Новый вариант вэйвлетного разложения пространств сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 4

УДК 519.8

Ю. К. Демьянович, М. В. С. Габр

НОВЫЙ ВАРИАНТ ВЭЙВЛЕТНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ СПЛАЙНОВ *)

Введение. В предшествующих исследованиях применялась (см. [1, 2]) для построения вэйвлетов биортогональная система функционалов, определяемых с помощью производных генерирующей функции. Однако в тех случаях, когда величины производных генерирующей функции не известны, необходимо ограничиться лишь значениями самой функции.

В данной работе биортогональная система находится с помощью разностей, что позволяет строить вэйвлетные разложения, используя лишь упомянутую функцию. Пространство сплайнов на мелкой сетке представляется в виде прямой суммы пространства сплайнов на крупной сетке и пространства вэйвлетов, строится оператор проектирования с помощью указанных функционалов и выводятся формулы декомпозиции и реконструкции.

1. Некоторые обозначения.

1.1. О представлении В-сплайнов. На конечном или бесконечном интервале (а, в) & К1 рассмотрим сетку X = {х$:

X : ... < х.,-_1 < х$ < х^+1 < ...,

для которой а =£ Ит^_то х$, в =£ Ит^+то х$; середину промежутка (х$, х^+1) обозна-

чим х2+1/2, т. е. положим х$+1/2 = (х$+1 + х$)/2.

Полиномиальный В-сплайн второй степени (класса О1 (а, в)) на сетке X с носителем [х$, х^+з] можно задать формулами

(х — х2 )2 (х7'+з — х)2

^з,2,х{х) = ----------ту---------^ о х{х) + ------------ту------------и>/+2 о,х{х) +

(хЗ + 2 — хз )(х2 + 1 — х] ) (х]+3 — х]+1 )(х2+3 — х$+2)

( (х- Ху )(Ху+2 - х) (Ху+З -х)(х- Ху+1) \

I (а^+2 - х/)(х/+2 - Хэ+1) (х/+з - х/+1)(х/+2 - х/+1) ) 3+1’°’х ’ •

где

, . . 1, если Xj < x < Xj+i, _

Uj,0,x (x) = { к (1-2)

J’ 1 0, в противном случае.

Демьянович Юрий Казимирович — заведующий кафедрой параллельных алгоритмов, доктор физико-математических наук, профессор математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 327. Научные направления: сплайны, вэйвлеты, метод конечных элементов, параллельные алгоритмы, аппроксимация на многообразиях. E-mail: Yuri.Demjanovich@JD16531.spb.edu.

Габр Мохамед Валид Салх Отман — аспирант кафедры параллельных алгоритмов математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Ю. К. Демьянович. Количество опубликованных работ: 2. Научные направления: сплайны, вэйвлеты. E-mail: mwaleed73@yahoo.com.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 04-01-00451 и 04-01-00269).

© Ю. К. Демьянович, М. В. С. Габр, 2009

Обозначим Ях пространство, являющееся линейной оболочкой функций {и^^х}:

Ях = {и\и 3Є К}-

зе%

1.2. Оператор проектирования. В пространстве С (а, в) функций і, непрерывных на интервале (а, в), зададим оператор Р равенством

РІ = Т,{х3 ,^зах, (1-3)

зеъ

где

н ; 1 1 (^'>/) = 2/(жі+з/2) - 2^"(жі+1) _ Т^Ї^з+ї)-

Теорема 1.1. Оператор Р является однородным, аддитивным и обладает свойством

Рі = і VI Є Ях - (1-5)

Доказательство. Однородность и аддитивность оператора Р очевидным образом вытекают из его определения (см. формулы (1.3), (1.4)).

Перейдем к доказательству свойства (1.5). Сначала покажем, что

{^3,и3, 2 ,х) = 1- (1-6)

Ввиду непрерывности функции ,2, х(х) ее значения в точках х3-+1, х3-+з/2, х3-+2 можно вычислять, используя представление на отрезке [х3-+1, х3+2], на котором, в соответствии с формулами (1.2), (1.3), функция имеет вид

(х - Хэ)(Хэ + 2 - х) (хпз - х)(х - Х/ + 1)

^3,2,Х\Х) = ---------—------------ +

(х]+2 х3 )(х]+2 Х]+1) (х3+3 х] + 1)(х]+2 Х]+1)

Вычисляя {А],и/,2, х), последовательно имеем

( \ х]+1 х3 / \ х3+3 х]+2

Щ,2,х(х3 + і) = --------------------------------, ^',2,х(хі+2) -

х3 + 2 х3 х3+3 х3 + 1

х3 + 1 + х3+2 2х3 х3 + 1 + х3+2 2х3+3

х3+2 х3 х3+3 х3 + 1

Таким образом,

(А3,^3і2,х) - 2

х3 +1 Х3+2 ^Х3 _ xj+^ ^ xj+2 “^хз+3 _ хз + 1 хз _ хз+ 3 xj+2

х3+2 — Х3 Х3+ 3 — Х3 +1 Х3+2 — Х3 Х3+ 3 — Х3 +1

откуда получаем соотношение (1.6).

Обратимся к определению результата действия функционала Л3 на щ при г = 3. Ввиду непрерывности функций ш^2,х и в соответствии с формулами (1.1), (1.2) имеем

(х 3+2 — х)2

^з-1,2,х = 7----------------------------------------------------------------гт-7 при х е [ж3+1,ж3+2], (1.7)

3 (Хз+2 Х3 )(Хэ + 2 Х3 + 1) 3 3

ш3 + 1 ,2 , х

(х — Хз+1)2

(х3+3 х3 + 1)(х3+2 Х3+1) Благодаря легко проверяемым соотношениям

при х е [хз+1 ,Хз+2 ].

(1.8)

(Л3, (хз+2 — х)2) = О, Л, (х — Хз+1)2) = о,

из формул (1.7) и (1.8) получаем

Л ,^]-1,2,Х) = О, (Л3 ,Шз + 1,2,х) = 0.

Теперь заметим, что

(Л3 ,шг,2,х) = 0 е — 1,3,3 + ^

(1.9)

(1.10)

поскольку при условии г е ^\{3 — 1,3,3 + 1} носители функционала Л3 и функции щ,2,х не пересекаются. Из соотношений (1.6), (1.9) и (1.10) выводим

(Л3 ,шг,2,х ) &г.

уг,3 е z.

(1.11)

Из соотношения (1.11) вытекает свойство (1.5). I

Следствие 1.1. Система функционалов {Л3}3е% биортогональна по отношению

к системе функций {ш^,2,х}гег-

Доказательство фактически получено при доказательстве теоремы 1. 1

(см. установленное там соотношение (1.11)). I

2. Вложенность пространств и вэйвлетное разложение.

2.1. Вложенность пространств сплайнов. Введем новую сетку У = {У3}3еж, полученную из сетки X добавлением узла £ в интервал (х&,хи+1), а именно, положим

У3

£

Х3-1

при 3 < к +1,

при 3 = к +1,

при 3 > к +1,

(2.1)

где хи <£ < хь+1. На сетке У рассмотрим сплайны {^3,2,у}; в этом случае вирр ш3,2,у = [у3,у3+з] и

ш3,2,У (х)

(х~Уз)

Уз + 2-Уз)(Уз+1-Уз)

(ж —У.7 )(У.7'+2—Ж) I

Уз + 2-Уэ){Уэ+2-Уэ + 1)'

при х е (У3, У3+1),

-I________Уз + 1){Уз+з____ ппи Т р (, . \

(Уз + з-Уз + 1)(Уз+2-Уэ + 1) Р {Уз+1,Уз+2)’

(2.2)

(Уз + з-х)2

ЬЗ-Уз + 1 ){Уз+з — Уз + 2)

при х е (У3+2, У3+3).

В соответствии с введенными ранее обозначениями - линейная оболочка множества {^3,2,уЬег. Известно (см., например, [3]), что для двух вложенных сеток (т. е. для случая, когда множество узлов первой сетки является подмножеством множества узлов второй) В-сплайны на первой сетке могут быть представлены в виде линейной комбинации В-сплайнов на второй. Для полноты изложения ниже приводится лемма, в которой ш3,2,х представляется в виде линейной комбинации В-сплайнов ^3,2,у.

х

3

Лемма 2.1 Для х е (а, в) справедливы соотношения

{Ш3,2,у при 3 ^ к — 3,

13Ш3,2,у + (1 — 73+1)ш3+1,2,у при к — 2 < 3 < к, (2.3)

Ш3+1,2,у при 3 > к +1,

где 13 = (Ук+1 — У3 )(У3+3 — У3)-1.

Доказательство. Воспользуемся известным (см. [4]) представлением В-сплайна Ш3,2,х через разделенные разности (по переменной в) от функции

, , (в — х)2 при в > Х,

ф(в; х) = < 1 у ' у 0 при в <1,

а именно, представлением

Ш3,2,х(х) = (Х3+3 — Х3)ф[х3, Х3+1, Х3+2, Х3+3; х], (2.4)

где квадратные скобки означают разделенную разность (по переменной в):

ф[х3,х3+1,х3+2,х3+3; х] (ф[х3+1 ,х3+2,х3+3; х] ф[х3,Х3+1 ,Х3+2; х])/(х3+3 х3).

Из очевидного соотношения

(х3+3 х3)ф[х3,Х3+1,Х3+2,Х3+3; х] (£ х3)ф[х3,Х3+1,Х3+2,£; х] +

+ (Х3+3 — £)ф\£, Х3+1, Х3+2, Х3+3; х], 3 = к — 2, к — 1, к,

при 3 = к — 2 имеем

ш к-2,2 ,х (х) (£ Хк-2)ф[хк-2 ,Хк-1 ,хк , £; х] + (хк + 1 хк— 1 ,хк ,Хк+1; х].

Учитывая обозначения (2.1), отсюда получаем

шк-2,2,х (х) = (Ук + 1 — Уk-2)ф[Уk-2,Уk-1, Ук^ Ук + 1; х] + (Ук+2 —Уk+1)ф[Уk + 1,Уk-1, Уk, Ук+2; x], что ввиду соотношения (2.4) эквивалентно тождеству

Ук+2 — Ук+1

Шк-2,2,х(х) = шк-2,2,у{х) Л--------------^к-1,2,У(х)-

Ук+2 — Ук-1

Этим доказана формула (2.3) в случае 3 = к — 2. Случаи 3 = к — 1,к рассматриваются аналогично. I

Теорема 2.1. При х е (а, в) справедливы соотношения

Ш1,2,х (х) = Е рг,3Ш3,2,у (х), (2.5)

3&ъ

где

Р‘1,3 = $г,3 при г ^ к — 3, У3 е ^, у £

рк-2,к-2 = 1, рк-2,к~1 = ------------, рк-2,з = 0 при 3 ф к - 2, к - 1,

Ук+2 - Ук-1

£ — Ук-1 Ук+3 — £ ^ п -/717

рк-1,к-1 = ------------, Рк-1,к = ----------, Рк-1,3 = 0 при 2 ф к - 1, к,

Ук+2 — Ук-1 Ук+3 — Ук

£ — Ук

рк,к = ---------, Рк,к+1 = 1, рк,з = 0 при з ф к, к + 1,

Ук+3 — Ук

Р,' = й+1,3 при г > к + 1, У3 е Z.

Доказательство вытекает из формул (2.3). I

Следствие 2.1. В условиях леммы 2.1 пространство 8х содержится в пространстве

§у = {'и\'и 03, Усз е М}.

3^ь

Представления (2.5) называются калибровочными соотношениями; их можно записать в матричном виде

Пх = р^у, (2.6)

где Р= (pi,з)i,зez.

Нетрудно видеть, что Р является бидиагональной матрицей с неотрицательными элементами.

2.2. Матрица декомпозиции. Аналогично функционалам Х3, определяемым в (1.4) с помощью сетки X, рассмотрим систему функционалов {щ},,е%, биортогональ-ную системе функций {из,2,у}зех:

Н Г 1 1

/) = 2/(Уг+3/2) ~ ^/(у*+:0 ~ 2?(у*+2) ^е С(а, /3),

где Уi+з/2 =£ Ы+1 + Уi+2)/2. Очевидно, что

vi = Xi Уг ^ к — 2, vi = \-1-1 У г ^ к + 1. (2.7)

Заметим, что функционалы ь,к-1 и ь'к не содержатся во множестве функционалов {^i}ieZ.

Обозначим ук = Хк+1/2, а также положим

qi,з =£ (\,^з,2,у). (2.8)

Теорема 2.2. Справедливы формулы

Чьз = Кз при 3 < к — 3, ч^з = 5i,з-l при 3 > к + 2, Уг е Z; (2.9)

4-1,3 = 8^,3 У г ^ к — 2, 3 = к — 2,...,к +1; (2.10)

9^3 = ^+1,з У г ^ к, 3 = к — 2,...,к +1. (2.11)

Кроме того, если

Хк <£<Хк+1/2, (2.12)

то

„ £~Ук „ (Ук-1 - Ук+2) (ук - О

-О’ ч*-*.*-1 - 2(2'13)

„ (Ук - Ук+з) {2ук+2 - 3£ + Ук) Г0 1Л\

2 ({-»«) (»«-{) ’ <2Л4)

_ (Ук - О {^Ук+2 - Ч + Ук) /01^

2(№+3-0(»«-С) ■ (2'15)

Доказательство. Пусть 3 ^ к — 3 или 3 ^ к + 2. Согласно формулам (2.3), в этих случаях из,2,у = и^,2,х или из,2,у = из-1,2,х соответственно, и поэтому, благодаря биортогольности систем функционалов, имеем

qi,j , и3,2,у) , и3,2,х) бi,j У г е ^, 3 ^ к 3,

^3 = (\,и3,2,у) = (^,и3-1,2,х) = бi,j-1 Уг е ^, 3 ^ к + 2.

Таким образом, формулы (2.9) доказаны. Осталось вычислить 9.1,3 при г е Z, 3 = к — 2, к — 1,к,к + 1.

При г ^ к — 2 ясно, что Xi = V и

9ь3 = (^, из,2,у) = (^, из,2,у) = б^з при 3 = к — 2, к — 1,к,к +1.

При г ^ к из (2.7) имеем

Я^3 (^, и3,2,у) (Щ+1, и3,2,у) бi+1,j, г ^ k, У 3 к 2,к 1,к,к +1.

Тем самым установлены соотношения (2.10), (2.11). Перейдем к вычислению выражения 9к-1,з, 3 = к — 2,к — 1,к,к+1. Дальше нам потребуются значения функций из,2,у,

3 = к — 2,к — 1,к, к +1, в точках Ук и Ук+2, а также в средней точке у{к) . Принимая

во внимание непрерывность функций из,2,у, в силу формул (2.2), получим

^к-2,2,у(Ук) = Ук + 1-Шк-2,2,у(Ук+2) = 0, (2-16)

ук+1 — Ук-1

^к-1,2,у(Ук) = —------Ук 1 , ^к-1,2,у(Ук+2) = 0, (2-17)

ук+1 — Ук-1

^к,2,у(Ук) = 0, ^к,2,у(Ук+2) = ---Щ+2_; (2.18)

Ук+3 — Ук+1

^к + 1,2,у(Ук) = 0, ^к+1,2,у(Ук+2) = _ (2.19)

Ук+3 — Ук+1

Для вычисления значений функций из,2,у, 3 = к—2, к —1, к, к+1, в точке у{к) напомним, что, по определению £ е (ук,Ук+2), Ук = Хк, Ук+1 = С, Ук+2 = Хк+1, у{к) = Хк+1/2. Следовательно, из условия (2.12) находим

£<У{к). (2.20)

С учетом того, что, согласно определению, ук+1 совпадает с £ е (ук, ук+2), соотношение (2.20) перепишем так:

У{к') е (Ук+1,Ук+2). (2.21)

Поскольку эирр ик-2,2,у = [Ук-2,£], то

ик-2,2,у (у{к)) = 0. (2.22)

Теперь заметим, что точка У{к) лежит в последнем сеточном интервале носителя [Ук-1,Ук+2] функции ик-1,2,у, потому при вычислении этой функции в точке у{к следует воспользоваться последней строкой в представлении (2.2) при 3 = к — 1. После элементарных преобразований получаем

ик-1,2,у(У{к)) = т Ук+2~Ук . (2.23)

4 Ук+2 — Ук + 1

Принимая во внимание, что вирр ик,2,у = [ук, Ук+3], видим, что при вычислении функции ик,2,у в рассматриваемой точке можно воспользоваться второй строкой правой части равенства (2.2) при 3 = к. В таком случае очевидные преобразования приводят к соотношению

(й>\ _ 1 Ук+2-Ук , 1 (%Ук+з - Ук - Ук+2){'Ук + Ук+2 - %Ук+1)

/Л(К)\ _ УК + 2 УК \^УК + 3 УК УК + 2)\УК I УК + 2 ^УК+1) /ллА

^к,2,у [ у ) . . / \/ \ • (2.24)

' ' 4 ук+2 - Ук+1 4 (Ук+2 - Ук+1 )(Ук+з - Ук+1)

Наконец, ввиду соотношения (2.21) и равенства вирр шк+і,2,у = [ук+і,Ук+а], вычисление выражения шк+і,2,у (у^к^ может быть проведено с использованием первой строки в правой части формулы (2.2) при 3 = к +1; в результате имеем

( (к)\ 1 (Ук ^ Ук+2 2ук+\) ^ ос\

^к+\,2У\УК 1 = 7 7-----------гр------------г- (2.25)

4 (Ук+2 — ук + 1)(ук+3 — ук+1)

Теперь все готово для расчета величин Цк-1,з при 3 = к — 2,к — 1,к, к +1:

Чк-1,з = 2^',2,г(У^) - 2^',2,у(Уй) - 2^з,2,у{ук+2)- (2.26)

Полагая 3 = к — 2 в (2.26) и используя формулы (2.16) и (2.22), легко получаем первое из равенств (2.13). При 3 = к—1 из (2.26) с помощью соотношений (2.17) и (2.23) элементарными преобразованиями устанавливаем второе из упомянутых равенств. При рассмотрении случая 3 = к из (2.26), ввиду соотношений (2.18) и (2.24), находим

1

С\к — 1,к — 7)

ук+2~ук (%Ук+3 ~ ук ~ Ук+2){Ук + ук+2 ~ 2ук + і) ук+3~ук+2

ук+2 - Ук+і (Ук+2 - Ук+1)(Ук+з - Ук+1 ) Ук+3 - Ук+1

отсюда элементарными преобразованиями приходим к равенству (2.14). Наконец, при 3 = к +1, благодаря соотношениям (2.19) и (2.25), получаем

1

Цк — 1,к+1 ~

(2Ук+і — Ук - Ук+2)2 Ук+2 - Ук+1

(Ук+2 - Ук+і)(Ук+з - Ук+і) Ук+3 - Ук+1

что эквивалентно соотношению (2.15). Теорема доказана. I

Теорема 2.3. Если

Хк+1/2 < £, (2.27)

то верны соотношения

„ _ (Ук+2 - £) (Ук+2 -3^ + 2 ук)

Цк-1,к-2 о (с \ I с\ 7 (2.2о)

- Ук-1 ) (Ук - О

„ _ ІУк-1 - Ук+2) (Ук+2 - 3£ + 2ук)

Ч&—1,&—і ^ ( с\ 1 (2.29)

2(£ - Ук-1 )(Ук - £)

„ {£ - Ук+2) {Ук - Ук+з) „ Уй+2-£ /Г) оп^

!(»-{]К-Ы ’ ,‘-,'‘+‘-2К-м+3)' (2'30)

Доказательство. Для вычисления значений функций &і,2,у, І = & — 2, & — 1,&, & + 1, в точке ук заметим, что, ввиду условий £ Є (хк,хк+і), Ук = хк, Ук+2 = хк+і, £ = Ук+і, из предположения (2.27) следует соотношение ук Є (ук,ук+і\-Учитывая, что вирр Шк-2,2,у = [Ук-2,£], воспользуемся последней строкой правой части формулы (2.2); в результате получим

(йЛ _ 1 {2ук+1 ~ Ук ~ Ук+2)2

^к-2 2У(У{к)) = - , --- " (2.31)

’ ’ ' ' 4 (ук+1 — Ук-1){Ук+1 — У к)

Промежуток (ук,Ук+\] - средний из трех сеточных промежутков, составляющих носитель функции &к-1,2,у; поэтому для вычисления значения шк-1,2,у (у^к^ воспользуемся второй строкой правой части формулы (2.2) при 3 = к — 1. Таким образом, выводим

(У к + Ук+2 ~ 2ук-і)(2ук+1 — Ук— Ук+2) ^ Ук+2 ~ Ук

(Ук+1 — Ук-1)(Ук+1 — Ук) Ук+1 — Ук-1

(2.32)

Аналогичные рассуждения при расчете значения шк,2,у (у^) показывают, что в этом случае можно воспользоваться первой строкой правой части формулы (2.2) с 3 = к; отсюда находим

(2.33)

V / 4 Ук + 1 — Ук

Рассматривая значение функции Шк+12,у в точке ук, из (2.2) при 3 = к + 1 заключаем, что у^к </ яирр шк+]_^,у и поэтому

шк+1,2,у (ук) = 0. (2.34)

Теперь обратимся к вычислению величин Цк-1,^ по формуле (2.26) при 3 = к — 2,к — 1,к,к + 1. Полагая 3 = к — 2 в (2.26) и используя формулы (2.16) и (2.31), получаем равенство (2.28). При 3 = к — 1 из (2.26) с помощью соотношений (2.17) и (2.32) элементарными преобразованиями устанавливаем равенство (2.29). При рассмотрении случая 3 = к в (2.26), ввиду соотношений (2.18) и (2.33), имеем

Цк— 1,к 2

Ук+2-Ук {2ук+з - Ук - Ук+2)(Ук + Ук+2 - 2ук+і) Ук+з-Ук+2

Ук+2 — Ук+1 (Ук+2 — Ук + 1)(Ук+3 — Ук+1) Ук+3 — Ук + 1

отсюда элементарными преобразованиями приходим к первому из равенств (2.30). Наконец, при 3 = к + 1, благодаря соотношениям (2.26), (2.19) и (2.34), выводим

(2Ук+1 — Ук — Ук+2)2 Ук+2 — Ук+1

(Ук+2 — Ук+1 )(Ук+3 — Ук + 1) Ук+3 — Ук+1

1

что эквивалентно второму из соотношений (2.30). Теорема доказана.

Рассмотрим матрицу Д с элементами qjj, определяемыми формулами (2.9)-(2.15) и (2.27)-(2.30); она называется матрицей декомпозиции.

Следствие 2.2. Матрица Д является левой обратной к матрице рТ. Доказательство. Транспонированием соотношения (2.6) получаем ОХ = ^ТРТ. Умножая это равенство на вектор-столбец Л =£ (\i)i£Z слева, ввиду свойства биортогональности (1.11), находим единичную матрицу I; согласно формулам (2.8), первым сомножителем справа оказывается матрица Д. Итак, I = ДрТ. Следствие доказано. ■

3. Формулы декомпозиции и реконструкции. В соответствии со следствием к лемме 2.1 пространство Вх содержится в Ву. Рассмотрим оператор Р проектирования пространства Вх на подпространство Ву, задаваемый формулами (1.3), (1.4):

Ръ а/ш/,2,х, а/ = (А/, V), Уь € Ву,

з

и введем оператор Ц = I — Р, где I - тождественный оператор в Ву. В результате проектирования с помощью оператора Ц получится пространство Ш = ЦВу вэйвлетов (всплесков), являющееся компонентой вэйвлетного разложения

Ву = ВТ 0 Ш. (3.1)

Пусть V € Ву. В соответствии с формулой (3.1) (см. также калибровочные соотношения (2.5)), получаем эквивалентные представления элемента V:

V = ^2 й/шз,2,у, й/ =£ (V/,ъ) , V = ^ щ>,2,у,

з V \ i '

откуда для чисел й/ имеем

й/ = У ' aipi,j + Ь/ У3 € 2. (3.2)

V

Пусть в разложении элемента V = ^^ ш^,2,у известны коэффициенты ^. Из

соотношений (3.2) находим

Ь/ = ^ ^ aiPi^ ^ pi{КУ ^ , 2, у ) = ^ ^ pi, ^ qi, V .

i i i/ i i/

В результате выводим формулы

а ^ ^ qi,i/ , Ь/ ^ ^ ^ ^ Pi,j Яi,i^ ) , (3.3)

¥ ^ \ i /

называемые формулами декомпозиции. Их конкретизация в рассматриваемом здесь случае имеется в следующем утверждении.

Теорема 3.1. Для сплайн-вэйвлетного разложения (3.1) справедливы следующие соотношения:

а^ = ^ Уг ^ к — 2, ai = ^+1 Уг ^ к, (3.4)

к+1

ак-1 ''У ^ Як-1, (3.5)

О = к-2

Ъ- = 0 при ; = к — 1,к, (3.6)

Ък-1 = Ок-1 — рк-2,к-1ак-2 — Рк — 1,к — 1 Як-1, (3.7)

Ък = dk — рк-1,как-1 — рк,как, (3.8)

где коэффициенты рг,- и даны в теоремах 2.1-2.3.

Доказательство. Ввиду представления (3.3), имеем

аг = ... + Цг,к-30к-3 + Цг,к-20к-2 + Цг,к-10к-1 + Цг,кdk + Яг,к+1 0к+1 + Яг,к+20к+2 + ... 5

из соотношений (2.9)—(2.11) получаем формулы (3.4) и (3.5).

Из (3.2) с помощью соотношений (3.4) и (3.5) находим

к

Ъз = 0з — ХЗ рг-0 — ХЗ рг-аг — ХЗ рг-0г+1. (3.9)

г^к-3 г=к-2 г^к+1

Поскольку для всех ; € Ъ верны соотношения

рг,з = $г,з V г < к — 3, рг,- = 6г+1- V г > к + 1, (3.10)

то

Е, I Оз V; к 3, V ^ , I О V; < к ~р 2, /о 1 1 N

ргз 0г Но Уз>к — 3, 53 рг-0г+1 = { о- у; > к + 2. (3.11)

г^к-3 1 ■’ ’ г^к+1 13 7

Учитывая соотношения (3.10), получаем

к

рг,-аг = 0 при ; ^ к — 3 и ; ^ к + 2. (3.12)

г=к-2

Благодаря первой формуле в (3.4), имеем

к

рг,к-2аг = ак-2 = Ок-2, (3.13)

г=к-2

а из-за второй формулы в (3.4) находим

к

^ ^ рг,к + 1аг = рк,к+10к+1 = 0к + 1. (3.14)

г=к-2

Равенство (3.6) вытекает из представления (3.9) с помощью (3.11)—(3.14). Используя (3.4) и (3.11), из (3.9) при ; = к — 1 получаем

к

Ък-1 = ок-1 — рг,к-1ог — рг,к-1аг — ^~^ рг,к-1ог+1. (3.15)

г<к-з г=к-2 г^к+1

Учитывая формулы (3.11), в уравнении (3.15) первое и последнее вычитаемые равны нулю; замечая, что рк,к-1 = 0, приходим к соотношению (3.7).

Аналогичным образом с помощью формул (3.4) и (3.11) из (3.9) при j = к находим

к

bk = dk — pi,k di — pi,kai — Pi,k di+1 •

i^.k-3 i=k-2 i'^k+1

Здесь также первое и последнее вычитаемые равны нулю (см. (3.11)); учитывая, что pk-2,k = 0, выводим соотношение (3.8). Теорема полностью доказана. I

Следствие 3.1. Согласно формулам (3.4)-(3.8); пространство вэйвлетов (всплесков) W двумерно и его базисом служат функции иk-1,2,Y и uk,2,Y■

Пусть теперь известны коэффициенты ai, bk-i и bk в разложениях проекций элемента v € SY на пространства Sx и W: Pv = ^i aiui,2,x, Qv = bk-1uk-1,2,Y + bkuk,2,Y. Найдем формулы для определения коэффициентов dj в представлении элемента v, v = SjeZ djuj,2,Y.

Теорема 3.2 (формулы реконструкции). Для сплайн-вэйвлетного разложения (3.1) формулы реконструкции имеют вид

di = ai Уг ^ к — 2, di = ai-1 Уг ^ к +1, (3Л6)

dk-1 = bk-1 + pk-2,k-1ak-2 + Pk-1,k-1 ak-1, (3-17)

dk = bk + pk-1,kak-1 + pk,kak • (3-18)

Доказательство. Соотношения (3.16) следуют из формул (3.4), а (3.17), (3.18) - из равенств (3.7) и (3.8). Теорема доказана. I

Литература

1. Демьянович Ю. К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые разложения // Докл. РАН. 2005. Т. 401, № 4. С. 1-4.

2. Демьянович Ю. К. Минимальные сплайны и всплески // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 2. С. 8-22.

3. Bohm W. Inserting new knots into b-spline curves // Computer-Aided Design. 1980. Vol. 12, N 4. P. 199-201.

4. De Boor C. A Practical Guide to Splines. New York: Springer Verlag, 1978. 530 p.

Статья рекомендована к печати член-кор. РАН, проф. Г. А. Леоновым.

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.