О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 26, № 136

2021

© Арутюнов А.В., Плужникова Е.А., 2021 DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-348-362 УДК 517.922, 517.988

м9

OPEN fil ACCESS

О задаче Коши для неявных дифференциальных уравнений высших порядков

Арам Владимирович АРУТЮНОВ1 , Елена Александровна ПЛУЖНИКОВА2

1 ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов» 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 2 ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33

Аннотация. Статья посвящена исследованию неявных дифференциальных уравнений на основе утверждений о накрывающих отображениях произведений метрических пространств. Сначала рассмотрена система уравнений

&i(xi, Х1,Х2, . .., Xn) = Vi, i =1 ,n,

где Фi : Xi x Xi x ... x Xn ^ Yi, yi G Yi, Xi и Yi _ метрические пространства, i = 1, n. Предполагается, что отображение Фi является накрывающим по первому аргументу и липшицевым по каждому из остальных аргументов начиная со второго. Получены условия разрешимости этой системы и оценки расстояния от произвольного заданного элемента xo G X до множества решений. Далее в статье получено утверждение о действии оператора Немыцкого в пространствах суммируемых функций и установлена взаимосвязь свойств накрывания оператора Немыцкого и накрывания порождающей его функции. Перечисленные результаты применены к исследованию системы неявных дифференциальных уравнений, для которой доказано утверждение о локальной разрешимости задачи Коши с ограничениями на производную решения. Такие задачи возникают, в частности, в моделях управляемых систем. В заключительной части статьи аналогичными методами исследовано дифференциальное уравнение n -го порядка, не разрешенное относительно старшей производной. Получены условия существования решения задачи Коши.

Ключевые слова: неявные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения высших порядков, задача Коши, накрывающее отображение, метрическое пространство, оператор Немыцкого, функциональное пространство

Благодарности: Работа выполнена при поддержке РНФ (проект № 20-11-20131).

Для цитирования: Арутюнов А.В., Плужникова Е.А. О задаче Коши для неявных дифференциальных уравнений высших порядков // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26. № 136. С. 348-362. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-348-362.

© A. V. Arutyunov, E.A. Pluzhnikova, 2021 DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-348-362

On the Cauchy problem for implicit differential equations of higher orders

Aram V. ARUTYUNOV1 , Elena A. PLUZHNIKOVA2

1 Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University) 6 Miklouho-Maclay St., Moscow 117198, Russian Federation 2 Derzhavin Tambov State University 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation

Abstract. The article is devoted to the study of implicit differential equations based on statements about covering mappings of products of metric spaces. First, we consider the system of equations

$j(xj, Xl,X2, . .., Xn) = Vi, i =1 ,n,

where : Xi x X1 x ... x Xn ^ Yi, yi G Yi, Xi and Yi are metric spaces, i = 1, n. It is assumed that the mapping is covering in the first argument and Lipschitz in each of the other arguments starting from the second one. Conditions for the solvability of this system and estimates for the distance from an arbitrary given element x0 G X to the set of solutions are obtained. Next, we obtain an assertion about the action of the Nemytskii operator in spaces of summable functions and establish the relationship between the covering properties of the Nemytskii operator and the covering of the function that generates it. The listed results are applied to the study of a system of implicit differential equations, for which a statement about the local solvability of the Cauchy problem with constraints on the derivative of a solution is proved. Such problems arise, in particular, in models of controlled systems. In the final part of the article, a differential equation of the n -th order not resolved with respect to the highest derivative is studied by similar methods. Conditions for the existence of a solution to the Cauchy problem are obtained.

Keywords: implicit differential equations, differential equations of higher orders, the Cauchy problem, covering map, metric space, the Nemytsky operator, functional space

Mathematics Subject Classification: 34A09, 47H14, 47H30.

Acknowledgements: The work is partially supported by the Russian Science Foundation (project no. 20-11-20131).

For citation: Arutyunov A.V., Pluzhnikova E.A. O zadache Koshi dlya neyavnykh diffe-rentsial'nykh uravneniy vysshikh poryadkov [On the Cauchy problem for implicit differential equations of higher orders]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2021, vol. 26, no. 136, pp. 348-362. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26136-348-362. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

В статье рассматриваются системы неявных дифференциальных уравнений первого порядка и неявные дифференциальные уравнения высших порядков. Исследование основано на результатах об абстрактных уравнениях с отображениями, действующими в метрических пространствах и обладающими свойством накрывания. Идея применения результатов о накрывающих отображениях к исследованию различных классов функциональных уравнений была предложена в работе [1]. В этой работе и в работах [2-4] были получены утверждения о нелинейных липшицевых возмущениях накрывающих отображений и на их основе определены условия существования и непрерывной зависимости от параметров решений интегральных уравнений и задачи Коши для скалярного неявного дифференциального уравнения первого порядка. В связи с исследованием краевых задач для неявных дифференциальных уравнений в работах [5,6] начато исследование накрывающих отображений в произведениях метрических пространств. Системы абстрактных уравнений с «векторно накрывающими» отображениями, действующими в произведениях метрических пространств (включая системы, описывающие кратные точки совпадения и задачи о липшицевых возмущениях), подробно рассмотрены в [7-9]. С использованием утверждений о векторно накрывающих отображениях в [10] были получены условия управляемости для дифференциальной системы неявного вида.

В данной работе предлагается уточнение утверждений работ [5,6,10] о системах уравнений с отображениями произведений метрических пространств. Предполагается, что эти отображения по диагональным переменным являются накрывающими, а по остальным аргументам обладают свойством липшицевости. На основании полученного утверждения о системах операторных уравнений рассматривается система неявных дифференциальных уравнений первого порядка и скалярное неявное дифференциальное уравнение п -го порядка, п > 2.

Статья разбита на четыре части. В секции 1. приведены определения основных понятий и получено утверждение о разрешимости системы операторных уравнений. С целью применения этих результатов к конкретным классам функциональных уравнений в секции 2. сформулированы утверждение о действии оператора Немыцкого и утверждение, устанавливающее взаимосвязь свойств накрывания оператора Немыцкого и накрывания порождающей его функции. В секции 3. доказано утверждение о локальной разрешимости системы неявных дифференциальных уравнений. В секции 4. исследован вопрос разрешимости дифференциального уравнения п -го порядка.

1. Разрешимость системы операторных уравнений

Напомним определение свойства накрываемости отображений, действующих в метрических пространствах.

Пусть X и У — метрические пространства с метриками рх, ру, соответственно. Замкнутый шар пространства X с центром в х Е X радиуса г > 0 будем обозначать через Вх (х, г) (аналогичное обозначение будем использовать и для других метрических пространств). Пусть задано отображение Ф : X ^ У, множество V С У и положительное число а.

Определение 1.1. Будем говорить, что отображение Ф является а -накрывающим множество V (или а -накрывает множество V), если для любых г > 0 и и Е Х справедливо включение

V П Бу (Ф(и),аг) С Ф(Бх(и, г)).

В случае V = У отображение Ф будем называть а -накрывающим (без упоминания множества). Такие отображения исследованы в [11-13] в связи с задачей о существовании и свойствах точек совпадения. В работах [1-3] исследованы вопросы разрешимости уравнений с накрывающими отображениями метрических пространств. Отметим, что приведенное определение 1.1 свойства а -накрывания множества V равносильно следующему соотношению

Уу Е V Уи Е X Зх Е X Ф(х) = у, рх(х,и) < кру(у, Ф(и)),

где к = а-1. Это соотношение в случае V = У называют к -метрической регулярностью отображения Ф (см. [14,15]).

Пусть для г,] = 1, п заданы метрические пространства (Х3-, рх^), (У, Ру), множества

п

V С У;, элементы yi Е V и отображения Ф; : Х; х Х3- ^ У;. Рассмотрим систему п

3 = 1

операторных уравнений с п неизвестными х1 Е Х1, х2 Е Х2, ..., хп Е Хп вида

Ф;(х;,Ж1,Ж2,... ,Жп) = У;, г = 1,п. (1.1)

п п п

Обозначим Х = П Х3, У = П У;, V = П Vi. Систему (1.1) нам удобно будет рассмат-3=1 ;=1 ;=1 ривать как операторное уравнение с отображением, действующим из Х в У, относительно неизвестного вектора ж = (х1,х2,... ,жп) Е Х. Произведение Х можно метризовать: метрика в Х может быть задана равенством

рх (х,и) =|(рхх (х1,и1),РХ2 (х2, и2 ) , . . . , Рхп (хп,ип^ |к„ , (1 2)

ж = (х1, х2,..., хп) Е Х, и = (и1, и2,..., ип) Е Х,

где | • |мп — любая монотонная норма в Кп. Аналогично может быть задана метрика в произведении У. Определим отображение Ф : Х х Х ^ У соотношением

Ф(и,х) = (Ф; (и;,х)) щ, х = (х1, х2,..., хп) Е Х, и = (и1 ,и2,...,ип) Е Х.

В принятых обозначениях система уравнений (1.1) записывается в виде операторного уравнения

Ф(х,х)= у, (1.3)

где У = (У1,У2,... ,Уп) Е V.

Если отображение Ф по первому аргументу является а -накрывающим, а по второму аргументу — в-липшицевым, то при а > в разрешимость уравнения (1.3) может быть установлена на основании утверждений цитируемых выше работ [1-3]. Возникает вопрос об определении чисел а, в и проверке неравенства а > в, если известны константы накрывания и липшицевости для компонент Ф; по первому и второму аргументам, соответственно. В случае V; = У; подходы к исследованию данной проблемы предложены

в [5,6]. Здесь мы применим близкие идеи, которые позволят исследовать разрешимость векторного операторного уравнения (1.3) при правых частях у Е V.

Пусть заданы числа ai > 0, ву ^ 0, i, j = 1,n. Определим матрицы A = diag(ai)raxra, B = (ву C = A-1B = (a-^ij )

i j Jnxn-

'1.4)

Обозначим через ^(С) — спектральный радиус матрицы С. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть метрические пространства X, ] = 1,п, являются полными и выполнены условия:

при всех г = 1,п, для любого х Е X отображение ФД-,х) : Х^ ^ У является а -накрывающим множество V ;

при всех г,^ = 1,п, для любых щ Е Х^, XI Е Х1, .

xJ-i E Xj-b xJ+i E Xj+1,

Xn

E Xn отображение Ф^^^,..., xj-1, ■, xj+1,... ,xn) : Xj M Yi является Д

ij

-липши-

цевым;

для любых } С X, и Е X, у Е V из сходимостей Щ ^ щ (в пространстве Xi) и ФДщ*, и) ^ yi (в пространстве У ) при всех г = 1,п следует равенство Ф(и,и) = у.

Тогда если для матрицы С, определенной формулой (1.4), выполнено ^(С) < 1, то при любом у Е V система операторных уравнений (1.1) разрешима и, более того, для любого е > 0 можно так задать монотонную нор,му | * в пространстве Кга, что для любого и0 = (щ°, и],..., ЩП) Е X существует решение х = £ Е X системы (1.1), удовлетворяющее оценке

(PXi (6,u0))

<

1

1 - e(c)

+ e

PY.(yi, ФД«0,«0))

ai

i=1,n

Схема доказательства теоремы 1.1 в основном повторяет схему доказательства теоремы 1 о разрешимости системы уравнений с условно накрывающими отображениями в произведении метрических пространств из [5], поэтому здесь не приводится.

Отметим, что для случая V = Y близкие теореме 1.1 условия накрывания отображений, действующих в произведении метрических пространств, получены в работе [6].

2. Оператор Немыцкого в пространствах измеримых функций

Предлагаемое в этой секции исследование свойств оператора суперпозиции (называемого в литературе оператором Немыцкого) требуется для получения основанных на теореме 1.1 условий разрешимости неявных дифференциальных уравнений. Здесь будут сформулированы утверждение о действии оператора Немыцкого и утверждение, устанавливающее взаимосвязь свойств накрывания оператора Немыцкого и накрывания порождающей его функции.

Обозначим через cl(rn) совокупность непустых замкнутых подмножеств пространства rn. Для измеримого многозначного отображения S : [a, b] M cl(r) определим следующие полные метрические пространства: Lœ([a,b], S) — пространство существенно ограниченных функций t E [a,b] M- y(t) E S(t) с метрикой pL (y1,y2) = vrai sup |y1(s) — y2(s)|;

se [a, b]

Lp([a,b], S), 1 < p < œ — пространство функций t E [a,b] M y(t) E S(t), суммируемых в

R

n

R

n

(ь У/р

р -й степени, с метрикой рЬр (уьу2) = I / |у1 (в) — у2(з)|р^з I . Отметим, что множество ¿р([а,6], 2), 1 < р < то, не пусто тогда и только тогда, когда рК(2(^)) € ¿р([а,6], К), где

рж(2(г)) = Ы{|£|, £ € 2(г)}, г € [а,6].

Определим также пространство АСр([а, 6], 2), 1 < р < то, абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] — К таких, что х € Ьр([а, 6], 2), с метрикой

Рлар (х1, х2) = |(рЬр (х 1,х2), х1(а) — х2(а))

К2"

Заметим, что при 2(г) = к пространства ¿р([а,6],к), АСр([а, 6],к) являются банаховыми, а определенные выше метрики стандартно выражаются через норму этих пространств: рЬр (у1,у2) = ||у1—у2||Ьр, рлСр (х1,х2) = ||х1—х2||лСр. Таким образом, метрические пространства ¿р([а,6], 2), АСр([а,6], 2) —это подпространства «обычных» пространств ¿р([а,6], к), АСр([а, 6], к), метрика в которых определяется через норму приведенными выше формулами.

Пусть задана измеримая функция п : [а, 6] — к такая, что п(г) € 2(г) при почти всех г € [а, 6]. Определим пространство Жр(п, [а, 6], 2), 1 < р < то, измеримых функций г € [а, 6] — у (г) € 2(г), удовлетворяющих условию у — п € Ьр([а, 6], к), с метрикой ршр (У1,У2) = НУ1 -( У2||ЬР (очевиДно, что У1 — У2 = (У1 — П) — (У2 — П) € к) для любых уьу2 € Жр(п, [а, 6], 2 ). Отметим, что Жр(п, [а, 6], 2 вложено в пространство Жр(п, [а,6],к).

Пусть заданы числа 1 < р1 < р2 < то и определены измеримые многозначные отображения П : [а, 6] — с1(к), в : [а, (] — с1(к12), Предположим, что рК(П(-)) € £р1 ([а, 6],к. Пусть, далее, задана функция (ъ € [а, 6],х € П(г)) — д(г,х) € к, удовлетворяющая условиям! Каратеодори. Зафиксируем функцию ш € Ьр1 ([а, 6], П) и определим функцию пО = 9(^шО). В случае р1 = то относительно функции д будем предполагать, что существует Л € к, для которых при почти всех г € [а, 6] и всех т € П(г) выполнено неравенство |д(г,т) — п(г)| < Л|т|р1 /р2. Если р1 = то, то предполагаем, что при любом г > 0 существует такая функция € ¿р2 ([а, 6], к, что |д(г,т) — п(г)| < (г(г) при почти всех г € [а, 6] и любых т € П(г) таких, что |т| < г.

Определим оператор Немыцкого соотношением

Ут € Ьр1 ([а, 6], П) (ЛТЯт)(г) = д(г,т(г)), г € [а, 6]. (2.1)

Рассмотрим также функцию д(г,т) = д(г,т) — п(г) и соответствующий оператор Немыцкого

Ут € Ьр1 ([а, 6], П) (Л/~м)(г) = £(г,ш(г)), г € [а, 6]. (2.2)

В силу известных теорем об операторе Немыцкого в лебеговых пространствах (см., например, [16, § 17]), оператор N действует из пространства Ьр1 ([а, 6], П) в пространство Ьр2([а, 6], к) и при р1 = то является непрерывным и ограниченным, а при р1 = то — замкнутым и ограниченным. Поэтому, в силу определения пространства Жр2 (п, [а, 6], справедливо следующее утверждение.

Лемма 2.1. Определенный формулой (2.2) оператор N действует из пространства Ьр1 ([а, Ь], П) в пространство ^р2 (п, [а, Ь], е). В случае р1 = то оператор N является непрерывным и ограниченным, а при р1 = то — замкнутым и ограниченным.

Теперь приведем условия накрывания оператора N : Ьр1 ([а, Ь], П) ^ ^р2 (п, [а, Ь], е).

Лемма 2.2. Пусть существует такое ая > 0, что при почти всех £ Е [а,Ь] отображение д(£, ■) : П(£) ^ е является ая -накрывающим множество в(£). Тогда оператор Немыцкого N : ЬР1 ([а, Ь], П) ^ ЖР2 (п, [а, Ь], е) будет а^ -накрывающим множество ^р2(п, [а,Ь], в), где а^ = (Ь — а)-(р2-р1)/(р1р2)ая, в частности, при р1 = р2 константы накрывания равны: а^ = ая, в случае р1 < р2 = то выполнено равенство

= (Ь — а)-1/р1 а

я ■

Доказательство леммы 2.2 аналогично доказательству теоремы 3 из [5] о накрывании оператора Немыцкого, действующего из Ьр1 ([а,Ь], П) в Ьр2([а, Ь], в).

3. Система неявных дифференциальных уравнений

Полученные в секции 1. условия разрешимости системы операторных уравнений (1.1) и полученные в секции 2. утверждения о свойствах оператора Немыцкого здесь применяются к исследованию задачи Коши для системы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной искомой функции.

Сформулируем рассматриваемую задачу Коши. Пусть заданы: измеримые многозначные отображения

П^ вi : [а, Ь] ^ с1(е), г = ТТй, удовлетворяющие условиям Каратеодори функции

(г Е [а, Ь], х Е еп, ^ Е ПДг)) м- /¿(£,х,од) Е е, г =

(т. е. функции ¡1 измеримы по первому аргументу и непрерывны по совокупности остальных аргументов), а также измеримые функции

£ Е [а, Ь] ^ у»(£) Е вДг), г = 1,п,

и числа 7i Е е, г = 1, п.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

^(г,х1(г),х2(г),... ,х„(г),хдг)) = yi(г), г = 1,п, г е [а,Ь], (3.1)

с начальными условиями

Xi(а) = 7i, г =1,п, (3.2) и дополнительными ограничениями на производные

хдг) е Пг(г), г е [а,Ь], г = 1,п. (3.3)

Отметим, что дополнительные ограничения на искомую функцию или ее производную возникают, например, в моделях систем управления (см. [10]).

Пусть заданы числа 1 < ри < р^ < то, г = 1, п. Будем предполагать, что имеет место включение рЕ(П(•)) Е Ьри([а,Ь], е), г = 1,п. При каждом г = 1,п зафиксируем функцию

Ш € Ьри([а, 6], Пг) и определим функцию п»0 = /г(•,7,шг(0). Для любого г = 1,п, если р1г = то, то относительно функции /г будем предполагать, что для некоторого Лг € к при почти всех г € [а, 6] и любых € Пг(г) выполнено неравенство

|/г(г,7,тг) — пг(г)| < Лг|^|р»/р*.

Если р1г = то, то будем предполагать, что для любого г > 0 существует такая функция Сг € £те([а,6],к), что для всех |тг| < г выполнено неравенство

|/г(г,7,тг) — пг(г)| < Сг(г).

Будем рассматривать локальные решения задачи Коши (3.1), (3.2), (3.3), то есть определенные не обязательно на всем [а, 6], а на некотором «меньшем» отрезке [а, а + т], где т € (0,6 — а]. Решение задачи (3.1), (3.2), (3.3) будем искать в классе абсолютно непрерывных функций х = (х1, х2,..., хп) : [а, а + т] — кп, компоненты которых хг € АСри([а, а + т], Пг), г = 1,п.

Теорема 3.1. Предположим, что если р1з = 1 при некотором то р1г = то при всех номерах г = Пусть при всех г = 1,п, ] = 1,п существуют такие аг > 0 и в? > 0, что для почти всех г € [а, 6] выполнены условия:

для любого х € кп отображение /г(г, х, •) : Пг(г) — к является аг -накрывающим множество вг(г);

для любого € Пг(г) отображение /г(г, : кп — к является в? -липшицевым по каждой компоненте х? € К второго аргумента.

Тогда для любых уг € ^р2Дпг, [а, 6], вг), г = 1,п, существует т € (0,6 — а] и суще-

п

ствует определенное на [а, а + т] решение х € П АСр1^([а, а + т], П?) задачи Коши (3.1), (3.2), (3.3). ? 1

Доказательство. Зафиксируем произвольное т € (0,6 — а]. Рассмотрим вспомогательную задачу Коши для системы

хг(г) = г>г(г), г = 1,п, г € [а, а + т],

п

с начальным условием (3.3). Для любой правой части V = ^г)г=щ € П £ри([а, а + т], Пг)

' г=1

п

решением этой задачи является функция х = (хг)г=щ € П АСри([а, а + т], Пг), определя-

' г=1 "

емая формулой х(г) = 7 + /а v(s) (то есть хг(г) = 7г + /(1 vг(s) ^з, г = 1, п). Рассматриваемая вспомогательная задача позволяет представить исходную задачу Коши (3.1), (3.2), (3.3) при г € [а, а + т] в виде системы

/¿(г, 7 + v(s) VI(гМ = Уг(г), г = 1,п, г € [а, а + т], (3.4)

</ а

п

относительно неизвестного V € П Ьрн([а, а + т], Пг) — производной от искомой абсолютно

г=1 "

непрерывной функции.

Чтобы применить к полученной системе (3.4) теорему 1.1, определим отображения Ф^

г = 1,п, сопоставляющие любым и^ Е Ьри ([а,а+т], П^, V Е Л ([а,а+т], П) функцию

¿=1

ФДи^)(г) = /^¿,7 + / v(s) (в, иДг)), г Е [а, а + т],

(3.5)

и покажем, что Фi : Ьрн([а, а+т], П^ х П ([а, а+т], П) ^ ^р2Дп, [а, а + т], Е), г = 1, п.

¿=1

Действительно, во-первых, согласно лемме 2.1 /¿(■, 7, иД-)) Е ^р2Дп, [а, а + т], е), а во-вторых, в силу предположения -липшицевости отображения / по каждой компоненте второго аргумента получаем

ра+т

, Г* 2 ( 2 р2; \ 1/р24

/i(г, 7 + v(s)(в, шДг)) — /i(г,7,шДг)) а)

./а

ла+т п п * . 1/р2. п а+т

< ( ' / V(s) ¿Л < ( /

а ¿=1 ./а ./а

п

|| Vi и^ т1-1/р1> (г а ¿=1

1/р2г

<

У П^Ч^р^ т

1-1/р1

1/р2г

<.

¿=1

Таким образом,

а+т

+

а+ т

р2г \ 1/р2г

(И\ <

г *

а+т

Л(г,7,иДг)2 — п(г)

р2г \ 1/р2

(г

М^ 7 + / — Л(г,7,иДг))

р2г \ 1/р2г

(Л < то,

то есть ФДи^, v) Е (п, [а, а + т],!

Итак, система функциональных уравнений (3.4) записывается в виде следующей системы операторных уравнений

,V2,...,Vn) = Уi, г = 1,п.

(3.6)

Осталось проверить условия теоремы 1.1 для заданных формулой (3.5) отображений

п

Фi : £ри([а, а + т], Пi) х П ([а, а + т], П) ^ (п, [а, а + т], е). Рассмотрим толь-

¿=1

ко ситуацию 1 < рн < < то, в случае 1 < рн < р^ = то доказательство аналогичное. Согласно лемме 2.2 отображение ФД-, V) : £ри([а, а + т], Пi) ^ (п, [а, а + т], е) при

п

любом V Е Л ([а, а + т], П) является накрывающим с константой т-(рм-ри)/(рнрм ¿=1 '

Далее, для всех и^ Е £ри([а, а + т], Пi), V Е П ^р1г([а, а + т], П), произвольного ] = 1, п

1 1=1

и любого V, € ЬР1г([а, а + т], П,) выполнено

(Фг(^г, VI, . . . , V, , . . . , V™), Фг(^г, VI, . . . , V,, . . . , V™))

/ /• а+Т / ГР , \Р2г \1/Р24

< (у IV, (8) - V (8)| ^

/ ла+т г а+т \Р2'/Р1' \ 1/р2г

< в, [ I ( / IV,(в) - V,(з)^' 1 '(£ - а)^'-1)Р2г/Р1; |

а а „ /------ -----1.)

в, т(р1 Р2г Р2г+Р1.7') /(Р1 ]Р2г )

((Р1,Р2г - Р2г + р, )/р,)

:РьР1,. Л').

Итак, отображение Фг(и>г, v1,... • , ... , V™) удовлетворяет условию Липшица с

константой

((р,Р2г - Р2г + р,)/р,г^"Т^Р2г-Р2г+Р1;)/(р1^Р2%. Используя вычисленные значения, определяем для системы (3.6) матрицу (1.4):

Т(РнР1^' Р1г+Р1^' )/(Р1гР1^' )р1, 1/Р2г в,

с = ^--^ . (3.7)

V (Р1,Р2г - Р2г + р, )1/Р2гаг / гахга

Оценим элементы этой матрицы.

Покажем, что при основании т показатель степени с, = (р1гру - р1г + р,)/(р1гр1,)0 при любых г,^ является положительным числом. Очевидно, что с, > 0, если р1г < то и р, < то. Пусть теперь конечно только одно из этих чисел. Если р1г = то, то, согласно принятым предположениям, р, > 1, и поэтому с, = (р, - 1)/р1, > 0. Если же р, = то, то с, = (р1г + 1)/р1г > 0. Наконец, при р1г = р, = то получаем с, = 1. Из доказанных оценок следует, что если определить с = тт{с,}, то с > 0.

Теперь для элементов матрицы (3.7) докажем конечность выражений

(Р1,Р2г - Р2г + р,Г^Р,1/№

при всех г, = 1,п. При конечных значениях р1г, р1, выполнено р1,р2г - р2г + р1, > 0 и поэтому д, < то. Далее, легко проверяется, что:

р2г < то, р, = то ^ = (р2г + 1)-1/Р2г; р2г = то, р, < то ^ дг, = 1; р2г = то, р, = то ^ = 1.

Положим д = тах{д,}. Из приведенных выше рассуждений следует, что д < то. При всех г,^ = 1,п для элементов с, матрицы (3.7) выполнено 0 < с, < т?дК, где К = тах{аг-1в,}. Из этой оценки следует, что с, ^ 0 при т ^ 0. Поэтому можно выбрать т > 0 так, чтобы ^(С) < 1.

Итак, все условия теоремы 1.1 выполнены. □

В теореме 3.1 предположения накрывания отображением /¿(¿,х, •) множества вг(£) при почти всех £ € [а, Ь] и любых х € кга и предположение липшицевости отображения /г(£, •, ^г) на всем кга при любых Wi € Пг(£) можно ослабить. Можно потребовать выполнение этих условий для второго аргумента, принадлежащего не всему пространству кга,

а только множеству О = П [7^ — 7^, 7^ + 7^], > 0. Отметим, что подобные ослабленные

¿=1

условия использовались в работах [1-3,5].

Итак, будем считать, что функция /¿(¿,х, определена для аргументов г Е [а, Ь], х Е О, и^ Е ПДг). Предположим, что при почти всех г Е [а,Ь] для любого х Е О отображение /¿(¿,х, ■) : Пi(г) ^ е является а -накрывающим множество вдг), г = 1,п, для любого и^ Е Пдг) отображение /¿(¿, : О ^ е является вч -липшицевым по

каждой компоненте х^- Е е второго аргумента, а также выполнены остальные условия теоремы 3.1. Определим отображение

(г е [а, Ь], х е еп, и^ е ПДг)) ^ /¿(г,х,) е е, г = 1~п

соотношением

если xi Е О, если xi < 7^ — 7^, если xi > 7^ + 7^.

Рассуждениями, аналогичными использовавшимся в [1,2,5], доказывается, что для определенных здесь функций % г = 1, п, выполнены все условия теоремы 3.1. Таким образом, для любых yi Е [а,Ь], в^, г = 1,п, существует т Е (0,Ь — а] и существует опре-

п

деленное на [а, а + т] решение х Е П АСрц ([а, а + т], П) задачи Коши для системы

¿=1

/(г,х1(г),х2(г),...,хп(г),хдг)) = yi(г), г = 1,п, г е [а,Ь],

с условиями (3.2), (3.3). Для достаточно малого положительного т' < т будет выполнено х(г) Е О при г Е [а, а + т']. Следовательно, сужение функции х на отрезок [а, а + т'] будет решением исходной задачи Коши.

Итак, из теоремы 3.1 выводится следующие более общие условия разрешимости задачи Коши (3.1), (3.2), (3.3).

Следствие 3.1. Предположим, что если р^- = 1 при некотором то рн = то при всех номерах г = Пусть при всех г = 1,п, ] = 1,п существуют такие а > 0 и ву > 0, что для почти всех г Е [а, Ь] выполнены условия:

для любого х Е О отображение /¿(£,х, ■) : Пдг) ^ е является а -накрывающим множество вi(г);

для любого Е ПДг) отображение /г(г, : О ^ е является в^ -липшицевым по каждой компоненте х^- Е е второго аргумента.

Тогда для любых yi Е [а, Ь], в^, г = 1,п, существует т Е (0,Ь — а] и суще-

п

ствует определенное на [а, а + т] решение х Е П АСр1^.([а, а + т], П) задачи Коши (3.1), (3.2), (3.3). ' 1

х?!

У%(г,х,и0 = /п(х) = % = < 7^ —

77

7,'

4. Дифференциальное уравнение п-го порядка

Здесь на основании полученных в секции 3. результатов о системе (3.1) неявных дифференциальных уравнений получены условия разрешимости дифференциального уравнения п -го порядка, не разрешенного относительно старшей производной.

Пусть заданы векторы 7 = (71,..., 7„) € кга, а = (о-!,... , ап) € . Обозначим

= [7г — аг, 7г + а^], % = 1,п, О = П Ог. Пусть также определены измеримые мно-

г=1

гозначные отображения П, в : [а, Ь] М с1(к), удовлетворяющая условиям Каратеодори (измеримая по первому и непрерывная по совокупности остальных аргументов) функция

(Ь € [а, Ь], х € О1, € О2, ..., ^га-1 € Оп, € П(Ь)) М #(Ь, х, и^,..., ип) € к,

а также измеримая функция Ь € [а,Ь] М- у(Ь) € в(Ь). Рассмотрим дифференциальное уравнение

4.1)

^(Ь,х(Ь),х(Ь),...,х(п)(Ь)) = у(Ь) с начальными условиями

х(а) = 71, х(а) = 72, ..., х(п—1)(а) = 7« (4.2

и дополнительным ограничением на старшую п -ую производную искомой функции

х(п)(Ь) € П(Ь), Ь € [а,Ь], % = 1~П. Сделаем «стандартную» замену переменных, обозначив

х =— х х^ = х х = х(п 1)

сО 1 2 ш ♦ ♦ ♦ ^ ^-"п '

Относительно новых неизвестных уравнение (4.1) превращается в систему

х 1 — х2 = 0,

4.3)

х п— 1 хп 0 ,

к #(Ь,хь... , х„, хп) = у(Ь).

(4.4)

Если определить функцию

Ь € [а, Ь], х € О, и1 € О2, ..., 1 € Оп, € П(Ь)) М /(Ь, х, и)

( —х2 + «1 \

хп + ип— 1

\ ^(Ь,х,и„) у

и обозначить

У1(Ь) = 0, ..., Уп—1(Ь) = 0, уга(Ь) = у(Ь), П1(Ь) = К, ..., Пп—1(Ь) = К, Пп(Ь) = П(Ь), в1 (Ь) = {0}, ..., вп—1(Ь) = {0}, вп(Ь) = в(Ь),

то становится очевидным, что задача Коши (4.1), (4.2), (4.3) для рассматриваемого уравнения п-го порядка представима в виде задачи Коши (3.1), (3.2), (3.3) для системы уравнений первого порядка, которая рассматривалась в секции 3. Это позволяет применить к исследованию задачи (4.1), (4.2), (4.3) теорему 3.1 и следствие 3.1.

Пусть заданы числа 1 < р1 < р2 < то. Будем предполагать, что имеет место включение ре(П(-)) Е Ьр1([а,Ь], е). Зададим некоторую функцию ш Е Ьр1 ([а, Ь], П) и определим функцию п(') = 9(^Тъ ... ,7п,ш(-)). Если р^ = то, то относительно функции д будем предполагать, что для некоторого Л Е е при почти всех г Е [а,Ь] и любых и Е П(г) выполнено неравенство

|д(г,71,...,7п,и) — п(г)| < Л|и|р1/р2.

Если р1 = то, то будем предполагать, что для любого г > 0 существует такая функция Сг Е £те([а,Ь], е), что для всех |и| < г выполнено неравенство

^(¿Лъ... ,7п,и) — П(г)| < Сг(г).

Определим пространство АСр1 ([а,Ь], П) таких п раз дифференцируемых функций х : [а, Ь] ^ е, что (п — 1) -ая производная является абсолютно непрерывной функцией, а для п-й производной выполнено х(п) Е Ьр1 ([а, Ь], П). Локальным решением задачи (4.1), (4.2), (4.3) будем называть функцию х Е АСр1 ([а, а + т], П), удовлетворяющую при почти всех г Е [а,а + т] уравнению (4.1), а также начальному условию (4.2).

Применяя к задаче (4.4), (3.2), (3.3) следствие 3.1, получаем следующее утверждение о задаче Коши (4.1), (4.2), (4.3) для уравнения п -го порядка.

Теорема 4.1. Пусть существуют такие а > 0 и в^ > 0, ] = 1,п, что для почти всех г Е [а,Ь] выполнены условия:

для любых х Е О1, и1 Е О2, ..., ип-1 Е Оп отображение д(г,х, ■) : П(г) ^ е является а -накрывающим множество в(г);

для любого ип Е П(г) отображение д(г, ■, и) : О ^ е является липшицевым по каждой компоненте х Е О1, и1 Е О2, ... ип-1 Е Оп второго аргумента с коэффициентом в1, в2,..., вп, соответственно.

Тогда для любого у Е Жр2 (п, [а,Ь], в) существует т Е (0,Ь — а] и существует определенное на [а, а + т] решение х Е АС^([а, а + т], П) задачи Коши (4.1), (4.2), (4.3).

Проиллюстрируем применение теоремы 4.1 к исследованию конкретных уравнений.

Пример 4.1. Рассмотрим задачу

1|х(г) — 1|+ х2(г)ехрх(г) = у(г), х(г) е [0,2], г е [0,1], х(0) = 0, хх(0) = 7. (4.5)

В принятых выше обозначениях для этой задачи имеем

д(г,х, и1, и2) = — 11 + и2 ехрх, П(г) = [0, 2].

Положим в(г) = [е, -1], г Е [0,1], где е — любое достаточно малое положительное число. Выберем функцию и(г) = 0, тогда = 1|0 — 1| +0ехр 7 = 1, г Е [0,1]. Выберем также любые 1 < р1 < р2 < то.

Определенные здесь функция д и многозначные функции П, в удовлетворяют условиям теоремы 4.1. Следовательно, для любого 7 и любой измеримой функции у такой,

[1] Е. Р. Аваков, А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, "Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной", Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613-634; англ. пер.:Е. R. Avakov, A. V. Arutyunov, Е. S. Zhukovskii, "Covering mappings and their applications to differential equations not solved with respect to the derivative", Differential Equations, 45:5 (2009), 627-649.

[2] А.В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С.Е. Жуковский, "О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523-1537; англ. пер.:А^. Arutyunov, Е. S. Zhukovskii, S.E. Zhukovskii, "On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative", Differential Equations, 47:11 (2011), 1541-1555.

[3] A. V. Arutyunov, Е. S. Zhukovskiy, S. Е. Zhukovskiy, "Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 75:3 (2012), 1026-1044.

[4] В. Мерчела, "Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций", Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 44-54. [W. Merchela, "On stability of solutions of integral equations in the class of measurable functions", Russian Universities Reports. Mathematics, 26:133 (2021), 44-54 (In Russian)].

[5] Е. С. Жуковский, Е.А. Плужникова, "Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439-455; англ. пер.:Е. S. Zhukovskii, Е. A. Pluzhnikova, "Covering Mappings in a Product of Metric Spaces and Boundary Value Problems for Differential Equations Unsolved for the Derivative", Differential Equations, 49:4 (2013), 420-436.

[6] Е. С. Жуковский, Е.А. Плужникова, "Теорема о накрывании оператора в произведении метрических пространств", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 16:1 (2011), 70-72. [Е. S. Zhukovskii, Е. A. Pluzhnikova, "A theorem on operator covering in the product of metric spaces", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 16:1 (2011), 70-72 (In Russian)].

[7] Е. С. Жуковский, "О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств", Математические заметки, 100:3 (2016), 344-362; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, "On Coincidence Points of Multivalued Vector Mappings of Metric Spaces", Mathematical Notes, 100:3 (2016), 21-37.

[8] Е. С. Жуковский, "О точках совпадения векторных отображений", Известия вузов. Математика, 2016, №10, 14-28; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, "On Coincidence Points for Vector Mappings", Russian Mathematics, 60:10 (2016), 10-22.

[9] Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский, "Об итерационных методах решения уравнений с накрывающими отображениями", Сибирский журнал вычислительной математики, 19:4 (2016), 357-369; англ. пер.:Т. V. Zhukovskaia, Е. S. Zhukovskiy, "On iterative methods for solving equations with covering mappings", Numerical Analysis and Applications, 9:4 (2016), 277-287.

[10] Е. С. Жуковский, Е.А. Плужникова, "Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями", Автоматика и телемеханика, 2015, №1, 31-56; англ. пер.:Е. S. Zhukovskii, Е. A. Pluzhnikova, "On controlling objects whose motion is defined by implicit nonlinear differential equations", Automation and Remote Control, 76:1 (2015), 24-43.

[11] А.В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С.Е. Жуковский, "О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств", Математический сборник, 209:8 (2018), 3-28; англ. пер.^. V. Arutyunov, Е. S. Zhukovskiy, S. Е. Zhukovskiy, "On the cardinality of the set of coincidence points of mappings in metric, normed and partially ordered spaces", Sbornik: Mathematics, 209:8 (2018), 1107-1130.

существует т E (0,1] и существует определенное

на [0,т] решение x E ACp1 ([0, т], П) задачи (4.5).

References

[12] А. В. Арутюнов, "Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки", Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151-155. [A.V. Arutyunov, "Nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskikh prostranstvakh i nepodvizhnye tochki [Covering mappings in metric spaces and fixed points]", Doklady Akademii nauk — Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 416:2 (2007), 151-155 (In Russian)].

[13] А.В. Арутюнов, "Точки совпадения двух отображений", Функциональный анализ и его приложения, 48:1 (2014), 89-93; англ. пер.:А. V. Arutyunov, "Coincidence Points of Two Maps", Functional Analysis and Its Applications, 48:1 (2014), 72-75.

[14] B. S. Mordukhovich, B. Wang, "Restrictive metric regularity and generalized differential calculus in Banach spaces", Mathematics and Mathematical Sciences, 2004, №50, 2650-2683.

[15] А. Д. Иоффе, "Метрическая регулярность и субдифференциальное исчисление", Успехи математических наук, 55:3 (333) (2000), 103-162; англ. пер.:А. D. Ioffe, "Metric regularity and subdifferential calculus", Russian Mathematical Surveys, 55:3 (2000), 501-558.

[16] М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский, Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, Наука, М., 1966. [M.A. Krasnosel'skij, P.P. Zabrejko, E.I. Pustyl'nik, P.E. Sobolevskij, Integral'nye operatory v prostranstvah summiruemyh funkcij, Nauka, Moscow, 1966 (In Russian)].

Информация об авторах

Арутюнов Арам Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор. Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7326-7492

Плужникова Елена Александровна,

кандидат физико-математических наук, доцент. Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация.

E-mail: [email protected]

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2008-3275

Information about the authors

Aram V. Arutyunov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor. Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University), Moscow, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7326-7492

Elena A. Pluzhnikova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor. Derzhavin Tambov State University, Tambov, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2008-3275

Конфликт интересов отсутствует. Для контактов:

Плужникова Елена Александровна E-mail: [email protected]

There is no conflict of interests.

Corresponding author:

Elena A. Pluzhnikova

E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 02.07.2021 г. Поступила после рецензирования 15.09.2021 г. Принята к публикации 27.11.2021 г.

Received 02.07.2021 Reviewed 15.09.2021 Accepted for press 27.11.2021