CC BY
21Решетневскуе чтения. 2014
УДК 519.6
ПОЛУЛАГРАНЖЕВЫЙ МЕТОД И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В МОДЕЛИРОВАНИИ СВЕРХЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ КЛИНОВИДНОГО ПРОФИЛЯ*
В. В. Шайдуров, Г. И. Щепановская, М. В. Якубович
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: {gi, yakubovich}@icm.krasn.ru
Рассматривается нестационарное обтекание клиновидного профиля сверхзвуковым потоком вязкого теплопроводного газа. Предлагается полулагранжева аппроксимация двумерных уравнений Навье-Стокса по времени, дискретизация по пространству на каждом временном шаге осуществляется методом Бубнова-Галеркина. Построенный численный алгоритм и созданный на его основе комплекс программ позволяет определить картину течения околоклиновидного профиля для широкого диапазона чисел Маха и Рейнольдса.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, вязкий теплопроводный газ, полулагранжевый метод, метод конечных элементов.
A SEMI-LAGRANGIAN APPROACH AND THE FINITE ELEMENT METHOD IN THE MODELING OF SUPERSONIC WEDGE-SHAPED FLOW
V. V. Shaidurov, G. I. Shchepanovskaya, M. V. Yakubovich
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: {gi, yakubovich}@icm.krasn.ru
A non-stationary wedge-shaped supersonic flow of viscous heat-conducting gas is considered in the research. The discretization of equations is performed with a combination of a special semi-Lagrangian approximation for transport derivatives and Bubnov-Galerkin method for other terms. The numerical results of constructed algorithm for a supersonic flow around a wedge-shaped section for some Mach and Reynolds numbers are presented.
Keywords: Navier-Stokes equations, viscous heat-conducting gas, semi-Lagrangian approach, finite element method.
Использование для расчетов высокопроизводительных вычислительных систем и более эффективных численных алгоритмов позволяет осуществить расчеты обтекания тел на основе полных уравнений Навье-Стокса. Численное решение уравнений Навье-Стокса и сегодня представляет большие трудности, что обусловлено нелинейностью исходных уравнений, наличием областей больших градиентов и других особенностей, возникающих при определённых параметрах и режимах газодинамических течений, что вызывает необходимость разработки и создания специальных численных методов решения этих уравнений. Хотя к настоящему времени разработано много численных алгоритмов и специальных комплексов программ, проблема создания и применения эффективных численных методов и алгоритмов остается актуальной.
В настоящей работе рассматривается обтекание клиновидного тела сверхзвуковым потоком вязкого теплопроводного газа. Отметим, что в рамках идеального газа эта задача решена многими авторами. В нашем случае предлагается численный алгоритм решения начально-краевой задачи для уравнений Навье-Стокса. Для аппроксимации производных по времени в уравнениях используется полулагранжевый метод.
Дискретизация по пространству остальных слагаемых уравнений Навье-Стокса на каждом временном слое осуществляется методом конечных элементов с кусочно-билинейными базисными функциями и применением простых квадратурных формул [1; 2]. Для решения систем алгебраических уравнений используется метод Якоби с улучшенным начальным приближением внутри внешних итераций по нелинейности.
Использование модифицированных уравнений Навье-Стокса, применение комбинации полулагран-жевой аппроксимации и метода конечных элементов позволяет построить алгоритм, довольно эффективный с вычислительной точки зрения. С помощью комплекса программ определяется полная картина течения во всей исследуемой области около клиновидного профиля, в том числе и донной, для широкого диапазона чисел Маха и Рейнольдса.
На Расчеты для случая сверхзвукового обтекания клиновидного профиля под нулевым углом атаки, когда вектор скорости набегающего потока направлен вдоль оси клина, приведены ниже (см. рисунок).
В данном случае число Маха М = 4 и число Рейнольдса Яе = 2*103. Распределения плотности и продольной составляющей скорости нанесены для момента времени t = 5,5.
*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 14-11-00147).
Прикладная математика и механика
Распределение плотности и продольной составляющей скорости
Картина течения в рассматриваемой области соответствует имеющимся экспериментальным представлениям.
Библиографические ссылки
1. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Численное моделирование течений вязкого теплопроводного газа в канале // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18, № 4. С. 77-90.
2. Shaidurov V. V., Shchepanovskaya G. I., Yakubovich V. M. Numerical modeling of supersonic flows in channel // Russian Journal of Numer. Anal. and Math. Modeling. 2012. Vol. 27, № 6. P. 585-601.
References
1. Shaidurov V. V., Shchepanovskaya G. I., Yakubovich V. M. Chislennoe modelirovanie techenij vjazkogo teploprovodnogo gaza v kanale (Numerical modeling of flows of viscous heat-conducting gas in channel). Vychislitel'nye tehnologii. 2013, vol. 18, № 4, р. 77-90.
2. Shaidurov V. V., Shchepanovskaya G. I., Yakubovich V. M. Numerical modeling of supersonic flows in channel (2012) Russian Journal of Numer. Anal. and Math. Modeling, vol. 27, 6. р. 585-601.
© Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В., 2014
УДК 517.95
ОБ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Ю. В. Шанько
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 Е-mail: [email protected]
Рассмотрена переопределенная система уравнений в частных производных, каждое решение которой можно интерпретировать как двумерное течение идеальной жидкости со свободной границей. Проводится частичный анализ на совместность данной системы. Приводятся примеры точных решений.
Ключевые слова: идеальная жидкость, точные решения, движение со свободной границей.
ON ONE OVERDETERMINED SYSTEM OF EQUATIONS OF TWO-DIMENSIONAL MOTIONS OF AN IDEAL FLUID
Yu. V. Shan'ko
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]
An overdetermined system of PDE is studied. Every solution of this system can be interpreted as a two-dimensional flow of an ideal fluid with a free boundary. A partial analysis on the compatibility of the system is performed. Some examples of exact solutions are constructed.
Keywords: overdetermined system, equations of motion of a continuous medium.
Рассмотрим переопределенную систему уравнений ux + vy = 0,
ut + uux + vuy + px = 0, ,
у pt + upx + vpy =(p0 / p0) p, (1)
vt + uvx + vvy + py = 0, ,
t x y где p0 = p0(t) - некоторая функция.
