К теории обобщенных интегральных формул Коши и Карлемана голоморфной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Краснощеков Алексей Лаврентьевич

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет» Пермь, Россия. 614990, Пермь, Сибирская, 24 e-mail: matfak.pspu@yandex. ru

К ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФОРМУЛ КОШИ И КАРЛЕМАНА ГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ

Alexey Lavrentevich Krasnoshchekov

PhD, Associate Professor of the higner mathematics chair

Federal State Budget Educational Institution of Higher Professional Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University» 24, Sibirskaja, 614990, Perm, Russia e-mail: [email protected]

TO THE THEORY OF GENERALIZED CAUCHY AND CARLEMAN INTEGRAL FORMULAS OF HOLOMORPFIC FUNCTION

Аннотация: представлены обобщения и распространения одномерных обобщенных интегральных формул Коши и Карлемана голоморфной функции.

Ключевые слова: функция, голоморфность, Коши, Карлеман, формула.

Abstract: generalizations and extensions of one-dimensional generalized Cauchy and Carleman integral formulas of holomorpfic functions were presented. Keywords: function, holomorpfic, Cauchy, Carleman, formula.

В теории интегральных представлений одномерного комплексного анализа хорошо известна интегральная формула Коши

Она обладает свойством, состоящем в том, что позволяет значения функции / ( г ), голоморфной внутри некоторой конечной и односвязной области В комплексного переменного г, ограниченной спрямляемым контуром дВ, и непрерывной в В, определять через значения /(д) на границе дВ области В.

(1)

© Краснощеков А.Л., 2017

Интегральная формула Коши замечательна также тем, что имеет различные распространения и обобщения как для одного комплексного переменного, так и многих. На ее основе можно строить интегралы типа Коши с различной плотностью, которые находят применение в решении классических краевых задач. Она же позволяет получить известные интегральные формулы Шварца, Пуассона.

Покажем направления обобщений интегральной формулы Коши одного комплексного переменного. Прежде всего, в качестве области В можно рассматривать единичный круг и круги разных радиусов, звездные и выпуклые области с центром в начале координат. Для таких областей И.И. Бавриным [2] с помощью специфических интегро-дифференциальных операторов получены разнообразные обобщенные интегральные формулы Коши голоморфной функции / ( I ). Еще ранее, в одной из работ Карлемана [1], для интегральной формулы Коши ставилась задача о нахождении такого аналитического выражения, которое позволило бы представить значения голоморфной функции / ( I ) внутри области В по известным ее значениям на совокупности точек М положительной меры, принадлежащим границе дВ. Далее Г.М. Голузин и В.И. Крылов решая эту задачу, получили интегральные формулы для функции / ( I ) [3].

В наших работах [4-10] данная задача решалась для интегральных формул Коши в случае единичного круга, звездной и выпуклой областей в виде обобщенных интегральных формул Карлемана или их аналогов. Для голоморфной функции / ( I ) и функции / (I ) класса Из (0 < 8 < 1) в единичном круге найдены интегральные представления, которые послужили основой получения обобщенных интегральных формул Карлемана. Кроме того, значительно расширен круг конкретных функций, используемых в качестве вспомогательной функции р ( I ) при решении этой задачи и выводе обобщенных интегральных формул Карлемана и их аналогов.

В одномерном комплексном анализе рассматривается задача локального обращения разложения или восстановления голоморфной функции / ( I )

да

в окрестности некоторой точки в степенной ряд ^ dngn (2) по степеням другой

п=0

голоморфной функции g ( г ). Такие степенные ряды называются рядами Бурмана - Лагранжа [11]. Коэффициенты этого ряда находятся по формулам

" ^^"д , =(/х-, п = 1, 2, . . . ,

2т С g (д> п\ { g (2> )

где точка £ = а - полюс порядка п + 1, единственная особая точка, лежащая внутри замкнутого контура С области В. При определенных условиях, налагаемых на область В с замкнутым контуром С и голоморфные в ней функции /( г ) и g ( г ) имеет место интегральная формула Коши

/(2> -ь ¡/д^д "д. (2)

2тig (д> - g( 2>

Полагая g (г) = г, из формулы (2) следует известная интегральная формула Коши (1), а из ряда Бурмана - Лагранжа - ряд Тейлора разложения голоморфной функции / ( г ) с соответствующими коэффициентами. В качестве области В можно рассматривать единичный круг с центром в начале координат, круг любого радиуса со смещенным центром, звездные, выпуклые области. В работах автора [5-10] приводятся разложения различных функций в степенные ряды Бурмана - Лагранжа, а также одномерные обобщенные интегральные формулы Коши и Карлемана для этих функций.

Постановка и последующее решение задачи замены постоянных пределов интегрирования по переменной е (е е [0;1]) на отрезки интегрирования с переменными пределами привело к новым обобщенным интегральным формулам Коши и Карлемана, изложенным в работах [9, 10].

Приведем результаты наших исследований, которые носят общий, а в некоторых случаях завершающий характер. Для полученной И.И. Бавриным [2] интегральной формулы

/(2) = I И-Р

1

№ > / (д)] "д

_д-2 _

в работе [5] представлена обобщенная интегральная формула Карлемана в случае звездной области В

/ (г)=Ъит г )

2Л I -р

) [/ .

(М *)У

я-2.

Аналогичная формула имеет место для выпуклых областей пространства С1 [4].

Пусть В - звездная область пространства одного комплексного переменного относительно начала координат, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой кривой С.

ТЕОРЕМА 1. Если функция / ( г ) голоморфна в звездной области В, то для всех точек г е В имеет место интегральная формула

р

/ (а,Р, 2) = \е7-1 Ьг[/ (82)] йе

а

(3)

где / (а, в, г) = р7/(Р2)-а7/(а 2), у, а, в - любые действительные числа

с условием: у > 1, 0 < а < в < 1, а Ьг [ / ( г)] = у / ( г ) + г /' (г) -

дифференциальный оператор.

Доказательство. Пусть г - произвольная точка области В. В силу того, что область В - звездная, то точки (е г) при е е [а; в] также принадлежат области В. Так как

(е7/(е г))8 = 787-1/(8 2) + 8 г{/ 8 2)1 = е7-1(у / (8 2) + 2(/(е 2))'г ) = 87-1Ь^ [/ (8 2)],

р

~7-1 Ь ,

7 ■

то имеем ]еу-1 Ьу[/(82)] йе = ]{еу/(82))е'йе = (е7/(82))р = ру /р2)-а7/(а2).

а

Замечание. Интегральная формула (4) относится к одномерной обобщенной интегральной формуле Коши с переменными пределами интегрирования по переменной б, причем, при а = 0 и 0< в < 1 или при а = 0 и в =1, она совпадает с формулами, приведенными ранее в работах автора [6-8].

ТЕОРЕМА 2. Для голоморфных функций / ( г) и g( г) в звездной области В и функции / ( г ) с ее непрерывной производной в замкнутой области Б во всех точках г е В имеет место интегральная формула

/(а,Р^ 2) = Ре7-1йе ГЬ[/ (4)

7 ) 2жг а Г &) - 8(е 2) ' ( )

1

а

Доказательство. Пусть точка г е В. Тогда точки (е г) е В при любых ее [ а; в ] и для функции / (а, в, г) имеет место формула (3). Так как функция Ьг /ег)] голоморфна в звездной области В, то для нее применима интегральная формула Коши (2), имеем

1 гМДд)] ^(д)

ь [/ее 2)] = Г (д)] g (д) д, 2тС gд)- g(е2)

(5)

где интегрирование совершается по границе С в положительном направлении. Подставляя (5) в правую часть (3), получим искомую формулу (4).

Замечание. При а = 0 и 0 < в -1 или при а = 0 и в =1 интегральная формула (4) совпадает с формулами, приведенными в работах автора [6-8]. Полученная формула (4) относится к одномерной обобщенной интегральной формуле Коши с переменными пределами интегрирования по переменной е.

Пусть функция g(2) = 2г~тг, где т >0 - действительное число. Тогда g(д) = д е~тд, а g'(д) = (1 - тд) е~тд. Подставляя в формулу (4) для произвольной голоморфной функции / (а, в, г) в звездной области В, получим интегральную формулу

^ ' 2т1 Г Г д-е2е-т(е2-°

(6)

Пусть далее функция / (а, в, г) = е(Р-а)кг, к - действительное число и функция g(2) = 2е~т2, тогда g(д) = д е~тд, g'(д) = (1 - тд) е~тд, Ь[/(д)] = Ь[е{Р-а)кд] = (/ + (Р-а)кд)е(Р-а)кд. Подставляя в формулу (6), получим интегральную формулу

е(Р-а) к2 = Ь-1"Л (1 -тд)(7 + (Р-а) кд) е к д е = 2т ¡е Г С-е*е-еС "д .

а С ~

При к =1, т =1, а = 0, в = 1 имеем интегральную формулу

1 г„г-1^г(1 -дХг+д) ед

2т Г Г С-е2е-(е2-С)

е2 =- ег-

Здесь значения функции / (г) = ег выражаются через значения функции g(2) = 2в~2 на границе С области В.

Пусть функция g(2) = ек2, тогда g(С) = екС, а ¿(С) = кекС . Подставляя в формулу (4) для произвольной голоморфной функции / (а, в, г) в звездной области В , получим интегральную формулу

/{ар,2) = ±-р87-1йе\ Ь7, . ' 2Ъ1 Г Г 1 -е2е (82-С)

Пусть далее функция /(а,р, 2) = (р- а) 2е~(р-а) т2, а функция g(2) = ек2. Тогда, в силу формулы (4), получим интегральную формулу

к(р-а) р 7-1^ г е~(р-а)тС (7, +1 - (р-а) тС)

2е-(р-а)тг = к (р - а) Г 7-^ I* е (7,+ 1 - (р - а) тС)г

2ъг Г Г 1 -е2ек(82-С) ^ .

При к=1, т =1, а = 0, в =1 имеем интегральную формулу [6]

2 = .!_Ге'-йе!е2-С(7, +1 -С)й,.

2ж1 Г Г 1 -е 2е82-С Пусть на границе С области В имеется некоторая совокупность точек М положительной меры, которую называют множеством единственности голоморфной функции / ( г ). Тогда можно поставить задачу о нахождении такого аналитического выражения, которое позволило бы представить значения голоморфной функции / ( г ) внутри области В по известным ее значениям на множестве М с С. Подробнее о решении этой задачи и результатах, которые носят названия обобщенных формул Карлемана или их аналогов, можно найти в статьях автора [5-9]. Интегральная формула Коши (4) может служить основой для получения обобщенной интегральной формулы Карлемана.

Построим вспомогательную функцию р ( г ), которая удовлетворяет условиям: р ( г ) - голоморфная и ограниченная функция в области В, имеющая непрерывную производную первого порядка в замкнутой области Б, | р (г) | = 1 почти всюду на С \ М, | р (г) | > 1 в области В.

ТЕОРЕМА 3. Для голоморфной функции / ( г ) в области В и ее непрерывной производной первого порядка в Б, произвольного

множества М с С положительной меры, функции р ( г ), голоморфной функции g ( г ) в области В и любой точки геВ имеет место интегральная формула

,, о л 1 г м . г(Ф(д)]+т/(д)Ьр'(д))е'(д)

/{а,р,2) = — 11т \8Г йе\-—-—-

2™ т—+« м Ед) - Е(е2)

\Р( 2 ) У

¿д, (7)

где т> 0 - любое действительное число.

Доказательство. Пусть точка г е В. Тогда точки (е г) е В при любых е е [а; в]. Рассмотрим функцию/(г)(р (г))т, которая голоморфна в области В. Для нее, в силу условий теоремы, имеет место обобщенная интегральная формула Коши

/ (а, Г, 2)(р( 2 ))т = —- I ег Че\ --¿д. (8)

2т а С е(д) - е(е2)

Учитывая, что Ь\/(д)(р(д))т] = (¿\/(д)\+дт/(д)1пр'(д)\р(д))т, разделим обе части

формулы (8) на (р (г))т и представим правую ее часть в виде суммы двух интегралов по множеству М и множеству С \ М. Имеем

у {ал 2) = -1. Ь-^ ^ 1 (д)]+дт 1 р (д) Ш V Е (б) д

м Е д) - Е(е2 ) р 2 ) )

+ -±-и-1е \ ^(д+Тддрд(р(£) ТЕ(д)¿д.

2т> а см 8(д)- Е(ег) \р(г))

Перейдем в полученной формуле к пределу при т—+ю. Интеграл по множеству

С \ М обращается в нуль, так как ррд — 0 при т-—+ю в силу условий для

р 2))

функции р (г). Тем самым окончательно получим обобщенную интегральную формулу Карлемана (7).

Интегральная формула (7) может быть записана без знака предела. Имеем ее окончательный вид

1 аг 2) = ± Ь-1^е( Ь1)] Е (д) + [е^е^1 дП(р(д) § (д) ¿д + 2т а м

Е(д) - Е(е 2) 2т а М е(д) - Е(е 2)

Т

-Lr[f(ç)]\n <p(ç)v4-z) + çf(ç)\n'v(ç)\n eq>(ç)!<p( z

-L UbWW-)mmХ--п м 1 ¿(ç)dç, (9)

0 a M g(Ç) - g(S -) Ыz) )

Пусть функция g(г) = гв тг, где т > 0 - действительное число. Подставляя в (7) для произвольной голоморфной функции / ( г ) в звездной области получим интегральную формулу

Ь-М(ь'у (^ - ^ ИТ *. (10)

^ 2т I д-егв-т(Ег-° [ф)) V У

M

Замечание. При а = 0, ß = 1 формулы (7), (9), (10) совпадают с формулами из работы автора [5].

Обобщенные интегральные формулы Коши и Карлемана голоморфной в различных областях пространства С1 функции f ( z ) с переменными пределами интегрирования по переменной s вобрали в себя все случаи отрезков интегрирования по переменной s. В задаче о локальном обращении и задаче Карлемана использованы конкретные виды голоморфных функций f ( z ), g ( z )

и Ф( z )-

Следует отметить, что рассмотренные направления исследования и построения одномерных обобщенных интегральных формул Коши и Карлемана голоморфной функции f ( z ) исчерпаны и результаты имеются в указанных выше работах автора.

Список литературы

1. Carleman T. Les functions analytigues. - Paris, 1926. - 115 p.

2. Баврин И.И. Операторы и интегральные представления. - М.; 1974. - 99 с.

3. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Carlemana и приложение ее к аналитическому продолжению функций //Математический сборник. - 1933. -Т. 40. -№ 2. - С. 144-149.

4. Краснощекое А.Л. Обобщенная формула Карлемана для выпуклых областей пространства С 1. -М.: 1986. - Рук. деп. в ВИНИТИ № 3834 - В 86, 28.05.1986.

5. Краснощеков А.Л. Обобщенные интегральные формулы голоморфной функции // Комплексный анализ и математическая физика: сб. науч. трудов, посвященный 100-летию со дня рожд. проф. А.А. Темлякова. - М., 2003. - С. 149-153.

6. Краснощеков А.Л. О задаче локального обращения и обобщенных интегральных формулах Коши и Карлемана // Вестник Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета. Электронный науч. ж. Серия 2 «Физико-математические и естественные науки», Пермь: ПГГПУ, 2014. - Вып. 2. - С. 64-71.

7. Краснощекое А.Л. Одномерные обобщенные интегральные формулы Коши и Карлемана голоморфной функции. // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - Киров: ВятГГУ, 2015. - Вып. 17. - С. 84-89.

8. Краснощекое А.Л. Обобщенные интегральные формулы голоморфной функции в звездной области пространства С1. //Вестник Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета. Электронный науч. ж. Серия 2 «Физико-математические и естественные науки», Пермь: 111 ГПУ, 2015. - Вып. 1-2. - С. 88-93. - URL: http: // vestnik 2. pspu.ru / files / 1-2 /2015- 2.pdf .

9. Краснощекое А.Л. Одномерные обобщенные интегральные формулы голоморфной функции с переменными пределами интегрирования. //Вестник Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета. Электронный науч. ж. Серия 2 «Физико-математические и естественные науки», Пермь: ПГПУ, 2016. - Вып. 1-2. - С. 61-93. - URL: http: // vestnik 2. pspu.ru / files / 1-2 /2016- 2.pdf .

10. Краснощекое А.Л. Локальное обращение и одномерные обобщенные интегральные формулы голоморфной функции. //Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - Киров: ВятГГУ, 2017. - Вып. 19. - С. 84-89.

11. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 с.