ОБ АППРОКСИМАЦИИ Bϕ-СПЛАЙНАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3

Ю. К. Демьянович, В. О. Дронь, О. Н. Иванцова ОБ АППРОКСИМАЦИИ В^-СПЛАЙНАМИ*)

Сплайновые аппроксимации, использующие биортогональные системы функционалов, дают простые алгоритмы приближений и сплайн-вэйвлетных разложений (см., например, [1]). Упрощенные представления остатка аппроксимации важны для получения эффективных оценок приближения и вычисления фигурирующих в них констант. Разработка неполиномиальных сплайнов в случае достаточно произвольной порождающей вектор-функции значительно расширяет возможности практического использования сплайн-вэйвлетных разложений. Исходным моментом построения упомянутых сплайнов являются аппроксимационные соотношения (см. [2]); их можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых координатных сплайнов, причем правая ее часть - это порождающая вектор-функция. Условие отделенности от нуля вронскиана компонент порождающей функции есть основное условие указанных построений. На семинаре кафедры вычислительной математики математико-механического факультета СПбГУ в 2006 г. И. К. Даугавет высказал идею о том, что определенную роль в эффективной оценке приближения должен играть обыкновенный дифференциальный оператор, где фундаментальной системой решений соответствующего однородного уравнения служат компоненты порождающей вектор-функции. Подтверждением справедливости этой идеи стала работа [3], в которой рассмотрены интегродифференциальные приближения в условиях равномерной сетки и строго монотонных отличных от нуля компонент порождающей вектор-функции; в ней также приведены численные примеры, отвечающие полиномиальным, тригонометрическим и экспоненциальным компонентам.

Цель данной работы - получить представление остатка биортогональной Bv-сплай-новой аппроксимации на неравномерной сетке и, используя его, дать эффективные оценки погрешности аппроксимации как самих функций, так и их производных. Полученные оценки точны на компонентах порождающей вектор-функции t). Основным ограничением служит отделенность от нуля вронскиана компонент порождающей вектор-функции. Упомянутый выше дифференциальный оператор в правой части оценки в явном виде не фигурирует, однако его появление можно усмотреть в пределе при стягивании к нулю длины сеточных интервалов.

1. Пространства Bv-сплайнов. На интервале (а, ß) вещественной оси рассмотрим сетку

X : ... < x-i < x0 < xl < ..., lim = а, lim = ß.

j^ — X j^+x

Пусть f(t) - двухкомпонентная вектор-фунция с компонентами ^i(t), i = 0,1, класса C2[a,f3].

Демьянович Юрий Казимирович — доктор физико-математических наук, профессор, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].

Дронь Вера Олеговна — аспирант, ассистент, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].

Иванцова Ольга Николаевна — кандидат физико-математических наук, доцент, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].

*) Работа частично выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 10-01-00297 и 10-01-00245).

(¡5 Ю. К. Демьянович, В. О. Дронь, О. Н. Иванцова, 2013

Предположим, что вронскиан функций уч(г), г = 0,1, отделен от нуля на отрезке [а, в], т. е. выполнено условие (А):

| ')(г)| > с > 0 Уг е [а, в].

Рассмотрим систему двумерных векторов а* =£ ) и положим

Ак = (р(хк), ^>(ххк+1)),

Н =£ 8Ир(х^ + 1 — х2 ).

зег

Заметим, что

det Ак =

¥о(хк) ^\(хк) ¥о(хк+\) ф\(хк+\)

Хк+1

*о (хк) ^1(хк)

* ос * 1(е)

¿с

Ввиду равномерной непрерывности фигурирующих здесь функций на отрезке [а, в] при условии (А) можно выбрать Но > 0 так, что при 0 < Н ^ Но будет выполнено неравенство [с^А^ ^ ^(хк+1 — хк), а значит, система векторов а* образует полную цепочку, и

< 2с-1(хк+1 — хк)-1 Ук е Z. (1.1)

det А-1

Пусть Бз = (хз,хз+{) и (хз+1 ,хз+2), С = (а, в)\Х.

Определим функции ш*(г) на множестве С аппроксимационными соотношениями

]Та*^ (г) = *(г) Уг е С,

зег

эирр и)* С Бз У] € Z.

Очевидно, что

ак- 1 ш*к-1 + ак= *(г) Уг е (хк,xk+l), Ук е ^

(1.2)

откуда

шк-1(г) = Таким образом, имеем

0

(г) =

при г е (хз ,хз+1), при г е (хз+1,хз+2), при г е С\Бз.

Ввиду предположения (А) система функций {ш*}зег - линейно независимая. Легко видеть, что функции ш* могут быть продолжены на интервал (а, в) непрерывным образом.

Рассмотрим пространство =£С1рС({и*}з-ег); здесь £(...) означает линейную

оболочку множества функций, указанных в круглых скобках, а С1р - замыкание этого множества в топологии поточечной сходимости.

Функции и* называются координатными Вр-сплайнами, пространство - пространством Вр-сплайнов, а вектор-функция y(t) - вектор-функцией, порождающей это пространство на сетке X.

2. Биортогональная система функционалов. Легко проверить, что система линейных функционалов {g*}ieZ, определяемых формулой (g*,u) = u(xi+1), является продолжением на пространство C(а, в) системы функционалов, биортогональной системе функций {w*}jeZ.

Соотношение (1.2) перепишем в виде

Ak^(k) (t) = y(t) yt e (xk,xk+i ), Ук e Z,

гДе u(k)(t) d= (uk-i(t),uk(t))T, t e (xk ,xk+i).

Пусть g(k) d==f (gk-i, gk)T. Ввиду упомянутой выше биортогональности имеем

g(k) uTk) =1

здесь I - единичная матрица второго порядка. Полагая

f(k) = (AT )-1g(k) (2.1)

и обозначая f*, f* компоненты вектора f(k), видим, что система функционалов {f*, f*} биортогональна системе функций {y0(t),y1(t)}: (f* ,yj ) = 5i}j yi,j e {0,1}. Поскольку

A-1 = (det A.)-1 >)•

то из (2.1) имеем

if(k),u) = (Ak) (g(k),u) =

= (det Ak — ( уi(xk+i) ~Vi(xkA A u(xk) \-yo(xk+i) yo(xk) ) \u(xk+i

Таким образом,

(f(k) ,u) = (det Ak )

-i

u(xk) yi (xk)

u(xk+i) yi(xk+i )

yo(xk) u(xk)

yo(xk+i ) u(xk+i)

поэтому

(fo,u) =

u(xk ) yi(xk ) u(xk+i) yi(xk+i)

yo(xk ) yi(xk ) yo(xk+i) yi(xk+i)

(f*,u) =

yo(xk) u(xk) yo (xk+i) u(xk+i)

yo(xk) yi(xk) yo (xk+i) yi(xk+i)

(2.2)

3. Об оценке погрешности. Лемма 1. Справедливо соотношение

(gk-i,u)uk-i(t) + (gk ,u)uk(t) = (fo,u)yo(t) + (f*,u)y i(t) yt e (xk ,xk+1 ), yu e C (а,в).

(3.1) 69

Доказательство. Запишем очевидную цепочку соотношений

((g*k-l,u), (як,и))

(г)

(9{к),и) ш(к)(г)

= (д(к),и)тАк 1*(г) = ((А-1)т(9(к),и)^ *(г) = {((А-У д(к) ,и)) т *(г) = ((/(к) ,и)^ т *(г).

Утверждение (3.1) установлено. ■ Аппроксимацию вида

и(г) ^ (д*,и)ш*(г)

ге_Ъ

будем называть биортогональной Б^-сплайновой аппроксимацией. Согласно лемме 1 при г е (хк ,хк+1) получаем

й(г) = (/;,и)*о(г) + (/!,и)*1(г).

Лемма 2. Справедливо соотношение

(3.2)

и(г) — и(г) = (det Ак)

*о(г) *1(г) и(г) *0 (хк) *1(хк) и(хк) *о(хк+1) *1(хк+1) и(хк+1)

(3.3)

(3.4)

Доказательство. Учитывая представления (2.2), для функции и е С2 (а, в) при £ € (хк,Хк+1) из (3.3) имеем (3.4). ■

Лемма 3. Если и,ги,т е С1 [а, Ь], то для х,у, г е [а, Ь] справедливо соотношение

и(х) у(х) т(х) и(у) v(y) т(у) и(г) v(z) т(г)

= ¿с

и(х) у(х) т(х)

и '(С) V '(£) т '(С) и '(п) V '(п) т '(п)

¿п.

(3.5)

Доказательство. Вычтем первую строку из второй строки рассматриваемого определителя, а также первую строку - из третьей. К каждой разности применим формулу Ньютона-Лейбница и используем свойства аддитивности определителя; в результате получим формулу (3.5). ■

Лемма 4. Если и,у,т е С2 [а, Ь], то для х,у, г е [а, Ь] верна

и(х) у(х) т(х) и (у) v(y) т(у) и(г) v(z) т(г)

у г п

1*1"пI

х х £

и(х) ^(х) т(х) и '(С) V '(С) т '(С) и ''(С) V ''(С) т ''(С)

(3.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим формулу Ньютона-Лейбница к двум последним строкам определителя, находящегося под знаком интеграла в формуле (3.5), и свойства аддитивности определителя. Результатом окажется формула (3.6). ■

ш

1

у

г

Теорема 1. Пусть выполнено условие (А) и Н € (0,Но]. Предположим, что уо,у',и € С2(а,@). Тогда для г € [хк,хк+\] Ук € Z остаток сплайновой аппроксимации (3.2) функции и(х) может быть представлен в виде

Хк + 1

() - и(г) = ^ Ак У1 ! ¿С J ¿П J

Уо(хк) ф1(хк) и(хк) у о(С) у 1(С) и '(С) у '¿(С) у Ж) и "(О

¿С-

(3.7)

Доказательство. Применяя лемму 4 в правой части формулы (3.4), придем к соотношению (3.7).

Теорема доказана. ■

Следующие утверждения представляются весьма важными, поэтому сформулируем их в виде теорем, хотя, благодаря теореме 1, их доказательства оказываются простыми.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 для г € [хк,хк+1 ] Ук € Z справедливо представление

Хк + 1

'(г) - и'(г) = (д.е1 Ак)-1 у ¿СI

Хк С

Уо(хк) У1(хк) и(хк) у 0(С) у 1(С) и '(С) у '¿(С) у 'КО и ''(0

¿с.

(3.8)

Доказательство. Дифференцируя тождество (3.7) по г, приходим к соотношению (3.8). ■

Теорема 3. В условиях теоремы 1 для г € [хк,хк+1 ] Ук € Z справедливо представление

Хк+1

'(г) - и"(г) = № Ак)-1 I

уо (хк) у(хк) и(хк)

у о(С) у 1(С) и '(С) у о (г) у '1 (г) и'' (г)

¿С.

(3.9)

Доказательство. Для того чтобы получить представление (3.9), достаточно продифференцировать тождество (3.8) по переменной I. ■

Теорема 4. Пусть выполнено условие (А) и Н € (0, Но]. Предположим, что уо, уи € С1 (а, в). Тогда для г € [хк, хк+1 ] Ук € Z справедливо представление

Хк+1

() - и(г) = ^ Ак)-1 J ¿С !

уо(хк) у1(хк) и(хк) у о(С) у 1(С) и '(С) у о (П) у 1(п) и '(п)

¿п.

(3.10)

Доказательство повторяет доказательство теоремы 1 вплоть до того момента, когда происходит переход ко вторым производным; остальные рассуждения опускаем. ■

Дифференцирование тождества (3.10) по переменной г приводит к следующей теореме.

Теорема 5. В условиях теоремы 4 для г € [хк,хк+{] Ук € Z справедливо представление

Хк+1

и '(г) - и'(г) = (д.еь Ак)-1 ! ¿С

Хк

уо(хк) у1(хк) и(хк) у о(С) у 1(С) и '(С) у о (г) у 1(г) и '(г)

¿С.

(3.11) 71

г

п

г

и

и

г

Из теорем 1-5 с учетом соотношения (1.1) легко получаются такие утверждения. Теорема 6. При выполнении соотношения (1.1) и условий теоремы 1 верно нера-

венство

х эир аЪэ

|с[хьхь+1] < 2с 1(хк+1 — хк)2

^0 (хк) ¥>1(хк) и(хк)

V 0(С) V 1(С) и '(С) , г = 0, 1, 2,

V 0'(С) V !'(С) и ''(С)

(3.12)

где символ аЪэ означает абсолютную величину следующего за этим символом определителя.

Доказательство соотношения (3.12) очевидным образом вытекает из формул (3.7)-(3.9). ■

Теорема 7. При условии (1.1) и предположениях теоремы 4 справедливо неравен-

\и(г) — и^Ис^,,

н] < 2с 1(хк+1 — хк)

1- г

х эир аЪэ

£,Се[хь,хь+1]

Vo(xk) Vl(xk) V0(С) V1(С) V 0(С) V 1(0

и(хк)

и '(С) и '(С)

0,1.

(3.13)

Доказательство. Формулы (3.13) следуют из (3.10), (3.11). ■

Замечание 1. При хк+1 — хк ^ 0 подынтегральное выражение в формулах (3.7)-(3.9) стремится к обыкновенному дифференциальному оператору, для которого функции vo(г) и Vl(г) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Замечание 2. Константы в теоремах 6 и 7 могут быть уменьшены при более тщательном вычислении соответствующих интегралов; это легко сделать с помощью соответствующих выкладок.

Литература

1. Демьянович Ю. К. Сплайн-вэйвлеты при однократном локальном укрупнении сетки // Зап. науч. семинаров Петерб. отд. Матем. ин-та. 2012. Т. 405. С. 97—118.

2. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Минимальные сплайны и их приложения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. 364 с.

3. Бурова И. Г. О моделировании неполиномиальных интегродифференциальных приближений // Труды СПИИРАН. 2011. Т. 19. С. 176-203.

Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.

и ии

ство

X