О МЕТОДИКЕ ПОЛУЧЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ФОРМЕ ПОЛИНОМОВ R, θ, Х ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АРКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 620.5393 В.И. Матюшин

О МЕТОДИКЕ ПОЛУЧЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ФОРМЕ ПОЛИНОМОВ г, 0, x ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АРКИ

В статье дается методика построения однородных решений теории упругости, выявляется необходимая для этого структура формул напряжений и для конкретного варианта загружения последовательно рассматриваются получение однородного решения и возможность его использования в расчетах реальных конструкций.

Введение

Еще в 1965 г. профессор А.П. Филин в статье, посвященной расчету арочной плотины, писал, что «одной из трудностей является выбор такой системы криволинейных координат, чтобы граничные поверхности тела плотины являлись координатными поверхностями» [1]. С этой точки зрения большой интерес представляет использование для расчета плотин такого вида функций в виде полиномов r, 0, x, так как граничные условия для нее от действия собственного веса и гидростатического давления могут быть представленными функциями такого же вида. В.К. Прокопов [2] и другие показали, что в форме полиномов для кругового цилиндра получение однородных решений невозможно. Однако в общем решении теории упругости для плоской задачи в полярных координатах имеются функции, содержащие множители 0, 0 sin 0, 0 cos 0 [3], которые для кругового кольца (и цилиндра) не используются, так как от них напряжения и перемещения могут быть многозначными. Для цилиндрической арки, поперечное сечение которой по отношению к ее оси является односвязной областью, эти функции можно использовать. Тогда появляется возможность получения дополнительных частных решений, с помощью которых можно построить структуру формул напряжений для кососимметричной задачи в таком виде

f 1 1 л Ar + B - + C—

о

Tr0

З

v r r j

11

Ar + B - + C—

v r r j

sin 0;

cos 0 . (1)

При выполнении однородных граничных условий на боковых поверхностях арки от напряжений (1) вместо четырех уравнений необходимо будет решать систему из двух уравнений.

Общие обозначения в задаче:

Ь - наружный радиус арки; а - внутренний радиус арки;

Е - модуль упругости материала;

^ - коэффициент поперечной деформации;

£ х Г

С = —; р = — - безразмерные координаты;

с с

х, г, 0 - оси цилиндрической системы координат;

5 = 1 + А; 7 = 1 — А - наружный и внутренний радиусы арки в безразмерных координатах;

а + Ь

с = —^— - радиус срединной поверхности арки;

Ь—а

А =---------- половина относительной толщины стенки арки.

M=

a + b E

2(1 -| К

В поставленной ниже задаче используется общее решение теории упругости, предложенное академиком Б.Г. Галеркиным [4].

Методика построения однородного решения для цилиндрической арки при равномерном распределении напряжений вдоль оси (кососимметричная задача).

Функции, входящие в решение [4] академика Б.Г. Галеркина, представлены в первом варианте такими:

Ф1

+

1 — 2^ КЗ 1

1

1

1

_ ЛЗ - А + ^ (2p ln p + p)^B + -^ >C + ^З D + 6(1 — m) p 2 6m 2

1

1

t З- L

6(1 — m) p

Ф2 =

1

2(1 — M)

sin 0;

2(З — 4M)t2 — (1 — 2M)t2 ln p + (1 — M)p2 ln p

A — Lt 2ln p +

1 1 f З ^ 1 1 f З ^ 1

+ - Ft2 ln p— t4 — - p4 E + — Ep4 cos 20 + - t4 — З^2p2 + - p4 K + - N ln p;

2 6 v 8 J 24 З V 8 J 2

ФЗ

1

4(1 — M)

1

Et 20------------Ep4 sin 20

12

(2)

В выражениях (2) - А, B, C, D, E, F, K, N - пока произвольные коэффициенты, которыми можно в дальнейшем распорядиться при выполнении граничных условий в рассматриваемой задаче.

Функции ф1, ф2, ф3 удовлетворяют условию бигармоничности. Найдем от этих функций напряжения.

а = M J [- 3K + E + C - (3 - 4м)D]p + [(1 + 2м)A - (1 - 2м)B + F - 2l]- -I P

- n\ \ sin 0;

P J

а0 = M J [- K - E + C - (1 - 4|i)D]p - [(1 - 2m) A + (1 - 2m)B + F]1 +

I P

+ N1 J sin 0; p

о = M-

4 K + C + 4(2 — m) D

M

p + 2[(1 — m) A + (2 — m) B + l]— і sin 0;

p J

т0х = m j [4 K — 2 E — C + 4(1 — m) D] + [(1 — 2m) A + 2(1 — m) B + L]1 jt cos 0; т = M j [4K — 2 E — C + 4(1 — m) D] + [— (1 — 2m) A — 2(1 — m) B — L]- Jt sin 0;

т* = M

(—K — E — D)p — (B — E + L)- + N Л

p p\

cos 0.

(3)

Перемещения, соответствующие функциям (2), имеют следующий вид:

1

u

(1 — M)c2

(1 — 2m) 2m

C + 4(1 — m) D + 2K

tp + [(1 — 2m) A + L +

+ 2(1 -|М) В]£ - ^ 81п 0;

Р.

1

V = •

(1 - М)с2

-1С - 4Е + 4К . М

+ (-В + 3Е - К)Р2 -

Р2

£2 + (1 + 21п р)(А - В) + 2(^ - 2Ь)1п р + 008 0 - 2^0 81п 01;

1

4(1 - М)с2

/

1

л

-С - 4Е + 4К V М

£2 + (А + 3В) + (2А - 2В - 4Ь + 2^)1п р +

у

81п 0 + 2^0 008 0

(4)

+ (Е - 3К - 3В)р2 +

Р2

При удовлетворении однородным граничным условиям на боковых поверхностях арки для напряжений а г, Т х, Тг0 полученная система уравнений оказывается несовместной. Чтобы система уравнений оказалась совместной, изменим решение (3), положив в нем следующие условия:

-3К + Е + С - (3 - 4М)0 = О - Е + К, (5)

(1 + 2 М )А - 2L + F - (1 - 2 М )В = В + L - F. (6)

После преобразования из (5) получим уравнение

- 4К + 2Е - 4(1 - М )О + С= 0. (7)

Из уравнения(7) найден С

С = 4К - 2Е - 4(1-М )О. (8)

После подстановки (8) в формулы касательных напряжений Т0х и Тх выражения в первой части

этих формул обращаются в ноль. Чтобы получить совместное решение системы уравнений после выполне-

ния однородных граничных условий на боковых поверхностях арки, следует выполнить еще такое условие

- (1-2 М )А - 2(1-М )В - L = 0.

Из (9) найдем

L = - (1-2 М )А - 2(1-М )В.

После подстановки (10) в (6) получим уравнение

2(1-М )(А + В) + F = 0.

Из (11) найдем F

F = - 2(1-М )(А + В).

Подставив значения (8), (5) и (12) в формулы (3), найдем напряжения

(9)

(10)

(11)

(12)

а = М

а0= М

(К - Е + В)р + (А + В)1 - N — 81п 0;

Р Р3 _

3(К - Е + В)Р + (А + В)1 + N Д- 81п 0;

Р Р3

а = М ]1 [4К - 2(1 - м)Е + 4в]р + 2|м(А + В)1181п 0;

1м Р

Т0х =Т хг = 0;

т* = М

(-К + Е - В)Р - (А + В)1 + N ДР Р3

81п 0.

(13)

<

<

Формулы (13) удовлетворяют структуре (1) и при выполнении однородных граничных условий для напряжений аг и Тг0 необходимо решить вместо четырех уравнений только два:

11

(К - Е + О) 5 + (А + В)--= 0;

о 53

(К - Е + О) 7 + (А + В)1 - N -1 = 0.

У У

После решения системы уравнений (14) получаем А = -(К - Е + О)( 52 + у2) - В;

N = -(К - Е + О) 52у2.

Подставляя значения (15) в формулы (13), найдем:

(14)

(15)

а = М (К - Е + В)

а0 = М (К - Е + В)

2 Л 52у2

Р-(52 + у )- +

Р Р3

81п 0;

1 52 у2

3р- (52 + у2) 3

Р Р3

81п 0;

а = М

Т

0х

Т

1(4К - 2Е + 4В)р- 2м(К - У + В)(52 +у2)Д

МР

= 0;

81п 0;

Т 0= М (К - Е + В)

008 0.

(16)

-Р + (52 +72)1 -52 у

. Р Р _

В выражениях (16) коэффициенты К, Е, О являются пока неопределенными и могут быть использованы при выполнении других граничных условий на торце или продольных краях арки.

Выводы

1. Установлена структура формул напряжений, при которой получается система однородных алгебраических уравнений, имеющая совместное решение.

2. Для данного случая загружения арки получены бигармонические функции, дающие необходимую структуру формул напряжений.

3. Полученная структура формул позволяет уменьшить в системе число однородных уравнений.

4. Полученные формулы напряжений точно удовлетворяют однородным граничным условиям на боковых поверхностях цилиндрической арки.

5. Полученное однородное решение может быть использовано при решении конкретной задачи, например, при расчете арочной плотины, с целью уточнения выполнения граничных условий.

Литература

1. Филин, А.П. Расчет высоких арочных плотин / А.П. Филин, И.М. Чернева // Прочность и долговечность бетонных гидротехнических сооружений: сб. тр. - 1965. - Вып. 230.

2. Прокопов, В.К. Метод однородных решений в математической теории упругости: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / В.К. Прокопов. - Л., 1966.

3. Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич. - М.: Физматгиз, 1959.

4. Галёркин, Б.Г. Определение напряжений и перемещений в упругом изотронном теле при помощи трех функций / В.Г. Галёркин // Изв. НИИгидротехники. - 1931. - Т. 1.