Обобщенные интегральные формулы голоморфной функции в звездной области пространства С1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА А

МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Краснощеков Алексей Лаврентьевич

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

ФГБОУ ВПО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет», Пермь, Россия 614990, Пермь, Сибирская, 24 e-mail: [email protected]

ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ В ЗВЕЗДНОЙ ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВА С1

Alexey L. Krasnoshchekov

PhD, Associate Professor of Mathematics Department

Federal State Budget Educational Institution of Higher Professional Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University» 24, Sibirskaja, 614990, Perm,

Russia e-mail: matfak.pspu@yandex. ru

INTEGRAL FORMULAS HOLOMORPFIC FUNCTION IN STAR AREA

OF SPACE C1

Аннотация: для голоморфной функции одного комплексного переменного в случае звездной области пространства С1 получены обобщенные интегральные формулы.

Ключевые слова: функция, голоморфность, ряд, формула.

Abstract: for holomorpfic functions of a complex argument for star areas of space C1 integral formulas were found.

Key words: function, holomorpfic, series, formula.

Восстановление или разложение функции в окрестности некоторой точки в степенной ряд по степеням другой функции относится к задачам локального обращения. В одномерном комплексном анализе такая задача возникает при разложении голоморфной функции f(z) в степенной ряд по степеням другой голоморфной функции g(z):

f (z) = d0 +d1 g(z) + . . . + dn gn (z) +... .

Такие степенные ряды называются рядами Бурмана - Лагранжа [4]. Коэффициенты степенного ряда Бурмана - Лагранжа находятся по формулам

© Краснощеков А.Л., 2015

^I1 ^ , я - 0,1,2, . . . , (1)

Л( п-Г)

1

п!

,(2 - «)п

V

йп — ш/'(2У-^т , я = 1,2,. . . , (2)

Яп (г)

где точка £ = а - полюс порядка я+1, единственная особая точка, лежащая внутри замкнутого контура С области Э. При определенных условиях, налагаемых на голоморфные функции / 2 и g(z), область Э с замкнутым контуром С, ограничивающим ее, имеет место интегральная формула Коши

Л?) = . (3)

2т С Я (?) - Я (г)

Полагая g (г) = г, из формулы (3) получаем известную интегральную формулу Коши, а из ряда Бурмана - Лагранжа получается ряд Тейлора разложения голоморфной функции /(2) с соответствующими коэффициентами. В качестве области Э можно рассматривать единичный круг с центром в начале координат, круг любого радиуса со смещенным центром, звездные, выпуклые области. В работах автора [2, 3] приводятся разложения различных функций в степенные ряды Бурмана - Лагранжа, а также одномерные интегральные формулы Коши для этих функций. Добавим еще две формулы, которые отнесем к интегральным формулам Коши. Воспользовавшись формулой (3), функцию /2) = 21, где т > 0 - действительное число, можно представить через функцию к г

g(z) = е , к - действительное число, в виде формулы

2п111 - ек(г

к г

Аналогично функцию /(2) = е , где к - действительное число, можно представить через функцию g(z) = 2т, т >0 - действительное число, в виде

формулы

кг т г ек; 7

е = — I-г-

2т I ; - гт;1-т

С

Пусть Э - звездная область пространства одного комплексного переменного относительно начала координат, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой кривой С.

ТЕОРЕМА 1. Если функция/(2) голоморфна в области Э, то для всех точек 2 е Э имеют место интегральные формулы

1 р

/(в г) = -1ву-1 Ьу [/(в г)] йв , (4)

0

р

7-1

1 г

/ ( г) = ¡Г I в7-1 А

/ (в г) в .

йв , (5)

где у, в - любые действительные числа с условием: у>1,0<р<1,а

г

Ьу [/ (2)] = у/ (2) + 2 / (г) - дифференциальный оператор вида [1].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка г - произвольная точка области В. В силу того, что область В - звездная относительно начала координат, то при ее[0;р] точки (гг) также принадлежат области В. Так как

' г г г-

(вУ (8 2) )в = увУ-1/(в z) + 8УГ (/(в z) )е =8 У-1(Т /(8 г) + Г (/(е z) )^ ) = 8 % ^ /(б 2) ] , то

в в ' В

имеем [в% [/(в Г)]йв = [(вт/(вГ))_ йв = (вт/(вГ)) [ = ву /(в Г) .

о о

Разделив обе части этого равенства на ру, получим формулу (4). Поступая аналогично предыдущему, в силу звездности области В точки

^ еИ при г е [0; р]. Так как I (ву/(в г) 1 = ^ А

в

1 в

- Гву_14

)У [ У

/ (в г) 7 в

в I в в ^

йв = [I (В)у/(вг)

И(в) /(в )

/ (в Г)

(

то имеем

йв =

р р

(в)у / (в г) в в

= / ( 2) .

Отсюда получается интегральная формула (5).

ЗАМЕЧАНИЕ. Интегральные формулы (4) и (5) относятся к обобщенным интегральным формулам Коши, причем при в =1 они совпадают с формулами, приведенными в работах автора [2, 3].

ТЕОРЕМА 2. Для голоморфных функций /г) и g(z) в звездной области В и функции /(г) с ее непрерывной производной в замкнутой области Б во всех точках г е В имеют место интегральные формулы

1 в

/(в 2) = [в^йв [ 2 п ¡в1 [ [

А [/(,)]ё '(,) ё - ё(г х)

й, ,

/(2) = |в'-'йв Г А/М^,.

2п¡в7 [ [ - -в Ъ

(6) (7)

сё(,) - ё(" 2)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка г е В. Тогда точки (г г) е В при любых г е [0; в] и для функции/(в г) имеет место формула (4). Так как функция Ьу /(г г)] голоморфна в области В, то для нее применима интегральная формула Коши (3), имеем

А [/(в 2)] = -1_ [ ^^ й,. т [/( )] 2п/ [ ё(,) - ё(в 2) ?

(8)

где интегрирование совершается по границе С в положительном направлении. Подставляя формулу (8) в правую часть формулы (4), получим искомую

интегральную формулу (6).

£

Аналогично, точки (-г) е В при любых г е [0; в] и для функции/(г) имеет место формула (5). Так как функция [/ (- г) ] голоморфна в области В, то для

в

нее применима интегральная формула Коши (3), то есть имеем

.8

2 )| =

2пг

гг,,в ^ 1 гАу[/(,)]ё'(,) . А [ / (— г)] =- —-й, ,

(9)

С ё(,) - ё(~ 2) 90

в

о

о

с

где интегрирование совершается по границе С в положительном направлении. Подставляя формулу (9) в правую часть формулы (5), получим искомую интегральную формулу (7).

ЗАМЕЧАНИЕ. При в = 1 интегральные формулы (6) и (7) совпадают с интегральной формулой (7) из работы автора [3]. Полученные формулы (6) и (7) относятся к обобщенной интегральной формуле Коши.

Пусть функция g(2) = 2е-т1, где т > 0 - действительное число. Тогда

g(с) = с е_тс, а я'(^) = (1 - тс;) е~тс. Подставляя в формулу (6) для произвольной голоморфной функции / (Рг) в звездной области Э, получим интегральную формулу

/(Р 2) = Ь^/^[/(с)](1 - ^ . (10)

2 п/рт Г I с - 8 2 ет 2V У

Пусть далее функция / (Р 2) = еР кг, к - действительное число и функция g(z) = 2в- тг, тогда g (;) = с е~т, ^(с) = (1-т;) е~т, Ь1 [/(с)] = (у+Р кфРкс. Подставляя в формулу (10), поучим интегральную формулу

ев к. Г (1- тО(Т+Р кО к; ^

2п/ру Г Г С - 8 .е"т(£2-° При к =1, т = 1, Р = 1 имеем интегральную формулу

е. 8^8 Г (1 - с)(^+с) е; * 2п/ Г Г С - 8 2е"(£2 - ° ^

которая выражает функцию / (г) = е 2 через функцию g(.) = 2е-2 на границе С области Э [2].

Пусть функция g(2) = ек, тогда g(О = е^, а g'(0 = кек . Подставляя в формулу (6) для произвольной голоморфной функции / (Рг) в звездной области Э , получим интегральную формулу

/(Р 2) = — Г ^^ . 2 п/ру Г Г 1 - 8 2е (82-0 Ъ

(11)

Пусть далее функция /(Р 2) = Р 2е_Р т, а функция g(2) = ек. Тогда, в силу формулы (10), получим интегральную формулу

2е-Рт2 =-±- Ь'&Г^т^(У+1-Ртр = 2 пГ 8 ^Г 1 - 8 2 ек(82^.

При к =1, т = 1, Р = 1 имеем ранее полученную интегральную формулу [2]

2 = . 1 Г^Ке^У+КХ

-Г 8^8 Г .

2пIГ Г 1 -82ее2-?

Пусть на границе С области Э имеется некоторая совокупность точек М положительной меры, которую называют множеством единственности голоморфной функции / (г). Тогда можно поставить задачу о нахождении такого аналитического выражения, которое позволило бы представить значения

голоморфной функции / (г) внутри области В по известным ее значениям на множестве М с С. Подробнее о решении этой задачи и результатах, которые носят названия обобщенных формул Карлемана или их аналогов, можно найти в статье автора [3]. Интегральная формула Коши (6) может служить основой получения обобщенной интегральной формулы Карлемана.

Построим вспомогательную функцию ф(г), которая удовлетворяет условиям: ф(г) - голоморфная и ограниченная функция в области В, имеющая непрерывную производную первого порядка в замкнутой области Б , 1ф(г)|= 1 почти всюду на С \ М, | ф(г) | > 1 в области В.

ТЕОРЕМА 2. Для голоморфной функции / (г) в области В и ее непрерывной производной первого порядка в Б, произвольного множества М с С положительной меры, функции ф(г), голоморфной функции g(z) в области В и любой точки г е В имеет место интегральная формула

/(Р2) = -^„т Гв-УВ|(А[/(,)]+/(,)'"Ф,(,))ё^IДИТй,, (12)

2п Ф7^ 0 м ё (,) - ё(в 2) I Ф(г) )

где х > 0 - любое действительное число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка г е В. Тогда точки (гг) е В при любых г е [0; в]. Рассмотрим функцию / (г)(ф(г))х, которая голоморфна в области В. Для нее, в силу условий теоремы, имеет место обобщенная интегральная формула Коши

/(в 2)(Ф(2))Т = Гв-йвГ(А [/ (,)(ф( 2 ))Т ]ё,(,) й,. (13)

/ (в)(ф()) 2п¡вУ [ С ё(,) - ё(в 2) ' ( )

Учитывая, что Ь1 [/(,)(ф(,))т] = (а[/(,)] + ,т/(,)1пф'(,))(ф(,))т, разделим обе

части формулы (13) на (ф(г))х и представим правую ее часть в виде суммы двух интегралов по множеству М и множеству С \ М. Имеем

™ Ч 1 в ^ Г А [/(,)] + /(,)1пф-(,) [ ф(,) V

/(в 2) = ^ йв[-о/-[ф^ ё (,)« +

2п ¡в [ с[м ё(,) - ё(8 2) ^ ф(2) J ё (,) '

Перейдем в полученной формуле к пределу при х^+да. Интеграл по множеству С \ М обращается в нуль, так как [ ф(,) 1 ^ 0 при х^+да в силу

I ф(2) J

условий для функции ф(г). Тем самым окончательно получим обобщенную интегральную формулу Карлемана (12).

Заметим, что интегральная формула (12) может быть записана без знака предела. Приведем без вывода окончательный вид формулы (12). Имеем

/(вГ)=^-14 -/цё'(?№+-14/Й^маёХ,)</, +

2пФЧ м ё(о -ё(в 2) 2пФу м ё(,;> -ё(в х)

7 А'к.л f A. tf (s)]1na(s)a-■ (z)+s f ф(,)1п ^»и-■ r ats) ^ - g ^.

J J J <j( r\ — ст( С ГЛ^

2п о о М g(с) - g(8 2) I Ф(2),

Пусть функция g(2) = 2е~т2, где т > 0 - действительное число. Подставляя в формулу (12) для произвольной голоморфной функции /(г) в звездной области Э, получим интегральную формулу

/ (Р 2) = „т 1(Ь [и (с)]+и (с)'"ф'(с))(1 - тс) Г Ф(с)л

2пГ с - 82е-т(Е2-0

ds.

,Ф( 2Х

Пусть функция g(2) = ек2, к - действительное число. Подставляя в формулу (12) для произвольной голоморфной функции /г) в звездной области Э , получим интегральную формулу

/(Р 2) = „т ![и(с)] + /'"Ф'(с))ГФ^Т«.

2п/РУт-+- 0 М 1 - 82ек(ег?) ^ Ф(2)) ЗАМЕЧАНИЕ. Интегральная формула (12) и последующие формулы при Р = 1 совпадают с формулами из работы автора [3].

Список литературы

1. Баврин И.И. Операторы и интегральные представления. - М., 1974. - 99 с.

2. Краснощекое А.Л. Обобщенные интегральные формулы голоморфной функции // Комплексный анализ и математическая физика: сборник научных трудов, посвященный 100-летию со дня рождения проф. А.А. Темлякова. - М., 2003. - С. 149 -153.

3. Краснощеков А.Л. О задаче локального обращения и обобщенных интегральных формулах Коши и Карлемана // Вестник Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета. Электронный научный журнал. Серия «Физико-математические и естественные науки». - 2014. - Вып. 2. - Пермь. - С. 64 - 71. - URL: http://vestnik2.pspu.ru/files/2-2014-2.pdf

4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 с.