Одномерные обобщенные интегральные формулы голоморфной функции с переменными пределами интегрирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

Краснощеков Алексей Лаврентьевич

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

ФГБОУ ВО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет», Россия, 614990, г. Пермь, ул. Сибирская, 24, e-mail:

matfak.pspu@yandex. ru

ОДНОМЕРНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ

ГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ

ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Alexey L. Krasnoshchekov

PhD, Associate Professor of Mathematics Department

Federal State Budget Educational University of Higher Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University» 24, Sibirskaja, Perm, 614990,

Russia

e-mail: [email protected]

ONE-DIMENSIONAL GENERALIZED INTEGRAL FORMULAS OF HOLOMORPHIC FUNCTION WITH VARIABLE LIMITS

OF INTEGRATION

Аннотация: для голоморфной функции комплексного переменного получены одномерные обобщенные интегральные формулы Коши и Карлемана с переменными пределами интегрирования.

Ключевые слова: функция, голоморфность, ряд, формула.

Abstract: for holomorpfic functions of a complex argument one-dimensional generalized Cauchy and Carleman integral formulas with variable limits of integration were found.

Key words: function, holomorpfic, series, formula.

Восстановление или разложение функции в окрестности некоторой точки в степенной ряд по степеням другой функции относится к задачам локального обращения. В одномерном комплексном анализе такая задача возникает при разложении голоморфной функции f (z) в степенной ряд по степеням другой голоморфной функции g(z),

f (z) = d0 +d1 g(z) + . . . + dn gn (z) + ... . Такие степенные ряды называются рядами Бурмана-Лагранжа [6].

© Краснощеков А.Л., 2016

Коэффициенты степенного ряда Бурмана-Лагранжа находятся по формулам

а =-!_ ¡ЯзШ. а?, п = 0,1,2, ..., (1)

" 2ПI ^ (?) ?' , ,,, ( )

1 ( ( г _ ау Л(п_1) а = зНш[/ '(г){А_Л-\ , п = 1,2, . . . , (2)

п! мо

V

Ч 2)

где точка £ = а - полюс порядка п+1, единственная особая точка, лежащая внутри замкнутого контура С области О. При определенных условиях, налагаемых на голоморфные функции f и g(z), область О с замкнутым контуром С, ограничивающим ее, имеет место интегральная формула Коши

/(г) = (3)

2m{g (?) _ g(г)

Полагая g(z) = z, из формулы (3) получаем известную интегральную формулу Коши, а из ряда Бурмана-Лагранжа получается ряд Тейлора разложения голоморфной функции f с соответствующими коэффициентами. В качестве области О можно рассматривать единичный круг с центром в начале координат, круг любого радиуса со смещенным центром, звездные, выпуклые области. В работах автора [2-5] приводятся разложения различных функций в степенные ряды Бурмана-Лагранжа, а также одномерные обобщенные интегральные формулы Коши и Карлемана для этих функций.

Пусть О - звездная область пространства одного комплексного переменного относительно начала координат, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой кривой С.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f голоморфна в звездной области О, то для всех точек z е О имеет место интегральная формула

в

/(аА г) = /в% [/(в г)] ёв, (4)

где f (а, в, z) = ру/(в г) _ а/(а г), у, а, в - любые действительные числа

I

с условием: у > 1, 0 < а < в < 1, а Ьу [^^)] = у f (z) + z/ (2) - дифференциальный оператор вида [1].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка z - произвольная точка области О. В силу того, что область О - звездная относительно начала координат, то точки при в е [а; в] также принадлежат звездной области О. Так

' г г г

как (в/(в г) )в = ув*/(в г) + в г (/ (в г)) = в^У / (в г) + г (/ (в г) \ ) = в% [ / (в г) ], то

р р ,

имеем {в% [/(вг)]ёв = /(вт/(вг)\ ёв = (вт/(в г)) |в = /(вг) _а1/(аг) .

а

i вестник пггпу_Серия № 2. Физико-математические и естественные науки

ЗАМЕЧАНИЕ. Интегральная формула (4) относится к одномерной обобщенной интегральной формуле Коши с переменными пределами интегрирования по переменной s, причем, если в е [а; в] при а = 0 и 0< в < 1или при а = 0 и в =1, она совпадает с формулами, приведенными ранее в работах автора [2-5].

ТЕОРЕМА 2. Для голоморфных функций fz) и g(z) в звездной области D и функции fz) с ее непрерывной производной в замкнутой области D во всех точках z е D имеет место интегральная формула

f (а,р, z) = -!_ L-de ¡ЫЖМ®*, (5)

J ( ) 2 п i J J g(q) - g(e z) S ()

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка z е D. Тогда точки (bz) е D при любых в е [а; в] и для функции f (а, в, z) имеет место формула (4). Так как функция Ly f (bz)] голоморфна в звездной области D, то для нее применима интегральная формула Коши (3), имеем

L [f(ez)] = -L f^MlMd; (6)

'[J ( )] 2ni Cg(q) - g(e z) S' ()

где интегрирование совершается по границе C в положительном направлении. Подставляя формулу (6) в правую часть формулы (4), получим искомую интегральную формулу (5).

ЗАМЕЧАНИЕ. При а = 0 и 0 < в < 1 или при а = 0 и в =1 интегральная формула (6) совпадает с формулами, приведенными ранее в работах автора [2-5]. Полученная формула (6) относится к одномерной обобщенной интегральной формуле Коши с переменными пределами интегрирования по переменной s.

Пусть функция g(z) = ze~m, где m >0 - действительное число. Тогда g(q) = q e , а g'(q) = (1 - mq) e mq. Подставляя в формулу (5) для произвольной голоморфной функции f (а, в, z) в звездной области D, получим интегральную формулу

f (аД z) = -L jV-ide fL[f (S)](1 - fdq. (7)

2 п i f J q - e ze"m(ez-°

Пусть далее функция f (а, в, z) = е(в-а)kz, к - действительное число и функция g(z) = ze~mz , тогда g(q) = q e mq, g'(q) = (1 - mq) e mq, L [f (q)] = L [e(P-a)kq] = (у+(р-а)kq)e(P-a)kq. Подставляя в формулу (7), получим интегральную формулу

(Р-а) k q

ete-а)kz = l^de f(1 - mq)(Y+(P-a) kq) ' dq

2ni f C C-e zem(e2?)

При к =1, т =1, а = 0, в = 1 имеем интегральную формулу

е. =± Г Г МЙ^ о,

2т Г Г С - 8 2 е (Е2 С)

которая выражает функцию / (г) = е2 через функцию g(2) = ге"2 на границе С области В [3].

Пусть функция g(г) = еъ, тогда g(С) = ек, а g'(Q = кек. Подставляя в формулу (6) для произвольной голоморфной функции / (а, в, х) в звездной области В , получим интегральную формулу

/(а,Р, 2) = -*- [8^8 Г Л [^(,)] а,.

2пгГ Г 1 -82ек(82-0

Пусть далее функция /(аД 2) = (Р - а) ге (Р-а) т, а функция g(£) = е^. Тогда, в силу формулы (6), получим интегральную формулу

_к(в-а) Г^ +1 - (в - а) тС),

а) Г 8^-1^8 Г е-+1 - (Р - а) .

2пг * £ 1 -8ге

При к=1, т =1, а = 0, в =1 имеем ранее полученную интегральную формулу [3]

з---А Ге'-С (* +1 - О-

2 пН % 1 - 8

2 = —Г 8' 08 Н-¡¡-Г"0,.

Пусть на границе С области В имеется некоторая совокупность точек М положительной меры, которую называют множеством единственности голоморфной функции f (г). Тогда можно поставить задачу о нахождении такого аналитического выражения, которое позволило бы представить значения голоморфной функции f (г) внутри области В по известным ее значениям на множестве М с С. Подробнее о решении этой задачи и результатах, которые носят названия обобщенных формул Карлемана или их аналогов, можно найти в статьях автора [2-5]. Интегральная формула Коши (5) может служить основой получения обобщенной интегральной формулы Карлемана.

Построим вспомогательную функцию ф(г), которая удовлетворяет условиям: ф(г) - голоморфная и ограниченная функция в области В, имеющая непрерывную производную первого порядка в замкнутой области Б , | ф(г) | = 1 почти всюду на С\М, | ф(г) | > 1 в области В.

ТЕОРЕМА 3. Для голоморфной функции f (г) в области В и ее непрерывной производной первого порядка в В, произвольного множества М с С положительной меры, функции ф(х), голоморфной функции g(z) в области В и любой точки хеВ имеет место интегральная формула

ВЕСТНИК ПГГПУ

Серия № 2. Физико-математические и естественные науки

f (a,ß,z) = — lim fey1de f

Олу 7 х^+да J J

¿tibi „

- f(L[f(ç)] + ÇTf(ç)W(ç))g'(ç)

g(Ç) - g(e z)

Чф( z) У

dç,

(8)

где I > 0 - любое действительное число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка 2 е В. Тогда точки (в г) е Б при любых в е [а; Р]. Рассмотрим функцию / (г)(ф (2))х, которая голоморфна в области В. Для нее, в силу условий теоремы, имеет место обобщенная интегральная формула Коши

1 ß

f ( a,ß, z )(ф( z))T = — f eY-1de f 2n ii i

( L [ f ( ç)^( z))T ] g '(ç) g (Ç) - g(e z)

dç.

(9)

Учитывая, что Ь {_/(<;)(^(<;))т] = (Ь [/(<;)]+/($1пф'($)(ф($у, разделим обе части

формулы (9) на (ф (2)) и представим правую ее часть в виде суммы двух интегралов по множеству М и множеству СМ. Имеем

f (a,ß, z) = -LL de f L [f (Ç)] + ÇTf ^ F ' 2п l f J g(ç) - g(ez)

1 ß

+ — f eY-1de f 2n i j J

f Y

M

\ф( z) y

g '(ç) dç +

LY [f (ç)] + ÇT f (ç)W(ç) ф) g (Ç) - g(ez) 1ф( z) y

g '(ç) dç.

Перейдем в полученной формуле к пределу при Интеграл по множеству

С \ М обращается в нуль, так как

Mç)v ф( z)

^ 0 при х^+да в силу условий для

функции ф(г). Тем самым окончательно получим обобщенную интегральную формулу Карлемана (8).

Заметим, что интегральная формула (8) может быть записана без знака предела. Приведем без вывода окончательный вид формулы (8). Имеем

f(a, р, z) =¿1! L:¥ SI g ® dç + J i/MMfi» g(ç) dç-

^ +да ß

+--: j dxj ey1de j

2n l n n A4

g (ç) -g (ez) 2nl Ja M g (ç) -g (ez)

L[f (ç)]W(ç^' ( z) + ç f (ç)lnV(ç)ln gф(ç)Tф( z)" Ф) ^T

g (ç) - g(e z) U( z)y

g'(ç)dç.

Пусть функция g(z) = ze mz, где m > 0 - действительное число. Подставляя в формулу (8) для произвольной голоморфной функции fz) в звездной области D , получим интегральную формулу

/(a,ß,z) = -L |im Ufef(l.[f (Ф CTf fe^te)* -mC)Гm(ds. 2n i -—J J с - eze-m"z) J s

a M

ç - eze

ЗАМЕЧАНИЕ. Интегральная формула (8) и последующие формулы при а = 0, р = 1 совпадают с формулами из работы автора [5].

T

Список литературы

1. Баврин И.И. Операторы и интегральные представления. - М., 1974. - 99 с.

2. Краснощекое А.Л. Обобщенные интегральные формулы голоморфной функции // Комплексный анализ и математическая физика: сборник научных трудов, посвященный 100-летию со дня рождения проф. А.А. Темлякова. - М., 2003. - С. 149 -153.

3. Краснощекое А.Л. О задаче локального обращения и обобщенных интегральных формулах Коши и Карлемана // Вестник Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета. Электронный научный журнал. Серия: Физико-математические и естественные науки. Пермь,

2014. - Вып. 2. - С. 64 - 71.

4. Краснощекое А.Л. Одномерные обобщенные интегральные формулы Коши и Карлемана голоморфной функции // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Киров, 2015. - Вып. 17. - С. 84 - 89.

5. Краснощекое А.Л. Обобщенные интегральные формулы голоморфной функции в звездной области пространства С1 // Вестник Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета. Электронный научный журнал. Серия: Физико-математические и естественные науки. Пермь,

2015. - Вып. 1 - 2. С. 88 - 93.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 с.