ОДИН МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЯВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 26, № 136

2021

© Мерчела В., 2021

DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-404-413 УДК 517.988.6, 517.922

м9

OPEN fil ACCESS

Один метод исследования разрешимости краевых задач для неявного дифференциального уравнения

Вассим МЕРЧЕЛА12

1 ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 2 ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный университет» 199034, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9

Аннотация. В статье рассматривается краевая задача с линейными краевыми условиями общего вида для скалярного дифференциального уравнения

/ (1,х(1),Х(1)) = у(Ь),

не разрешенного относительно производной Х искомой функции. Предполагается, что функция / удовлетворяет условиям Каратеодори, функция у является измеримой. Предлагаемый метод исследования такой краевой задачи основан на результатах об операторном уравнении с отображением, действующим из метрического пространства в множество с расстоянием (это расстояние удовлетворяет только одной аксиоме метрики: оно равно нулю тогда и только тогда, когда элементы совпадают). В терминах множества накрыва-ния функции /(Ь,х1, •) : К ^ К и множества липшицевости функции /(Ь, •,Х2) : К ^ К получены условия существования решений и условия устойчивости решений к возмущению функции /, порождающей дифференциальное уравнение, а также к возмущениям правых частей краевой задачи: функции у и значения краевого условия.

Ключевые слова: неявное дифференциальное уравнение, линейные краевые условия, существование решений краевой задачи, накрывающее отображение метрических пространств

Благодарности: Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-15-2019-1619.

Для цитирования: Мерчела В. Один метод исследования разрешимости краевых задач для неявного дифференциального уравнения // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26. № 136. С. 404-413. БО! 10.20310/2686-9667-2021-26-136-404-413.

© W. Merchela, 2021

DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-404-413

One method for investigating the solvability of boundary value problems for an implicit differential equation

Wassim MERCHELA12

1 Derzhavin Tambov State University 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation 2 St. Petersburg University 7/9 Universitetskaya nab., St. Petersburg 1990342, Russian Federation

Abstract. The article concernes a boundary value problem with linear boundary conditions of general form for the scalar differential equation

f (t,x(t),x(t)) = y(t),

not resolved with respect to the derivative X of the required function. It is assumed that the function f satisfies the Caratheodory conditions, and the function y is measurable. The method proposed for studying such a boundary value problem is based on the results about operator equation with a mapping acting from a metric space to a set with distance (this distance satisfies only one axiom of a metric: it is equal to zero if and only if the elements coincide). In terms of the covering set of the function f (t,x1, •) : R ^ R and the Lipschitz set of the function f (t, •,x2) : R ^ R, conditions for the existence of solutions and their stability to perturbations of the function f generating the differential equation, as well as to perturbations of the right-hand sides of the boundary value problem: the function y and the value of the boundary condition, are obtained.

Keywords: implicit differential equation, linear boundary conditions, existence of solutions to a boundary value problem, covering mapping of metric spaces

Acknowledgements: The work is supported by Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, agreement № 075-15-2019-1619.

Mathematics Subject Classification: 34A09, 34B15, 47J05, 47N20.

For citation: Merchela W. Odin metod issledovaniya razreshimosti krayevykh zadach dlya neyavnogo differentsial'nogo uravneniya [One method for investigating the solvability of boundary value problems for an implicit differential equation]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2021, vol. 26, no. 136, pp. 404-413. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-404-413. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

В настоящей работе предлагаются достаточные условия существования и непрерывной зависимости от параметров решений краевой задачи для скалярного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной искомой абсолютно непрерывной функции (неявного ДУ). Предлагаемые утверждения основаны на результатах [1-3] об операторных уравнениях с отображениями, действующими из метрического пространства в пространство с расстоянием (удовлетворяющим только одной из трех аксиом метрики: нулевое расстояние между элементами означает их совпадение) и обладающими некоторым аналогом свойства накрывания. Идея исследования неявных ДУ методами теории накрывающих отображений метрических пространств была предложена в [4,5]. На основании результатов о липшицевых возмущениях накрывающих отображений и о точках совпадения накрывающего и липшицева отображений в этих работах рассмотрена задача Коши, для которой были получены условия разрешимости, продолжаемости решений, оценки решений, условия непрерывной зависимости решений от параметров. Аналогичными методами, использующими результаты о векторных накрывающих отображениях, действующих в произведениях метрических пространств, в работах [6,7] были исследованы вопросы разрешимости краевых задач для неявных ДУ.

В настоящей работе благодаря применению более общих результатов об операторных уравнениях (в которых ослаблены и требования к расстоянию, и к свойствам отображений) получены утверждения о более широком классе краевых задач.

Статья содержит два раздела. В разделе 1. сформулированы необходимые определения свойств отображений, действующих из метрического пространства в пространство с расстоянием, и сформулированы два утверждения о существовании решений операторного уравнения и непрерывной зависимости множества его решений от порождающих это уравнение отображений. В разделе 2. показано, как краевая задача для неявного ДУ приводится к интегральному уравнению, которое может быть исследовано на основании результатов раздела 1. В результате формулируются теорема существования и теорема о непрерывной зависимости от параметров решений рассматриваемых краевых задач.

1. Операторное уравнение

Будем обозначать К+ = [0, = [0, и полагать для любого г € выпол-

ненными «естественные» соотношения: г < + г = + =

Пусть задано метрическое пространство X с метрикой р : X х X ^ К+ (о метриках, которые могут принимать бесконечное значение см. [8]), и пусть задано непустое множество У, на котором определено расстояние й : У х У ^ К+, удовлетворяющее условию ¿(у, г) = 0 ^ у = г, у, г € У. Сходимость уг ^ у последовательности {уг} в пространстве (У, ¿) будем определять соотношением ¿(у, у г) ^ 0. Важно заметить, что в пространстве с расстоянием предел последовательности не обязан быть единственным, а сходимости й(у,уг) ^ 0 и ¿(уг, у) ^ 0 не равносильны (более подробно о сходимости относительно расстояния, не являющегося метрикой, и о свойствах пространства (У, ¿) см., например, [9,10]).

Рассмотрим уравнение

Р (х,х) = у (1.1)

относительно х € X, где отображение Р : X х X ^ У и элемент у € У считаем из-

вестными. Отметим, что в этом уравнении наличие двух аргументов у отображения Р, принимающих равные значения х, формально лишено смысла, достаточно определить отображение С : X ^ У формулой С(х) := Р(х,х) при х € X. Но в дальнейшем будут предполагаться выполненными разные условия на Р по этим аргументам. Как отображение первого аргумента отображение Р будет обладать «хорошим» свойством накры-вания, а по второму аргументу Р будет испытывать возмущения. В следующем разделе будет показано, что краевая задача для неявного ДУ может быть сведена к операторному уравнению именно такого вида. Что касается отображения С, то оно также будет использоваться в формулируемых ниже условиях разрешимости уравнения (1.1).

Определение 1.1 (см. [1]). Пусть заданы числа а > 0, в ^ 0, множество и С X и отображение / : X ^ У. Следующие множества

Соуа[/; и] := {(х, у) € X х У | Зм € и f (и) = у, р(м,х) < а-1<^(у, f (х)), р(м,х) < го},

[/; и]:= {(х,у) € X х У | Ум € и /(и) = у ^ ¿(у,/(х)) < вр(и,х)}, С1[/; и] := {(х, у) € X х У | У(х„} С и х„ ^ х, /(хга) ^ у ^ /(х) = у}

будем называть, соответственно, множеством а -накрывания, множеством в -липшице-вости и множеством замкнутости отображения / относительно и.

Отметим, что отображение / обладает «классическим» свойством [11] а -накрывания (или в-липшицевости, или замкнутости) тогда и только тогда, когда Соуа[/; X] = X х У (соответственно Ыр^[/; X] = X х У, или С1[/; X] = X х У).

Теорема 1.1 (теорема 2.1 [1]). Пусть метрическое пространство X является полным, х0 € X, а > в > 0 и Я := (а — в)-1^(Х, Р(хо,хо)) < +го. Предположим, что для любого х € и := {х € X | р(х,х0) < Я} выполнены включения

(х,Х) € Соу„[Р(■,х); X], (х,Х) € Ырв[Р(х, ■); и], (х,у) € С1[С; и].

Тогда во множестве и существует решение уравнения (1.1).

Теперь рассмотрим вопрос об устойчивости решений уравнения (1.1) к изменениям отображения Р и правой части у.

Предположим, что известно решение X € X уравнения (1.1). Пусть при каждом п € N заданы отображение Рп: X х X ^ У и элемент уп € У. Рассмотрим уравнение

Рп(х,х) = У„. (1.2)

Сформулируем условия сходимости решений уравнения (1.2) при п ^ го к решению X уравнения (1.1). Для каждого п € N определим отображение Сп : X ^ У формулой Сп(х):= Рп(х,х), х € X.

Теорема 1.2 (теорема 1.1 [3]). Пусть метрическое пространство X является полным, при каждом п € N заданы числа 0 < вп < ап. Положим

Гп := -¿(Хп, Сп(ж)), ип := {х € X | р(х,Х) < Гп}.

а п - вп

Пусть для каждого п € N при любом х € ип выполнено

(х,Жп) € Соуа„[Рп(-,х); X, (х,Жп) € Ырвп [Рп(х, ■); ип , (х,Хп) € С1 [Сп; .

Если гп ^ 0 при п ^ го, то для любого п € N уравнение (1.2) разрешимо и существует, такое его решение хп € X, что при п ^ го имеет место сходимость х>п ^ х в X.

2. Краевая задача для неявного ДУ

В этом разделе предлагается исследование неявного ДУ с краевыми условиями достаточно общего вида. Исследование основано на представлении рассматриваемой краевой задачи в виде интегрального уравнения с отображением, действующим из полного метрического пространства суммируемых (по Лебегу) функций в пространство измеримых функций, которое мы наделяем расстоянием. К такому интегральному уравнению удается применить теоремы 1.1, 1.2.

Определим вначале функциональные пространства, используемые в данном исследовании. Элементами всех рассматриваемых ниже пространств будут функции, определенные на отрезке [0,т], т > 0, и имеющие значения в R.

Обозначим через S — пространство измеримых (по Лебегу) функций u : [0,т] ^ R. Определим в S расстояние следующим образом. Пусть задана функция двух аргументов в : R х R ^ R+, являющаяся суперпозиционно измеримой, т.е. G S для любых

Zi,Z2 G S (это предположение выполнено, например, если функция в непрерывна по каждому аргументу; более общие условия суперпозиционной измеримости см. в [12,13]). Пусть также выполнено

Условие 2.1. При любом фиксированном z G R функция в(-, z) : R ^ R+ непрерывна в точке z, справедливо равенство e(z, z) = 0 и

VS > 0 37 = y(z, S) > 0 Vu G R |u - z| > S ^ в(и, z) > 7.

Зададим расстояние dв : S х S ^ R+ соотношением

Vu, z G S dв(u,z) = vrai sup e(u(t), z(t)), (2.1)

te[o,r ]

а соответствующее пространство (S, dв) будем обозначать через Se.

Примером функции, удовлетворяющей условию 2.1, является e0(z1,z2) = |z1 — z2|. Соответствующее этой функции расстояние dво : S х S ^ R+ является метрикой в S. Будем обозначать р = d в° , а пространство измеримых функций с такой метрикой — через Se° = (S, р). Заметим, что метрическое пространство Se° является полным.

В пространстве S измеримых функций выделим подпространство L суммируемых функций и пространство Lœ существенно ограниченных функций. Пространство L с определенным формулой (2.1) расстоянием dв обозначим Le. Отображение р = de° является метрикой в L, соответствующее метрическое пространство Le° является полным. Обозначим AC — пространство абсолютно непрерывных функций x : [0, т] ^ R, имеющих п. в. на [0, т] производную X G L.

Пусть заданы измеримая функция у : [0, т] ^ R и функция f : R+ х R х R ^ R, измеримая по первому аргументу и непрерывная по совокупности второго и третьего аргументов. Рассмотрим неявное ДУ

f (t,x(t),x(t)) = y(t), t G [0, т]. (2.2)

Получим условия существования решения x G AC этого уравнения, удовлетворяющего краевому условию

Lx := Àx(0)+/ A(s)X(s)ds = A. (2.3)

0

Здесь Л, А € К, Л € Рассматриваемое краевое условие является линейным условием общего вида, поскольку любой линейный непрерывный функционал, определенный на пространстве АС, ||х||АС = |х(0)| + ||х||Ь, = /0 представим в виде £ с

единственными Л € К и Л € (см. [14, § 2.1]).

Покажем, что краевая задача (2.2), (2.3) может быть записана в виде эквивалентного интегрального уравнения, которое можно рассматривать как операторное уравнение (1.1) с отображением Р, действующим из в . Таким образом, к исследованию краевой задачи (2.2), (2.3) применимы теоремы 1.1, 1.2, что позволит сформулировать условия ее разрешимости.

Пусть функция Л не нулевая (иначе краевое условие превратится в начальное). Рассмотрим две возможные ситуации: Л = 0 и Л = 0, в каждой из которых для редукции к интегральному уравнению воспользуемся Ш -подстановкой заменой переменных, определяемой Н. В. Азбелевым (подробнее см. [14, с. 53]).

I. Пусть Л = 0. Определим «модельное» дифференциальное уравнение

(£х)(г):= х(г) = г € [0, т]. (2.4)

Для любой функции v € Ь и любого числа А краевая задача с условием (2.3) для уравнения (2.4) однозначно разрешима, ее решение записывается в виде

х(г) = А — Г ^v(s)ds + Г v(s)ds. (2.5)

Л ]о Л ]о

Подставляя соотношение (2.5) в уравнение (2.2), получим интегральное уравнение

/(г, А — IТ Лтv(s)ds + /* v(s)ds, v(г)) = Х(г). (2.6)

Для существования решения х € АС краевой задачи (2.2), (2.3) необходимо и достаточно, чтобы существовало решение v € Ь уравнения (2.6). При этом формула (2.5) позволяет выразить решение х € АС задачи (2.2), (2.3) через решение v € Ь уравнения (2.6). Определим функции

А

£(М,и) = /(г, А + v,u); (2.7)

, ч (1 — лы/л при 0 < в < г < т, , ,

К(г,з)=^ , 1 < < < ' (2.8)

1 ; | —Л(в)/Л при 0 < г < в < т, v 7

используя которые представим интегральное уравнение (2.6) в виде

£ (г, [ к(г,в) v(s)ds, v(г)) = х(г), г € [0, т]. (2.9)

Полученное уравнение (2.9) — это уравнение (1.1), в котором отображение Р : ^ определено формулой Р(м^)(г) = £ (г, /0тК(г, в) v(s)ds, v(г)), € , и если это отображение удовлетворяет предположениям теоремы 1.1, то исследуемая краевая задача окажется разрешимой. Соответствующее утверждение будет приведено ниже после рассмотрения второй ситуации.

о

II. Пусть А = 0, т. е. краевое условие (2.3) теперь принимает вид

£ж := [ = А, (2.10)

ио

где А Е К, Л Е В этом случае уравнение (2.4) нельзя выбрать в качестве «модельного», так как для него краевая задача с условием (2.10) не является однозначно разрешимой. В данном случае рассмотрим следующее «модельное» дифференциальное уравнение:

(£ж)(г):= ¿(г) - Л(г)х(г) = и(£), г Е [0, т]. (2.11)

Задача (2.11), (2.10) для каждого набора правых частей v Е Ь, А Е К, однозначно разрешима, ее решением является функция

¿(г) = АМг) г тммм v(s)ds гм^ДМ + г 'ж v(s)ds

¿(г) = Д(0) Л Д(0) Л м(8)Д(0)+ У0 м(в)^^

где м(г) = ехр(у Д(г) = ^ Л(^)2Мг Е [0,т], причем Д(0) = 0,

поскольку Л(г) ф 0 и М(г) > 0 на [0,т]. После подстановки приведенной формулы в уравнение (2.2) получим эквивалентное рассматриваемой краевой задаче интегральное уравнение (2.9), где

= / ^АМ^ + АЛДМг) + Л(г)х). (2.12)

1 - М 1<)Л(,) - МДДД при 0 <. < г < т,

К(г , , Д(0) м(8)Д(0) 1 < < < • (213)

= < м(г)Л(.) ММД(.) 0< г< < (2Л3)

при 0 < г < 8 < т.

Д(0) M (s)A(0)

Итак, и в случае А = 0, ив случае А = 0 краевая задача (2.2), (2.3) записывается в виде интегрального уравнения (2.9). В первом случае в этом уравнении функции f, K определяются соотношениями (2.7), (2.8), во втором — соотношениями (2.12), (2.13).

Для формулировки утверждения о разрешимости краевой задачи (2.2), (2.3) (а фактически, о разрешимости полученного интегрального уравнения) введем следующие дополнительные обозначения.

Определим пространства R0 := (R, #) и R00 := (R, #0), первое из которых — это вещественная прямая с «нестандартным» расстоянием 0(ri,r2) между числами ri,r2 Е R, а второе — это вещественная прямая с «обычной» метрикой |r1 — r2|, r1,r2 Е R.

Для любого v Е L обозначим (Kv)(t) = fjK(t, s)v(s)ds. Далее, положим

k0 = vrai sup / |K(t, s)|ds.

ie[o,r ] Jo

Отметим, что в силу определения функции K формулами (2.12) или (2.13), функция K существенно ограничена, следовательно, значение k0 конечно. Для любого v Е L определим функции g[v] : [0, т] х R00 ^ R0 и h[v] : [0,т] х R00 ^ R0 соотношениями

Vt Е [0, т] Vu Е R g[v](t,u) = f(t,u,v(t)),

Vt Е [0,т] Vu Е R h[v](t,u) = f(t, / K(t,s)v(s)ds,u).

0

Теорема 2.1. Пусть существует функция v0 G L такая, что

R0:= vrai sup0(y(t), f(t, u0(t), v0(t))) < го, где u0(t):= (Kv0)(t). te[o,r ]

Пусть заданы a > 0, a G (0,a). Положим R = R0/a и определим многозначные отображения П,S : [0,т] ^ R соотношениями

Vt G [0, т] fi(t):=Mt) - k0R,U0(t)+k)R], S(t):=Mt) - R,v0(t) + R].

Пусть при любом v G L, таком, что v(t) G S(t) при п.в. t G [0,т], выполнены включения

(v(t),y(t)) G Cov«[g[v](t,.);R], ((Kv)(t),y(t)) G Lipe[h[v](t,-);H(t)], t G [0,т],

где в := (a — a)/k0. Тогда существует решение x G AC краевой задачи (2.2), (2.3) такое, что (Lx)(t) G S(t) при п.в. t G [0,т].

Доказательство этого утверждения состоит в проверке для интегрального уравнения (2.9) условий теоремы 1.1.

Аналогично, из теоремы 1.2 в качестве следствия выводятся условия устойчивости решения краевой задачи (2.2), (2.3) к возмущениям правых частей у G S0, A G R0 и функции f, определяющей дифференциальное уравнение.

Пусть при каждом n G N заданы: функция fn : R+ x R x R ^ R, являющаяся измеримой по первому аргументу и непрерывной по совокупности второго и третьего аргументов, измеримая функция yn : R+ ^ R и число An. Для уравнения

f(t,x(t), x(t)) = y„(t), t > 0, (2.14)

рассмотрим краевую задачу с условием

Lx := Ax(0) + I A(s);r(s)ds = An. (2.15)

0

Здесь A, An G R, Л G Lœ. Пусть задано решение У задачи (2.2), (2.3). Сформулируем достаточные условия существования при любом n G N решения Уп задачи (2.14), (2.15) такого, что последовательность {Уп} некоторым образом сходится к у.

Чтобы представить краевую задачу (2.14), (2.15) в виде эквивалентного интегрального уравнения, определим функцию fn соотношениями

A

fn(t, x, v) = fn(t, -A + x, v), если A = 0,

, / AnM(t) A^(t)M(t) . . . . л „

fn(t,x,v) = fn(t, д(0))+ x, v + П/^()0) ()+Л(t)x), если A = 0.

В этих обозначениях краевая задача (2.14), (2.15) относительно функции v = x G L эквивалентна интегральному уравнению

fn(t, f K(t,s) v(s)ds, v(t)) = yn(t).

0

Применим к этому уравнению теорему 1.1.

Для любого v G L определим функции g[n] : [0,т] x R00 ^ R0, Ь[П] : [0,т] x R00 ^ R0 соотношениями

Vt G [0, т] Vu G R g[n](t,u) = fra(t,u,v(t)), Vt G [0, т] Vu G R hn](t,u) = fra(t, (Kv)(t),u).

Теорема 2.2. Пусть задано решение X G AC краевой задачи (2.2), (2.3). Обозначим X(t) := (LX)(t), X(t) := (KX)(t), t G [0,т]. Предположим, что при каждом n G N существует такое an > 0, что при n ^ œ имеет место сходимость

Rn := —vrai sup 6>(Xn(t), fn(t, X(t), X(t))) ^ 0.

^n ie[o,r]

Определим многозначные отображения Qn, Sn : [0,t] ^ R, n G N, соотношениями

Vt G [0, т] ^n(t) := [X(t) - koRn, X(t) + koRn], Sn(t) := [X(t) - Rn, X(t) + Rn].

Пусть для всех n G N существует an > an такое, что для любой функции v G L, если v(t) G Sn(t) при п.в. t G [0,т], то выполнены включения

(v(t),Xn(t)) G Covan [g[nV](t, ■); R], ((Kv)(t),Xn(t)) G Lipen [hH(t,-);fin(t)], t G [0,т],

где en := (an — an)/k0. Тогда для любого n G N существует решение Xn G AC краевой задачи (2.14), (2.15) такое, что последовательность {LXn} при n ^ œ сходится в пространстве L00 к функции X = LX.

References

[1] Е. С. Жуковский, В. Мерчела, "О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений", Уфимский математический журнал, 12:4 (2020), 42-55; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, W. Merchela, "On covering mappings in generalized metric spaces in studying implicit differential equations", Ufa Mathematical Journal, 12:4 (2020), 41-54.

[2] С. Бенараб, Е. С. Жуковский, В. Мерчела, "Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением", Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52-63. [S. Benarab, Е. S. Zhukovskii, W. Merchela, "Theorems on perturbations of covering mappings in spaces with a distance and in spaces with a binary relation", Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 25, 2019, 52-63 (In Russian) '.

[3] В. Мерчела, "Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций", Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 44-54. [W. Merchela, "On stability of solutions of integral equations in the class of measurable functions", Russian Universities Reports. Mathematics, 26:133 (2021), 44-54 (In Russian)].

[4] Е. Р. Аваков, А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, "Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной", Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613-634; англ. пер.:Е. R. Avakov, A. V. Arutyunov, Е. S. Zhukovskii, "Covering mappings and their applications to differential equations not solved with respect to the derivative", Differential Equations, 45:5 (2009), 627-649.

[5] А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С. Е. Жуковский, "О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523-1537; англ. пер.^^. Arutyunov, E. S. Zhukovskii, S.E. Zhukovskii, "On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative", Differential Equations, 47:11 (2011), 1541-1555.

[6] Е. С. Жуковский, Е.А. Плужникова, "Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439-455; англ. пер.:Е. S. Zhukovskii, Е. A. Pluzhnikova, "Covering Mappings in a Product of Metric Spaces and Boundary Value Problems for Differential Equations Unsolved for the Derivative", Differential Equations, 49:4 (2013), 420-436.

[7] Е. С. Жуковский, Е.А. Плужникова, "Теорема о накрывании оператора в произведении метрических пространств", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 16:1 (2011), 70-72. [Е. S. Zhukovskii, Е. A. Pluzhnikova, "A theorem on operator covering in the product of metric spaces", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 16:1 (2011), 70-72 (In Russian)].

[8] Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов, Курс метрической геометрии, Институт компьютерных иссследований, Москва-Ижевск, 2004; англ. пер.:Б. Burago, Yu. Burago, S. Ivanov, A Course in Metric Geometry, Graduate Studies in Mathematics, 33, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2001.

[9] А.В. Арутюнов, А. В. Грешнов, " (qi,q2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения", Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3-32; англ. пер.:А. V. Arutyunov, A. V. Greshnov, " (q1, q2) -quasimetric spaces. Covering mappings and coincidence points", Izv. Math., 82:2 (2018), 245-272.

[10] Е. С. Жуковский, "Неподвижные точки сжимающих отображений f -квазиметрических пространств", Сибирский математический журнал, 59:6 (2018), 1338-1350; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, "The fixed points of contractions of f -quasimetric spaces", Siberian Mathematical Journal, 59:6 (2018), 1063—-1072.

[11] А.В. Арутюнов, "Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки", Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151-155. [А. V. Arutyunov, "Covering mappings in metric spaces and fixed points", Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 416:2 (2007), 151-155 (In Russian)].

[12] И.В. Шрагин, "Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476-478. [I. V. Shragin, "Superpositional measurability under generalized Caratheodory conditions", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 19:2 (2014), 476-478 (In Russian)].

[13] И.Д. Серова, "Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори", Вестник российских университетов. Математика, 26:135 (2021), 305-314. [ID. Serova, "Superpositional measurability of a multivalued function under generalized Caratheodory conditions", Russian Universities Reports. Mathematics, 26:135 (2021), 305-314 (In Russian)].

[14] Н.В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина, Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, Наука, М., 1991. [N. V. Azbelev, V. P. Maksimov, L.F. Rakhmatullina, Introduction to the theory of functional differential equations, Nauka Publ., Moscow, 1991 (In Russian)].

Информация об авторе

Мерчела Вассим, аспирант, кафедра функционального анализа. Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, г. Тамбов; Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург. Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3702-0932

Information about the author

Wassim Merchela, Post-Graduate Student. Functional Analysis Department. Derzhavin Tambov State University, Tambov; St. Petersburg University, St. Petersburg, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3702-0932

Поступила в редакцию 29.09.2021 г. Поступила после рецензирования 15.11.2021 г. Принята к публикации 27.11.2021 г.

Received 29.09.2021 Reviewed 15.11.2021 Accepted for press 27.11.2021