Однородное решение теории упругости для цилиндрической арки при линейном распределении напряжений вдоль оси Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

4. Дубровин, Б.А. Современная геометрия / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М.: Наука, 1986. - 760 с.

5. Аминов, Ю.А. Геометрия векторного поля / Ю.А. Аминов. - М.: Наука, 1998. - 208 с.

-----------♦'------------

УДК 620.539.3 В.И. Матюшин

ОДНОРОДНОЕ РЕШЕНИЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АРКИ ПРИ ЛИНЕЙНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВДОЛЬ ОСИ

В статье дается методика получения однородного решения теории упругости при линейном распределении нормальных напряжений вдоль оси арки в случае прямосимметричного загружения.

Для этого случая получены соответствующие бигармонические функции и найдены от них формулы напряжений и перемещений, удовлетворяющие однородным граничным условиям на боковых поверхностях арки.

Введение. Для построения данного решения найдем бигармонические функции в соответствии с общим решением плоской задачи в полярных координатах [1].

Функции, приведенные в [1], будем называть плоскими. Пространственные бигармонические функции найдены по методике, изложенной в [2]. Общее решение, приведенное в [1], содержит полный набор функций, удовлетворяющих условию бигармоничности. Среди этих функций имеются такие, которые содержат в качестве множителя 0, 0 cos 0 и 0 sin 0. Так как в напряжениях и перемещениях от этих функций значения получаются многозначными в решениях задач типа кругового кольца, то их не используют. Цилиндрическая арка в поперечном сечении представляет часть кольца, а поэтому при принятой системе координат функции, имеющие множителем 0, 0sin 0, 0cos0, оказываются приемлемыми. Введение в решение функций такого типа и позволяет получить совместно решаемую систему алгебраических уравнений. В приводимом решении введены следующие обозначения: x, 0, r- оси цилиндрической системы координат;

%• 0, р - безразмерные координаты в цилиндрической системе координат; b - наружный радиус арки; а - внутренний радиус арки;

Е - модуль упругости материала;

^ - коэффициент поперечной деформации;

г x r

£ = -; р = -;

с с

8 = 1 + X; у = 1 — X - наружный и внутренний радиус арки в безразмерных координатах;

a + b

с = -

2

b — a

X =-------- половина относительной толщины стенки арки;

a + b

M = E

2(1 )с3

В поставленной задаче используется общее решение теории упругости, предложенное академиком Б.Г. Галеркиным [3].

Методика построения однородного решения теории упругости для цилиндрической арки

Для получения необходимого однородного решения наберем максимально возможное число функций, дающих указанный выше закон распределения нормальных напряжений.

В первом варианте функции ф1, ф2, ф3 примем в таком виде:

Ф1 =

1

2(1 - 4ц)

1

+2(1 - 2ц)

( 1 ^ 11

^2р3 -1 р5 +1 ^D +

^ 6 ) 4Ъ р 2(1 -ц)

1

Fр 1п р

008 0 +

(р08Ш 0 - р 1п р008 0) - 4(р308Ш 0 - р31п р008 0)

С;

Ф2 = 2(р2С + ЕД6 + ^^‘<^20;

Ф

2 1

—$5 -1 ^4 ч15 4

К 1

+-----------^р2 +-------Б^р4 008 20.

2(1 - 2ц) 12

2(1-4ц)

В выражениях (1) Л, B, C, D, E, F, К- произвольные пока коэффициенты Напряжения от функций (1):

(1)

а = М

а0 = М

а = М<

1 1

(А + Б)р + С — (В + Е )—

р р .

(А + Б)р + С1 + (В + Е )\ р р3 _

4(4 - ц) 1 - 4ц

А + 4цБ

р + 2ц—С к008 0; р

1 + 2ц А +1 (1 - 2ц) Б

2(1 - 4ц) 2

р2 +

1 2

^(4 - 7ц + 2ц2) - (1 - 2ц) 1п р

С

11 2ц А -1 (1 + 2ц) Б

2(1 - 4ц) 2

р2 +

2 (2 - 7ц + 2ц2) + (1 - 2ц) 1п р

С +

+ к +

—цВ - F + — Е

V2* 2 ,

-1 ^0080; р2

= М

(А + Б)р + С1 - (В + Е)Д-р р3

(2)

Перемещения, соответствующие функциям (1), имеют вид: 1

и =-

4(1 -ц)с2 + 2(1 - 2ц) р 1пр]С ■

16(1 - ц) £2 7 - 4ц 3

^£,2р +-----------р3

А - Бр5 + [(1-6ц + 4ц2 )р +

1 - 2ц 1 Г А

1 - 4ц 1 - 4ц

2 11 1

Кр + [(1 - 2ц) В + 4F - ЕI1 \ 008 0 —- Cр08in 0;

р

V =-

4(1 -ц)с2 [1 - 4ц

- уО -ц)^3 + (5 - 8ц)^р2

+ (5-8ц )Б&‘ -

С

— [(3 — 4ц) + 2(1 — 2ц) ln p]%C — 2(3 4ц) %K + (D + E)\ %1 sin Є + -1- C%ecos Є;

1 — 2ц p2c

1

w = -

4(1 — ^c [1 — 4ц

16(1 — ц)%3 + (1 + 8ц)^2

А + (1-4ц )B%p2 +

+ [(1 — 4ц) + 2(1 — 2ц)lnp]C + 2(3 4ц) K + (D + E)4-Ucos Є + -1C%esin Є. (3)

1 — 2ц p2c

Функции (1) были подобраны так, что в формулах (2) для напряжений аг и Тге структура их оказалась одинаковой. Поэтому при выполнении однородных граничных условий на боковых поверхностях арки

аг =Тхг =Тге= 0 (4)

при p = б и p = Y получим систему не из шести уравнений, а из четырех, так как от напряжений аг и Тге получаются одинаковые уравнения. Это обстоятельство не только уменьшает число уравнений, но и

делает систему уравнений совместной. После решения системы уравнений часть коэффициентов остается свободной и пока неопределенной. Значения этих коэффициентов могут быть определены при выполнении других граничных условий, например, на торце или продольных краях арки.

Выполнив условия (4), получим такую систему уравнений:

(А + B)6 + C1 — (D + E )^ = 0;

бб

(А + B)y+ C1 — (D + E)\ = 0; Y Y

11 2ц А —1(1 + 2ц)B 2(1 — 4ц) 2

+ K + 1 1 цD — F +1E І-1 = 0;

1 2 2 J б2

11 2ц А —1(1 + 2ц) B 2(1 —4ц) 2

+ K +1 1 uD — F +1 El-1 = 0.

І2 2 J y2

б2 +

Y2 +

2(2 — 7ц + 2ц2) + (1 — 2ц) ln б

12

2(2 — 7ц + 2ц2) + (1 — 2ц) ln y

С+

C +

(5)

Решив систему уравнений (5), получим: D = —(А + B)6 2 Y2 — E;

C = —(А + B)(6 2 + y 2);

1 —2ц

K

52 Л,2

— Y

(б2 ln б —Y2 ln Y)(А + B) —

9 + 13ц — 30ц + 8ц 2(1 —4ц)

А+

+ 2(1—5ц+2ц 2) b](62 + y2);

F = 2(1 — ц) E +

if^On б — ln Y)(6 ■ + Y ■)( А + B) — ~4ц‘

б2 — y2 2(1 — 4ц)

А+

1

+2(1+ц) B

52Л,2

Y .

После подстановки найденных значений коэффициентов (6) в выражения (2) получим следующие формулы напряжений:

a r = M (А + B) а9 = M (А + B) а = 2M

f £2 . . ,2 £2„,2 Л

о + у о у

р-----------------— + —3.

Р

Р

£ cos 9;

£2 . . ,2 S2„,2 л

3p-L±:L + il

Р

Р

2(4 - ц) 82 + Y2

^ Р + ц-

_ 1 - 4ц А

Р

£ cos 9;

/

А + ц

2(1 - 4ц)

- (1 + 2ц)Р2 + (13 - 10ц)(82 + Y2) + (11 - 2ц)52 Y2 -у

Р2.

+

+ - B 2

(3 - 2ц)Р 2 +(1 - 2ц)(8 2 + y2 ) - (1 + 2ц)8 2 Y 2 ~^ Р2

82 + Y2

+ (1 - 2ц) 8—^ х

82 - Y2

х

82 ln Р - y 2 ln Р - 82 y 2-\ln—

8

Y

Р Y.

(А + B) !> sin 9;

т = М<

Р2 -Y2-8

1Y

1 Л

Р2 J

11 2Ц А -1(1 + 2ц) B 2(1 - 4ц) 2

82 + y 2

+ (1 - 2ц)

82 - y

х

х

82lnР-Y2lnР + 8^2^г1п8 (А + B)|cos9; 8 y Р YJ I

т = M (А + B)

£2 I „,2 £2„,2Л

8 +Y 8 Y

Р---------— + —-

^ sin 9. (7)

Р Р J

В выражениях (7) напряжения удовлетворяют однородным граничным условиям на боковых поверхностях цилиндрической арки, а коэффициенты А и В остаются пока еще неопределенными.

Выводы

1. Подобраны бигармонические функции для решения поставленной задачи.

2. Полученное решение точно удовлетворяет однородным граничным условиям на боковых поверхностях арки.

3. В решении имеются неопределенные коэффициенты, с помощью которых можно уточнять граничные условия в других сечениях арки.

Литература

1. Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич. - М., 2003. - С. 6.

2. Матюшин, В.И. Некоторые однородные решения пространственной теории упругости для цилиндриче-

ской арки / В.И. Матюшин. - Красноярск, 2005.

3. Галеркин, Б.Г. Определение напряжений и перемещений в упругом изотропном теле при помощи трех

функций / Б.Г. Галеркин // Изв. НИИ гидротехники. - 1931. - Т. 1.

2

♦