CC BY
32
УДК 620.539.3 В.И. Матюшин
ОДНОРОДНОЕ РЕШЕНИЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АРКИ ПРИ РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ВДОЛЬ ЕЕ ОСИ И ЕГО АНАЛИЗ
В статье приводятся функции и напряжения от них при кососимметричном загруже-нии цилиндрической арки для случая равномерного распределения напряжений вдоль оси арки. От найденных напряжений приводится система уравнений, полученная при удовлетворении их однородным граничным условиям на боковых поверхностях арки. Даны также графики напряжений и сделан их анализ.
Введение. В практике проектирования и строительства все большее распространение получают облегченные пространственные конструкции, в которых одним из элементов их является цилиндрическая арка. Это может быть покрытие промышленного здания, ангара, бассейна; напорная грань арочной или контр-форсно-арочной плотины. Как правило, цилиндрическая арка в таких конструкциях непосредственно воспринимает действие внешней нагрузки, а потому расчет ее должен быть таким, чтобы была обеспечена гарантия безопасности для людей, находящихся в зоне ее расположения. Особо это относится к гидротехническим сооружениям, так как их водохранилища находятся перед населенными пунктами и городами. В результате анализа опытных исследований высоконапорных плотин было выявлено [1], что для расчета таких конструкций следует использовать общие методы решения, предлагаемые пространственной теорией упругости. В данной статье и рассматривается один из вариантов загружения арки.
Однородное решение теории упругости при кососимметричном загружении арки
Рис. 1
На рис. 1 изображены оси цилиндрической системы координат г, 0, х. Само решение проводится в безразмерных координатах р, 0, ^. Ниже отметим обозначения, входящие в формулы:
Ь - внешний радиус цилиндрической арки; а - внутренний радиус цилиндрической арки;
а + Ь
= с - радиус срединной поверхности арки;
2
х
р = —; ^ = — - безразмерные координаты;
с с
, Ь - а
Л =---------- половина относительной толщины арки;
а + Ь
1 + Л = 5, 1 -Л = 7 - наружный и внутренний радиусы арки в безразмерных координатах;
I
— = 8 - длина арки в безразмерных координатах; с
I - длина арки.
м =_^.
(1 - ц)с
где G - модуль материала арки при сдвиге;
^ — коэффициент поперечной деформации.
Чтобы получить указанный выше вариант однородного решения, примем функции, входящие в общее решение тео
Фі =
эии упругости, предложенное академиком Б.Г. Гале
1 — 2ц &3 1 —г 1 £3 —
- А +—^3pC +
1
1 -
6(1 — ц) p 6ц
L
6(1 — ц) p
ркиным [2] в таком виде: sin Є;
ф2
І
2(1 — ц)
І
І
— 2 (3 — 4ц) ^ — (1 — 2ц) ^2 ln p + (1 — ц)^ ln p
3 4 'W 1 ^
А — L £ 2ln p +
+ -F^2 lnp + - ^4 — 3^2p2 + -p4 IK + -M lnp; 2 3 у о J 2
ф3 =■
(1)
4(1 -Ц)________________________
В выражениях (1) А,С, L,F,K,M - пока произвольные коэффициенты. Функции ф1?ф2 и ф3 удовлетворяют условию бигармоничности. От функций ф1? ф2 и ф3 напряжения имеют вид:
а = M \ (-3K + C )р + [(1 + 2ц)A + F + 2Lj1 - M1 \ sin 0;
I Р Р3 J
а0 = M \ (-K + C)р - [(1 - 2ц) A + F j1 + M-11 sin 0;
l Р Р J
а = M<
p + 2[(1 — ц) А + L ]— I sin Є;
p J
тех = M |(4K — C) + [(1 — 2ц) А + L ^ Jg, cos Є; т х— = M | (4K — C) — [(1 — 2ц) А + L sin Є;
М
- Кр + (¥ - Ь+ М -1 Р Р3
008 0.
(2)
Если использовать напряжения в виде (2), то при удовлетворении однородным граничным условиям на боковых поверхностях арки для напряжений а г, Т х, Тг0 получим систему уравнений, которая будет несовместной. Чтобы система уравнений оказалась совместной, изменим формулы (2), положив в них следующие условия:
-3 К + С = К ,
(1 + 2 Д) А - 2 Ь + ¥ = Ь - ¥
-(1 - 2 Д) А - Ь =0.
Из (3) найдем
Ь = -(1 - 2Д) А; С = 4К;
Подставив (4) в формулы (2), получим напряжения:
(— _1 _ 1 ^
Кр + А — - М —
¥ = - 2(1 - Д) А
(3)
(4)
а = М
Р
Р
8т 0;
а0 = М
а = М
- -— — 1^
3Кр + А- + М — 8Ш 0;
Р Р )
4 - -— ^
—Кр + 2дА — 8т 0;
V Д Р )
т 0=т = 0;
0Г хг ~
Т.. = М
1
\
- К Р -А- + М —
Р Р )
008 0.
(5)
В формулах (5) выражения внутри скобок для напряжений аг и Тг0 отличаются только знаком. Поэтому при выполнении однородных граничных условий полученные от них уравнения будут одинаковыми и решать придется два уравнения вместо четырех.
К5 + А — - М — = 0;
5 53
- -1 — 1
Ку + А — М — = 0. (6)
У У
После решения системы уравнений (6) найдем:
А = -К( 52 +у2);
М =- К52 у2. (7)
В выражениях (7) коэффициенты А и М определяются через К , который остается пока произвольным и может быть использован при выполнении других граничных условий с целью уточнения решения для конкретной конструкции.
Следует заметить, что можно использовать другие комбинации функций ф1, ф2, ф3 для получения
по приведенной выше методике дополнительных произвольных постоянных.
После подстановки (7) в формулы (5) найдем окончательные формулы напряжений:
аг = МК а = МК
Р-(52 + у2)— + 52У2^
Р Р3
4 1
- Р- 2д(52 + у2)-
Д
Р.
81п 0; 8т 0;
Т
Т
9.v
Т * = MK
гб
= 0;
1 1
-р + (52 +у2)- -52 у 2^
Р
Р
со^0.
(8)
Рис. 2
На рис. 2 по формулам (8) построены графики напряжений а г, а0, а х, Тг0 в долях от коэффициента K при р = 1.
Рассмотрение графиков (рис. 2) позволяет сделать следующие выводы:
1. Полученное однородное решение точно удовлетворяет однородным граничным условиям.
2. Внутри арки существует напряженное состояние, выраженное через произвольный коэффициент K .
3. Решение можно использовать с целью уточнения других граничных условий в сложной пространственной конструкции, одним из элементов которой является арка.
Литература
1. Раппопорт, Р.М. Некоторые вопросы расчета толстых арок / Р.М. Раппопорт [и др.] // Прочность бетонных гидротехнических сооружений: сб. тр. - 1965. - Вып. 230. - С. 120.
2. Галеркин, Б.Г. Определение напряжений и перемещений в упругом изотропном теле при помощи трех функций / Б.Г. Галеркин // Изв. НИИ гидротехники. - 1931. - Т. 1.
Т
