О задаче локального обращения и обобщенных интегральных формулах Коши и Карлемана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

Краснощеков Алексей Лаврентьевич

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

ФГБОУ ВПО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический

университет», Пермь, Россия 614990, Пермь, Сибирская, 24 e-mail: [email protected]

О ЗАДАЧЕ ЛОКАЛЬНОГО ОБРАЩЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФОРМУЛАХ КОШИ И КАРЛЕМАНА

Alexey L. Krasnoshchekov

PhD, Associate Professor of Mathematics Department

Federal State Budget Educational Institution of Higher Professional Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University» 24, Sibirskaja, 614990, Perm, Russia e-mail: [email protected]

ABOUT LOCAL INVERSE PROBLEM, CAUCHY'S AND CARLEMAN'S

INTEGRAL FORMULAS

Аннотация.Для различных голоморфных функций одного комплексного переменного построены ряды Бурмана-Лагранжа. В случае звездной области получены обобщенные интегральные формулы Коши и Карлемана.

Ключевые слова: функция, голоморфность, ряд, формула.

Abstract. Burman-Lagrange series of different holomorpfic functions of a complex argument were found. Cauchy and Carleman integral formulas for stellar areas were found.

Key words: function, holomorpfy, series, formula.

© Краснощеков А.Л., 2014

К задачам локального обращения относятся задачи восстановления или разложения функции в окрестности некоторой точки в степенной ряд по степеням другой функции. Примером такой задачи в комплексном анализе служат степенные ряды аналитической или голоморфной функции /(2), разлагаемой по степеням другой аналитической или голоморфной функции ^(2).,

/(2) = йо + . . . + & (2) + . . . .

Такие ряды называются рядами Бурмана - Лагранжа [3]. Коэффициенты ряда Бурмана - Лагранжа находятся по формулам

^ /1 ^^ ^ , п = 0,1,2, . . . , (1)

2т С g (д)

1 ( (г-ллЛ(п-1)

< = , п = 1,2, . . . , (2)

п\ I g (г) )

где точка £ = а - полюс порядка п+1, единственная особая точка, лежащая внутри замкнутого контура С области О. В качестве области О можно рассматривать единичный круг с центром в начале координат, круг любого радиуса со смещенным центром, звездные, выпуклые области.

При определенных условиях, налагаемых на голоморфные функции / (2) и g(z), область О с замкнутым контуром С, ограничивающим ее, получается интегральная формула Коши [3]

/ (г) = ^д (3)

2ти(д) - g(г)

Полагая g (2) = 2, получаем известную интегральную формулу Коши, а из ряда Бурмана -Лагранжа получается ряд Тейлора разложения голоморфной функции/(2) с соответствующими коэффициентами.

Приведем примеры различных функций f (z) и g(z), для которых получим разложения в ряд Бурмана - Лагранжа.

к г

1. Разложение функции f (z) = е , где k - действительное число, по степеням функции g(г) = ге'г в ряд Бурмана - Лагранжа. Если а = О, то первый коэффициент ряда Бурмана - Лагранжа d0 = f (О) =1. Остальные коэффициенты ряда определяются по формуле

1 с

ке

кг

гп Л к (к + п)п

V 7 е

п\

п = 1,2, . . . .

кг

Ряд Бурмана-Лагранжа функции f (z) = е по степеням функции g(г) = ге имеет вид

екг=к X

(к + п)

п-1 / V

п=0

п\

vе у

к г

Воспользовавшись формулой (3), функцию f (z) = е можно представить через функцию g (г) = ге- г в виде формулы

„кг

е

=± \

е

к д

Vе У

2т( д

^ г ^

Vе У

I

1 г (1 -д) е

(к-1)д

2т ^ ( д

е

г

Vе У

dд

или окончательно

гкд

ек, =^0-^ dg

2 т • С - ге

(4)

Эта формула представляет собой интегральную формулу Коши функции

кг

f (z) = е , выраженную через функцию g (г) = ге2.

г

да

г

д

г

г

е

2. Разложение функции / (2) = екг, где к - действительное число по степеням функции g(z) = ге~тг, т > 0 -действительное число в ряд Бурмана-Лагранжа. Пусть а = 0, тогда первый коэффициент ряда Бурмана-Лагранжа й0 =/(0) =1. Остальные коэффициенты ряда определяются по формуле

К. ¿п-1 (, ^ гп Л к (к + тп)п

^п . 7 П-1

п\ г^о аг

кекг

_п„-тпг

г е

п\

п = 1,2, . . . .

Ряд Бурмана-Лагранжа функции / (2) = екг по степеням функции g(z) = ге~ имеет вид

ек* = к^(к + тп)

=о п \

V е у

п

Воспользовавшись формулой (3), функцию /(2) = екг можно представить через функцию g( г) = ге~тг в виде формулы

1 г(1 - тд) екд

/(1 - тд)е ад

екг = .

т(С-г)

2 т с С - ге

Эта формула также представляет собой интегральную формулу Коши функции /(2) = екг, выраженную через функцию g(г) = ге'тг. При т = 1 она совпадает с формулой (4).

3. Функцию /(г) = ге~тг, где т > 0 - действительное число, можно

к г

представить через функцию g(2) = е , где к - действительное число в виде интегральной формулы Коши:

1 г де^тдкекд к , д е(к-т)д

_ - тг

ге =

¿д^/Ьд—г^. (5)

2т / екд - е к 2т / екд - е-кг

В частности, при к = 1 и т = 1 из формулы (5) получим интересную интегральную формулу Коши

т г

п

ге г = — \—д-(Ид

2т 1 ед - е г

Пусть далее область D - звездная область относительно начала координат, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой кривой C, функция f (z) голоморфная в области D. Воспользуемся дифференциальным оператором вида

I

^ z )] = У f( z ) + z / (2) ,

где у >1 - любое положительное число [1]. Точка z - произвольная точка области D. В силу того, что область D - звездная относительно начала координат, при бе [0; 1] точки также принадлежат области D. Так как

(еу/(б г))'е = уБУ-1/(б г) + бу г{/(в г)\ = вУ-1(у /(б г) + г{/(е г))') = вУ-1Ь^ [/(б г)],

имеем

1 1 I

| бУ-1Ьг [/(Б7)](б = | бу/(Б7))б (б = б/(бг))\ 1 = /(г)

о

или

1

/ (г) = \бу-1 ьу[/ (б г)] (б . (6)

о

ТЕОРЕМА 1. Для голоморфных функций f и g(z), функции f (z) с ее непрерывной производной в замкнутой звездной области I 1во всех точках z е d имеет место интегральная формула

/ (г) = —[ бу1(Б( ^ (дШд)(д . (7)

2т1 о С g(д) -g(Бг)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка z е D. Тогда точки (б z) е d при любых б е [0; 1]. Тогда для функции f (z) имеет место формула (6). Так как

функция (в 2)] голоморфна в области О, то для нее применима интегральная формула Коши (3)

г г/у м 1 гцДи(д)]g

ци (вг)]——т ад, (8)

2тС g(д) - g(вz)

где интегрирование совершается по границе С в положительном направлении. Подставляя формулу (8) в правую часть формулы (6), получим искомую интегральную формулу (7).

ЗАМЕЧАНИЕ. Полученная формула (7) относится к обобщенной интегральной формуле Коши.

Пусть на границе С области О имеется некоторая совокупность точек М положительной меры, которую называют множеством единственности голоморфной функции / (2). Тогда можно поставить задачу о нахождении такого аналитического выражения, которое позволило бы представить значения голоморфной функции / (2) внутри области О по известным ее значениям на множестве М < С. Подробнее о решении этой задачи и результатах, которые носят названия обобщенных формул Карлемана или их аналогах можно найти в статье [2]. Интегральная формула Коши (8) может служить основой получения обобщенной интегральной формулы Карлемана.

Построим вспомогательную функцию (((2), которая удовлетворяет условиям: р (2) - голоморфная и ограниченная функция в области О, имеющая непрерывную производную первого порядка в замкнутой области О, I р (2) | = 1 почти всюду на С \ М, | р (2) | > 1 в области О.

ТЕОРЕМА 2. Для функции / (2), голоморфной в области О и непрерывной с производной первого порядка в О, произвольного множества М < С положительной меры, функции р ( 2 ), голоморфной функции g(z), любой точки 2еО имеет место интегральная формула

УС)Ь-^^г , (9)

2т ^ М g(д)-Е(ег) {р(г))

где х > 0 - любое действительное число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка 2 е В. Тогда точки (в ¿) е Б при любых в е [0; 1]. Рассмотрим функцию / (х)(р (г))х, которая голоморфна в области В. Для нее, в силу условий теоремы, имеет место обобщенная интегральная формула Коши

/(г)(ф)У = Ме'"е\^(дШ^(д) "д. (10)

о С g(д) - g(еz)

Учитывая, что Ь[/(д)(р(д))х\ = (Ь[/(д)\+дт/(д)\пр'(д)Хр(д))х, разделим обе части

формулы (10) на (р (х))х и представим правую ее часть в виде суммы двух интегралов по множеству М и множеству С \ М Имеем

у м} е-в ^ (д)кх (дп рд

ОТГТ* Ст1 — Сг1 Г7*\

о М g(д)- g(вz) [р(г))

/■ у

'р(д) ' ^ (д)"д +

1 г ^ Г А\Г(д)\+дх/(д)1п р'(д)

гр(д)л х

+ (е'"е г ^ (дп + Х (д)1п р(д) рд ^(д) "д.

2т1 о сш g(д) - g(еz) Ур( г)) Перейдем в полученной формуле к пределу при х^+да. Интеграл по множеству

С \ М обращается в нуль, так как ^ 0 при х^+да в силу условий для

функции р (г). Тем самым окончательно получим обобщенную интегральную формулу Карлемана (9).

Заметим, что интегральная формула (9) может быть записана без знака предела. Приведем без доказательства такую формулу для формулы (9). Имеем

Дг) = ±Ге'-аеГ ^Оае + ТГГе'-"е\д g•(д)"д

2т о м g(д) - g(еz) 2т о М g(д) - g(еz)

+ -

1 +■» 1

— / йт/ег-1йе/

Ш (д)]1п р(д)р-\г) + д и (д)1п ' р(д) 1п ер(д)((г г)-

2т/'

g (д)- g(в г)

р(д) р( г)

g' (д)ад

Список литературы

1. Баврин И. И. Операторы и интегральные представления. - М., 1974. - 99 с.

2. Краснощекое А. Л. Обобщенные интегральные формулы голоморфной функции // Комплексный анализ и математическая физика: сборник научных трудов, посвященный 100-летию со дня рождения проф. А. А. Темлякова. - М., 2003. - С. 149-153.

3. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат - М., «Наука», 1973, 736 с.

V

ъ

О О

М