Один вариант сплайн-вэйвлетного разложения пространств B-сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2009. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.6 А. А. Макаров

ОДИН ВАРИАНТ СПЛАЙН-ВЭЙВЛЕТНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ В-СПЛАЙНОВ *)

Приближение сплайнами исследуется давно (см., например, [1-3]). Активно используются полиномиальные, неполиномиальные сплайны и, в особенности, В-сплайны (см. [4-8]). Сплайны и вэйвлеты (всплески) нашли широкое применение в теории информации. Вэйвлетные разложения связаны с составлением эффективных алгоритмов обработки (сжатия) больших потоков цифровых сигналов (см. [8-10]). В работах [11-14] введены В^-сплайны, источником которых являются соответствующие аппроксимаци-онные соотношения, из которых выводятся как полиномиальные, так и неполиномиальные сплайны, рассмотрены соответствующие вэйвлетные разложения. В данной работе продолжаются исследования в упомянутом направлении.

В простейшем случае исходный сигнал отождествляется с функцией, заданной на интервале (а, в) вещественной оси. Для компьютерной обработки используется дискретный сигнал, представляемый сеточной функцией, определяемой как значения исходной функции (или результатов ее сглаживания) в узлах некоторой сетки. Построение сеточной функции позволяет приближать исходную функцию с помощью того или иного аппарата аппроксимации или интерполяции. Далее линейное пространство таких приближений представляется в виде прямой суммы пространств: основного и вэйвлет-ного. Часто основное пространство связывают с сеткой, получающейся выбрасыванием (или добавлением) узлов из исходной сетки, а подпространство вэйвлетов определяют операцией проектирования исходного пространства на основное. Таким образом, порождается разложение упомянутого приближения на основную и вэйвлетную составляющие. Представления элементов данного разложения в базисах рассматриваемых пространств порождают соответствующие формулы декомпозиции и реконструкции. Затем каждое из подпространств иногда также разлагают в прямую сумму некоторых подпространств, возможно, продолжая такой процесс дальше. Таким образом, исходный поток информации удается разложить на составляющие так, что можно выделить основной и уточняющий информационные потоки; это приводит к сжатию поступающего цифрового сигнала.

В настоящей работе изучаются В-сплайны третьей степени. Показывается, как они могут быть получены из аппроксимационных соотношений применением общих результатов из работы [12] к полиномиальному случаю; строится система функционалов, биортогональная системе В-сплайнов. Известно, что использование неравномерной сетки позволяет улучшить приближение функций без усложнения вычислений (см. [15]).

Макаров Антон Александрович — постдок кафедры параллельных алгоритмов математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 22. Научные направления: вычислительная математика, теория аппроксимации, сплайны, вэйвлеты, параллельные алгоритмы, сжатие данных. E-mail: Antony.Makarov@gmail.com.

+ ) Работа частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты № 07-01-00269 и 07-01-00451).

© А. А. Макаров, 2009

В данной работе установлены калибровочные соотношения, дающие представление В-сплайнов на крупной сетке в виде линейной комбинации В-сплайнов на мелкой сетке, получены телескопические системы пространств В-сплайнов третьей степени и дано их сплайн-вэйвлетное разложение при произвольном способе измельчения сетки, а также приведены формулы декомпозиции и реконструкции. В работе [16] предложен другой вариант построения вэйвлетной схемы, основанной на В-сплайнах на неравномерной сетке.

В п. 1 предлагаемой работы вводятся необходимые предварительные обозначения. В п. 2, для удобства читателя, формулируются некоторые утверждения из работы [12]. В п. 3 и 4 приводятся нужные нам представления В-сплайнов и биортогональной системы функционалов для них, а также рассматривается весьма необычная интерполяционная задача, порожденная упомянутой биортогональной системой. Пункты 5 и 6 посвящены калибровочным соотношениям, вложенности пространств В-сплайнов на измельчающейся сетке, вэйвлетным разложениям и вытекающим из них формулам декомпозиции и реконструкции.

1. Предварительные обозначения. Пусть Z - множество целых чисел, И1 - множество вещественных чисел. Линейное пространство четырехмерных вектор-столбцов обозначим через И4, причем векторы в нем будем отождествлять с одностолбцовыми матрицами и применять к ним обычные матричные операции; в частности, для двух векторов а, Ъ € И4 выражение атЪ представляет собой евклидово скалярное произведение этих векторов. Квадратная матрица, столбцами которой являются векторы а, Ъ, с, ё € И4 (в указанном только что порядке), обозначается символом (а, Ъ, с, ё), а выражение ёе^а, Ъ, с, ё) обозначает ее определитель.

Упорядоченное множество А =£ {а^-векторов ау- € И4 будем называть цепочкой векторов. Цепочка А называется полной цепочкой векторов, если матрица Aj =£ ^а^_з, а^-2, а^-1, а^ является неособенной матрицей при любом ^ € Ъ.

Для произвольных векторов х, х', х", у, у', у'', z, z/, z// € И4 введем полилинейную вектор-функцию а, задаваемую символическим определителем

а(х, х', х'', у, у', у'', z, z/, z//) ‘

ёе!

ёе^у, у', у'', х) ёе^у, у', у'', х') ёе^у, у', у'', х'')

уёе^, z/, z//, х) ёе^, z/, z//, х') ёе^, z/, z//, х'')]

Через С2 (а, в) обозначим линейное пространство функций, непрерывных вместе с первой и второй производными на интервале (а, в).

2. Пространство В^-сплайнов. На интервале (а, в) С И1 рассмотрим сетку

X = X Ъег,

X : ... < х-1 < хо < Х1 < ...; пусть а =£ Иш х^, в == 1™ х^ ■ (2-1)

j^-<x> j^+<x

Введем обозначения М=£ (xj,xj+l), Sj =£ [х^-,Xj+4], =£{к — 3, к — 2,к —

1,к}, где к, ] € Ъ. Для определенности в дальнейшем будем считать, что интервал (а, в) конечен (небольшая модификация предположений позволяет рассмотреть случай полубесконечного интервала, а также случай, когда (а, в) = И1).

х

При К0 > 1, К0 € И1 обозначим через X(К0,а,в) класс сеток вида (2.1) со свойством локальной квазиравномерности

Ко ^ (xj+l — Xj)(xj — Xj—1) <Ко Шз € Ъ,

и положим Нх =£ вирjez (xj+l — Xj).

Пусть v(t) - четырехкомпонентная вектор-функция (столбец) с компонентами из пространства С2(а,в); вводя обозначения V, =£ v(xj), V /j =£ V/(xj\<^// =£ V //(xj), определим цепочку векторов {а,} формулой

ёе£

а,

-+3 = а(т1, V j + 1, V /j + 1, Vj+2, v'j+2, V/j+2, Vj+3 , V ,+3 , V /j+3), 3 € Ъ, (2.2)

и рассмотрим векторы ё, € И4, задаваемые тождеством

ётх = det(vj, V/j, V'/, х), х € И4, 3 € Ъ. (2.3)

Если цепочка векторов {а,} полная, то из условий

а,/ ш,/ (4) = v(t) Ш € X,xk+1), к € Ъ, ш,(4) = 0 Ш € Sj П М (2.4)

j/ ^Jk

однозначно определяются функции ш, (4), 4 € М, 3 € Ъ.

Линейная оболочка Б^(Х) функций ш,(4), 3 € Ъ, называется пространством В^-сплайнов на сетке X, функции ш,(4) - координатными В^-сплайнами (третьего порядка), V - порождающей вектор-функцией для пространства В^(X). Условия (2.4) называются аппроксимационными соотношениями.

Лемма 1. Если V € С 4[а,в], вронскиан Ш (Ь) == det(v, V','^",'^"' )(4) отличен от нуля на отрезке [а, в] и X € Х(К0, а, в) для некоторого К0 ^ 1, то существует е > 0 такое, что при Нх < е цепочка векторов {а,} является полной.

Доказательство сводится к использованию формулы Тейлора в представлении

(2.2) для получения асимптотики, равномерной на интервале (а, в). Более подробное доказательство здесь приводить не будем. ■

Теорема 1. Если цепочка векторов {а,} полная, то функции ш, (4) дважды непрерывно дифференцируемы на интервале (а, в) и справедливы формулы

ёт v(t)

= —т пРи (2-5)

ё а

лл _ ёТ V(t) ёТ а,+ 1 dT+lV(t) .г ,

,т 1 т ' 1 т при Ь € (2-6)

ё3 а, ё3 а, ё,+ 1а,+ 1

4+4аД-1 ^+зФ) , ,

ё,+4а, ё,+4а, ё,+3а,—1

шз(1) = —т------- пРи ^ ^ {хз+3’хз+4Ъ (2-8)

ё,+4а,

ш, (4) = 0 при 4 € [X,,Xj+4].

Доказательство получается подстановкой формул (2.5)-(2.8) в аппроксима-ционные соотношения (2.4) с использованием определения векторов а, и ё, (см. (2.2) и (2.3)). Непрерывность функции ш,(4), ее первой и второй производных проверяется в узлах Xj+i, г = 0,1, 2, 3,4, непосредственным применением формул (2.5)-(2.8). В остальных точках интервала (а, /3) их непрерывность очевидна. ■

3. Полиномиальные В^-сплайны. Пусть v(t) = (1,t,t2,t3)т. Вронскиан Ш(Ь)=£det(v(t),v/(Ь)^''(Ь)^"'(4)) отличен от нуля, ибо

Ш (Ь) = det

1 0 0 0

Ь 1 0 0

Ь2 2Ь 2 0

^3 2 3 6Ь 6

= 12.

Поэтому для достаточно мелкой сетки но квазиравномерных сеток координатные supp ш, (Ь) = [X,, Xj+4], где 3 € Ъ.

Лемма 2. Для Ь € (а, в), 3 €Ъ верны

ёТ v(t) = 2(Ь — X, )3, ётV '(Ь) = 6(Ь — X, )2, ётV''(Ь) = 12(Ь — X,).

из фиксированного класса локаль-В^-сплайны существуют, при этом

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Доказательство. Воспользуемся формулой (2.3) для определения произведения ёт v(t), тогда

ёТV(t) = det(Vj, V',,^2, V(t)) = det

1 0 0 1

X 1 0 Ь

X2 2xj 2 Ь2

Ч2 6xj Ь3)

2(Ь — xj)3.

Равенство (3.1) установлено. Аналогично предыдущему вычислению, учитывая, что V '(Ь) = (0, 1, 2Ь, 3Ь2)т и V ''(Ь) = (0, 0, 2, 6Ь)т, получаем ё"тV '(Ь) = 6(Ь — X,)2 и (1^ <£>"(£) = 12(£ — Ху). Лемма доказана. ■

Замечание 1. Формулы (3.2) и (3.3) выводятся из соотношения (3.1) дифференцированием по переменной Ь.

Лемма 3. Справедливо тождество

ё ak = 144^+1 — Xk+2 )^к+2 — xk+з)(xk+з — xk+l)x

x(xk+l — X1 )^+2 — X1 )^+3 — X1), 3, к € Ъ.

(3.4)

Доказательство. Разложим определитель (2.2) по первой строке, тогда ak можно записать в следующем виде:

^ = ^+1^+1 + ^+11Р н+1 + 7k+lV k/+l, (3.5)

где

^е^ тт , Ат п Ат ! Ат и (о а\

аk+1 = dk+2 V k+1dk+3V k + 1 — dk+3V k + 1dk+2 V k+1, (3.6)

^+1 =£ — (ёт+2Vk+1dT+3V £+1 — ёт+3Vk + 1dT+2 V й+1 ^ (3.7)

^е^ тт Ат / Ат Ат / /оо\

7k + 1 = dk+2Vk+1 dk+3V k+1 — dk+3Vk+1 dk+2(Р k + 1. (3.8)

Согласно (3.5), имеем равенство

ёт = ёт (аk+l Vk+l+вk+lV н+1+7k+lV й+1) =

= аk+ldTVk+l+вk+ldTV н+1 + 7k+ldTV й+1.

Теперь вычислим коэффициенты аk+l,вk+l,7k+l- Для этого воспользуемся леммой 2 при Ь = Xk+l и выполним перенумеровку соответствующих индексов в тождествах

(3.1)—(3.3). Таким образом, следуя (3.6),

ak+1 = 72(^ + 1 — Xk+2 )2(xk+1 — ^+3) — 72(xk+1 — xk+3 )2(xk + 1 — Xk+2) =

72(xk+1 Xk+2)(xk+2 xk+3 )(xk+3 xk+1). (3.9)

Далее из (3.7) находим

^ + 1 = —24(xk + 1 —xk+2)3(xk + 1 — xk+3) + 24(xk + 1 — xk+3 )3(xk+1 — ^+2) =

= —24(xk + 1 — Xk+2)(xk+2 — xk+3)(xk+3 — xk + 1)(2xk+1 — Xk+2 — xk+3). (3.10)

Наконец, из (3.8) получаем

7k+1 = 12(xk + 1 — ^+2)3 (xk+1 — xk+3)2 — 12(xk + 1 — xk+3 )3(xk+1 — Xk+2 )2 =

= —12(xk + 1 — Xk+2)2 (xk+2 — ^+3 )(xk+3 — xk+1)2. (3.11)

Итак, ввиду равенства (3.5) имеем ёт= 144[(xk+l — xk+2)2(xk+l — Xk+з)(xk+l —X,)3 — (xk+l — Xk+з)2 ^+1 — xk+2)(xk+l — X2 )3 —(xk+l — Xk+2 )3(xk+l —Xk+з)(xk+l—xj )2 + (xk+l — Xk+з )3^+1 — xk+2)(xk+l — X2 )2 + (xk+l—xk+2)3(xk+l — Xk+з )2(xk+l — X2) — ^+1 — Xk+з)‘i(xk+l — xk+2)2(xk+l — X2)]. После вынесения за скобки общих множителей и приведения подобных получаем равенство ёт= 144(xk+1 — xk+2)(xk+1 — xk+3)(xk+3 — Хк+2){хк+1~х^{хк+2 - х^)(хк+3 - Х^). Лемма доказана. ■

Согласно формулам (2.5)—(2.8), используя соотношения (3.1) и (3.4), получаем следующее представление функции ш, (Ь):

1) при Ь € [X, ^2+1) справедливо тождество

1

ш2 (ь) =

Xj+2 )(xj+2 xj+3)(xj + 1 xj+3)

(Ь — X)3

(x2 — xj + 1)(xj — Xj+2)(xj — xj+3) ’

2) при Ь € [xj+l,Xj+2) справедливо тождество

1

ш2 (ь)

Xj+2 )(xj+2 xj+3)(xj+1 xj+3 )(xj xj + 1)

X

(4 х^) (4 ^'+1) (ж^+4 хз)

Xх] х]+2 )(х] х]+3) (х]+1 х]+2)(х] + 1 х]+3 )(х] + 1 х]+4)_

3) при 4 € [х]+2,х]+з) справедливо тождество

^ ______________________________________1_______________________________^

3 72(хЗ + 1 - хз + 2)(хз+2 - Ж,-+3)(ж,-+1 - Хэ+3)(Хэ+4 - Хз+3)

(4 — х]+4 ) (4 — х]+3) (х]+4 — х] )

_(х]+4 х]+1)(х]+4 х]+2) (х]+3 х] )(х]+3 х]+1 )(х]'+3 х]+2)_

4) при 4 € [х]+з, х]+4] справедливо тождество

1

Ш] (4) =

72(х]-+1 х]+2 )(х]+2 х]+3)(х] + 1 х]+з)

(г - Хз+4)3

(х]+4 х] + 1)(х]+4 х]+2 )(х]+4 х]+3)

Из соотношений (3.5), (3.9)—(3.11) видно, что ак = ск а^, где

ск = 72(хк + 1 хк+2 )(хк+2 хк+3)(хк+3 хк+1)?

* ёе£

к=

I 1 \

з(х£;+1 хк + 2 хк + з)

з(х£;+1х£;+2 Х£;+2Х£;+3 х£;+Зх£; + 1)

\ хк+1хк+2хк+3 у

(3.12)

Разделив соотношение (3.4) на ск = 0, получаем равенство

ак = — 2(х] — хк+1)(х] — хк+2)(х] — хк+3), ^ & € 2. (3.13)

Согласно лемме 1, цепочка векторов {ак } является полной, а значит, и {а^} - полная цепочка векторов, поэтому аппроксимационные соотношения (2.4) (система линейных алгебраических уравнений с векторами а^) по теореме Крамера однозначно разрешимы, а их решение дается формулами (2.5)-(2.8). Нетрудно видеть, что выбор длины векторов ак влияет лишь на нормировку соответствующих функций Шк, а на пространство Б^(Х), натягиваемое на эти функции, никакого влияния не оказывает.

Замечание 2. Для любых двух последовательностей ненулевых чисел {],1}]ег и {с],2}]Е% соответствующие образующие функции Ш], 1 и Ш], 2 пространства В^-сплайнов отличаются лишь постоянным множителем, = uJjt2■ То есть выбор последовательности ненулевых чисел с],1, с],2 не меняет порожденного пространства Б^(Х).

Положим шВ (4) =£ С] Ш] (4). Тогда

i=j,iфj+2 _ хз')

где 4 € [х] ,х]+4], ] € Ъ, а символом # обозначен аналог усеченной степени,

(4 _ х.) ^ ( (4 — х®)+, 4 € [х], х]+2),

( # = \ ^ — х^)_, 4 € [х]+2,х]+4],

(і — Хі)+ =£ шах{0, і — хі}, (і — хі)- =£ шах{0, Хі — і}.

Таким образом, ш? (і) является нормализованным В-сплайном третьей степени (см., например, [2]).

Замечание 3. Используя соотношения (3.1) и (3.13), видно, что равенство (3.14) также получается непосредственной подстановкой вектора а*к в формулы (2.5)—(2.8).

Линейная оболочка функций ш? (і), і Є Z, называется пространством нормализованных В-сплайнов (третьей степени) на сетке X и обозначается В(Х).

4. Биортогональная система и интерполяционная задача. Рассмотрим некоторое линейное пространство И над полем вещественных чисел и сопряженное ему пространство И* линейных функционалов ] над пространством И. Значение функционала / на элементе и Є И обозначим через (/,и). Система функционалов {^}jЄZ биорто-гональна системе функций {шj' }j'ЄZ, если ,шj^) = 5j}j> У і, і' Є Z, где 5j}j> - символ

Кронекера.

Рассмотрим линейные функционалы {fj}jЄz, заданные на пространстве С2(а, в) формулой

(^,и) = Чх'+О + (Х'+2 + х^+3 — 2xj+1) и'('^ + 1)/3 +

+ (xj+2 — Xj+l)(xj+з — Xj+1) и''(х^-+1 )/6, и Є С2(а, в), і Є Z. (4.1)

Результат действия функционала fj на функцию и определяется значением этой функции и ее первой и второй производных в точке х^-+1; эту точку будем называть носителем функционала ^ и писать 8ирр£; = Xj+1.

Теорема 2. Система линейных функционалов {^}jЄZ биортогональна системе функций {ш? ^'єх, т. е.

(^,ш?,) = Sj,j' Уі,і' Є Z.

Доказательство. Для того чтобы система функционалов fj ,і Є Z, была биортогональна системе В-сплайнов {ш?, }j'Єz, необходимо и достаточно, чтобы

и к ,?) = ак. (4.2)

Действительно, применяя функционал ик к аппроксимационным соотношениям

(2.4), имеем

к

]Г а*^к,шВ) = Ук^). (4.3)

j=k-3

Из упомянутой биортогональности выводим соотношение (4.2). Обратно, если выполнено соотношение (4.2), то из (4.3) находим

к

]Г а*Ук,шВ) = ак.

j = k-3

С учетом полноты цепочки векторов {а* } из однозначной разрешимости полученной системы уравнений выводим свойство биортогональности.

Из определения вектора а* по формуле (3.12) видно, что

а* = ^' + 1 + (^+2 + х^'+3 — 2xj+l)y^-+1/3 + (^+2 — ^ + 1)(^+3 — xj+1 V '+/6, (4.4)

отсюда приходим к равенству (/^, ср) = а*. Теорема доказана. ■

Рассмотрим интерполяционную задачу

и(хл+1) + (Х'+2 + Х'+3 - 2хл+1) и \х^+1 )/3 + +(х,-+2 - х^+1)(х^+з - ху+1) и "(х^-+1)/6 = VI, У] е Z, и еВ(Х),

(4.5)

где ^}л^х - заданная последовательность чисел (бесконечная в обе стороны).

Теорема 3. В пространстве В(Х) существует единственное решение задачи

(4.5), которое дается формулой

Доказательство вытекает из теоремы 2. ■

Замечание 4. При каждом фиксированном Ь е (а, в) в сумме (4.6) имеется не более четырех ненулевых слагаемых.

5. Сплайн-вэйвлетное разложение. Исходную сетку X дополним новым узлом £, и на построенной таким образом сетке X (неравномерной) рассмотрим сплайны

Условимся надчеркивать обозначения всех ранее введенных объектов, определяемых новой сеткой X, в частности положим

Функции можно отыскать по формуле (3.14), заменив узлы исходной сетки на узлы х^, ] € Z.

Для построенных сплайнов справедливы калибровочные соотношения (см. [12]), которые дают представление координатных сплайнов на исходной сетке в виде линейной комбинации координатных сплайнов на сетке, полученной измельчением исходной:

(4.6)

jez

— с1е£ /— \ — / с1е£ //— \ — // с1е£ ///— \

Ъ = Пхз), <Рз = <Р{хз)> Уз=У

— ае£ /— — / — // — — / — // — — / — //\

а3 = а(^' +1, ¥> з + Ъ ¥>3 + 1, ¥>д +2, ¥> д + 2, 3 + 21 ¥з+3, V з+з^з+з),

(1 а= (1е1^^, х), где х € М4, з € Z.

(5.2)

j

где

р'г,л = &гл при г ^ к — 4, р* ^ ^ ^-_1 при г ^ к + 1,

рк_з л = 4_з л при ] = к — 2, рд_2 ,л = 0 при ] / {к — 2,к — 1}, рк_1 л = 0 при ] / {к — 1, к}, ркл = 4+1 л при ] = к,

Рк-3,к-2 — «1д,+2ай-2/с1д,+2ай-3,

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

где

—т _ —т

Рк-2,к-1 = ^к+Зак-1/&к+Зак-2, (5.8)

—т _ —т

рк-1,к-1 = {1д,_1ад;_1/(1д,_1ад;_1, (5-9)

/ АТ~ \

I ~~т т а э. ^ \ /_т

рк-1,к = ( &к-1ак — Ак-1ак+1^]^ ) ^-к-1 ак-1, (5.10)

V «1йай + 1/

—т _ —т _

рк,к = &к&к/&как+1- (5.11)

Для рассматриваемых В-сплайнов и? (£) упомянутые соотношения конкретизируются в следующей теореме.

Теорема 4. Для £ е (а, в) справедливы калибровочные соотношения

и;В (£) = й}В (£) при j < к — 4, ш? (£) = при j > к + 1,

^£-з(*) = ^£_3(г) +рй-з,й-2^£_2(г),

Шк-2КЧ = Рк-2,к-2^к-2КЧ + Рк-2,к-1^к-ЛЧ, шк-Л*) = Рк-1,к-1^к-Л4) + Рк-1,к^к (*),

^к(*) =Рк,к^к(4)+^к+1^),

•£&+2 хк — 2 /г п 0ч

Рй-3,й-2 = Рй-2,й-2 = ----ГГ---, (5.12)

хк-\- 2 хк — 2 хк-\- 2 хк — 2

^ хк^3 ~ хк+1 хк+1 ~ хк-1 /с10\

Р& —2,& —1 — =------=----, Рк-1,к-1 — ------=----,

хк-\- 3 хк— 1 хк-\- 3 *£&—1

•£&+4 хк-\-1 /г п .ч

Рй-1,й = ^----------ГГ1-, Рк,к = ------—• (5.14)

хк-\- 4 хк хк-\- 4 хк

Доказательство. Рассмотрим сетку X, полученную добавлением одного узла в исходную сетку X. Очевидно, что при таком добавлении функции, изучавшиеся ранее на исходной крупной сетке, могут быть рассмотрены и на мелкой сетке. Поскольку интересующие нас функции имеют локальный характер, то в некоторых случаях «старые» и «новые» функции (т. е. функции, полученные на сетке X и сетке X соответственно) совпадают, но поскольку и те, и другие выражаются через вектор-функцию у>(£) и ее производные, вычисленные в узлах соответствующей сетки, а исходная крупная сетка является подмножеством расширенной мелкой сетки, то ясно, что «старые» (а тем более и «новые») функции могут быть выражены через вектор-функцию у>(£) и ее производные, вычисленные в узлах расширенной мелкой сетки. Тогда формулы (5.12)—(5.14) для коэффициентов pi ^ вытекают из подстановки вектора ак (см. равенство (3.12)) в формулы (5.6)—(5.11) и дальнейшего вычисления pi ^, применяя соотношение (3.13) к сеткам X и X. я

Далее положим

с, л = ^ л при ] ^ к — 4, qiл = ^ л_1 при ] ^ к + 2 Уг е Z; (5.15)

qi л = б!, л Уг ^ к — 3, ] = к — 3,к — 2,к — 1,к,к +1; (5.16)

qi л = 5.1+1 л Уг ^ к, ] = к — 3,к — 2,к — 1,к, к +1; (5.17)

Цк-2,і = о, і = к - 1,к,к +1; qk-l,j = 0, і = к,к +1; (5.18)

Цк-2,к-2 = Рк-2,к-2, Цк-1,к-1 = рк-і,к-1, (5.19)

—Т —Т _ —Т

„ _ ‘ік-Зак-2 <Ік_3&к-2 <Ік_2&к-2 , .

^\к — 2,к—3 _^р _^р ' _^р і (^£>.2и)

д-к-з&к-з сі^_3а^_з (1^_2а^_2

л і ^ ^ ^

Цк — 1,к—3 гр і (5.21)

&к+Іак-3

—Т —т _ —т

„ _ д-к-2ак-1 &к-2ак-1 &к-Іак-1

Є\к — 1,к — 2 _'р _'р ‘ _'р •

&к-2ак-2 *Ік_2ак — 2 &к-1ак-1

Теорема 5. Для к Є Z верны тождества

хк+1 — хк+2 хк +2 — хк-2 /с осЛ

<\к-2,к-3 — =-------=----, Цк-2,к-2 — —------------=-, (0.2^

хк-\-1 хк — 2 хк-\-1 хк — 2

(хк +1 — х£;+2) (х£; + 1 — хк+ з) ^

Яй-і,й-з = 7=---------и---гт=----------------и-г, (5.24)

\хк-\-1 — 2)\хк-\-1 хк — 1)

(хк+2 — хк-2){хк+1 — хк+з) /с ос^

С\к-1,к-2 = ~7=.------И---\7—----------------=-\ ’ (5.25)

\хк-\-1 хк — 2)\хк-\-1 хк — 1)

л хк-\-З *£& —1 ^ с

С\к — 1,к—1 — И И • (5.25)

хк-\-1 *£& —1

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 4 построения следует вести на расширенной сетке X, так как требуемые функции могут быть выражены через вектор-функцию у>(і) и ее производные, вычисленные в узлах расширенной сетки. Коэффициенты qi,j получаются использованием тождества (3.13) в формулах (5.19)— (5.22). ■ ’

Замечание 5. Пусть система функционалов {fjбиортогональна системе функций а {fj}jEZ биортогональна системе Тогда

Рз,з’ = (Iг ’ > йу) V?, /ег.

Упомянутые равенства проверяются непосредственным применением формул (2.3), (3.13), (3.14), (4.1), (4.4) и (5.1). _

Согласно соотношениям (5.2), справедливо включение В(Х) С В{Х). Рассмотрим оператор Р проектирования пространства В(Х) на подпространство В(Х), задаваемый формулой Ри = аг={Л,и) УїїєВ(Х), и введем оператор <3=/ — Р, где I—

тождественный оператор.

Пространство \У*= С}В(Х) называется пространством вэйвлетов (всплесков), а прямое разложение

В(Х) = В(Х) + И^ (5.27)

- сплайн-вэйвлетным разложением пространства В(Х).

Таким образом, получается разложение исходного пространства на основную и вэйвлетную составляющие. Представления элементов такого разложения в базисах рассматриваемых пространств порождают соответствующие соотношения между коэффициентами этих представлений. Соотношения, которые позволяют перейти

от коэффициентов базиса исходного пространства к коэффициентам базиса основного и вэйвлетного пространств, называются формулами декомпозиции, а соотношения, дающие обратный переход, - формулами реконструкции.

Пусть щ и Ъ# - коэффициенты в разложениях проекций элемента и£.В{Х) на пространства В(Х) и ТУ : Ри = , С>и = 5^, . В соответствии с формулами

(5.2) и_(5.27) имеем и = ]Г\ + ]Г\, = а*Рм' + так что для чисел

= (Угл) получаем

с- ^ ^ , ^ € Ъ.

г

Тогда для рассматриваемого сплайн-вэйвлетного разложения (5.27) формулы де-

композиции имеют вид (подробнее см. [13, 17])

о- = с- при ] ^ к — 3, о- = с-+1 при ] ^ к, (5.28)

Ок —2 = Чй-2,й-3Сй-3 + Чй-2,й-2Сй-2, (5.29)

ак—1 = Чй-1,й-зСй-з + Як—1,к—2Ск—2 + Як—1,к—1 Ск-1, (5.30)

bj = 0 при ] = к, (5.31)

Ьк ск рк—1,к (як — 1,к—3Ск—3 + Як—1,к — 2Ск — 2 + — 1,^ — 1с^ —1) Рк,кск + 1, (5.32)

формулы реконструкции -

^ = aj при ] ^ к — 3, с- = аj—1 при ] ^ к +1, (5.33)

Ск — 2 = Рк—3,к — 20к—3 + Рк — 2,к — 20к — 2, (5.34)

Ск — 1 = Рк — 2,к — 10к — 2 + Рк —1,к —10к —1, (5.35)

ск рк—1,к ак— 1 + рк,к ак + bk, (5.36)

где коэффициенты р,- и я*,- вычисляются по формулам (5.3)-(5.5), (5.12)-(5.18), (5.23)-(5.26).

6. Вэйвлетные разложения при последовательном измельчении сетки. Рассмотрим бесконечную последовательность {Xя}, в = 0,1, 2,..., вложенных сеток вида

(2.1): X0 С X1 С X2 С ... , причем каждая следующая сетка отличается от предыдущей добавлением одного узла, не совпадающего с узлами расширяемой сетки. Предположим, что Xв€К(а, в, Ко), где Ко — фиксированное число; пусть еще выполнены условия леммы 1 и для указанного там е справедливы неравенства кх° < е, в = 0,1, 2,... .

Ввиду включения В(Xя) С В (Xя+1), в = 0,1, 2,..., получается система последовательно вложенных пространств (телескопическая система)

В^0) с в^ 1) с в^2) с ....

Обозначая координатные сплайны пространства В^ 8) через 8, I € Ъ, видим,

что справедливы калибровочные соотношения

8(*) = ^ Р 8+1(г) У t € (a,в), (6.1)

j

( 8)

где коэффициенты р l j определяются по формулам (5.3)-(5.5) и (5.12)-(5.14), в которых следует взять X = Xя, X = Хя+1 и произвести подходящую перенумерацию

узлов. Заметим, что ввиду теоремы 4 в каждом из соотношений (6.1) имеется не более двух ненулевых слагаемых. Применяя к телескопической системе пространств предыдущие построения (см. (5.27)), получаем сплайн-вэйвлетное разложение вида В^я+1) = В^я) + , последовательное использование которого приводит к прямому

разложению пространства В =£ У +=0 В^я) в виде прямой суммы

В = В^0) + Ж0 + Ж1 + Ж2...

и к формулам декомпозиции и реконструкции (см. формулы (5.28)-(5.36)).

Из последовательности чисел 0,1, 2, 3,... выделим подпоследовательность в0 < в1 < в2 < ... < вр < ... < вд < ... и проанализируем соответствующую последовательность сеток XЯ0 С XЯ1 С XЯ2 С ... . Сетка Xвч получается из сетки Xвр добавлением вд — вр узлов, так что можно рассмотреть телескопическую систему пространств

в^"р) с в^"р+1) с в^8р+2) с ... с в^*<>).

Рекуррентно применяя соотношение (6.1) при в = вр,вр + 1,...,вд — 1, находим калибровочные соотношения

< 8Р = Е р р, 8ч Ч 8,, (6.2)

3

где функции 8р и 8, строятся по формуле (3.14) при X = Xвр и X = X 8ч соот-

ветственно. Нетрудно видеть, что число ненулевых слагаемых в соотношении (6.2) не превосходит числа 2"ч—8р. При вычислении коэффициентов р \8ч ) нет необходимости в упомянутом рекуррентном процессе: можно лишь применить систему функционалов {/"Ч}-^ъ, биортогональную системе {шв 8 }j'eZ. Эта система функционалов определяется формулой (4.1) при X = X8ч, что позволяет, аналогично замечанию 5, найти числа

Р( 8р, 8ч ) _ I £ 8ч . .В \

Р £ j , Шг, 8р / .

С помощью биортогональных систем в этом случае легко получаются формулы декомпозиции и реконструкции.

Отметим также, что проведенные здесь построения позволяют получить сплайн-вэйвлетное разложение на отрезке, содержащем конечное число узлов, или на полуоткрытом интервале. Действительно, пусть [с, Щ - отрезок, содержащийся в интервале (а, в). Ввиду того, что точки а и в являются единственными предельными точками сеток Xя, множества Xя =£X8 р| (с,Щ) представляют собой конечные сетки на [с, Щ]; существуют к,п € Ъ такие, что Xя : Хк8 < Хк+18 < ... < хп,8. Очевидно, что

Xя € К(с, Щ, К0), где К(с, Щ, К0) - класс локально квазиравномерных сеток (рассматриваемый для тех ], для которых соответствующие узлы принадлежат сетке Xя; более точные формулировки давать не будем). Охарактеризуем те функции .гВ, 8, пересечение носителей которых с интервалом (с, Щ) не пусто. Сужения функций шВ8 на отрезок [а, в], очевидно, удовлетворяют калибровочным соотношениям (6.1) при £ € [с, Щ], и, следовательно, соответствующие линейные пространства В-сплайнов на рассматриваемом отрезке образуют телескопическую систему. Вэйвлетное разложение последней образуется с помощью применения конечной биортогональной системы функционалов, получаемой из приведенной выше конечной системы удалением функционалов, носители которых не содержатся в отрезке [с, Щ]. Для полуоткрытого интервала рассуждения аналогичны.

1. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

2. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

3. Schumaker L. L. Spline Functions. Basic Theory. New York: Waley Interscience, 1981. 548 p.

4. Малоземов В. Н., Певный А. В. Полиномиальные сплайны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 120 с.

5. Калиткин Н. Н., Шляхов Н. М. S-сплайны произвольной степени // Докл. РАН. 1999. Т. 367, № 2. С. 157-160.

6. MUhlbach G. ECT-B-splines defined by generalized divided differences // J. Comput. and Appl. Math. 2006. Vol. 187. P. 96-122.

7. Макаров А. А. Нормализованные тригонометрические сплайны лагранжева типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 3. С. 81-87.

8. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2005. 671 с.

9. Чуи Ч. К. Введение в вэйвлеты / пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2001. 412 с.

10. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53, № 6. С. 53-128.

11. Демьянович Ю. К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые разложения // Докл. РАН. 2005. Т. 401, № 4. С. 1-4.

12. Демьянович Ю. К., Макаров А. А. Калибровочные соотношения для неполиномиальных сплайнов // Проблемы математического анализа. Вып. 34: межвуз. сб. / под ред. Н. Н. Уральцевой. Новосибирск: Изд-во Т. Рожковская, 2006. С. 39-54.

13. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения на неравномерной сетке // Труды С.-Петерб. мат. об-ва. 2007. Т. 13. С. 27-51.

14. Макаров А. А. О распараллеливании вэйвлетных методов сжатия информации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 4. С. 45-49.

15. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке // Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 3. С. 313-316.

16. Зимин А. В. Вэйвлетная схема, основанная на сплайн-аппроксимации кубическими S-сплайнами на неравномерной сетке // Методы вычислений. Вып. 22: сб. статей / под ред. В. М. Рябова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 64-76.

17. Макаров А. А. Вложенность пространств S^-сплайнов третьего порядка и вэйвлетные разложения // Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й Междунар. науч. конференции аспирантов и студентов. СПб., 9-12 апреля 2007 г. / под ред. А. В. Платонова, Н. В. Смирнова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. С. 171-174.

Статья рекомендована к печати член-кор. РАН, проф. Г. А. Леоновым.

Статья принята к печати 25 декабря 2008 г.