Алгоритмы вэйвлетного сжатия пространств линейных сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2

АЛГОРИТМЫ ВЭЙВЛЕТНОГО СЖАТИЯ ПРОСТРАНСТВ ЛИНЕЙНЫХ СПЛАЙНОВ

А. А. Макаров

С.-Петербургский государственный университет,

канд. физ.-мат. наук, ассистент, Antony.Makarov@gmail.com

Сплайны и вэйвлеты (всплески) нашли широкое применение в теории информации. Вэйвлетные разложения связаны с составлением эффективных алгоритмов обработки (сжатия) больших потоков информации. Если удается установить вложенность пространств сплайнов на последовательности укрупняющихся/измельчающихся сеток и представить цепочку вложенных пространств в виде прямой суммы вэй-влетных пространств, а также реализовать базисные функции с минимальной длиной носителя, то это ведет к вэйвлетному разложению потока информации и существенно экономит ресурсы вычислительных систем. Таким образом, исходный поток информации удается разложить на составляющие так, что можно выделить основной и уточняющий информационные потоки. Это приводит к сжатию поступающего цифрового сигнала и к возможности быстрой передачи основного потока и фрагментарной передаче уточняющего потока в зависимости от потребностей. Хорошо известны вэйвлетные разложения в случае равномерной сетки на интервале (а, в) = К1 • В этом случае применяется мощный аппарат гармонического анализа [1] (в пространстве функций Ь2(М1) и в пространстве последовательностей I2), используется лифтинго-вая схема [2] или вэйвлетная схема [3].

Многие практические приложения требуют рассматривать ограниченный интервал (а, в)с К1 и неравномерную сетку. Например, для эффективного сжатия неоднородных потоков информации (имеющих сингулярности или быстро меняющиеся характеристики) целесообразно использовать адаптивную неравномерную сетку, учитывающую особенности обрабатываемого потока. Это позволяет улучшить приближение функций без усложнения вычислений. Полученные ранее результаты относятся к случаям сплайнов на бесконечной сетке (см. [4-7]). Бесконечность рассматриваемой сетки и соответствующего числового потока облегчают теоретические исследования; однако, на практике, приходится иметь дело с конечными потоками. Данная работа продолжает исследования в конечномерных пространствах, начатые в [8-10, 13].

Цель данной работы — построить вэйвлетное разложение (сжатие) на неравномерной сетке и соответствующие алгоритмы декомпозиции и реконструкции в случаях бесконечного потока (с сеткой на открытом интервале) и конечного потока (с сеткой на отрезке) для линейных сплайновых пространств лагранжева типа.

Работа содержит три пункта. В пункте 1 предлагаемой работы вводятся необходимые предварительные обозначения и, для удобства читателя, формулируются некоторые утверждения из работы [11]. Пункт 2 посвящен вэйвлетному сжатию на открытом интервале и содержит алгоритмы декомпозиции и реконструкции для бесконечной сетки (бесконечномерный случай). В пункте 3 рассматривается вэйвлетное сжатие на отрезке и приводятся алгоритмы декомпозиции и реконструкции в конечномерном случае.

© А. А. Макаров, 2012

1. Предварительные обозначения и некоторые утверждения. На интер-

(1.1)

вале (а, ß) с R1 рассмотрим сетку X d=f {xj }jSz,

X : ... < x-i < xo < xi < ..., где а d=f lim xj, ß d=f lim xj (случаи а = -oo,ß = не исключаются).

Введем обозначения: M d=f иjSz(xj,xj+i), Sj d=f [xj ,xj+m+i ], J d=f {k - m,k - m + 1,...,k}, где k,j e Z,m e Z+.

Будем рассматривать класс сеток вида (1.1) со свойством локальной квазиравномерности (подробнее о таких сетках см. [12])

i , xj+i

^ Ko Vj e Z, Ko > 1, Ko e Ri.

Ко ^

Пусть Х(М) —линейное пространство вещественнозначных функций, заданных на множестве М. Рассмотрим вектор-функцию ф : (а, в) ь* Rm+1 с компонентами из Х(М).

Упорядоченное множество Л {а, ^^ векторов а, е Rm+1 будем называть цепочкой векторов. Цепочка Л называется полной цепочкой векторов, если ёе!(а^т, а,_т+1,..., aj) Ф 0 для всех ] е Z.

Если цепочка векторов {aj} полная, то из условий

£ aj Uj, (t)= p(t) V t e(xu ,xu+i), V k e Z, j' Jk

uj (t)= 0 V t i Sj n M

(1.2)

однозначно определяются функции и, (Ь), t е М, ] е Z, причем вирр и, (Ь) с Sj.

Линейная оболочка функций {и, }jeZ называется пространством .минимальных (Л, ф)-сплайнов порядка т на сетке X и обозначается через

Б(Х, Л, ф) =4 и | и = £ с, и, V с, е RH .

I )

Условия (1.2) называются аппроксимационными соотношениями, вектор-функция ф называется порождающей для (Л, ф)-сплайнов.

Пусть т = 1. Рассмотрим вектор-функцию ф : (а, в) ^ R2 с компонентами из Х(М). Рассмотрим векторы е R2, задаваемые тождеством ¿Тх = (\еЬ(ф,, х), х е

R2, ] е Z, и определим векторы а* е R2 формулой а* ф,+1. Представим векторы а* и в покомпонентном виде:

а*з = ([ф;+1 ]o, [ф,+1 ]1)Т, = (-[ф;]l, ф]о)Т.

Если ф e Ci(a,ß), W(t) d=f |det(y, у')(t)\ ^ const > 0 для всех t e (a,ß), то

Uj e C(а, ß) и справедливы формулы

Uj(t) =

[ dj<P(t) j т * dT aj

dJ+2 a*

при t e[xj ,xj+i),

при t e[xj+i ,xj+2).

(1.3)

Пространство

) =4 и \ и = сз V сз € М1 I зъ

называется пространством .минимальных Б^-сплайнов первого порядка на сетке X.

Замечание 1.1. При ф(Ь) = (1,Ь)Т функции шз (Ь) совпадают с известными полиномиальными Б-сплайнами первой степени, т. е. с одномерными функциями Куранта.

Рассмотрим конечномерные пространства сплайнов. Введем обозначения:

def т def т def г л г\ л л

а = х0, Ь = Хп, ¿1,и = Х-1,0,...,п- 1,п}.

Из бесконечной сетки X выделим конечную сетку Хп,п € М,п ^ 2,

Хп : х-1 < а = хо < Х1 < ... < хп-1 < хп = Ь < хп+1,

из полной бесконечной цепочки Л* = {я*}^ выделим конечную цепочку ЛП {а-1,..., аП }.

Сузим все функции пространства ) на множество [а, Ь]. Совокупность этих сужений представляет собой конечномерное линейное пространство

=4 и \ и = сз шз V сз € МЧ с С[а,Ь].

Из исходной сетки X для фиксированного к € Z удалим один узел х^+1 и на полученной таким образом укрупненной (разреженной) сетке XX рассмотрим сплайны Шз (Ь), з € Z.

Пусть £ def х^+1, а Ш —узлы вновь полученной сетки XX ^ {х3 \ 3 € Z}:

def ( хз при 3 < k, (1 4)

х3+1 при 3 ^ к + 1.

Условимся ставить волну сверху над обозначениями всех ранее введенных объектов, определяемых новой сеткой X. Функции шз (Ь) можно отыскать по формуле (1.3), заменив узлы исходной сетки хз на узлы Ш3, 3 € Z.

Введем бесконечномерные вектор-столбцы, компонентами которых являются функции шз(Ь) и Шз(Ь),з € Z:

ш(Ь) == (. ..,Ш-2(Ь),Ш-1(Ь),Ш0(Ь),Ш1(Ь),Ш2(Ь),...)Т,

ш(Ь) == (..., Ш-2(Ь),Ш-1(Ь), шо(Ь), Ш1(Ь), Ш2(Ь),...)Т.

Теорема 1.1 (см. [11]). Для 3,к € Z и Ь € (а, в) справедливы калибровочные соотношения

Ш(Ь)=Р ш(Ь) о (Ь) = ^Рг,з шз (Ь) V г € Z, (1.5)

з

зеЖ

где РР — бесконечная матрица вида РР (рг; , элементы которой .задаются ра-

венствами

Рг; =

а также формулами

6г; при г ^ к - 2, V

5и_1; при г = к - 1,2 Ф к,

5и+1; при г = к, 2 Ф к,

5г;_1 при г ^ к + 1, V2,

(1.6)

(Т \

*т т а* к \ *

&к-1ак - ¿к-1ак+1-рг-— Мй-^й-ь (!-7)

ак ак+1 )

~ _ д-1ак п я\ ¿к ак+1

Матрица РР называется матрицей укрупняющей (разрежающей) реконструкции на интервале (а, в).

Рассмотрим калибровочные соотношения и соответствующие матрицы реконструкции в конечномерном случае, используя введенные ранее сужения всех функций на отрезок [а, Ь].

Предполагая, что к е {0,1,...,п - 2}, удалим узел Х]+1 из сетки Хп; в результате получим укрупненную сетку

Хп : х_1 < а = хо <Х1 < ... < ж„_1 = Ь < хп,

где узлы хг, г = -1,...,п, по-прежнему определяются формулами (1.4). Введем конечномерные вектор-функции

ш(п)(ь) (и_1(г),^о(г),... ,^п_1(г))Т,

&(п)(1) ^ (х_1(Ь), иХо(Ь),...,иХп_2(Ь))Т.

Ввиду равенства (1.5) в конечномерном случае калибровочные соотношения для к е {0,1,...,п - 2}, Ь е [а,Ь] могут быть записаны в виде

Ш(п)(Ь)=Рп Ш(п)(г), (1.9)

где Ррп — прямоугольная числовая матрица размера п х (п + 1). Матрица Ррп называется матрицей укрупняющей (разрежающей) реконструкции на отрезке [а, Ь].

Рассмотрим некоторое линейное пространство И над полем вещественных чисел и сопряженное ему пространство И* линейных функционалов / над пространством И. Значение функционала / на элементе и е И обозначим через (/,и).

Рассмотрим линейные функционалы , заданные на пространстве С (а, в)

формулой

(Ь, и) и(х,+1), и е С (а, в), о е Z. (1.10)

Ясно, что система линейных функционалов биортогональна системе

функций {<Л;г }j'eZ, т.е.

(Ь) = ;;, Vз,з' е z, (1.11)

где — символ Кронекера. 44

Рассмотрим систему функционалов {Шз}зех, биортогональную системе {шз'}з'ех. Пусть qзз ^ (Шз,шз') Vз,3' € Z. Тогда (см. [11]) для 3,3',к € Z справедливы равенства

{6з,зг при 3' ^ к - 1,

0' при 3' = к, (1.12)

6з,з'-1 при 3' ^ к + 1.

Далее рассмотрим матрицу Д ^ (qiJз )г,зё1, элементы которой задаются формулами (1.12). Матрица Д называется матрицей декомпозиции на интервале (а, в). Матрица Д является левой обратной к матрице РрТ, т. е.

ДрТ = I. (1.13)

Рассмотрим представление матрицы декомпозиции на отрезке [а, Ь] . Выделим из множества функционалов {/з}зех конечный набор из п + 1 функционалов, из множества функционалов {/з}зех конечный набор из п функционалов. Для систем функционалов {/з}з^1п-1, {Ш}ш1п-2 справедливы равенства

(I.з ,шу ) = 6з,з', 3,3' € ^,п-1, (1г,Шг' ) = б^у , г,г! € З^п-2,

причем яирр /з с [а,Ь], вирр f¿ с [а,Ь].

Прямоугольная матрица Дп ^ ^¿з),г € З1,п-2,3 € З1,п-1, размера п х (п + 1) называется матрицей укрупняющей (разрежающей) декомпозиции на отрезке [а, Ь]. Аналогично равенству (1.13) для матриц Ррп и Дп справедливы соотношения

Д п РРП = 1п, (1.14)

где 1п —единичные квадратная матрица порядка п.

2. Сплайн-вэйвлетное сжатие на интервале. Согласно калибровочным соотношениям (1.5) справедливо включение пространств

Рассмотрим оператор Р проектирования пространства 8^) на подпространство 8^), задаваемый формулой

Ри Ш щ ^ ((¿,и) V и € S(X),

¿еЪ

и введем оператор Q = I - Р, где I — тождественный оператор.

Пространство Ш а прямое разложение

Пространство Ш def Q 8^) называется пространством вэйвлетов (всплесков),

8^ )=8^)+ Ж (2.1)

называется сплайн-вэйвлетным сжатием пространства 8^). В соответствии с равенством (2.1) для и € 8^) имеем

и = ^1^ Ш + Л Ш' ш^ = XII Т^Ш + Ш Ш,

¿ ¿' ¿' I ¿ I

так что для чисел Cj d=f ((,u) получаем

bj = Т,Ъ pid + bj, j e Z. (2.2)

i

Пусть известны коэффициенты Ъ' в разложении элемента u e S(X) по элементам базиса , а именно,

U = ¿> Vi'.

i'

Из соотношений (2.2) имеем

Cj = cj ~^Pi,j ai,

i

используя равенство B = (i,u), получаем

Ъ = Cj ~Yjpi,j (f^Yj ci')=B -Y,pi,jY, 7-i' (fi)=B -Y,pi,jY, 7-i' qi,i'. (2.3) i i' i i' i i'

Формулы

ai = Y qi,i' B, (2.4) i'

bj = ч- Y ^Kj qi,i' )jCi' (2.5)

называются формулами декомпозиции.

Введем вектор-столбцы b d=f (...,C-i,bo, bi,...)T, b d=f (..., b-i, bo, b\,...)T, с d=f (... ,Cb-i,bo,bi,...)T и перепишем формулы декомпозиции (2.4)—(2.5) в матричном виДе:

b = Qb, b=b- PTQb.

Применяя к предыдущему равенству матрицу Q и используя формулу (1.13), получаем

Q b = Q b - QpT Q b = 0.

Итак, вектор b содержится в ядре оператора Q : be ker Q.

Рассмотрим пространство L всех числовых последовательностей, представленных вектор-столбцами l d=f (...,l-i,¡o,li,...)T, и линейный оператор, определяемый матрицей Q в нем (это определение корректно, ибо упомянутая матрица имеет конечное число ненулевых элементов в каждой строке). Ядро этого оператора представляет собой линейное пространство; обозначим его через B = {b | Ъ=(...,Ь Q ъ = 0}, т. е. B = ker Q, так что

Q b = 0 при b eB. (2.6)

Рассмотрим еще два экземпляра пространства L, обозначая их через A и C: элементами пространства A являются вектор-столбцы Ъ = (...,CC-i,bo,bi,...)T, а элементами пространства C — вектор-столбцы Ъ =(...,CC-i,bo,bi,...)T. Пусть 0е — прямое произведение пространств A и B: О d=f A х B, т. е.

о=чЬ

ba e Ab, bb e Bb

Рассмотрим оператор

Ъ-.с-т, 8 * I _Р^Тд..

для которого

ъ) = Р~=( Д V ¡ш = ДШ

ъ) = Ъс = (1 -ГДГ "\ъ = (1 -фТд)с ;

этот оператор называется оператором декомпозиции.

Теорема 2.1. Для сплайн-вэйвлетного сжатия (2.1) формулы декомпозиции (2.4)-(2.5) имеют вид

р = !Р при г ^ к - 1, (2.7)

I <с®+1 при г & к,

Р = \ 0 ъ „ ъ „ при 3 * к, (2.8)

з [ си -Щк-1,кСк-1 -рк,кСи+1 при 3 = к. Доказательство. Подставляя равенства (1.12) в выражение (2.4), находим

а = ^^ р q¿,¿' = ^^ р6¿,¿' + ^^ р6¿,¿'-l, ¿' ¿'^к-1 ¿' ^к+1

откуда вытекает формула (2.7).

Из соотношения (2.3), применяя равенство (1.12), выводим

Шз = сз - X! ^¿,з ъ - XI ^¿,з ^+1. ¿^к-1 ¿^к

Согласно формулам (1.6)—(1.8) получаем

Шз = Р - XI р -рк-1,з Ск-1 -рк,з Шк+1 - XI 6¿,j-1 Сг+1. (2.9)

¿^к-2 ¿^к+1

При подстановке различных 3 * к в равенство (2.9) получаем, что Ьз = р -р = 0. При 3 = к имеем Ьк+1 = ск -рк-1,кР-1 ~рк,кР+1- Теорема доказана. □

Замечание 2.1. Согласно формуле (2.8) вэйвлетным базисом пространства Ш служит сплайн Шк, т. е. Ш = {Ък Шк \Ьк € М1}.

Пусть теперь известны коэффициенты р и Ьк в разложениях проекций элемента

и € 8^) на пространства 8^) и Ш: Ри = ъ^, Qu = Ък Шк. Найдем формулы

¿

для определения коэффициентов Шсз для представления элемента и в виде суммы и = £ Р шз; упомянутые формулы называются формулами реконструкции.

з'еХ

Оператор р ^ С, def (ррТ I), для которого

ъ=р(|а)=(г I) (ъа) ^^ ъъ=рТ ъ+р,

называется оператором реконструкции.

Теорема 2.2. Операторы Э и взаимно обратны; они реализуют линейный изоморфизм пространств С и Т.

Доказательство. Рассмотрим произведение Э:

_рТ Д + I - рТ Д = I. С другой стороны, с учетом свойств (1.13) и (2.6) имеем

9Ъ Э_(рТ I )(

Д 1 _ рТ Д , г РТ<-

I - рТ Д

э^^(и)_(I-дта)(г I)(!:)

дът Д )(Ъ)_( Ъ+дц )_(Ъ

ЪТ-ЪтДЪт I-ЪтД)(Ъ)_(ъ-ЪТт)_(ъ

что и требовалось установить. □

Теорема 2.3. Для сплайн-вэйвлетного сжатия (2.1) формулы реконструкции имеют вид

{Ъг при г ^ к - 1,

Ьк + ъ>к-1,к Ък-1 + цк,к Ък при г _ к, ъ— при г ^ к + 1.

Доказательство следует непосредственно из формул (2.7) и (2.8). □

3. Сплайн-вэйвлетное сжатие на отрезке. Согласно калибровочным соотношениям (1.9) справедливо включение пространств

8(Х„)с8(Х„).

Рассмотрим оператор Рп проектирования пространства Б(Хп) на подпространство Б(Хп), задаваемый формулой

Рп и ^ Ъ Ъ _ (/г,и) V и € 8(Хп),

и введем оператор (Цп _ I - Рп, где I — тождественный в Б(Хп) оператор.

Пространство Шп (Цп Б(Хп) называется пространством вэйвлетов (всплесков) в конечномерном случае, а прямое разложение

§(Хп)_§(Хп)+У^п (3.1)

называется сплайн-вэйвлетным сжатием пространства 8(Хп). В соответствии с равенством (3.1) для и € Б(Хп) имеем

и _ XI Ъ 'Ъг + X! Ъ' шг' _ X! I X! ЪЪ>4' + Ъ ,

так что для чисел Ъ _ (/],и) получаем

Ъ _ X! ЪК] + Ъ] V3 € 3\,п-\. (3.2)

Пусть известны коэффициенты с¿' в разложении элемента и € 8^) по элементам базиса ш¿', а именно,

и = X! Р' ш^.

Из соотношений (3.2) имеем

ъз =Р - XI ЯзР V3 € З1,п-1,

используя равенство р = (-¿,и), для всех 3 € З1,п-1 получаем

Шз = р - Е Яз'(р, Е Ь' ш' ) = =ъз- Е Яз Е (р1,ш' )=ъз- Е Яз Е щ' q¿,¿'.

¿еJl>n-2 ¿'EJl,n-l ¿еJl>n-2 ¿'еJlfn-l

Формулы

Р = Е q¿,¿' -¿' V г € З1,п-2, (з.з)

-1

ъз = р - Е I Е p¿.j q¿,¿' )c¿' V3 € З1,п-1 (з.4)

¿^-п--\ieJl.n-2 )

называются формулами декомпозиции. то

(с-1, со,..., Шп-1 )Т и перепишем формулы декомпозиции (3.3)-(3.4) в матричном виде:

Введем вектор-столбцы ап ^ (а-1, ао,..., ап-2)Т, Ьп ^ (Ь-1, Ьо,..., Ьп-1)Т, сп

ап = Дп сп, Ьп = сп -Рп Дп сп .

Применяя к предыдущему равенству матрицу Дп и используя формулу (1.14), получаем

Дп Ьп = Дп Сп - Дп ррп Дп Сп = 0.

Итак, вектор рп содержится в ядре оператора Дп : рп € кег Дп.

Рассмотрим пространство ,г € М, всех числовых последовательностей, представленных вектор-столбцами ^ ^ (1-1,1о,...,1)Т, и линейный оператор из пространства Сп ^ Ьп-1 в пространство Ап ^ Ьп-2, определяемый матрицей Дп в нем. Ядро этого оператора представляет собой линейное пространство; обозначим его через Вп ^ {рп \ рп = (Ь-1,Ьо,...,Ьп-1)Т, Д п рп = 0}, т. е. Вп = кег Д п.

Пусть рп —прямое произведение пространств Арп1 и Вп : Тп Арп1 х Вп, т.е.

ап € АРп , Ьп € Вп ( .

Рассмотрим оператор

Ъп : Сп Ъп (I - Д1 ;

для которого

Q n \ an _ Q n cn

= Dn Cn = ! _ ~nQn) ~ \bn = (i - PnQn)cn

этот оператор называется оператором декомпозиции.

Теорема 3.1. Если к е {0,1,...,n-2}, то для сплайн-вэйвлетного сжатия (3.1) формулы декомпозиции (3.3)-(3.4) для i е J\n-2,j е Ji,n-i имеют вид

ф при i ^ k - 1, (3

P+i при i ^ k,

ф = 1 0 ~ „ пРи j ф k, (3 6)

j [ Ck -pk-i,kCk-i -pk,kCk+i при j = к.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.1. □

Замечание 3.1. Согласно формуле (3.6) вэйвлетным базисом пространства Wn служит сплайн ^k, т. е. Wn = {bk ^k \ bk е R1}.

Пусть теперь известны коэффициенты la,i,i е Ji,n-2 и bk в разложениях проекций элемента u е S(Xn) на пространства S(Xn) и Wn: Pnu = £ ф P^ Qnu = bk шk.

Найдем формулы для определения коэффициентов Pj для представления элемента u в виде суммы u = £ Pj ; упомянутые формулы называются формулами реконструкции.

Оператор RRri ■ Fn ^ Cn, Rn d=f {Pn I), для которого

Pn = RRn {pi ) = {PTn I) (Pl ) — Pn = PTn Pin + bbn,

называется оператором реконструкции.

Теорема 3.2. Операторы Dn и Rt взаимно обратны; они реализуют линейный изоморфизм пространств Cn и Fn.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.2. □

Теорема 3.3. Если к е {0,1,...,n - 2}, i е Ji,n-i, то для сплайн-вэйвлетного сжатия (3.1) формулы реконструкции имеют вид

{Pi при i ^ к - 1,

bk + Pk-i,k Pk-i + P>k,k Pk при i = к, Pi-i при i к + 1.

Доказательство следует непосредственно из формул (3.5) и (3.6). □

Литература

1. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2005. 671 с.

2. Sweldens W. The lifting scheme: A construction of second generation wavelets // SIAM J. Math. Anal. Vol.29. N2. 1997. P. 511-546.

3. Демьянович Ю. К. Всплески & минимальные сплайны. СПб.: Изд-во С.-Петерб. унта, 2003. 200 с.

4. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке // Докл. РАН. 2002. Т. 382. №3. С. 313-316. (English transi.: Dokl. Math. 65, 47-50 (2002).)

5. Демьянович Ю. К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые разложения // Докл. РАН. 2005. Т. 401. №4. С. 1-4. (English transi.: Dokl. Math. 71, 220-224 (2005).)

6. Макаров А. А. О вэйвлетном разложении пространств сплайнов первого порядка // Проблемы матем. анализа. Вып. 38. 2008. С. 47-60. (English transl.: J. Math. Sci. 156 (2009), N4, 617-631.)

7. Макаров А. А. Один вариант сплайн-вэйвлетного разложения пространств В-сплайнов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 2. С. 59-71.

8. Демьянович Ю. К., Косогоров О. М. Сплайн-вэйвлетные разложения на открытом и замкнутом интервалах // Проблемы матем. анализа. Вып. 43. 2009. С. 69-86. (English transl.: J. Math. Sci. 164 (2010), N3, 383-402.)

9. Макаров А. А. Кусочно-непрерывные сплайн-вэйвлеты на неравномерной сетке // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 14. С. 103-131.

10. Макаров А. А. Матрицы реконструкции и калибровочные соотношения для минимальных сплайнов // Проблемы матем. анализа. Вып. 60. Межвуз. сб. / под ред. Н. Н. Ураль-цевой. Новосибирск: Изд-во Т. Рожковская, 2011. С. 39-52. (English transl.: J. Math. Sci. 178 (2011), N6, 605-621.)

11. Макаров А. А. Матрицы реконструкции и декомпозиции для линейных сплайнов // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 18. С. 215-236.

12. Демьянович Ю. К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1994. 356 с.

13. Макаров А. А. О построении сплайнов максимальной гладкости // Проблемы матем. анализа. 2011. Вып. 60. С. 25-38. (English transl.: J. Math. Sci. 178 (2011), N6, 589-604.)

Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г.

ХРОНИКА

27 апреля 2011 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили д-р техн. наук, проф. Н. Н. Кокушин и канд. техн. наук, асс. П.В.Кауров (СПбГТУРП) с докладом на тему «Механика обезвоживания бумажной массы на сеточных частях бумагоделательных машин». Краткое содержание доклада:

Бумагоделательные машины (БДМ) являются заключительными агрегатами технологических линий целлюлозно-бумажных предприятий. Разработка методов расчёта обезвоживающей способности сеточных частей БДМ производится в СПбГТУРП в течение последних 30-40 лет по заказу ЦНИИбуммаша. Изучение особенностей обезвоживания бумажной массы на сетке БДМ выявило специфические особенности этого процесса по сравнению с данными общей теории промышленной фильтрации. На этой основе предложена обобщённая математическая модель обезвоживания бумажной массы в сеточных частях БДМ. Использование обобщённой модели позволило разработать методы расчёта обезвоживания на сеточных частях конкретных конструкций.