Одномерная модель динамики вязкого теплопроводного газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения

УДК 519.6

В. В. Шайдуров, Г. И. Щепановская, М. В. Якубович

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА*

Рассматриваются вопросы математического и численного моделирования движения вязкого теплопроводного газа.

В работе предлагается алгоритм численного решения уравнений Навье-Стокса для одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В основе математического и численного моделирования лежит метод конечных элементов для решения модифицированных уравнений [1-3].

Для одномерного вязкого теплопроводного газа задача ставится в виде безразмерных уравнений неразрывности, количества движения и уравнения для внутренней энергии:

йс ды — + с— = 0,

Л дх

йы дР дт р— =--+

й, дх дх

йе ды дя

р—+Р— = 0, —— + Ф,

й, дх дх

(1) (2) (3)

Р = Р(р, е), е = е(р,т), (4)

где с - плотность; ы - проекция вектора скорости на ось х; Р - давление; м - динамический коэффициент

вязкости; е - внутренняя энергия; 0 - внешний поток тепла от внешних источников; тензор напряжений ф, проекция теплового потока ях и диссипативная функция Ф выражаются следующим образом:

4 1 ды

Т а =--т—,

3 Яе дх

Ях =-

У

де

т—,

РгЯе дх

Ф = -— Г—

= 3 Яе Ч дх

(5)

где Яе - число Рейнольдса; Рг - число Прандтля. В качестве начальных условий задаются условия затухания возмущений в бесконечном удалении от источника.

В уравнениях (1), (3) осуществляется замена искомых функций. Производная по времени (субстанциональная) в уравнениях аппроксимируется с помощью разностной производной назад по времени вдоль траектории движения частицы. Таким образом, обеспечивается устойчивость и высокая точность решения вычислительных алгоритмов.

Для полученных дискретных аналогов исходных уравнений (1)-(3) и модифицированных уравнений проведены тестовые расчеты. Реализована задача о

распространении теплового импульса в газе. При решении модельной задачи тепловой импульс задается в центральной точке расчетной области, газодинамическая постоянная г = 1,4, число Рейнольдса

Яе = 2 103, Прандтля Рг = 0,7 и МахаМ = 4 (рис. 1, 2). В рамках предложенной газодинамической модели изучена задача одномерной геодинамики. В качестве начальных условий рассмотрены реальные значения плотности и температуры, отнесенные к соответствующим величинам на поверхности земного шара.

Рис. 1. Распределение температуры совершенного газа в различные моменты времени

4

I I И = 0.01 12 = 0.05 13 = 0.1

02 0.4 ой 0 В 1

Ь- 0.01 <п- 100> 1- 0.0001

Рис. 2. Распределение плотности совершенного газа в различные моменты времени

Заданное максимальное значение температуры теплового импульса, которое падает с течением времени, показано на рис. 1. Соответственно, расчетные значения плотности, откуда следует, что с увеличением температуры уменьшается плотность газа, приведены на рис. 2.

Работа выполнена при финансовой поддержке интеграционного проекта № 89 СО РАН.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных.

Данный эффект используется в экспериментальной аэродинамике для улучшения аэродинамического качества летательных аппаратов.

Библиографические ссылки

1. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Численное моделирование переноса массы (пространственный случай) // Решетневские чтения : ма-

териалы Х111 Междунар. научн. конф. ; Сиб. гос. аэ-рокосмич. ун-т. Красноярск, 2009. С. 473-474.

2. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И. Газодинамическая модель внутреннего строения Земли // Вестник СибГАУ. Вып. 1(18). 2008. С. 79-83.

3. Vyatkin A. V., Shaidurov V. V., Shchepanovskaya G. I. Numerical Spherically-Symmetric Simulationof Deep-Seated Geodynamics // Journal of Applied and Industrial Mathematics. Springer, 2010. Vol. 4, № 2. P. 290-297.

V. V. Shaidurov, G. I. Shchepanovskaya, M. V. Yakubovich

Institute of Computational Modeling, Russian Academy of Science, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

ONE-DIMENSIONAL MODEL OF THE VISCOUS HEAT-CONDUCTING GAS DYNAMICS

The issues of mathematical and numerical modeling of the heat-conducting gas motion of the viscous are considered.

© Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В., 2010