Одноканальная система массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе в целом Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.32

М. И. Бусарев, А. П. Кирпичников, Д. Б. Флакс

ОДНОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ

В СИСТЕМЕ В ЦЕЛОМ

Ключевые слова: система массового обслуживания, теория очередей, числовые характеристики СМО.

Получена единая система компактных формул, позволяющая адекватно описать основные характеристики стационарных режимов одноканальной СМО - вероятность простоя системы, коэффициента загрузки, среднюю длину очереди, а также вычислить соответствующие этим характеристикам временные величины.

Keywords: queuing system, queuing theory, numerical characteristics of queuing systems.

We’ve got the single system of compact formulas, allowing to describe the based characteristics of the single-channel queuing system stationary modes (system layup probability, loading coefficient, queue average length), and to calculate temporal quantities corresponding with these characteristics.

1. Системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем ожидания заявок в очереди являются одними из наиболее часто встречающихся в приложениях системами массового обслуживания, вследствие чего расчёт их числовых характеристик имеет весьма большой практический интерес. Известно, однако, что этот расчёт зачастую достаточно трудоёмок, а марковские модели, описывающие стационарные режимы такого рода систем массового обслуживания, как правило, неудобны в приложениях, поскольку содержат суммы бесконечных рядов, не сводящихся, в конечном счёте, к геометрическим прогрессиям [1 -3].

В настоящей работе предпринята попытка комплексного описания систем массового обслуживания с ограниченным временем ожидания заявок в очереди, позволяющая упростить большинство промежуточных расчётов. Математической основой при этом является введение в рассмотрение функции Миттаг-Леффлера

(Г- гамма-функция), хорошо известной специалистами в области теории функций комплексного переменного и интегральных представлений, но, как представляется, пока в недостаточной мере востребованной специалистами в области прикладной теории массового обслуживания. Полученная на этой основе единая, внутренне связанная, система сравнительно компактных формул позволяет адекватно описать все основные характеристики стационарных режимов такого рода одноканальной СМО - вероятность простоя системы р0,

коэффициента загрузки П и среднюю длину очереди I, а также вычислить соответствующие этим характеристикам временные величины.

2. Предположим, что мы имеем одноканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и очередью неограниченной длины. Пусть интенсивность потока заявок равна А, а интенсивность обслуживания, то есть среднее число заявок, которые обслуживает прибор в единицу времени, есть ^. Поток обслуживания тоже будем считать простейшим (с интенсивностью д ).

Предположим теперь, что число мест в очереди по-прежнему не ограничено, но время пребывания одной заявки в очереди ограничено некоторым случайным временем 1 со средним

E (z, ц) - ^

k

значением 1 . Тем самым, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода поток уходов с интенсивностью

1

V = -.

Ясно, что если этот поток носит простейший характер, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдём для него вероятности стационарных состояний.

Если в очереди находится п заявок, то при этом суммарная интенсивность уходов заявок из очереди равна п V и тогда граф состояний такого рода системы массового обслуживания имеет следующий вид:

Рис. 1 - Граф состояний системы

Применяя общие выражения (например, [4]) для предельных вероятностей состояний в этой схеме, несложно найти

Л Л2 13

^2 = / \ Р0 ' Р3

или

Р1 = м Ро; Р2 = М (н + V)Ро; Рз = м (М + V)(м + 2у)Ро;

Рі = р• Ро; Р2 =р2тй\ч; Рз = р3/„ оуО „о\; •••,

(і + р)’ (і + в) + 2в)

А

где Р0,Р1,Р2,...- вероятности предельных состоянии, р = — приведённая интенсивность

м

V

потока заявок в систему, а в = — приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок

М

из очереди. В общем виде, очевидно, имеем

р — рк__________________г 0_______________. к — 12

Рк р (1 + р)(1 + 2р)---[1 + (к-1)3]' .....

Вероятность нулевого состояния найдём, как обычно, из условия нормировки

ад

ЕРк = 1 (!)

к=0

и тогда

Ро =■

1 + р +

- +

1 + в (1 + в) + 2(3)

1 + Р

1 + -^- +

1 + в (1 + в) + 23)

(2)

Рассмотрим выражение в квадратных скобках в знаменателе формулы (2).

Ясно, что в случае в = 0 (вариант классической СМО) оно сводится к геометрической прогрессии, сумма которой известна. Покажем теперь, как эту бесконечную сумму, которую мы обозначим буквой Э, записать в достаточной компактном виде с учётом условия в ^ 0 .

Разделим и числитель и знаменатель каждого из слагаемых этой суммы на соответствующую степень в , тогда получим

Б=1+-

Р

в

+

+ ... = £

к

к=0

1 V1 Л (1 Л

+1

.в у Vв

+ 2

где

Г1 ^ — +1

Vв Ук

соответствующий символ Похгаммера [5].

= Е

к

в

+ к

ук

.в

С другой стороны,

где Г - гамма-функция и тогда

(а) = Г(а + к)

(а)к = Г(а) ,

к

к=0

Г

(1

Л

Г

- +1 + к чв у

к

(1 1 — +1

vв У

Г

в + уЮ А1

Л

Г

(1 Л (

- +1 + к в ,

- +1

vв у

Е1

р1

+1 в в ,

где Б1(е, ^) - значение функции Миттаг-Леффлера первого порядка [6, 7]

ад

Е1(г,м) = Е —(—п.

1 к = 0 Г( + к)

Далее, в силу соотношения Г(а + 1) = аГ(а), из формулы (4) имеем

1

Е1 (2,м)=г(м) + 2Е1^2, м +1)

(3)

(4)

и тогда из соотношения (3) следует

2

3

2

р

р

р

Еі

Г

в

ГГ і] е/£;!'

IPJ \ Р.

-1

так что в итоге соотношение (2) даёт следующую формулу для р0 :

1

Ро =

гГ 1 ] е/ £;і V

I в ) \ в в )

(6)

(7)

Легко показать, что в пределе в ^ 0, который соответствует случаю классической СМО (по классификации Кендалла - модель М/М/1) формула (7) переходит в известное соотношение Ро = і - р классической модели.

Рис. 2 - Вероятность нулевого состояния

3. Одной из главных числовых характеристик системы массового обслуживания,

является среднее число I требований, одновременно ожидающих начала обслуживания (то есть средняя длина очереди). Для определения этой величины, воспользуемся обычной формулой

си

т = К -1)

к 5

откуда имеем

т = р2рс

к=і

• + 2

і + в (і + в) (і + 2в)

или

і

р

і 2 д 1 = рр0 ф

р2

і + в (і + в)(і + 2в)

+ •••

л

2 г( і Л д Г р і „ =р РоГ р+і дрЕі в;р+і

Ів ) др Ів в у

в силу формулы (3).

Применяя, в свою очередь, к зависимости (8) известное рекуррентное соотношение [6]

Еі (г; м) = мЕі (г;м +1) + ^Бі (г;м + і),

отсюда получим

I = р Ро Г

Г і і'1 —+1

чв )

Г р 11 і Г р і 1

Е1 р;- - -Е1 р; — +1

_ 1 чв в) в \в в )

или, в окончательном виде, с использованием формулы (5)

1 -(1 - р)ГЧ в

Еі

ч в’в у

(8)

Рис. 3 - Среднее число требований ожидающих обслуживания

Абсолютная пропускная способность системы, то есть среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени, очевидно, определяется в данном случае как

А = А - V I

и тогда коэффициент загрузки П есть просто

то есть

п = р - Ро

(9)

В этом случае, очевидно, что общее число требований в системе в целом будет определяться формулой

к = П + І = р + (1-р)Т =

= р + Ро

1-в

в

1 -(1 - рТ1 ']е1 (р ;—

. Iв)11в в.

(10)

Заметим, что в традиционном для теории массового обслуживания представлении, с помощью вероятности простоя системы р0, формулы (9) и (10) приобретают особенно простой вид

_ Р + Ро _ 1 _ и

I = г—Г0—, п = 1_ р0

в

и

к=р+1-1 (р+р0 - 1Т=р+(1 - вТ(1 - Ро Т

в

в

Рис. 4 - Коэффициент загрузки системы

В пределе в ^ 0, формулы (8), (9) и (10) переходят в обычные зависимости

2

Т = -Р-, п = р, к = Р

1 - р

1-р

4. Соответствующие числовым характеристикам, временные характеристики, то есть среднее время нахождения в очереди одной заявки и среднее время её обслуживания, как обычно, определяются соответствующими формулами Литтла:

‘і=А=

І

А - V I

и

_ = -= П А

А - V I

тогда общее время пребывания одной заявки в системе 1 к = ^

В заключение заметим, что формализацию этой модели можно осуществить и с

использованием вырожденной гипергеометрической функции Куммера [8]

к

(а;Ь;г) = У —

1 п ' ' ' к=о (ьТк к!

то есть

^1 (1Ь;еТ = Г(Ь)Е1 (2,ЬТ,

поскольку (1Тк = к!. В этом случае, очевидно,

1;! +1а

Л

1^1

( 1 Л

1-; а в

’ г-\ ’

V г )

- 1

так что

Р0 ( 1 Л

1^1 1;в;а

V в )

П = р - Ро Ро

1 -(1 - р)^

1;-; а

I =

в

1 -(1 - р)^

в

(1 1 1 р;а

л"

а все остальные формулы остаются без изменений.

Литература

1. Кирпичников, А.П. Открытая одноканальная система массового обслуживания с отказами и неограниченной очередью / А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006.

- №4. - С. 78-86.

2. Кирпичников, А.П. Многоканальные системы массового обслуживания с отказами / А.П. Кирпичников, И.Н. Валеев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. - №4. - С. 66-71

3. Кирпичников, А.П. Замкнутые модели систем массового обслуживания с ограничениями / А.П. Кирпичников, Р.Ф. Гильмутдинов // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. - №4. -С. 220-224.

4. Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель - М.: Советское радио, 1972. - 552 с.

5. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М.: Наука, 1983. - 748 с.

6. Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций / М.М. Джрбашян - М.: Наука, 1966. - 672 с.

7. Гольдберг, А.А. Распределение значений мероморфных функций / А.А. Гольдберг, И.В. Островский

- М.: Наука, 1970. - 591 с.

8. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Дополнительные главы/ А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М.: Наука, 1985. - 800 с.

© М. И. Бусарев - ст. препод. каф. автоматизированных систем сбора и обработки информации КНИТУ, [email protected]; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. автоматизированных систем сбора и обработки информации КНИТУ; Д. Б. Флакс - ст. препод. той же кафедры.

1

р