CC BY
29
УДК 620.5393 В.И. Матюшин
ОДНОРОДНОЕ РЕШЕНИЕ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АРКИ ПРИ РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ВДОЛЬ ОСИ
В статье рассматривается такой случай загружения цилиндрической арки, при котором внутри ее нормальные напряжения распределены вдоль оси по равномерному закону. На боковых же поверхностях арки нормальные и касательные напряжения отсутствуют. Для этого случая получены бигармонические функции и найдены от них напряжения и перемещения.
Введение
С целью получения данного решения воспользуемся общим решением плоской задачи теории упругости в полярных координатах, которое приводится, например, в [1]. Функции, входящие в это решение, будем называть плоскими функциями.
Так как в статье рассматривается пространственная задача теории упругости для цилиндрической арки, то соответствующие функции будем образовывать путем умножения плоской бигармонической функции
на необходимую координату х. Вопрос образования бигармонических пространственных функций подробно рассмотрен в [2]. Решение проводится в цилиндрической системе координат х, г, 0 (рис. 1). Ниже приведем соответствующие обозначения:
Ь - наружный радиус арки;
а - внутренний радиус арки;
Е - модуль упругости материала;
^ - коэффициент поперечной деформации;
г г. х
р = —; ^ = — - безразмерные координаты; с с
5 = 1 + X; у = 1 — X - наружный и внутренний радиусы арки в безразмерных координатах; а + Ь
c =
2
b—a
К =-------- половина относительной толщины стенки арки;
a + b
E
M = -
2(1 -ц2 )с3 А - оператор гармонической функции.
Прямосимметричное распределение напряжений в цилиндрической арке
Для рассматриваемой задачи бигармонические функции примем в таком виде:
Г1 11 11 1
Ф1 = Г - (2р ln р +р)Ър + — ; 3рс + - 4р3 D + —------------------ г;3 - [(1 - 2ц) A + L][ cos 0;
[ 2 6ц 2 6(1 -ц) р
Ф 2
1
Фз
4(1 - ц)
_____1_
2(1 -ц)
г Е л
—р 481п20 + РЬ, 20 12
1
^(3 - 4ц)Ь2 - (1 - 2ц)Ь21пр + (1 -ц)р21пр
А - ЬЬ, 21п р +
1
1
3
1
1
3
+ -р£,21пр-- Ь4 --р4 Е —р4со820^ + - Ь4 - 3Ь2р2 + -р4 2 6 у о ) 243 у 8
1
+ 2 N 1п р.
К +
(1)
В выражениях (1) А, В, С, D, Е, F, К, Ц N - пока произвольные коэффициенты. Функции ф1? ф2, ф3 удовлетворяют условию бигармоничности.
ДДф = 0. (2)
От функций (1), согласно общему решению задач теории упругости в форме, предложенной академиком Б.Г. Галеркиным, напряжения имеют вид
ог = М I [- 3К + Е + С - (3 - 4ц)Б]р + [(1 + 2ц)А - (1 - 2ц)В + Р - 2Ь]—
Р
N^-1 со8 0; р
о0= МI [- К - Е + С - (1 - 4ц)Б]р - (1 - 2ц)(А + В) + Р]1 + N -- \ со8 0;
Р
о = М-
р + 2[(1 - ц) А + (2 - ц) В + ь]— 1 со8 0;
р
т = м Л- 4К + 2— + С - 4(1 - ц)Б] - [(1 - 2ц) А + 2(1 - ц)В + Ь]1 к 8ш 0;
4 К + С + 4(2 -ц) Б
ц
Р
тхг = МI [4К - 2Е - С + 4(1 - ц)Б] - [(1 - 2ц) А + 2(1 - ц)В + Ь]1 |ь, со8 0;
т„ = М
11
(К - Е + Б)р + (В - Р + Ь)- - N —
р р3
81п 0.
(3)
Чтобы получить однородное решение, выполним такие условия:
- 3 К + Е + С - (3 - 4ц^ = К-Е + Д (4)
(1 + 2 ц )А - (1 - 2 ц )В + F - 2Ц = В - F + Ц (5)
Из (4) найдем С.
С = 4К - 2Е + 4(1- ц )D. (6)
Подставив (6) в формулу касательных напряжений из (3), получим первую часть этих формул, равную
нулю. Для получения совместного решения системы однородных уравнений необходимо и вторую часть этих формул обратить в ноль. С этой целью выполним еще такое условие:
(1 - 2 ц )А + 2(1 - ц )В + Ц = 0 . (7)
Из (7) найдем
Ц = - (1 - 2 ц )А - 2(1 - ц )В. (8)
После подстановки (8) в (5) получим уравнение
2(ї - Ц)(B + A) + F = 0.
Из (9) найдем F:
F = - 2(ї - Ц )(A + B) . Подставив значения (6), (В) и (ї0) в формулы (З), найдем напряжения:
(9)
(ї0)
о = M
о0= M
1 1
(K — E + D)p + (А + B)— — N— cos0;
p p3 _
11
3( K — E + D)p + (А + B)- + N — cos 0;
p p3.
о = Mf [4K — 2(1 — ц) E + 4D]1 p + 2ц( А + B)-1 cos 0; [ Ц p J
v =Т „ = 0;
Т
M
11
(K — E + D)p + (А + B)- — N —
p p3.
sin 0.
(її)
После выполнения условий (6), (В), (ї0) структура формул (її) для напряжений оказалась такой, что при выполнении однородных граничных условий на боковых поверхностях цилиндрической арки (при r = b и r = а) напряжения оr и Тr0 дают одинаковые уравнения, т.е. вместо системы из четырех уравнений будем
иметь всего два уравнения, которые и имеют совместное решение. Функции ф1? ф2 и ф3, соответствующие решению (її), теперь имеют такой вид:
ф- = \ { эЦ [2K — E + 2(1 — Ц) D]p — 3 B 1 3 + і [p3 D + (2p in p + p) b]^ cos 0;
ф2
1
4(1 — Ц)
ф3 =
1
12 p4 E sin 20 — 2(1 — ц)( А + B)§2 0
1 fr 1
— ^(3 — 4ц)§2 — (1 — ц)(§2 in p — p in p)
2(1 — Ц)
А + (1 — Ц) B^2 in p —
б
1
1
1
1
K +
^4 — «p4 E — ^IEp4cos20і + - §4 — 3^2p2 +-p4
4° J 24 J 3 V 8 J
+ 2 N in p.
От функций (ї2) с учетом выполнения условий (6), (В) и (ї0) найдем перемещения 1
(ї2)
и =
(1 — Ц)с [ Ц + 2(1 — ц)B]§1 і cos 0;
p J
1
- [— (1 — 2ц) E + 2(1 — ц)( K + D)]§p + [(1 — 2ц) А +
1
V :
(1 — Ц)с [Ц
1
- [4(1 — ц)( K + D) — 2(1 — 2ц) E ]§2 + (D — 3E + K )p
1 I 1
— (А — B) — 2(1 — 2ц)( А + B)in p +—— N і sin 0 +——(А + B)0 cos 0;
p2 J с2
1
З6
w = —-Ц-тI--[2(1 -ц)(K + D)-(1 -2|X)|2 -(A + 3B) + 2(1 -2ц)(A + B)lnp + 4(1 -ц)с2 [ Ц
1 ] 1
+ (E - 3K - 3D)p2 + W— \cos0 + —(A + 5)0sin0. (13)
P2 J с2
Чтобы иметь однородное решение для данного случая загружения, напряжения ar, Тxr и Т0 на боковых поверхностях арки должны отсутствовать, т.е.
a = 0;
p=8 ’
r
P=Y
Т 5 = 0;
p=8 ’
xr
P=Y
Т P=s=0 (14)
гвИ
p=Y
Напряжение Т xr, как видно из выражения (1), по всей области арки равны нулю, а a r и Тг0 при выполнении условий (14) дают одинаковые уравнения. Поэтому в окончательном варианте необходимо решить систему из двух уравнений:
й 1 1
(K - E + D) 5 + (A + B)-- N — = 0;
о 53
11
(K - E + D) Y + (A + B)-- N — = 0. (15)
Y Y
Решив систему уравнений (15), найдем A = - (K - E + D)( 52 + Y2) - B;
N = - (K - E + D) 52 Y2. (16)
В выражениях (16) коэффициенты К, E, D, B являются пока неопределенными и могут быть использованы при выполнении дополнительных условий с целью ликвидации остатков как напряжений, так и перемещений на торцах или по краям цилиндрической арки.
Выводы
1. Найдены бигармонические функции, с помощью которых возможно получение однородных решений.
2. Полученное решение точно удовлетворяет однородным граничным условиям на боковых поверхностях цилиндрической арки.
3. Полученное решение не является тривиальным.
4. В полученном решении имеются произвольные коэффициенты, которыми можно распоряжаться для уточнения других граничных условий.
Литература
1. Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич. - М.: Физматгиз, 1959.
2. Матюшин, В.И. Некоторые однородные решения пространственной теории упругости для цилиндрической арки / В.И. Матюшин. - Красноярск, 2005.
3. Галеркин, Б.Г. Определение напряжений и перемещений в упругом изотропном теле при помощи трех функций / Б.Г. Галеркин // Изв. НИИгидротехники. - 1931. - Т.1.
