Научная статья на тему 'Математическое и численное моделирование течений вязкого теплопроводного газа'

Математическое и численное моделирование течений вязкого теплопроводного газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
236
50
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ−СТОКСА / ВЯЗКИЙ ТЕПЛОПРОВОДНЫЙ ГАЗ / ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / МЕТОД ТРАЕКТОРИЙ / МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ / EQUATIONS OF NAVE-STOKSA / VISCOUS THERMALLY CONDUCTIVE GAS / NUMERICAL MODELING / A METHOD OF TRAJECTORIES / A METHOD OF FINAL ELEMENTS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Щепановская Галина Ивановна

Предлагается алгоритм численного решения модифицированных уравнений Навье−Стокса для одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Проведены тестовые расчеты. Реализована задача о распространении теплового импульса в газе. Апробированная компьютерная модель используется для изучения одномерных геодинамических процессов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

MATHEMATICAL AND NUMERICAL MODELLING OF CURRENTS OF VISCOUS THERMALLY CONDUCTIVE GAS

In the work the author offers an algorithm of the numerical decision of the modified equations of Nave-Stoksa for one-dimensional movement of viscous thermally conductive gas. Test calculations are carried out. The task of distribution of a thermal impulse in gas is realized. The approved computer model is used for studying of one-dimensional geodynamic processes.

Текст научной работы на тему «Математическое и численное моделирование течений вязкого теплопроводного газа»

УДК 519.6

Г. И. Щепановская

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА*

Предлагается алгоритм численного решения модифицированных уравнений Навье-Стокса для одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Проведены тестовые расчеты. Реализована задача о распространении теплового импульса в газе. Апробированная компьютерная модель используется для изучения одномерных геодинамических процессов.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, вязкий теплопроводный газ, численное моделирование, метод траекторий, метод конечных элементов.

Система нестационарных одномерных уравнений Навье-Стокса для вязкого теплопроводного газа включает три дифференциальных уравнения в частных производных, вытекающих из законов сохранения массы, количества движения и внутренней энергии газа. Предложенная в работе замена искомых функций в уравнениях неразрывности и внутренней энергии переводит закон сохранения массы и полной энергии из нормы пространства Ьх в норму гильбертова пространства Ь2. Впоследствии это значительно упрощает обоснование устойчивости и сходимости [1]. Дискретизация по пространству модифицированных уравнений Навье-Стокса осуществляется методом конечных элементов.

Для аппроксимации полной производной по времени каждого уравнения системы используется метод траекторий, который заключается в аппроксимации субстанциональной производной с помощью разностной производной назад по времени вдоль траектории движения частицы. Метод траекторий впервые появился в работах французских и американских ученых для аппроксимации уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости с первым порядком аппроксимации. Наибольшее теоретическое и практическое развитие метод получил для одного уравнения переноса массы [2]. Для решения систем алгебраических уравнений используется многосеточный метод с внешними итерациями по нелинейности.

Модификация уравнений Навье-Стокса обеспечивает повышение точности приближенного решения. Как следует из тестовых расчетов, абсолютная погрешность приближенного решения уменьшается в разы по сравнению с аналогичной погрешностью для немодифицированных уравнений, при этом разностная схема остается первого порядка. Применение комбинации метода траекторий и метода конечных элементов позволяет построить экономичный алгоритм с вычислительной точки зрения.

Математическая модель. Выпишем дифференциальные уравнения одномерного вязкого теплопроводного газа в виде безразмерных уравнений неразрывности, количества движения и уравнения для внутренней энергии:

ё р ди

—+р— = 0, ё дх

ёи дР + дтхх

Л дх дх

ёе п ди д<7

р—+Р— = Qt ——+Ф,

& дх дх

Р = Р(р, е), ц = ц(р, е),

(1)

(2)

(3)

(4)

где р - плотность; и - проекция вектора скорости на ось х; Р - давление; ц - динамический коэффициент вязкости; е - внутренняя энергия; Q - внешний поток тепла от внешних источников; тензор напряжений тхх, проекция теплового потока дх и диссипативная функция Ф выражаются следующим образом:

4 1 ди

Тхх = Ц - ’ Чх =

3 Яе дх

У

де ■Ц—, РгЯе дх

2

(5)

где Яе - число Рейнольдса, Рг - число Прандтля, У = 1,4.

Редукция уравнений. Преобразуем уравнения (1) и (3) к новому виду. Для этого, учитывая неотрицательность плотности и внутренней энергии, введем следующие функции:

(6) (7)

Подставим (6) в уравнение неразрывности (1) и полу-

р = ст , е = £2.

ё^ + ст’ * = 0. (8)

М дх

Дифференцируя по t, имеем

„ ё ст 2 ди

2ст + ст2— = 0.

ёt дх

Далее, сокращая последнее уравнение на 2ст, получим

ё ст 1 ди

— +—ст— = 0. (9)

ёt 2 дх

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00224), проект № 89 СО РАН.

чим

Проделаем аналогичную процедуру для уравнения внутренней энергии (3), т. е. преобразуем уравнение (3) к новому виду с учетом (7). Для этого подставим выражение (7) в (3), в результате получим

ё (е2) + ддх Л дх

дQ ди

— - Р— + Ф. дґ дх

Преобразуем (10) следующим образом:

, ёе д<7 дQ „ди ^

р2е— + -^ = —- Р— + Ф. & дх дґ дх

(10)

(11)

Далее сократим последнее уравнение на 2е и получим

ё е + 1 ддх 1 дQ Р ди + 1 ф

р ёґ 2е дх 2е дґ 2е дх 2е

(12)

Подставим (7) в выражение для теплового потока Чх из (5) и возьмем производную по х, получим

дЧх

дх

Чх =

де

-це—, РгЯе дх

РгЯе

Ц

д ( де + е—I ц—

дх і дх

(13)

С учетом (13) и выражения для диссипативной функции Ф из (5) уравнение (12) примет вид

ё е у

ёґ РгЯе

ц(де е і дх

д ( де +--------1 Ц—

дх і дх

Р ди 2 ц(ди

2

(14)

ё ст 1 ди

----+—ст— = 0,

ёґ 2 дх

ёи дР + дт

ёґ дх дх

ё е у

ёґ РгЯе

д ( де +--------1 Ц—

дх і дх

ц( де е ідх

Р ди 2 ц(ди

2е дх 3Яе е і дх

(16)

(17)

(18)

Замыкают систему уравнений (16)-(18) алгебраические соотношения для давления и динамического коэффициента вязкости совершенного газа

Р = Р(ст,е), ц = ц(ст,е). (19)

Дискретизация. В качестве расчетной области возьмем единичный отрезок О = [0,1] с границей Г, состоящей из концов отрезка. Введем равномерную сетку х, = ¡И, I = 0,1,п с шагом И = 1 / п (п > 2).

Обозначим множество узлов области О:

Пи = № = (X), I = 0,1,п},

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

введем множество внутренних узлов

Ои = {5 = (X), = 1,-, п -1}

и два граничных узла

Ги = {5,- = (х,.), I = 0, п}.

В результате расчетная область О разбилась на п интервалов.

Для каждого узла 5 е ОИ введем базисную функцию ф, (х):

/-ч К1 -їх-х1), хє ^-^xi+l], Фг (х)=<р

І0, х є (xг-l, х+l),

(20)

которая равна единице в 5 и равна нулю во всех остальных узлах О .

Будем искать приближенное решение в виде

2е ^‘ 2е дх 3Яе е ^ дх,

Замечание. Обратим внимание на появившиеся множители ц/е и Р/е в уравнении (14), которые, как показывают расчеты, являются естественными «регуляризаторами». Например, для совершенного газа уравнение состояния (4) запишется как

Р = Р(у-1)е или Р =ст2(у-1)е2. (15)

Поскольку внутренняя энергия всегда положительна и больше единицы по отношению к ее величине на бесконечности, то множитель 1 /е «гасит» растущее как е2 давление. Аналогичны рассуждения относительно ц/е . Для совершенного газа, как следует из формулы Сазерленда, динамический коэффициент вязкости является степенной функцией от внутренней энергии.

Будем решать систему уравнений, преобразованную к следующему виду:

ст

!(ґ, х) = £стг (ґ )фг (х),

і=0

и (ґ, х) = ^ иі (ґ )фі (х),

і=0 п

еп (ґ, х) = £ег (ґ )Фі (х).

(21)

(22)

(23)

і=0

После дискретизации по пространству уравнения (16) получаем дискретный аналог уравнения неразрывности:

ёст

1

-± ^стг (и1+1 - щ-1) = °

ёґ 4п

I = 1,п -1.

(24)

Дискретный аналог уравнения количества движения (17) принимает следующий вид:

ёи 2 1

р' + 7ТГ~Б~((иі - и-1 )(Ц-1 + Ц) -

ёґ 3П Яе

1

- (иі+1 - и )(Ц/ +Ц+1)) =

(Р/-1 - Р/+1), ' =1,..., п -1.

(25)

По аналогии с предыдущим уравнением выпишем дискретный аналог уравнения энергии (18) в следующем виде:

- «-+1-е-)2+<6'-е'-1)2)+

1 У

</+4х1) = ст^+\ ик+‘(х1) = и^1 и ек+Чх1) = е*+1 выпишем каждую систему.

Для уравнения переноса массы система алгебраи-

~ к+1

ческих уравнений относительно неизвестных ст

имеет вид

И I 1 /„к „,к \ к+1 _ И к, \гк\

+ (и/+1 и/-1) |ст/ = ст (х1),

т 4 ) т (34)

1 = 1,..., п -1.

Для уравнения количества движения система алгебраических уравнений относительно неизвестных в узлах разбиения ик+1 имеет вид

_к+1 .,к+1

к+1

„к+1 /

к+1

((еі -еі-1)(Ц'-1 +Ц') - (е'+1 -еі )(Ц' +Ц'+1)) =

— (иі+1 - иі-1) + “77"Г ((иі+1 - иі) + (иі - иі-1) ),

2П2 РгЯе 1 Р

4П е,

3П Яе еі і = 1,..., п -1.

(26)

Метод траекторий. Введем равномерную сетку по времени с шагом т = / т :

йт= {tk : tk = кт, к = 0,..., т}.

Производную по времени (субстанциональная) в уравнении (24) аппроксимируем с помощью разностной производной назад по времени вдоль траектории движения частицы следующим образом [2]:

(27)

+4х1) -стк (Хк) ёt т

где Х<к - решение при € = кт уравнения

ёХ

— = иЦ *, X), X ((к + 1)т) = хг. (28)

ёt

Для численного решения уравнения (28) применим метод Эйлера, вычисление производится с (к + 1)-го шага назад по времени. Полагая, что частица в промежутке времени (?к, tk+!) движется равномерно, получаем

Х1 = х1 - и (ґ*, хі) т.

(29)

Обозначим и^*, хг) = игк . Значение стк (Хгк) определяется путем линейной интерполяции.

При и > 0

стк (Хк) = стк (хг) + (Хк - хг)ст (х1) -ст (х1 -1). (30)

При и1 < 0

стк (хк) = стк (х1) + (Хк - хі)

хі - хі-1

к „чст (хі+1)-ст (хі)

хі+1 - хі ’

(31)

Производную по времени в уравнениях (25) и (26) аппроксимируем аналогично разностной производной (27), в результате получим

ёи, к+1 ик+1( хі) - ик (хк)

рі^Г *рі Т ’

_ ёеі +1 ек+1(хі) -ек (Хк)

рі^Г ~рі Т .

(32)

(33)

2 1 / к к \

-7ГТТГ- (ці-1 + ц) 3П2 Яе

иы +

к+1 рі 1

2 1

(ц/-1 + 2ц/ + Ц/+1)

т 3П2 Яе

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ик+1 +

2 1

3П2 Яе

(35)

ик+1 = иі+1 _

рк+1 1

= 21—ик (Хк ) + — (РД - Рк+!), 1 = 1, ..., п - 1.

т 2И

Система квазилинейных алгебраических уравнений, соответствующая уравнению внутренней энергии, выглядит следующим образом:

1 УЦ//к к \ 1

-(ек-ек-1) -

2п РгЯе ек

к+1 р/

2П РгЯе

^ (цк-1 + цк)

ек+1 + еі-1 +

^ ЬЦ- (2ек-ек+1 -ек-1)+

т 2П2 РгЯе є/

1

^ (2ц/ + Ц/+1 + Ц/-1)

2П РгЯе

1 У ці , к к\ 1

-(ек+1 ~ек/)-

ек+1 +

2П2 РгЯе е/

2П2 РгЯе

(36)

к+1 еі+1

к+1

. рі „к ^кл

-ек (Хк) - 4-\ (ик++11 - игк-+/) + т 4И ек

+ 4 [(и^ - ик+1)2 + (ик+1 - и-)2],

3И2 Яе ек

1 = 1,..., п -1.

Таким образом, получена консервативная вариационно-разностная схема первого порядка аппроксимации.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей используется метод немонотонной прогонки, который отличается высокой вычислительной устойчивостью [3].

Тестовые расчеты. Для тестирования полученной математической модели функции и, ст, е задаются следующим явным образом:

Значения ик (Хк) и ек (Хк) вычисляются путем линейной интерполяции, аналогично стк (Хк).

Системы алгебраических уравнений. После аппроксимации производной по времени в дискретных аналогах (24)-(26) получаем системы квазилинейных алгебраических уравнений. С учетом обозначений

и (х, ґ) = х( х -1) ґ,

+

+

+

ст(х, ґ) = х(х -1) ґ +1, е(х, ґ) = х(х -1)2 ґ +1.

(37)

а\\2п = | |(5а)2 ёх | ,

5а = а* - а,-

|(5й)2 ёх = -2 [|| а0 - ао| + |аП - аП\ ] + кг"-агЙ|

і=1

||&

•а|| . п = тах аі - аг-

Для ||$ст||вдп и ||5р||» й можно получить соотноше-

ние

115р1 , п =N1 , п тах1 <+стп

з,П II II»,п '

Норму ||5р||2 п можно выразить через ||5ст^|» п следующим образом:

||8Нк, =[2 0|8р1^ +|8рп

+пЁ118рі II

2

і=1

ІМЦ =[^ ІІНІ,,«|ст0 +ст5

II8

<СТ,|», К +ст.П і +

+ »1|>

і=1

сті

ст,- + ст,-

2 Ї 2

При подстановке функций (37) в исходные уравнения и модифицированные уравнения получаются соответственно правые части /р, /ст, /и, /е и /Е,

которые учитываются в системах уравнений при их численном решении. Нормы погрешности в пространстве Ь2 и Ьт определяются следующим образом:

Нормы погрешностей в табл. 1 и 2 приведены для шага по времени т = 0,000 1 в момент времени t = кт (к = 1000).

Задача о распространении теплового импульса.

При решении модельной задачи тепловой импульс задается в окрестности центра расчетной области, газодинамическая постоянная у, число Рейнольдса

Яе, число Прандтля Рг, число Маха Мт и ю имеют следующие значения: у = 1,4, Яе = 2 -103, Рг = 0,7, М ю = 4, ю= 0,8 [4-6]. Температура Т определяется из следующего уравнения состояния:

Т =

ум» Р р

(38

В качестве начальных условий задаются условия затухания возмущений в бесконечном удалении от источника. Условия на границе для плотности, скорости и энергии следующие: р| х = р| х=1 = 1,

и\ 0 = и\ 1 = 0, е 0 = е 1 = 1).

1х=0 1х=1 ’ 1х=0 1х=1 у

Графики распределения плотности, температуры, скорости и давления газа при И = 0,002(п = 500), т = 0,0001 представлены на рис. 1-4. Кривые, обозначенные на рисунках как 1, 2, 3, 4, соответствуют расчетным моментам безразмерного времени t = 0,01; 0,05; 0,1; 0,2.

Таблица 1

п 0,05 0,04 0,025 0,02 0,0125 0,01

Н12,п 0,000 044 1 0,000 031 9 0,000 016 1 0,000 011 7 0,000 006 1 0,000 004 6

1|8р| 0,000 088 2 0,000 063 7 0,000 032 1 0,000 023 3 0,000 012 2 0,000 009 2

Іі5^! 2,п 0,000 033 8 0,000 027 8 0,000 019 6 0,000 017 2 0,000 014 2 0,000 013 3

118Н12,п 0,000 067 2 0,000 055 1 0,000 038 8 0,000 034 1 0,000 028 0 0,000 026 4

115Н12,п 0,000 145 0 0,000 106 5 0,000 057 5 0,000 044 1 0,000 027 5 0,000 023 0

Таблица 2

п 0,05 0,04 0,025 0,02 0,0125 0,01

115стЩ 0,000 248 2 0,000 200 6 0,000 128 2 0,000 103 8 0,000 067 0 0,000 054 6

115рЩ 0,000 495 9 0,000 400 7 0,000 256 0 0,000 207 3 0,000 133 8 0,000 109 1

ІМЦ 0,000 211 9 0,000 192 9 0,000 164 1 0,000 154 4 0,000 139 7 0,000 134 8

ІМІ »,п 0,000 420 6 0,000 382 6 0,000 324 9 0,000 305 4 0,000 276 0 0,000 266 2

N1 »,п 0,000 839 1 0,000 692 0 0,000 469 2 0,000 394 5 0,000 281 9 0,000 244 2

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В заключение следует отметить, что полученные системы уравнений удовлетворяют законам сохранения массы и полной энергии на дискретном уровне, обеспечивая устойчивость дискретного решения по времени. Замена искомых функций в уравнениях неразрывности и внутренней энергии обеспечивает повышение точности приближенного решения и приводит к меньшей абсолютной погрешности в норме Ь2 и . Применение комбинации метода траекторий и метода конечных элементов не требует согласования триангуляций на соседних временных слоях, что значительно облегчает динамическое разрежение или сгущение триангуляций по времени для оптимизации вычислительной работы или улучшения аппроксимации в пограничных слоях и ударных волнах. Для решения систем алгебраических уравнений используется многосеточный метод с внешними итерациями по нелинейности. Совокупность методов позволяет построить экономичный алгоритм с вычислительной точки зрения.

Библиографические ссылки

1. Ушакова О. А., Шайдуров В. В, Щепановская Г. И.

уравнений На-

Метод конечных элементов для

вье-Стокса в сферической системе координат // Вестник КрасГУ. 2006. № 4. С. 151-156.

2. Pironneau O. On the Transport-Diffusion Algorithm and Its Applications to the Navier-Stokes Equations // Numerische Mathematik. 1982. № 38. P. 309-332.

3. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М. : Наука, 1978.

4. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Одномерная модель динамики вязкого теплопроводного газа // Материалы XIV Междунар. науч. конф. «Решетневские чтения». Красноярск, 2010. С. 440-441.

5. Шайдуров В. В, Щепановская Г. И. Газодинамическая модель внутреннего строения Земли // Вестник СибГАУ. 2008. № 1. 79-83.

6. Vyatkin A. V., Shaidurov V. V., Shchepanovskaya G. I. Numerical Spherically-Symmetric Simulation of Deep-Seated Geodynamics // J. of Applied and Industrial Mathematics. 2010. Vol. 4. № 2. P. 290-297.

7. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Применение метода траекторий и метода конечных элементов в моделировании движения вязкого теплопроводного газа // Вычислит. методы и программирование. 2011. Т. 12. С. 275-281.

G. I. Shchepanovskaya

MATHEMATICAL AND NUMERICAL MODELLING OF CURRENTS OF VISCOUS THERMALLY CONDUCTIVE GAS

In the work the author offers an algorithm of the numerical decision of the modified equations of Nave-Stoksa for one-dimensional movement of viscous thermally conductive gas. Test calculations are carried out. The task of distribution of a thermal impulse in gas is realized. The approved computer model is used for studying of one-dimensional geodynamic processes.

Keywords: equations of Nave-Stoksa, viscous thermally conductive gas, numerical modeling, a method of trajectories, a method of final elements.

© Щепановская Г. И., 2011

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.