ОДНОМЕРНЫЕ 𝐿𝑝-НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 3 (2022). С. 101-120.

УДК 517.958

ОДНОМЕРНЫЕ ^-НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Р.Г. НАСИБУЛЛИН

Аннотация. Мы устанавливаем одномерные Lp-неравенства Хардн с дополнительными слагаемыми и применяем их для обоснования многомерных аналогов в выпуклых областях с конечным объемом. Получены вариационные неравенства со степенными весами, которые обобщают соответствующие утверждения, представленные ранее в статьях М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманна-Остенхофа, А. Лаптева и Дж. Ти-дблома. Мы формулируем и доказываем неравенства, справедливые для произвольных областей, затем существенно упрощаем их для класса выпуклых областей. Константы в дополнительных слагаемых в этих пространственных неравенствах зависят от объема или диаметра области. Как следствие полученных результатов будем иметь оценки первого собственного числа для р-лапласиана при граничных условиях Дирихле.

Ключевые слова: неравенство Харди, дополнительное слагаемое, одномерное неравенство, функция расстояния, объем области, диаметр, первое собственное число задачи Дирихле.

Mathematics Subject Classification: 26D15, 46Е35

1. Введение

Данная статья посвящена обобщениям неравенства типа Харди, доказанного В.И. Левиным в статье [1]. А именно, следующего точного неравенства

1 1

/ ¥0Wdt < /yl2{t)dt) (L1)

0 0

справедливого для любой неравной тождественно нулю абсолютно непрерывной функции у такой, что у(0) = 0 и у' е L2[0,1]. Мы установим Lp-аналоги (1.1).

Интерес к неравенству (1.1) вызван тем, что оно является усилением уже ставшего классическим неравенства Харди

1 1

У ^dt < 4 J y'2(t)dt (1.2)

00

1

стоянная 4 в (1.2) являются точными, но не существует экстремальной функции, на которой в этих неравенствах достигается равенство.

R.G. Nasibullin, One-dimensional Hardy-type inequalities for special weight functions and their applications. © Насибуллин P.P. 2022.

Работа поддержана грантом Российского научного фонда (проект № 18-11-00115) и выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2022-882). Поступила 23 марта 2022 г.

Стоит отметить, что родственные к (1.1) неравенства также используются для установления достаточных условий однолистности мероморфных в круге функций в терминах оценки модуля производной Шварца. На первый взгляд достаточно сложно понять как неравенства Харди для абсолютно непрерывных функций применяются при обосновании достаточных условий однолистности аналитических функций. Оказывается, существует связь (см. подробнее [2]-[5]) однолистности функции с неколеблемостью решения специального дифференциального уравнения, которое, в свою очередь, близко к неравенствам типа Харди.

Мы легко можем преобразовать весовую функцию £-2(2 — ¿)-2 и переписать (1.1) в виде

1111

(У2(1)гН + 2 [ У2(1) -и + [ У2(*) < 4 Г '2(,)и, (1 1,)

0 0 0 0 по которому сразу становится ясно, каким именно образом усиливается неравенство (1.2) — с помощью дополнительных слагаемых. В последние десятилетия опубликовано множество работ (см., например, [6]-[24]), посвященных неравенствам с дополнительными слагаемыми, но в литературе (даже собственно в статье [1]) практически не упоминается этот результат В.И. Левина как усиление классического неравенства Харди с помощью дополнительных слагаемых.

Достаточно интересным по содержанию и форме является аналог неравенства (1.1') на отрезке [0, 2 Ь] для абсолютно непрерывных функций таких, что у(0) = у(2Ь) = 0. А именно, неравенство

2 Ь 2 Ь 2 Ь 2 Ь

[ + 2 [ у2(1) М + [ ^ < 4 [ у'2(Ш (1 1'')

У р2^Г + 21 + 1 р2(ь) < V у ( )с1, ( )

0 0 0 0

где р(Ь) = шш{£, 2Ь — Ь] и ^(Ь) = 26 — р(£). Более слабая версия (1.1'')

2 ь 2 ь 2 ь

/5§л+/ (4/у,2т (1'3)

0 0 0

неявным образом использована М, Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманном-Остенхофом и А. Лаптевым в статье [13] для доказательства следующего многомерного неравенства

1 / ^ Лх+4 Ш /1д (х) ^ ^ /^ ^ (1-4)

п п п

ций С0(П) с компактным носителем в открытой выпуклой области П С Кга с конечным объемом |П|, где |§га-11 — площадь поверхности п — 1-мерной единичной сферы и постоянная

К (п) = п

|§п-11

2/п

п

Многомерное неравенство (1.4) имеет ряд отличий от одномерного случая: интегрирование ведется по п-мерной области П евклидова проетранства Кга, степени Ь заменены на степени функции 5(х) расстояния от точки х € П до границы дП области П, т.е.

5(х) = dist (х, д П), а производная функции заменена на ее градиент

( х) д ( х)

Уд(х)=( (хЛ .

\ дх1 ''''' дхп ) '

Ясно, что если получить усиления неравенства (1.1"), то, используя подход из статьи [13| (см. также [23], [24]), можно получить неравенства типа (1.4) с более точными константами.

В статье [11] X. Брезие и М, Маркус показали, что если П С Ега — ограниченная область с конечным диаметром Д(П), то для любой функции д е С0(П) имеет место неравенство

4/ ад^ 19(х)!2(1х < /^(х)1Чх- (1-5)

п п п

Также отметим результат Ф.Г. Авхадиева и К.-Й. Бирса из статьи [6]. Они доказали, что

области П с конечным внутренним радиусом 5о(П) справедливо точное неравенство

«2 - "У [ \9(х)|2 ( + [ 92(х) ( < [ \Уд(х)|2

4 У 6(хУ+1 +45«(П) У *(х)+-'ах <7 5(х)— ' 1 ]

п п п

где 5 > 0 д > 0 ре

0, *

' я

и константа А является решением следующего уравнения типа

Лэмба для функции Бесселя ^ порядка и

8 ( А) + дА 4 ( А) = 0.

Константы (^ 2 — ь/2д2)/4 и д2А2/4 в этом неравенстве являются точными. Отметим лишь, что при у > 0 существует экстремальная функция, на которой достигается равенство, а при V = 0 Ф.Г. Авхадиев и К.-Й. Бирс построили минимизирующую последовательность, через которую показали точность и недостижимость константы.

А

[18]). Поясним названия «постоянная Лэмба» и «уравнение Лэмба». Дело в том, что частный случай этого уравнения впервые был рассмотрен X. Лэмбом в статье [26]. Позже оно развивалось и так названо Ф.Г. Авхадиевым и К.-Й. Бирсом в статье [6]. По этой причине более общие уравнения такого вида мы называем параметрическими уравнениями Лэмба, а его корни постоянными Лэмба.

Задача добавления в неравенства Харди дополнительного слагаемого связана с классическими оценками первого собственного числа А^П) для лапласиана при граничных условиях Дирихле и со следующим неравенством Пуанкаре:

А!(П)У \д(х)\2(х < I \Чд(х)\2(х УдеС10(П). пп

Широко известны оценка Пуанкаре А^П) > п2/02(П) и знаменитое изопериметричеекое неравенство Рэлея-Фабера-Крана

и?/™

А1(П) > щ2/Т^/2-1,

где — первый нуль функции Бесселя порядка V (см. [28]).

Как следствие" этого результата М. Хофманн-Остенхоф, Т. Хофманна-Остенхофа и А. Лаптева, первое собственное число А1(П) лапласиана в случае выпуклых областей

с фиксированным объемом может быть оценено следующим образом

А (П) > 1 К(П)

А1(П) > 4 ^.

В данной работе мы улучшим константу предыдущей оценки более чем в три раза, а именно, получим, что

' л еш > ЪХ1К {п)

А1(Ш > ~Щ2дт'

где постоянная А1 ~ 1, 25578,

п

является вторым способом доказательства известных оценок первого собственного числа А1(Ш) лапласиана (см, [27])

Л /^Ч

А1(Ш) > .>

462 (Ш) Д2(Ш)'

Дж, Тидблом в статье [22] установил ¿р-аналоги результатов М, Хофманн-Оетенхоф, пространства Соболева при р > 1 доказано следующее неравенство в выпуклой области Ш

(^ )7+19 {х)1Чх * /V (х>глх' (17)

п п п

где постоянная

а(Р, п) = ^ И- (

(р - 1)р+1 Г !^п-1Ьр/п У*г (п+т)

рР V п ) Г (Щ) Г(п) '

Через Г обозначена гамма-функция Эйлера, В частности при р = 2 Дж, Тидблом имеет константу из неравенства (1.4)

. ч 1 К (п) а(2,п) = '

к ' 4 |Ш|2/п

В работе С, Филиппаса, В,Г, Мазьи и а. Тертикаса [12] показано, что в выпуклых областях Ш С Кп при 1 < р < п и р * д < П-Рр точная константа С(Ш) в ^-неравенстве

е--1)

р/я

р ^р [ \д(х)\р_йх + с(ш) \1 !д(х)!Чх\ * i IV9(х)!рйх

7 бр(х)

п \п / п

может быть оценена с двух сторон через внутренний радиус следующим образом

по п»

С1(р,д,п)(5о(Ш))п-Р-V > С(Ш) > С2(р,д,п)(5а(Ш))п-р-V,

1( , , п) 2( , , п)

По аналогии с ¿2-елучаем задача добавления дополнительного слагаемого в Ьр-неравенетва связана с оценками первого собственного числа АР(Ш) для р-лапласиана при граничных условиях Дирихле и со следующим неравенством Пуанкаре:

АР(Ш)! \д(х)!рdх * IIVд(х)!Рdх УдеС10(Ш). пп В качестве следствия результата Дж, Тидблома получим

а (Ш) > (р - 1)Р+1 (Г-!У/п У*г(п+р) 1 ар(Ш) > рР \ п ) г (р-+1) г (п) ШР/п'

Интересно сравнить результаты данной статьи с неравенствами из [20], [23] и [24], Например, в статье [24] были получены обобщения и усиления неравенства (1.7), но в виде следствия авторы получают такую же константу а(р, п) в дополнительном слагаемом,

( , п) > 2

результатов в случае, когда р Е [2,ро], где ро ~ 2, 314, мы получим более точные оценки Ар (П), А именно, покажем, что

Ар(П) >

7рА2 (р — 1)^ (\ §га-1 \\р/га ^Г (^) 1

8(р — 1)2 рР \ п ) Г (2+1) Г (2) \П\р/п ' А1

(р — 1)30 ( А1) — 2 А^1 ( А1) = 0, А1 € (0,^о).

Таким образом, в данной работе мы установим Ьр-версии (1.1) и применим их для обоснования пространственных неравенств вида (1.4), (1.5) и (1.7) с более лучшими константами в дополнительных слагаемых. Также в виде следствия многомерных неравенств получим оценки первого собственного числа АР(П) для р-лапласиана при граничных условиях Дирихле.

2. Уравнение и постоянная Лэмба

В данном разделе мы приведем необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные сведения. В основном они будут касаться свойств двух введенных специальных функций.

2.1. Первая функция. Предположим, что д Е (0, го), 5 € (0, го) и у> 0. Рассмотрим функцию определенную следующим образом

^(*) = а/(2 — 1)3У ^-, 1Е [0,1],

А

( 8 — 1)л ( А) + 2дА4 ( А) = 0, А е (0,>), (2.1)

для функции Бесселя порядка и. Напомним, что функцию Бесселя можно определить через сходящийся ряд

(*) = £■

22к+"к!Г(к + 1 + и)'

Здесь и далее через будем обозначать первый положительный корень функции Бесселя Подробную информацию о свойствах функции Бесселя и ее нулях можно найти в монографии Дж.Н. Ватсона [25].

Приведем лишь некоторые свойства этой функции, которые в дальнейшем мы будем использовать. Например, известно, что:

а) и(£) = (¿) является каноническим решением дифференциального уравнения Бесселя:

г2и"(г) + ги'(г) + (г2 — и2) и(г) = 0;

л й ^ (2)" ■

Перейдем к некоторым свойствам функции Исходя из определения функции Бес-

селя, имеем (¿) > 0 при достаточно малых Ь и при Ь Е (0,1]

А (2—1)2 Е <0'*>.

Поэтому (¿) является строго положительной также при Ь Е (0,1].

Непосредственные выкладки дают следующее выражение для производной этой функции

^ 2 Р, е п^^

в(2 - г) -г 2У2—1

+ д А

(2 -1) 2

4( )*)■

Для удобства перепишем это равенство в более компактном виде

"(ЪКм® = Ш) + 2г(1)3[ (х(1)),

где

( )

2г1-fv/2—1

, . 5 + 1 2 в , .

т(г) =--г + — и = А

2

При каждом фиксированном Ь € (0,1] рассмотрим уравнение типа Лэмба

(г(1)) + 2г(1).Ги (г(Ь)) = 0.

( )

монотонно возрастает при увеличении ^^(Ь) и при этом г(Ь) < Поэтому так как функция ■1и({) — убывающая, то мы получим, что решение г(1) = А уравнения

т(1)/и (х(1)) + 2г(1).Ги (г(1)) = 0

является наименьшим и лежит в интервале (0,), Этот факт существенно будет использоваться далее. Например, отсюда следует, что (Ъ) > 0 при Ь € (0,1) и (1) = 0,

Действительно, имеем Р1зд(1) > 0 при достаточно малых ¿. Если положить противное, что Р1зд(1) * 0 для некоторых ¿, то найдетея точка ¿о € (0,1^, для которой Р1зд(¿0) = 0, т.е. найдется решение г(Ь0) < г(1) = А уравнения

и)^)^ (г(Ь)) + 2г(1о)3'у (г(1о)) = 0.

А

Используя следующую формулу, связывающую функцию Бесселя и ее производную (см., например, [25]),

(г) = /„-1 (г)--./„ (г)

получим

Км(*) =8(2 - г) -г (г) 21(2 - г)

_в(2 - г) -г = 2Ь(2 - г)

+ д А

-1

(А

* а!

(2 -1)1+ 2-

+ д А

2 /АА( ^2

2-1

-1

.^-1(А (2-) §)

(2 - )1

.и I А

г а!

Следовательно, уравнение Лэмба (2,1) можно переписать следующим образом

( в - 2 ид - 1) Ъ(А) + 2дАЪ-1(А) = 0, А € (0,>).

Применяя свойство а) функции Бесселя, имеем также равенство для второй производной функции

Ри,з,д. /-, ч Ри,з,д

+ (1 - 5 )- ' 'ч

2 - 2 2 Т2

- (1 - "2ц2)

4

4 А2 2

г(2 - г)2 (2 - г)2+ч

Наконец, используя разложение в ряд функции Бесселя, получим

т 1 К,з,д {р) 8 + Рд 11т--- =-

^о р^д (г) 2

(2.2)

(2.3)

я

(см, также [6]-[8] для большей информации),

2.2. Вторая функция. Теперь предположим, что д Е (0, го) и э Е (0, го). Далее также нам будет необходима функция Ф^, определенная следующим образом

И -)!)

ч^

Ф.л(*) = ^0(А1( V ), 1Е [0,1],

А1

в ( А1) — 2дА31 (А1) = 0, А1 Е (0,¿о).

Непосредственные выкладки дают

2(2 — *1-5Ф-<t) = s<2 — (А> (2—7)§) — 2<Л (2—7)1(Г)') .

Выше мы воспользовались тем, что (г) = — 31(г), Последнее равенство перепишем следующим образом

(*) = ш(1)30 (*(*)) — 2г(1)31 (*(*)),

где

. . ч

ь(1) = -(2 — I)г1-5, ш(1) = —-г + —, г(г) = АА-^~ ) . д д д \2 —

Е (0, 1]

(г(г)) — 2г(Ь)31 (г(г)) = 0.

По аналогии с функцией так как функция ш(£) — убывающая, то мы получим,

А1 = (1)

ш(1)Л (г(1)) — 2г(1)Л (г(1)) = 0

является наименьшим.

Ясно, что Ф5,д(0) = 0 Ф5,д(¿) > 0 и Ф^(¿) > 0 для достаточно малых ¿. Используя

А1

Ф'в,9(1) = 0, Ф^(г) > 0 при гЕ (0,1], Ф'в,9(г) > 0 при ье (0,1).

Также стоит отметить, что применяя свойство а) функции Бесселя, можно получить следующее равенство

' §

ф'.л я 2 А2д2 Г1^2 ^Ма-

+ (1 — 5 Ь я, ^ = — 777 — -777+7 — М

Фв,я (*) ' ^ ЬФвгЯ (*) 4*2 I 2-* (2 — ¿)2+« 1У (2 — ¿)2+«/2 ^ ) §) '

в котором участвует, как мы покажем ниже, возрастающая при г Е [0,2] функция

зд/мй).

Действительно, справедливо утверждение

Лемма 2.1. Непрерывная функция к(Ь) = ^Щ) является возрастают,ей при Ь Е [0, 2] и т£4е[о,2] к(Ь) =

Доказательство. Покажем, что производная Ь!(Ь) > 0 при Ь Е [0, 2], Используя следующие известные равенства для функции и производной функции Бесселя (см., например, [25, с, 45 и 1521)

J0(t) = -Jl(t)) tJ[(t) - Jl(t) = -tJ2(t),

4 t2

4 ™

Jl(t) - J0 (t)J2(t) = ~Y; (2 + 2j)J22+23 (t)

3=0

получим

у (f) = t J[(t) Jo(t) - Jl(t)Jo (t) - t.J0(t).Jl(t) = Jo(t) (t.J[(t) -J1(t))+tJ2(t) h () t2J2(t) t2J2(t)

= Jm щГ= * g (2 + 2ЛЛ, (t) > 0

Следовательно, функция h(t) является возрастающей и, учитывая свойство б), имеем

inf h(t) = lim h(t) = 1. te[o,2] t^o 2

Принимая во внимание эту лемму, получим

К,(t)^n , Ф.*(t) ^ s2 \2q2 \2q V-1

+ (i - s ^ лл ^ -

□

Ф8>дW t$s>q(t)^ 4t2 t2-(2 - t)2+я 2(2 - t)2+i'

Также, используя разложение в ряд функции Бесселя, имеем

lim

t*'s,q (t)

^о Ф8>д ^) 2'

3. Одномерные неравенства

В данном разделе мы получим одномерные неравенства на единичном отрезке [0,1] и на отрезке вида [0, 2Ь]. Мы будем существенно использовать свойства функций, определенных в предыдущем пункте.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3.1. Пусть р ^ 2, 8 > 0, д Е (0, и Е [0,5 /д] и функция у является

абсолютно непрерывной на отрезке [0,1] и такой, что у(0) = 0,

1у'(^1 ¿р+1-з)/р е ьр[0, 1].

Тогда имеет место неравенство 1

-м> i(1 + ; + о, -)м,

^ [1У'Щр , [IуЩР ( 1 - у\2 р (4 - ^ 2р\2д2 _^

( 52 - У2д2)Р/2 ] г3-р+1 ' ] г3+1 V + 5 2 - "2Я2 2(2 - ^2 + 82 - и2д2 (2 - ) оо

где \ — первый положительный корень уравнения

-1 - 2щ + з + 2д=

Jv (?)

ная функция такая, что д(0) = 0 и

У(^) = [ 19 'Шт

о

и к тому же выполнено неравенство

ь ь

у ур(Ь)т(Ь)сИ «С^ У'Р(Ф(*)М,

а а

с некоторой константой С1 и весовыми функциями ш и V, то, так как

\д(*)\ « Г^МИ* = у(г), у\1) = \д'(г)\, о

имеем неравенство для произвольного случая

а а а а

Несложно показать, что

1 о

0 «Р := / ^ (у>{х) — 2М

о

1 1 1 1 ур-2(^у12(ук 4 [ п,.л(*) ^ , 4 1 (*)

dt - ,, у , dyp(i) + -^ у 7 "г: dt. Г-1 Р2 J Fv>8>q (t)ts-1 y ( ) P2 J tS-1 F2sq (t) 0 0 0

Интегрированием по частям получим

1

Р = / -/(1)М + lim М

J ts-1 У У Fv,s,q (1) ^0 ts-1 FVtS>q (t)

0

Используя определение постоянной Л, имеем

4 [ yp(t) (F",s,q(*) + (1 _ ) F^Jty W t°-1 \FUy%q(t)+( S)tFv>8>q(i),

™В) = " - +

Для любой абсолютно непрерывной функции у : [0,1] ^ М. такой, что у(0) = 0 и \у'(¿)\^р-8-1)/р е Ьр[0,1], применяя неравенство Гельдера, получим

(t \р / t \р-1 t . t

/| | J « (jr^dr) /шс* = (^f,/^

0 / \0 / 0 0

dr.

Следовательно, принимая во внимание (2,3), имеем

lim щ ff™®=о.

tS-1 Fu,s,q (t)

Используя равенство (2,2), получим 1 1

1 J ts-1 J ts-1 V t2 v 4>t(2 -1)2 12-i(2 - t)2+i J 00

Таким образом,

1 1

Р2 1 УР-2Ш2(Р) 1 УР(1) (1 1 - и2д2 4-I 4Х2д2Р-2 \

> ' ■ '-1 \г2 + з2 - и2д2 г(2 - г)2 + (з2 - и2д2)(2 - г)2+ч) а

в2 - и2д2 ] г*-2 } г8-1 \г2 в2 - и2д2 г(2 - г)2 (в2 - и2д2)(2 - г)2+1

оо

Применяя теорему о среднем арифметическом, записанную в следующей форме (см. [29])

аР1V2 <

(

рга + рф \Р1+Р2

Р1 + Р2 )

для величин

= ¡т т? у'Р(1) = 2 =2

а v , ° (з2 - и2д2)р/2 18+1-р , Р1 1 р И Р2 p,

имеем

1 1

РР [ У'Р(Р) ,, > / УР(Р)(1 1- У2д2 Р 4-1 2рХ2д2У-2 \

(в2 - и2д2)р/2 ] г8-р+1 > ] г8-1 \г2 + в2- и2д2 2 г(2 - г)2 + (в2 - и2д2)(2 - г)2+я) ' оо

Что завершает доказательство леммы 3,1, □

При в = р - 1 и д = 1 из леммы 3,1 несложно получить следующее утверждение.

Следствие 3.1. Пусть р > 2, и Е [0,р - 1] и функция у является, абсолютно непрерывной на отрезке [0,1] и такой, что у(0) = 0 1у'(^)1 Е Ьр[0, 1]. Тогда, имеет место неравенство

1 1

[ I ЧА \РгН > / 1уш( 1 + р(1 - и2) 4-I + 2р\2 \

с^ \у ( )\ аг ^-2 ^2 + 2((р - 1)2 - и2)г(2 - г)2 + ((р - 1)2 - ^2^(2 - гуз) ^

оо

где сР = рР((р - 1)2 - и2)- 2 и X — первый положительный корень уравнения,

-1 - 2и + з + 2г^-^ = 0.

Jv (?)

Перейдем к неравенствам на отрезке [0, 2Ь] в терминах функций

р(г) = тт{г, 2Ь -г} и р,(г) = 2Ь - р(г).

Имеет место теорема.

Теорема 3.1. Предположим,, что 0 < Ь < ж, р Е [2, ж) и и Е [0,р - 1]. Если, у : [0, 2Ь] ^ Е является, абсолютно непрерывной функцией такой, что у(0) = у(2Ь) = 0 и 1у'(Ь)1 Е ЬР[0, 2Ь], то имеет место следующее неравенство

2Ь 2Ь

/| ЧА \РгН> [ I УШР ( 1 , С1 + + РХ2 ,,

Ч 1У () > У рР-2(Р)\р2(1)+ РШ1)+ Р2(1) + 2((р - 1)2 - и2)^)) ^

о где

_ рР _р(2 + X2) - 2и2 _ р(1 + 2Х2) - 2и2

^ ,С1 = , 02

и X — первый положительный корень уравнения

-1 - 2и + з + 2г^-^ = 0.

Jv (?)

Доказательство. Неравенство следствия 3,1 можно преобразовать следующим образом, 1 1

у() \М £Р-2 ^2 +¿(2 — ¿) + (2 — 1)2 + 2((р — 1)2 — /у2)(2 — ^ ^

оо

= /

ь ь

Л ,, ^ . [ Щ\Р ( 1 С1 , С2 , рА2__I \ л

Ч ^ (Т) \Чт > У + 726—7) + (2Ъ^ + 2((р — 1)2 — ,2) (2б—Т)^ ^

оо

Объединяя последнее неравенство со следующим соответствующим неравенством на интервале [6, 26]

2 2

Л '( > / \^(Т)\Р ^ 1 | С1 + ^ + рА2 2Ь — т\ У(т) \ат>у (2Ь — т)р-2у (2 ь — т)2 + т(2Ь — т) + ^ + 2((р — 1)2 — ^2) г3 ) ат ,

для функции у Е С 1(Ь, 26) такой, что у(2Ь) = 0, получим утверждение теоремы, □

Далее мы будем применять свойства второй введенной выше функции для обоснования новых неравенств. Имеет место следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 3.2. Пусть р > 2, в > 0 д Е (0, + го) и функция у является, абсолютно непрерывной на отрезке [0,1] и такой, что у(0) = 0,

\ у'(г)\¿(р+1-з)/р Е Ьр[0,1].

Тогда имеет место неравенство 1 1

[\№) \рИ,> ^ [ Л , 2 А2д2р У + рА^д ^ ^

> - 1 1 7+ «2 (2 — Ь)2+Я + 8 2 (2 — ф+д) а1,

J ь8-р+1 - рр ) ь8+1 у 32 (2 — 1)2+Я 82 (2 — ¿)2+?

оо

А1

^ 3о ( А1) — 2 дА131 (А1) = 0, А1 Е (0, Доказательство. Доказательство аналогично доказательству Леммы 3,1, □

При д = 1 имеем

Следствие 3.2. Пусть в > 0 р > 2 и функция у является, абсолютно непрерывной на отрезке [0,1] и такой, что у(0) = 0,

\ №\ еьр[0, 1].

Тогда, имеет место неравенство 1 1

[\у'(^) \р И,> 7 Г Ш1( 1 + 2Ак 1 , РА 1 ^ ^

> " 1 --1 72 + 5 2 1(2 — 1)3 + 82 (2 — 1)3 )аЬ

7 ^+1-р рр 7 г8-1 7 з2 ¿(2 — г)3 з2 (2 — ¿)3

оо

А

^ 3о ( А1) — 2 А1Л ( А1) = 0, А1 Е (0, ]о).

Теорема 3.2. Предположим, что 0 < Ь < го, Р Е [2, го) и и Е [0,р — 1]. Если у : [0, 2 6] ^ М является абсолютно непрерывной функцией такой, что у(0) = у(2Ь) = 0 и \у'(Ь)\ Е Ьр[0, 26], то имеет место следующее неравенство

2

(!)

2Ь

v [ \y'(t)\V

s+1-p

(t)

dt >

(

\ y(t) \V

ps-1(t)\p2(t) ' 2s2

1 + ! A?

1

+

3

2p(t)

p(tMt) ' p2(t) ' ^3(t)

+

dt,

А1

з3о ( А1) — 2 A1.I1 (А1) = 0, А1 е (0, ]о). Доказательство. Неравенство следствия 3,2 можно преобразовать следующим образом

№> г- 7 W (

i !A1

t2 + 2 s2

1

+

3

+

2

t(2 - t) (2 - t)2 (2 - t)3_

dt.

В последнем неравенстве сделаем замену переменной t = r/b и получим

£ S+1-P

dr >

£ (

± , !A1

г2 + 2 s2

+

3

+

2

т(2b - т) (2 b - г)2 (2 b - г)3

dr.

Объединяя последнее неравенство со следующим соответствующим неравенством на интервале [Ь, 26]

2 2

f sp

\ У'(г) \1

(2 b - т)s+1-v

dr >

m

1

pAZ

(26 - r)5-1 V (2 b - r)2 ' 2 s2

(

+

1

r(2b - t) t2

, 3 , 2(26 - r)

+ ГЧ + о

dr,

□

нормированная мера

для функции у Е С 1(6, 26) такой, что у(2Ь) = 0, получим утверждение теоремы,

4. Многомерные неравенства

В этом параграфе мы получим многомерные неравенства типа Харди в произвольных областях в терминах расстояния в среднем. Расстояние в среднем также иногда называют расстоянием по Дэвпсу, Полученные неравенства принимают более упрощенный вид в выпуклых областях.

Прежде введем основные обозначения, используемые в данном параграфе. Пусть Q — открытое связное собственное подмножество евклидова пространства Rn, п ^ 2, dSn-1(u) — элемент площади поверхности единичной сферы и du(и) = ^

на единичной сфере. Для любой точки х Е Q, и Е Sn-1 полагаем

tv(х) := min{ s > 0 : х + su Е

— расстояние от точки х до границы области Q то направлению вектора и,

8(х) = inf rv (х),

uesn-1

— расстояние от точки х до границы обл асти Q,

pv(х) := min{Tv(х), T-v(х)}, (х) := max{tv(х), T-v(х)}, Dv(х) := tv(х) + T-v(х), D(Q) = sup Dv(х),

xen,vesn-1

и расстоянием в среднем называем величину (см., например, [23, с, 83])

АГ (n+V

Г(Р"?) Г (n)

Р-Р(х) div(u).

1

1

1

п-1

Через |О| обозначим объем области О и через Пж — элементы множества О, которые «видны» из точки х.

Отметим, что далее мы применяем подход к доказательству теорем из статьи [13] (см, также [22]—[24]).

Предположим, что действительнозначная функция д Е СО (О), Через дг/ обозначим чает-ным неравенством теоремы 3,2 дают

РY [ \®v9(х)\р

V)

(Р)

р-

s+1-p

\д(х)У ^ > р\2 [ \д(x)\p

-dx -)

п ' ' ' п п

хЖ /

1(х) V

+ ^ + 2-PM\dx.

Psv+1(x) 2s2 J Pl 1(x) V Pv (x)ßv(x) ß2v (x) ßl (x)

Если проинтегрируем это неравенство по нормированной мере ёш(и) и воспользуемся определением производной по направлению

ЯдI = = |Уя|| ес8(I/, Ъд)|,

то получим

(РУ i\Vg(x)\

\ COS(^ Vg]\Р\ du(и) dx - i \g(x)\p [ dx

gn-1

P

S+1-P

( x)

> f \*(x)\P

-1(x) G

1

+

gn-1

3

P^-1(xH Pu (x) ßv (x) ß2v (x) ßl (x)

Psv+1(x)

+—Ppry—r ) du(u)dx.

П §™-1

>1

г (Ф)г (!)

В(п,р) := \ cos(u, Vg)\pdu(v)

Ar

(4.1)

{-щ)Рми) >

п

Jgn-1 \

щ Ш

-р/п

а A.A. Балинский, В.Д. Эванс, Р.Т. Льюис в [23] установили следующие оценки

1

gn-1

pv (x)ßv(x)

du(u) >

п

\gn-1\

in Ш

-2/n

gn-1

ßv (x)

1 , / ч 1

du(v) > 2

-2/n

Далее при р > 5 + 1 рассмотрим четыре случая.

Случай 1: 5 Е (0,1]. Используя определения функций р„, и применяя предыдущие четыре формулы, получим

du (и)

>

J Pl (x) ßv (x) HV) h^v

gn-1 gn-1

P S(x du(v) > &1-s(x)

du( u)

>

ри (x)ßu(x) Г pl-s(x)

п

|g n-1|

iTi Ш

Pl-1(x)ßv(x)2 " J ß2(x)

gn-1 gn-1

r PfM-M*) >p"(x) l

du(iy) >

ö1-s (x)

п

gn-1

ßv (x)1

{dv(q))

8 J \DU(Q)

gn-1

du(u) >

\gn-1\\^\ 2- ( x)

-2/ n

-2/n

8

п

\gn-1\

ГЛ Ш

1

p

n-1

g

n-1

g

n

2

l

Следовательно,

^У^+1-р(П)В(п,р) I \Чд(х)\Чх — I \д(х)\р

§п-1

¿ш( и)

Р^+Чх)

йх

>

5рА2 /\§га-1 \

п

\ д(х) \р51-(х)^х + \§га-1\

\ П \2/-

(!

8 3 2 V п

\д(х) \11 У I(х) йх. 1к л \ Пх \3/п

Е (1, 2]

¿ш( и)

>

4Р1-3(х)

7 р1 (х)/1и (х)

§п-1 §п-1

¿ш(и)

1

> -

(ри (х) + ^ (х))2 «+1

¿ш(и) >

2 У+1

Ш)) Мр),

2

7 р*-1(хК(х)2 4 7 (П)

§п-1 §п-1

Поэтому получим

)

¿ш( и),

¿ш(и)

>

62-3(х)

§п-1

р1 2(х)/1и (х)3 8

п

гл \ Пх \

т-1

^Уп°+1-р(П)В(п,р) I \Чд(х)\Чх — ! \д(х)\р / -^у

П П 1

х

>

8 2

7рА2^ \

5+1

\ д(х) \^ х + 'еА\(\§га-1\

\ Пх \ ~

с

8 2 п

62-3(х) \ 9(х) \Р ^^ ^

Е (2, 3)

¿ш( и)

>

4р1-3(х)

7 Р1 (х)ри (х) 7 (Ри (х)+ри (х))2

§п-1 §п-1

¿ш(и) >

2

)

«+1

¿ш( и)

1

> -

7 рь-1(х)р„(х)2 " 4 7 (П)

§п-1 §п-1

2 У+1

^ ¿ш( и),

(П) ¿ш( и)

¿ш( и),

1

> -

§"-1

р£-2(х)^ (х)3 8

п

\ Пх \

5+1 п

то в этом случае имеем следующее неравенство

(^У^+1-р(П)В(п,р) [ \Чд(х)\р(1х — [ \д(х)\р

¿ш(и) Р1+1(х)

х

>

8 + 1

рА2 ( \§га-1 \\ п Г \д(х) \р

\ Пх \ п

х.

Случай 4: в Е [3, +го). По аналогии с предыдущими случаями получим

¿ш(и)

>

4Р1-3(х)

7 Р1 (х) (х) 7 (Ри (х)+ри (х))2

§п-1 §п-1

¿ш(и) >

¿ш(V ) >

16р1-а(х)

Р1 1(х)(х) ¿ш( и)

8п

>

(ри (х) + ^ (х)) 4р(х)

§п-1

(П)

)

«+1

¿ш(и),

(П)

)

«+1

¿ш( и),

7 рг2(хК(х)3 7 (ри(х

§п-1 §п~1

х))2рй~хМи) > 4

п

\ §™-1 \

гл \ Пх \

8 + 1

2

п 1

8

3

п

п 1

8

Г1

п 1

3

2

2

2

п 1

п 1

8

8

п

Следовательно,

^РВа+1-Р(О)В(п,р) ! \Чд{х)1Рдх-]1д(х)1 ]

п п 8"-1

х

3 + 1

— - ■ - - |Р

> 9рХ2^ — [ Iд(х)1р х

3 + 1

4*2 \ п ; 7 ^ п

Таким образом справедлива теорема

Теорема 4.1. Пусть О — произвольная область евклидова, пространства Е д Е С^О), р > 2 и р > 8 + 1. Если 8 Е (0,1], то имеет место неравенство

(Iуо°+1-Р(О)В(пр)! \?д(х^Чх - I ^(х)Г I -^¿щ&х

п п 8"-1 У

2 3

> 5рХ1[Г-Ь » (х^б 1->(х) + рХ2{^Х » Г р52-(х)

> 482 \ п ) ] |Ож|2Л> ^ +8^4 п ) 7 19(х) Ш/п

пп

Если в Е (1, 2], то справедливо неравенство

'IуО°+1-Р(0)В(п,р)! ^д(х^Чх - I ^(х)Г I

п §«-1 У

8 + 1 3

8з2 V п ) 7 ш8з2 \ п ; 7

п

Если в Е (2, 3), то выполнено неравенство

(I )Р В*+1-Р(О)В(п, р) У ^д (х^Чх -У ^ (х)\Р У -Ущ^ух

п 8"-1

3 + 1

<рХ1( — [Ш1_

' *2 V п 7 ^

п

Если, в Е [3, +ж), то имеет место неравенство

(Iуп*+1-р(О)В(п,р) ! ^д(х^Чх - ! ^{х)\Р У УУщУ^х

§п-1

3 + 1

> 4*2 \ п ) 7 ^ ^ .

Здесь Х\_ — первый положительный корень уравнения типа, Лэмба

8^ (Х1) - 2дХ^1 (Х1) = 0, Х1 Е (0,я).

Если положим, что р ^ 5 +1, то по аналогии с доказательством теоремы 4,1 будем иметь следующее утверждение.

Теорема 4.2. Пусть П — произвольная область евклидова пространства Е д Е С^П), р > 2 и р « з + 1. Если в Е (1, 2], то справедливо неравенство

:э рв «п. 7 да -—¡мг/ ^х

п 1

8 + 1 3

> ^ (^ Г7+§ (^) 7'^*

П х П

/^п-^х — , \у(х)\Р + \§га-1\ \

I п ) У \Пх\^ +8вЧ п )

Пх

Е (2, 3)

8 + 1

(5)"в(п,Р) /^Жь — А^Г / Г^) п /ШЦ

1 ^+1-р(х) У \ ; \ У р^1 (х) в 2 \ п ) У \Пх\

П П §п-1 П

в Е [3, +го), то выполнено неравенство

I)'в{п,Р)[ ШЖ-лх —[шг[ > ^(Е-!) п Г ЩЬъ.

8> к ./ 53+1-р(х) У \ ; \ У р1+1(х) 4 в2 \ п ) У \Пх\—

п

П П 8 п 1 П

А1

в !0 ( А1) — 2 дА1Л (А1) = 0, А1 Е (0,1о).

Предыдущие теоремы можно рассматривать в более узких классах областей. Можно

П

полнение условия внешнего конуса или на область наложить условие выпуклости. В этих случаях областей формулы существенно упрощаются (см. подробнее [20], [23]). Например, П Пх = П

неравенство

[ ¿ш(и) >В (п,8 + 1)

у р^+1(х) ^+1(х)

§п-1

В виде следствий теорем 4.1 и 4.2 соответственно получим следующие утверждения.

П

ства Ега, д Е С^П), р > 2 и р > з + 1. Если в Е (0,1], то справедливо неравенство

(Г)р в°+1-Р(П)В(п,р)1 \\д(х)\р3х — В(п,8 + 1)^

ПП

йх

3

> 5рА| /у [ \д(х)\р + 'РАК(\8га-1\V Г \д(х)\р

> 482 V п|П\ ) У ^-1(х) + 8в2 V п|П\ ) У ^-2(х)

Е (1, 2]

В*+1-р(П)В(п,р) ! \\д(х) \рс1 х — В(п,8 + 1) /" Щх)^

П

8 + 1 3

> М ()^ I Ых)ТЛх + Щ (И)п 1^

8^2 V п|П\ ) У \уу л 8з2 V п|П\ ) У ^-2(х)

ПП

Если 8 Е (2, 3), то справедливо неравенство

^ В°+1-Р(О)В(п,р)! ^д(х)\рйх В(п, 8 + 1) У ^Щр^х

п

0 + 1

^ /|§га-11\ —

> Чд (х^'х.

Если, 5 Е [3, +ж), то выполнено неравенство

В*+1-Р(О)В(п,р)! ^д^вхх-В(п,8 + 1)!

пп

8 + 1

> ^ (5? х

п

Здесь Х1 — первый положительный корень уравнения типа, Лэмба

8,70 (Х1) - 2дХ^1 (Х1) = 0, Х1 Е (0,к). О

ства, Ега, д Е С^О), р > 2 и р ^ 8 + 1. Если 8 Е (1, 2], то имеет место неравенство

йх

, Г ^д(х)^ . Г ^(х)^

п

8 + 1 3

> Щ(та - / ^^+Щ(та I

882 V пЩ ) У ^ л 8^ пЩ ) У 8°-2(х)

пп

Если в Е (2, 3), то выполнено неравенство

8+1

'р\р , [ №д(х)^ ^ [ ^(х)^ , рХ2 п-1

(Р\Р \ [ (х^ . ^ Г ^ (х^ 1 ^ рХ2 (|§га-1|\ . . , ,

и (п,р)] ЬЦт)"х -В(п,8 + 1)] 1+М> IX1 (^ ¡^(х)^х.

п п п

Если в Е [3, +ж), то справедливо неравенство

э + 1

ОВ"ч ЬЩд*- В'+1ч Щ)А > -й1 (V) .1 ^^^

п п п

Здесь Х1 — первый положительный корень уравнения типа, Лэмба

8(Х1) - 2Х^1 (Х1) = 0, Х1 Е (0,^).

Для сравнения с известными результатами рассмотрим случай 8 = р - 1. Справедливо следующее утверждение,

О

ства, Ега, д Е С^(0), р > 2. Если р Е (2, 3], то имеет место неравенство

"в (п, р)1 ^д (х)^х-В (п, р)1 ^х

пп

Р 3

7р X2 "Л рХ2 /|вга-1|\ » Г ^ (х)^

пп

Если р Е (3, 4), то справедливо неравенство

(¿—г) ^ р)1 \\(х)\ Чх — В (п Р)/ > ^I \9(х)\ Р*х.

П П П

Если р Е [4, +го), то выполнено неравенство

Р

(Тг) V— В<п.Р)/ > (^¡шгь.

П П П

Используя определение Ар(П) и следствие 4,1, получим

Следствие 4.2. В выпуклых областях П с фиксированным объемом при р Е (2, 3], имеет место оценка

7рА2 (р — 1)р /\ §га-1 \\р/га Т^Г (Т2) 1

АР(П) >

\у

8(р — 1)2 рР \ п ) Г (2+1) Г \П\р/п'' А1

(р — 1)3о ( А1) — 2 А1Л (А1) = 0, А1 Е (0,зо). Замечание 4.1. Численные расчеты показывают, что

7 А21

8( — 1)2

при р Е [2,ро], где ро ~ 2, 314.

>Р — 1

Если в теореме 4,3 положим з = 1и р = 2, то имеем результат, усиливающий неравенство М, Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманна-Остенхофа и А, Лаптева (1.4). Справедливо следующее утверждение.

П

ства Ега, д Е С^П). Тогда, справедливо неравенство

/ , . |2 , ^ 1 [ д2(х) , 5 А?К(п) [ 2, , , А?(1)К(п)п [ 2, , , У \ \(х) \Чх > Щзх + 1A[ПК^J 9 (х^х +16188п-1| |(П)3/п/ аЧх^^^

П П П П

где А1 « 1, 25578.

П

А (П) > 5А2К(п) А1(П) > "^П2/^,

где А1 « 1, 25578.

Также имеет место неравенство с дополнительными слагаемыми, зависящими только от диаметра области. Справедлива теорема.

Теорема 4.5. Пусть П — ограниченная выпуклая область евклидова, пространства Ега > 2 Е Со1 (П)

В(п,р)(^У ! \\д(х)\Чх — В(п,р) Г \^(х)\

р

в/ } 1 4 '} 5р(х)

х

П

> 2(р —?тП) / \9(х)\Чх +(р—^юрт! \9(х)\Р6(х)(1х.

ПП

Здесь Хг — первый положительный корень уравнения 'типа Лэмба

(р — 1) Зо ( А1) - 2 ХгЗг (Хг) = 0, Хг е (0,30).

Доказательство. Используя неравенство (4,1) и определение диаметра области И (О,), при в = р — 1 в силу очевидных неравенств

С 1 Г 4 4 -¿ш(ь>) ^ -—--- ¿ш(ь>) ^

J ри (х) (х) J (ри (х) + (х))2 D2(Q)

gn-l gn-l

f 1

;du(u) >

J pv(х)2 K J ^ D2(Q)'

gn-1

получим

'P\p f, , [ \g(х)\р

B(n,p)(^jP J \Vg (х)\Чх-В (n, p)j §р{х)

dх

Q

> 2(p —iyDp(fi,)f 19(х)1Чх +(p - $D>(n)J 19(х)\Р6(фх-

Q Q

Откуда следует утверждение теоремы, □

Следствие 4.5. В выпуклых областях П с фиксированным диаметром

Л (П) > 7рЛ2

р( ) > 2(р - 1)2DP(Q)B(n,р)'

где Л1 « 1, 25578.

Аналогичные результатам этого параграфа неравенства можно получить также, используя теорему 3,1, Выкладки и обоснования будут практически такими же, но будут отличаться константы в неравенствах. Эти результаты иногда будут иметь некоторые преимущества, Например, в выпуклых областях Q с фиксированным объемом можно получить оценку

Л (П) > ^ К(n) Л1(П) > ~2Т упр^,

где j'1 ~ 1, 84118 — первый положительный корень производной J1 'функции Бесселя J1,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.И. Левин. О неравенствах. II. Об одном, классе интегральных неравенств // Матем. сб. 4(46):2, 309-324 (1938).

2. Ф.Г. Авхадиев, Л.А. Аксентьев, A.M. Елизаров. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 25, 3-121 (1987).

3. Ф.Г. Авхадиев, Л.А. Аксентьев. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // УМН. 30:4 (184), 3-60 (1975).

4. Z. Nehari. The Schwarzian derivative and schlicht functions // Bull. Amer. Math. Soc. 55:6, 545-551 (1949).

5. Z. Nehari. Some criteria of univalence // Proc. Amer. Math. Soc. 5, 700-704 (1954).

6. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 18: 4, 723-736 (2011).

7. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths. Weighted Hardy inequalities with sharp constants // Lobachevskii Journal of Mathematics. 31:1, 1-7 (2010).

8. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths. Unified Poincare and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angev. Math. Mech. 14:8-9, 532-542 (2007).

9. Ф.Г. Авхадиев. Задача Брезиса^Маркуса и ее обобщения // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 153, 3-12 (2018).

10. F.G. Avkhadiev. Hardy-type inequalities on planar and spatial open sets // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 255:1, 2-12 (2006).

11. H. Brezis, M. Marcus. Hardy's inequalities revisited // Dedicated to E. De Giorgi, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 25:1-2, 217-237 (1998).

12. S. Filippas, V.G. Maz'ya. A. Tertikas. On a question of Brezis and Marcus // Calc. Var. Partial Diff. Eq. 25:4, 491-501 (2006).

13. M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev. A geometrical version of Hardy's inequality // J. Funct. Anal. 189:2, 539-548 (2002).

14. T. Matskewich, P.E. Sobolevskii. The best possible constant in generalized Hardy's inequality for convex domains in Rra// Nonlinear Anal. 28:9, 1601-1610, (1997).

15. M. Marcus, V.J. Mitzel, Y. Pinchover. On the best constant for Hardy's inequality in Rn / / Trans. Amer. Math. Soc. 350:8, 3237-3255 (1998).

16. P.B. Макаров, Р.Г. Насибуллин. Неравенства Харди с дополнительным,и слагаемыми и уравнения типа Лэмба // Сибирск. матем. журн. 61:6, 1377-1397 (2020).

17. R.V. Makarov, R.G. Nasibulli. Hardy type inequalities and parametric Lamb equation // Indagationes Mathematicae. 31:4, 632-649 (2020).

18. R.G. Nasibullin. Hardy and Rellich type inequalities with remainders // Czechoslovak Math. J. 72:1, 87-110 (2022).

19. R.G. Nasibullin. Sharp conform,ally invariant Hardy-type inequalities with remainders // Eurasian Math. J. 12:3, 46-56 (2021).

20. R.G. Nasibullin. Brezis-Marcus type inequalities with Lamb constant // Сиб. электрон, матем. изв. 16, 449-464 (2019).

21. Р.Г. Насибуллин. Точные интегральные неравенства типа Харди с весам,и, зависящим,и, от, функции Бесселя, // Уфимск. матем. журн. 9:1, 89-97 (2017).

22. J. Tidblom. A geometrical version of Hardy's inequality for Wq'p(Q) // Proc. Amer. Math. Soc. 132, 2265-2271 (2004).

23. A.A. Balinskv, W.D. Evans, R.T. Lewis. The Analysis and Geometry of Hardy's Inequality. Heidelberg - New York - Dordrecht - London: Universitext, Springer. 2015.

24. W.D. Evans, R.T. Lewis. Hardy and Rellich inequalities with remainders //J. Math. Inequal. 1:4, 473-490 (2007).

25. G.N. Watson. A threatise on the theory of the Bessel Functions. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1966.

26. H. Lamb. Note on the induction of electric currents in a cylinder placed across the lines of magnetic force // Proc. Lond. Math. Soc. XV, 270-274 (1884).

27. J. Hersch. Sur la fréquence fondamentale d'une membrande vibrante; évaluation par défaut et principe de maximum // J. Math. Phvs. Appl. 11, 387-412 (1960).

28. C. Bandle. Isoperimetri inequalities and appliations. Boston-London-Melbourne: Pitman Adv. Publ. Program. 1980.

29. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Polva. Inequalities. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1973.

30. E.B. Davies. Spectral theory and differential operators, Cambridge Studies in Advanced Mathematics vol. ^2. Cambridge: Cambridge University Press. 1995.

Рамиль Гайсаевич Насибуллин,

Институт математики и механики им. 11.11. Лобачевского, КФУ, ул. Кремлевская, 35, 420008, г. Казань, Россия E-mail: [email protected]