Таким образом, согласно формулировке теоремы справедливым оказывается следующее равенство:
ёе^АТп — А + ЬДаТ 1) — Хп + р.п—1^а 1 + ■ ■ ■ + Р1А + Ро.
3. Синтез одноканальной системы разгрузки кинетического момента инерционных исполнительных органов КА
В рассматриваемом нами случае модель КА имеет вид
При этом
(
det
АЬ -
А
0 1 0 0" 0
а21 0 0 0 Ь 1
0 0 0 0 1
0 0 1 0_ _ 0
0 1 0 0" \ 0 1 0 0'
&21 0 0 0 — 4 нн &21 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0. ) 0 0 1 0_
— А4 — а21Х2
I
п
I
п
I
п
I
п
I
п
I
п
Будем предполагать, что замкнутой системе требуется обеспечить гурвицев (устойчивый) полином:
ёе^А14 — А + ЬДаТ :) = А4 + р3Х3 + р2Х2 + ДА + р0. Вычисляя матрицу Ь^, получаем
(14)
Ь,
1 0 0 0'
0 ^гх 1 0
0 0 0 1_
Следовательно, ленточная матрица (10) имеет вид
>1x4
14
'1 °1хга 1п 0 -- ® \ 0 — 0'
0 ^XX 1 0
0 0 0 1_
I,
°1хга_
14
+
0
14
0 1 0 0'
Зхх 021 0 0 0
0 0 1 0_
(15)
и размеры 15 х 16.
Правый делитель нуля максимального ранга матрицы (15) равен
0
1x4
1 0 0 0'
- ® 0 Jxx 1 0
0 0 0 1_
—021 0 0 —021 1
+
14
14
0 1 0 0'
Jxx 021 0 0 0
0 0 1 0_
,
Я
= [0 0 0 — 0,21 | 0 0 — <121 | 0 — | 0 0 1 0 — | 1 0]Т е М16.
Из (16) следует, что матрица Крылова (13) равна
Т = (Хх | *2 | Хз | Ь) =
0 1 0 1 0 '
0 0 0 1
0 — 021 0 1
21 в 0 1 0 _
(16)
(17)
Подставляя в формулу (12) матрицу (17) и вектор разностей коэффициентов характеристических полиномов
Да = [о;о — @0 | &1 — Р1 | (Х2 — @2 получаем формулу регулятора:
кт = ДаТ-1 =
&з — Рз]
= [«о — Ро | &1 — Р1 | 0.2 — Р2 | ®3 — Рз]
0 1 0 1 0 '
0 0 0 1
0 — 021 0 1
21 в 0 1 0 _
1
= ^хх (021 + Р2) — ^2Т т.е. согласно закону управления (6)
_ Т ^&
Р3 а21
Ж_
«21
$0
«21
КХ1 = (Й21 + ^2) + ^2^° ’ ^х2 =
К7з = - , К7л = - .
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что
A — ЪАаГ
о І о о
—02 — ^2 «21 -а - й л Ро
1 ^гг«21 ^гг«21
Jzz (021 + 02) + J„ Рз + J“f‘ ft «21 Ьо «21
о 21 о І о
(19)
а характеристический полином матрицы (19) совпадает с правой частью (14), т.е.
Л -І о о '
А + ж К2 «21 а + А + Ц Р1 Jг г «21 Л ^гг«21
Л* (а21 + 02) Jz10 Jzz Рз А-^ «21 Ро «21
о 21 о -І Л
— А4 + 0з\3 + 02 X2 + 01^ + 0о.
Это и требовалось получить.
Таким образом, закон управления КА, обеспечивающий разгрузку кинетического момента инерционных исполнительных органов в канале тангажа и обеспечивающий заданные моды колебаний, имеет следующий вид:
Uz = Jzz (a2l + 02) +
Jzz 00 021
t
+ (Jzz0з + $ + A-hz + — [ hzdt. (20)
J \ 0,21 ) 021 021 J
Как видно из (20), управление однозначно определяется параметрами объекта и задаваемыми коэффициентами характеристического уравнения.
Закон разгрузки (20) может быть преобразован в закон стабилизации. В этом случае будет иметь место редуцированная модель КА:
о І о' ' о
Ar ed 021 о о , Ъг ed 1 л.
о о о_ _ І
и редуцированный закон управления:
0 + —hz 021 I 021
с редуцированным регулятором
kJed = -Jzz (021 + 02) | —Jzz03 - | - ^
При этом редуцированный полином
det(A^ - Ared + bredkred) = ^ + 0з^2 + 02 А + 01
априори считается устойчивым.
Дальнейшее упрощение задачи приводит к модели КА второго порядка:
*-red
' о І
021 о
*red
о
и закону управления где полином
kred = {-Jzz (021 + 02) | - Jzz0з) ,
det(AI2 - A.red + Ъredirect) = ^ + 0з^ + 02
(21)
1
г г
также считается устойчивым.
Действительно, подставляя (21) и (22) в формулу, имеем:
ёе^Л12 — Аге<1 + Ьгейк^) =
0
= ёем А
1 0 0 1
0 1 021 0
+
ёем А
1 0 0 1
0 1 —02 - 1
[—Jzz (^21 + 02) | —'12
= А2 + 03\ + 02-
z «>])
Что и требовалось получить.
1
гг -
4. Заключение
В работе предложено решение задачи одноканальной гравитационной разгрузки кинетического момента инерционных исполнительных органов КА для круговых и эллиптических орбит. Решение основано на ленточном критерии управляемости многомерной динамической системы.
Полученные законы управления гравитационной разгрузки и стабилизации заданного положения КА однозначно определяются параметрами объекта и задаваемыми коэффициентами характеристического уравнения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации в рамках контракта с Минобрнауки России № 13.025.31.0028.
Литература
1. Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов // под общей редакцией д.т.н. Е.А. Микрина. — М.: Наука, 2006.
2. Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н. Управление ориентацией космических аппаратов. — М.: Наука, 1974.
3. Тимаков Н. С. Исследование управляемого углового движения космического аппарата на высокоэллиптической орбите // Навигация и управление движением. Материалы IX конференции молодых ученых. — СПб. — 2007. — С. 330-336.
4. Мисриханов М. Ш., Рябченко В. Н. Ленточная формула решения задачи А.Н. Крылова // Автоматика и Телемеханика. — 2007. — Л*8 12. — С. 53-69.
5. Мисриханов М. Ш., Рябченко В. Н. Алгебраические и матричные методы в теории линейных М1М( >-енегс.м // Вестник ИГЭУ. — 2005. — Вып. 5. — С. 196-240.
Поступила в редакцию 14-10.2010.
