О НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ В ОБОБЩЕННЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ В ИССЛЕДОВАНИИ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 4 (2020). С. 42-55.

УДК 517.988.63, 517.922, 515.124.4

О НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ В ОБОБЩЕННЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ В ИССЛЕДОВАНИИ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Е.С. ЖУКОВСКИЙ, В. МЕРЧЕЛА

Аннотация. Пусть на множестве X = 0 задана метрнка рх ■ X х X ^ [0, œ], а на Y = 0 — расстояние dy ■ Y х Y ^ [0, то], удовлетворяющее только аксиоме тождества. Для отображений X ^ Y определены понятия накрывания и липшицевости. Сформулированы условия существования решения х G X уравнений вида F(х,х) = у, у G Y, с отображением F ■ X х X ^ Y, являющимся накрывающим по одному из аргументов и липшицевым по другому. Полученное утверждение применено для исследования разрешимости функционального уравнения с отклоняющимся аргументом и задачи Коши для неявного дифференциального уравнения. Для этого исследования на пространстве S измеримых по (Лебегу) функций z ■ [0,1] ^ R определено расстояние

d(z1,z2) = vrai sup d(z1(t), z2(t)), z\,z2 G S, te[ 0,1]

где для непрерывной функции в ■ R х R ^ [0, то) выполнено ^(^1,^2) = 0 тогда и только тогда, когда z1 = z2.

Ключевые слова: накрывающее отображение, метрическое пространство, функциональное уравнение с отклоняющимся аргументом, обыкновенное дифференциальное уравнение, существование решения.

Mathematics Subject Classification: 34А09; 47J05; 54Е40

1. Введение

Результаты об операторных уравнениях е отображениями, действующими в метрических пространствах, широко используются для исследования различных функциональных уравнений. В частности, результаты о накрывающих отображениях метрических пространств позволили рассмотреть некоторые классы интегральных уравнений (см. [1]), неявных дифференциальных уравнений (см. [2]), к которым не удавалось применить теоремы о неподвижной точке. Для неявных дифференциальных уравнений такими методами были получены условия существования, оценки, условия непрерывной зависимости от параметров решений задачи Коши (см. [3]), краевых задач (см. [4]) и задач управления

(см- И, [6]).

Результаты о накрывающих отображениях в недавних исследованиях (см. [7], [8]) были обобщены на пространства, в которых ослаблены "классические свойства" метрик. В работах [9], [10] было распространено понятие множества накрывания на отображения,

E.S. Zhukovskiy, W. Merchela, On covering mappings in generalized metric spaces in

studying implicit differential equations.

© Жуковский E.C., Мерчела В. 2020.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 20-04-60524^вирусы). Теорема 3.1, предложение 4 и следствие 2 получены первым автором в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН при поддержке Российского научного фонда (проект № 20-11-20131). Поступила 23 марта 2020 г.

действующие из метрического пространства в множество, на котором определено расстояние, удовлетворяющее лишь аксиоме тождества, и с использованием этого множества получены условия разрешимости операторных уравнений. Здесь этот результат распространяется на случай, когда метрика и расстояние могут принимать значение то. Такое обобщение позволило применить результаты об операторном уравнении к исследованию функционального уравнения с отклоняющимся аргументом в пространстве измеримых по Лебегу функций, а также к неявному дифференциальному уравнению.

Изложение строится следующим образом, В следующем разделе 2 приведены необходимые в нашем исследовании сведения о пространствах с расстоянием, определены «ослабленные свойства» замкнутости, накрывания и липшицевости для отображений, действующих из пространства с го-метрикой в пространство с расстоянием, и сформулирована теорема 2,1 о существовании решения операторного уравнения, В разделе 3 мы определяем расстояние в пространстве измеримых по Лебегу функций, в этом пространстве исследуем «множества накрывания и липшицевости» оператора Немыцкого, затем применяем полученные результаты к исследованию функционального уравнения с отклоняющимся аргументом, В разделе 4 аналогичными методами получены условия существования решения задачи Коши для неявного дифференциального уравнения,

2. Основные понятия

Обозначим = [0, = [0, Пусть задано пространство X = (Х,р) с го-

метрикой р : X х X ^ (далее будем называть это отображение метрикой, а пространство X метрическим). Обозначим Вх(х0,г) = {х € X : р(х,х0) ^ г} — замкнутый шар в X с центром в точке х0 € X радиуса г € (0, го]. Пусть также задано непустое множество У, на котором определено расстояние — отображение ё, : У х У ^ М+, удовлетворяющее условию

УУъУ2 € У й(у1,у2) = 0 & У1 = У2. В пространстве У определим понятие сходимости последовательности {у¿} С У к элементу у € У при г ^ го соотношением

Уг ^ у & ^

Отметим, что при такой сходимости предел у не обязан быть единственным, а «симметричная» числовая последовательность д,(у, уг) может не сходиться к 0.

Для отображений, действующих из X в У, пользуемся следующими «обычными» определениями, Отображение f : X ^ У называем непрерывным в точке х € X, если для любой сходящейся к х последовательности {х¿} С X выполнено $(х^) ^ f (х). Отображение f : X ^ У называем замкнутым, в точке х € X, если го сходимости к х последовательности {хг} С X и существования у € У такого, что f (хг) ^ у следует равенство f (х) = у. Отображение, непрерывное (замкнутое) во всех точках, называем непрерывным (замкнутым). Отметим, что в отличие от случая метрических пространств из непрерывности отображения, не следует его замкнутость.

Формально переносим на отображения рассматриваемых пространств следующие определения, известные для «обычных метрических'» пространств (см, [11]).

Определение 2.1. Пусть а > 0. Отображение f : X ^ У называем, а-накрывающим, если выполнено соотношение

Ух € X Уу € У Зи € X /(и) = у, рх(х,и) ^ 1 (х),у).

Определение 2.2. Пусть 0 ^ 0. Отображение f : X ^ У называем /З-липшицевым на .множестве и С X, если выполнено соотношение

Ух,и € и (х),/(и)) ^ @р(х,и).

Если здесь U = X, то отображение f : X ^ Y называют fi-липшицевым.

Определим "ослабленные свойства" замкнутости, накрывания и липшицевости отображения f : X ^ Y. Пусть задано множество U С X. Определим множества:

Cl[f; U}:= {(х,у) G X х Y | V{xra} С U xn ^ x, f (xn) ^ y ^ f(x) = y};

Cova[f ; U} := {(x,y) G X х Y | 3u G U f (и) = y, p(x,u) ^ a-1d(f (x),y), p(x,u) < œ} ;

Lipp [f ; U}:= {(x,y) G X х Y | Vu G U f (и) = y ^ d(f (x),y) ^ Pp(x,u)}.

В случае когда U = X, a метрика p и расстояние d имеют значения в R+, такие «множества замкнутости, накрывания и липшицевости» введены в [10],

Очевидно, соотношение Cl[/; X] = X х Y равносильно тому, что отображение f замкнуто, соотношение Cova[f ; X] = X х Y означает, что отображение f является а-накры-вающим, а соотношение Lip^ [f ; X} = X х Y справедливо тогда и только тогда, когда f Липшице во с коэффициентом ¡3.

Пусть задано отображение F : X х X ^ Y и элемент у G Y. Определим отображение G : X ^ Y равенством G(x) = F(х,х) и рассмотрим уравнение

G(x)= у, (2.1)

относительно x G X. Сформулируем необходимое для нашего исследования утверждение о разрешимости уравнения (2.1), аналогичное теореме 2 из [10],

Теорема 2.1. Пусть метрическое пространство X полное и заданы а > ¡3 ^ 0, ж0 G X такие, что d(F(x0,x0),yj < œ. Определим

R:= (а - p)-1d(F(x0,X0),y), U:= Bx(x0,R)

и предположим, что для любого x G U выполнены включения

(х,у) G Cova[F(;х); X], (х,у) G Lip^[F(x, •); U], (x,y) G Cl[G; U}. Тогда, в шаре U существует решение уравнения (2.1).

Отметим, что в аналогичной теореме 2 из [10] предполагалось, что метрика р и расстояние d имеют значен ия в R+ и использовались более ограничительные определения «множеств замкнутости, накрывания и липшицевости» (соответствующие случаю U = X). Тем не менее, для рассматриваемых здесь отображений р и d, действующих в R+, и принятых здесь определений соответствующих множеств доказательство не отличается от [10], поэтому доказательство мы не приводим,

3. Функциональные уравнения в пространстве измеримых функций

Пусть т > 0. Обозначим меру Лебега на [0,т] через а через S = S([0,r],R) — пространство измеримых по (Лебегу) функций и : [0,т} ^ R. Выделим в S подмножество S+ неотрицательных функций. Определим в пространстве S расстояние следующим образом. Пусть задана функция 9 : R х R ^ R+. Будем предполагать, что выполнено условие (А) функция в непрерывна по каждому аргументу, 9(z,z) = 0 при любом, z G Ru имеет место соотношение

V5 > 0 37 > 0 Vz1,z2 G R lz1 - z21 ^ S ^ 9(zb z2) ^ (3.1)

Зададим отображение dв : S х S ^ R+ соотношением

dв(z1,z2) = vrai sup 9(z1(t), z2(t)) z1,z2 G S. (3,2)

te[0,r ]

(здесь композиция 9(z1(^), z2() является измеримой функцией вследствие непрерывности по каждому аргументу функции 9). Для отображения dв очевидно выполнена аксиома тождества, т. е, это отображение является расстоянием в S. Пространство (S,dв)

будем обозначать S. Отметим, что расстояние dв не обязано быть симметричным и может не удовлетворять неравенству треугольника.

Заметим также, что для функции 90 : R х R ^ R+, определенной формулой

do{Zi,Z2) = - Z21,

соответствующее отображение d в° : S х S ^ R+ является метр и кой в S. Будем обозначать эту метрику через р (т. е, р = dв°), а соответствующее пространство измеримых функций — через Se° = (S, р). Пространство S00 является полным. В этом пространстве шар BSe0 (х0, г) с центром в^о G S00 радиуеа г G (0, го] — это множество измеримых функций х : [0, т] ^ R таких, что x(t) G BR(x0(t),r) = [x0(t) — r,x0(t) + r] при п.в, t G [0,т].

Пусть задана удовлетворяющая условиям Картеодори функция g : [0, г] х R ^ R, т. е, по первому аргументу она измерима, а по второму — непрерывна. Определим оператор Немыцкого

(Ng u)(t)= g(t,u(t)). (3.3)

В силу принятых на функцию g предположений этот оператор отображает измеримые функции в измеримые. Исследуем свойства замкнутости, непрерывности, накрывания и липшицевоети оператора Ng, как действующе го из S00 = (S, р) в Se = (S,dв ), где функция 9 : R х R ^ R+, удовлетворяет уеловию (Л).

Предложение 1. Оператор Ng : S00 ^ Se является замкнутым. Если дополнительно множество функций {g(t, •) : R ^ R, t G [0,т]} равностепенно непрерывно, т. е.

Уе> 0 36 > 0 Vt G [0,т] Ух,и G R Ix — uI <S ^ Ig(t,x) — g(t,u)I <e, (3.4) а, для, множества функций {9(^,z) : R ^ R+, z G R} выполнено соотношение

Уе> 0 35 > 0 Vz!,z2 G R Izi — z^I <5 ^ 6(zuz2) < £, (3.5) то оператор Ng : S00 ^ Se непрерывен.

Доказательство. Покажем, что для любого z G R и для любой последовательности {zi} С R соотпошение 9(zi,z) ^ 0 эквивалентно тому, что Izi — z| ^ 0.

Сначала, пусть 9(zi, z) ^ 0. Если соотношение Izi — zI ^ 0 не выполнено, то существует подпоследовательность {zij} и положительное число 6 такие, что Izij — zI ^ ô. Из (3.1) получим, что 9(zij ,z) ^ 7 при некотором положительном у. Это неравенство противоречит сходимости 9(zi, z) ^ 0. Итак, Izi — zI ^ 0.

Обратно, в силу непрерывности функции 9(•, z) получаем, что в случае Izi — zI ^ 0 будет выполнено 9(zi, z) ^ 9(z, z) = 0.

Теперь докажем замкнутость оператора Ng : S00 ^ Se. Пусть заданы элементы и G S00, у G Se и последовательноеть {щ} С S00 такие, что

vrai sup 90(ui(t),u(t)) = vrai sup \и() — u(t)\ ^ 0, (3.6)

ie[o,r ] ie[o,r ]

vrai sup e[g(t,Ui(t)),y(t)) ^ 0. (3.7)

te[o,r ]

Согласно доказанному выше, из соотношений (3.6) и (3.7) следуют сходимости

Ui(t) ^ u(t), g(t,Ui(t)) ^ y(t) при п.в. t G [0,т].

Так как функция g(t, •) непрерывна, имеем g(t,Ui(t)) ^ g(t,u(t)) при п.в. t G [0,т]. Тогда в силу единственности предела в R получаем g(t,u(t)) = y(t).

Теперь, предполагая, что выполнены условия (3.4), (3.5), докажем непрерывность оператора Ng : S00 ^ Se.

Пусть задана сходящаяся последовательность {щ} С S®0, т. е. имеет место (3.6). Из (3.4) и (3.6) следует, что vrai supie[0 r] Ig(t,Ui(t)) — g(t,u(t))I ^ 0, a из (3.5) получим соотношение

(3.7), где y(t) = g(t, u(t)). Таким образом доказано, что оператор Немыцкого Ng : Se° — Se является непрерывным, □

Пусть задано многозначное отображение П : [0, т] ^ R (т. е, отображение, сопоставляющее каждому t G [0, т] непустое замкнутое множество Q(t) С R), Будем предполагать, что это отображение измеримо (используемые ниже сведения об измеримых многозначных отображениях см., например, в [12, §1.5]), Множество его измеримых сечений обозначим через

Se 1(П) := {и G S | u(t) G fi(i) при п.в. t G [0, т}}.

Предложение 2. Пусть заданы х,у G S, а > 0 и измеримое многозначное отображение П : [0, г] ^ R. Пусть при п.в. t G [0, г] выполнено следующее условие

Зи G n(t) g(t,u) = y(t) и lx(t) -ul ;а-1в(g(t,x(t)), y(t)). (3.8)

Тогда, (x, y) G Cova[Ng; Se 1(П)}, где оператор Ng : Se° — Se определен соотношением (3.3).

Доказательство. Положим r(t) = а-1в[g(t,x(t)), y(t)). Так как функция g удовлетворя-

здесь функция [0, г] Э t — r(t) G R+ измерима. Теперь определим многозначное отображение [0, т] Э t ——У B(t) = [x(t) - r(t),x(t) + r(t)], очевидно, являющееся измеримым. Из (3.8) следует включение y(t) G g (t, B(t) П Q(i)) при п.в, t G [0, т]. Согласно лемме Фнллппова (см., например, [12, лемма 1.5.15]), существует функция и G Se° такая, что u(t) G B(t) П Q(t) и g(t,u(t)) = y(t) при п.в, t G [0, т]. Для этой функции выполнено и G Sel(Q) и

р(ж, и) = vrai sup \x(t) — u(t) \ ; a-Vrai sup e(g(t,x(t)), y(t)) = a-1dв(Ngx, y),

te[0,r] te[0,r]

следовательно, (x, y) G Cov«[ Ng; Se/(П)}. □

Замечание 1. Определим па числовой прямой R расстояние 9 и обозначим Re = (R, в),

R 0. Функцию g можем рассматривать как отображение [0, т] х R — Re. Тогда соотношение

(3.8) означает, что выполнено включение

(x(t), y(t)) G Cova[g(t, •);n(t)}, g(t, •) : R — R0, tG [0, r}. (3.9)

Таким образом, предложение 2 можно сформулировать следующим образом: если для х,у G S и а > 0 имеет место включение (3.9), то (x, у) G Cova[Ng; Se/(П)}, Ng : Se° — Se.

Пример 1. Определим функцию в : R х R — R+ соотношениями:

->0-^»)=^ z^g+; 1; ^

Z1Z2 < 0 — в(Z1, Z2) = 0(Z1, 0)+0(0, Z2). (3.11)

Для этой функции выполнено условие (А).

,

VX G [0,1) Vz1, z2 G R A 0(z1, z2) ; e(\z1,\z2) ; VA в(z1, z2). (3.12)

Действительно, в случае z1z2 ^ 0 имеем

VWl + ^Ы ; 1 — в(Az 1AZ2) = - \ = VAв(zh Z2) — (3.12);

1 < у/Щ + ; 1/VA — в(XZ1,XZ2) = VA - — (3.12);

V1 ^ + V1 Z2\

у/Ы + > 1/VA — в(AZ1,AZ2) = AIZ1 - Z2I = Ad(Z1, Z2) — (3.12).

А если х1х2 < 0, то в(Хх1, Хг2) = 0(Хх1, 0) + в(0, Хг2), следовательно,

в(Хгъ Хг2) ^ \Тхв(г\, 0) + ^19(0, г2) = у/\в(гиг2); в(ХгъХг2) ^ Хв(хг,0) + Хв(0,Х2) = Щг^гь). Доказанное соотношение (3,12) равносильно соотношению

У и > 1 Уг1,х2 € Е ^/йв(г1, г2) ^ в(иг1,иг2) ^ ув(х1, г2).

(3.13)

Пусть т = 1, § = §([0,1], Е). Определим по функции в, заданной соотношениями (3,10), (3,11), расстояние д,в в пространстве § формулой (3,2), Это расстояние симметрично

го

Прежде всего заметим, что в силу неравенства в(г1,г2) ^ 1г1 — г21, г1,г2 € Е, справедливо dв(х1,х2) ^ dв°(х1,х2), х1,х2 € §. Следовательно, любое отображение в пространстве §, являющееся а-накрывающим относительно «обычной метрики» dв° (т. е, как отображение ^ будет так же а-накрывающим как отобр ажение ^ §. Рассмотрим отображение, которое, если считать его отображением ^ §в°, не является накрывающим ни с какой константой а, и тем не ме нее 1-накрывающее как отобр ажение ^ §.

Пусть задана функция д € § такая, что ^ 1 при п.в, £ € [0,1]. Рассмотрим функции до, 91,: [0,1] х Е ^ Е, определяемые при любых £ € [0,1], х € Е, формулами

Согласно предложению 1 соответствующие этим функциям операторы Немыцкого Мд°, М91 : §в° ^ § замкнуты. Исследуем вначале «множество накрывания» Соуа[Хд°; §] оператора Немыцкого Мд°, порожденного функцией д0. Заметим, что функция первого аргумента д0(^, х) постоянна, функция второго аргумента д0(Ь, •) четная, её сужение на инъективно, монотонно, а как действующее в М+, еще и сюръективно. Покажем, что для а = 1, любых функций х € § и у € выполнены условия предложения 2, где = Е, т, е, проверим справедливость соотношения (3,8),

Пусть £ € [0,1]. Предположим для простоты, что х({) ^ 0. Определим и = л/уЩ (если х({) < 0, то следует положить и = — л/уЩ). Имеем

х(г) + и ^ 1 ^ в(д0(г,х(г)),у(г)) = 1х(г) — и1

х(г) + и> 1 ^ в(д0(1,х(1)),у(г)) = 1х2(г) — и21 = 1х(г) — и1(х(г) + и) ^ 1х(г) — и1 Итак, соотношение (3,8) справедливо, поэтому согласно предложению 2 получаем

Теперь покажем, что для оператора Немыцкого Мд1 : §в° ^ §, порожденного функцией д1, множество Соуа[Мд1; 8] при а = 1 также содержит все пары (х,у) € § х §+. Поскольку (ж(-), Я-1(^)у() € Соуа [Мд°; §], существует функция и € § такая, что

На основании соотношения (3,12) получаем неравенство р(х,и) ^ $(Хдгх,у). Итак, доказано, что (х,у) € Соуа[Мд1; §].

Пример 2. Рассмотрим еще одну функцию 9 : Е х Е ^ Е+, удовлетворяющую условию (Л), определенную соотношениями:

до(Ь,х)= х2, д^,х) = д(г)х2.

Ух € §, Уу € §+ (х, у) € Соуа[Мд°; §], где а = 1.

(Мд°иК) = д-1(Ы) & N,1 и = у

и имеет место неравенство

р(х,и) ^ <? (Мд° х,д-1(^)у() = <? (д-1(^)(Х91 х)(•), д-1(Ы)).

если 1г1 + г21 ^ 1, если 1г1 + г21 > 1;

(3.14)

(3.15)

^2 < 0 ^ в(г1^2) = в(г1, 0) + 9(0, г2).

В пространстве S = S([0,1],R) формулой (3,2) зададим расстояние dв. Это расстояние симметрично, и тем не менее не является метрикой, так как не удовлетворяет неравенству треугольника, например, для z1 = 0, z2 = 1/2, z3 = 1 имеем

û(zi,Z2) = 1/4, Û(Z2,Z3 ) = 1/2, û(zi,z3 ) = 1 > 1/4+1/2. Рассмотрим функцию д0 : [0,1] х R ^ R,

go(t,x) = M + у/\х\, х G R, t G [0,1]. (3.16)

Легко проверить (проведя такие же рассуждения, как в примере 1), что для а = 1, любых х G S и у G S+ выполнены условия предложепня 2, где Q(t) = R. Таким образом,

V(x,y) G S х S+ (х,у) G Cova[Nd0; S], где а = 1.

Предложение 3. Пусть заданы х,у G S, ¡3 ^ 0 « измеримое многозначное отображение П : [0,т] ^ R. Пусть при п.в. t G [0,т] выполнено

Vu G Q(t) g(t,u)= y(t) ^ e(g(t,x(t)),y(t)) ^ /3\x(t) — u\. (3.17)

Тогда, (x,y) G Lip^[Ng; Sel(Q)], где оператор Ng : S00 ^ Se определен соотношением (3.3).

Доказательство. Пусть для некоторой функции и G Se 1(П) выполнено Ngu = у. Тогда из соотношения (3.17) следует, что

dв(Ngх,у) = vrai sup 9(g(t,x(t)), y(t)) ^ fîvrai sup \x(t) — u(t)\ = ¡3p(x,u).

te[o,r] te[o,r]

Таким образом, (x, y) G Lip^[Ng;Se/(П)]. □

Замечание 2. Соотношение (3.17) означает, что выполнено включение

(x(t), y(t)) G Lip^[g(t, •), Q(t)], g(t, •) : R ^ Re, tG [0, г]. (3.18)

Поэтому предложение 2 можно сформулировать следующим образом: если, для х,у G Su fî ^ 0 выполнено (3.18), то (x, у) G Lipр[Ng; Se 1(П)], Ng : S00 ^ Se.

Следствие 1. Пусть задано измеримое многозначное отображение П : [0, r] ^ R. Предположим,, что при п.в. t G [0, т\ отображение g(t, •) : R ^ Re является fî-Липшице-вы,м, на, .множестве Q(t), т. е. для любых х,и G Q(t) выполнено неравенство

9(g(t,x), g(t,u)) ^fî\х — и\. (3.19)

Тогда, при всех x G Se 1(П), у G Se справедливо включение (x, у) G Lip^[Ng; Se/(П)], где Ng : S00 ^ Se, т. е. оператор Ng является, [3-липшицевым на множестве Se 1(П).

неравенства 9(z1, z2) ^ Iz1 — z2I любая функция g : [0,1] х R ^ R, удовлетворяющая при некотором ¡3 ^ 0 условию (3.19) будет также удовлетворять и «обычному условию Липшица»

Ig (t, x) — g(t ,u)I ^fî Ix — uI, x,u G n(t). (3.20)

Обратное неверное. Так для функции g(t,х) = х соотношение (3.20) имеет место при n(t) = R с коэффициентом Липшица равным 1, но условие (3.19) не выполняется ни при каком ¡3 ^ 0 даже если n(t) = [0,е], где е > 0 сколь угодно малое. Действительно, для любого х > 0 имеем e(g(t, x), g(t, 0^ = у/х = fîxIx — 0I, где = 1/у/х ^ го при x ^ 0 + .

Теперь рассмотрим функцию, удовлетворяющую условию (3.19). Пусть заданы: функция р G S такая, что p(t) ^ 1/2 при п.в, t G [0,1], и число ¡3 ^ 0. Положим

д2 : [0,1] х R ^ R, g2(t ,х) = flxI +p(t), x G R, tG [0,1]. (3.21)

Значения этой функции g2(t,x) ^ 1/2 при любых t,x, поэтому в силу формулы (3.10)

d(g2(t,х), g2(t,и)) = \g2(t,х) — g2(t,и) \ = ¡3\ ^ — I«I \ ^ ¡3Ix — uI, х,и G R, t G [0,1].

Итак, выполнены предположения следствия 1 (где 0,(1) = К), и поэтому определяемый функцией д2 оператор Немыцкого М92 : 8в° ^ 8е является липшицевым с константой 3 на всем пространстве 8. Заметим также, что согласно предложению 1 оператор Мд2 замкнут,

цию д0 : [0,1] х К ^ К соотношением (3,16), Для этой функции справедливо неравенство (3,19) с коэффициентом 3 = 4 при всех х,и е К. Согласно следствию 1 определяемый функцией 'до оператор Немыцкого Щ0 : 8в° ^ 8е является липшицевым с константой 3 = 4 на всем пространстве 8.

Сформулируем условия липшицевости еще одного отображения, необходимого для исследования различных функциональных уравнений с отклоняющимся аргументом. Пусть задана функция к : [0, т] ^ [0, т] такая, что

У Е С [0, т] р(Е) = 0 ^ р(к-1(Е)) = 0. (3.22)

Это условие обеспечивает измеримость функции и(к(-)) для любой измеримой функции и : [0, т] ^ К (см, [13, с, 707], [14, §1.3]), что позволяет определить оператор

Я : 8 ^ 8, (8ни)(г) = и(к(г)), ге [0, т].

Используя предложение 3, исследуем множество [Мд8н] композиции

МдЗн : 8во ^ 8е, (МдЗнх)(1) = д(1,х(к(Щ, 1е [0,г]. (3.23)

Для этого исследования нам потребуется следующее утверждение.

Лемма 3.1. Для, измеримого многозначного отображения 0 : [0, г] ^ К композиция 0к : [0, т] ^ К также измерима. Если функция ш е § является, сечением, отображения 0, т. е. ш(Ь) е 0(£) при п.в. Ь е [0, г], то функция измерима и является, сечением, отображения 0к, т. е. выполнено ш(к(Ь)) е 0(И(£)) при п.в. Ь е [0, г].

Доказательство. Многозначное отображение измеримо тогда и только тогда, когда оно обладает представлением Кастена (см. [12, теорема 1.5.6 и замечание 1.5.7], поэтому существует такой счетный набор измеримых сечений шп, п = 1, 2,..., отображения 0, что

0(^) = и [шп^)} при п.в. Ь е [0, т]

п= 1

(чертой обозначено замыкание множества в пространстве К). В силу условия (3.22) функции 8ншп, п = 1, 2,..., измеримы. Докажем, что выполнено соотношение

0(к(г)) = У {шп(к(г))} при п.в. г е [0, т]. (3.24)

п= 1

Определим множество I = |Ь е [0, т] | 0(И(Ь)) = и1 {шп(Н(1))}^. Очевидно, выполнено

I = к-1(Е), где Е = | ее [0, т] | 0(в) = У^ 1 {шга(з)}|. Так как р(Е) = 0, в силу условия (3.22), имеем р(1) = 0. Итак, соотношение (3.24) выполнено. Таким образом, для многозначного отображения 0к : [0, т] ^ К имеет место представление Кастена, поэтому это отображение измеримо.

Пусть для некоторой функции ш е 8 при п.в, Ь е [0, т] выполнено включение ш({) е 0(1). Определим множество I = Цъ е [0, т] | ш(к(Ь)) е 0(Ь,(1))}. Это множество представим в виде I = к-1(Е), где Е = {^ е [0, т] | ш(в) е 0(з)}. Так как р(Е) = 0, в силу условия (3,22), имеем р(1) = 0. Итак, ш(К(1)) е 0(к(£)) при п.в, Ь е [0, т]. □

Предложение 4. Пусть заданы х,у G S, [ ^ 0 и измеримое многозначное отображение П : [0, г] ^ R. Пусть при п.в. t G [0, г] имеет место включение (x(h(t)), y(t)) G Lipp[g(t, ■), Q(h(t))], g(t, ■) : R — R0, т. е. выполнено соотношение

Vu G Q(h(t)) g(t ,u)=y(t) ^ e(g(t ,x(h(t))), y(t)) ^ [\x(h(t)) - u\. (3.25)

Тогда, (x, y) G Lip^[NgSh; Se 1(П)], где NgSh : Se° — Se определен соотношением (3.23).

Доказательство. Пусть для некоторой функции и G Se 1(П) выполнено NgShu = у. Согласно лемме 3.1, u(h(t)) G Q(h(t)) при п.в, t G [0, т]. Из соотношения (3.25) следует, что

de [NgShx,y) = vrai sup 9[g(t,x(h(t))), y(t)) vrai sup \x(h(t)) — u(h(t))\. (3.26)

ie[o,r] ie[o,r]

Определим множество I = {t G [0, т] | \ x(h(t)) — u(h(t))\ > p(x,u)}. Представим это множество в виде I = h-l(E), Е = {s G [0, т] | \x(s) — u(s)\ > p(x,u)}. Так как p(E) = 0, получаем p(I) = 0, и поэтому \x(h(t)) — u(h(t))\ ^ p(x, u) при п.в, t G [0, т]. Учитывая это неравенство, из соотношения (3.26) получаем

de{NgShx,y) ^ [р(x,U).

Таким образом, (x, у) G Lip^[NgSh;Se/(П)]. □

Следствие 2. Пусть задано измеримое многозначное отображение П : [0, г] ^ R. Предположим,, что при п.в. t G [0, т\ отображение g(t, ■) : R — R0 является [-лип-шицевым на .множестве n(h(t)), т. е. для, любых x,u G n(h(t)) выполнено неравенство (3.19). Тогда, для определенного соотношением (3.23) оператора, NgSh : Se° — Se при всех x G Se 1(П), y G Se справедливо включение (x, y) G Lip^[NgSh; Se 1(П)], m. e. NgSh является, [ S (П)

Пример 5. Пусть функция в : R x R — R+ задана формулами (3.10), (3.11), а функция д2 : [0,1] x R — R — соотношением (3.21) (где [3 ^ 0 и p(t) ^ 1/2 при п.в, t G [0,1]). Как показано в примере 3, эта функция удовлетворяет условию (3.19) при всех x,u G R. Поэтому в силу следствия 2 композиция

Ng2Sh : S00 — Se, (N92Shx)(t) = [\x(h(t))\ +p(t),

является [-липшицевым па всем пространстве S оператором.

Применим полученные утверждения к исследованию функционального уравнения с отклоняющимся аргументом. Пусть задана функция f : [0, t] x R x R — R, являющаяся измеримой по первому аргументу и непрерывной по совокупности второго и третьего аргументов, функция h : [0, т] — [0, т], удовлетворяющая условию (3.22), и измеримая функция у : [0, т] — R. Рассмотрим уравнение

f(t,x(h(t)),x(t)) = y(t), tG [0,r], (3.27)

относительной неизвестной измеримой функции x : [0, т] — R.

Для произвольной функции V G S определим функции д^, д^ : [0, т] x R — R соотношениями

g1\t ,x) = f(t, v(h(t)),x), g?(t ,x) = f(t ,x, v(t)), tG [0, r], x G R. Функции g^, g^, очевидно, удовлетворяют условиям Каратеодори, Теорема 3.1. Пусть заданы, а > [ ^ 0, x0 G S такие, что

R:= —^—vrai sup 9(f (t,x0(h(t)),x0(t)), y(t)) < ж. (3.28)

а — [ te[o,r ]

Пусть для любого v Е BSe0 (x0,R) функция g^ удовлетворяет условию (3,8) при любом х Е BSe0 (x0, R), заданном у = у и Q(t) = R, а функция д^ — условию (3,25) при тех же функциях х, у, но с иным многозначным отображением,: Q(t) = BR(x0(t),R) при п.в. t Е [0, г]. Тогда, существует решение X Е BSe0 (x0,R) уравнения (3,27).

Доказательство. Обозначим через Nf : Se° х Se° ^ Se оператор Немыцкого

( Nf (x,u))(t) = f(t,u(t),x(t)), t Е [0, r],

и определим отображения

F : S&0 х S&0 ^ Se, F(x, u) = Nf (x, Shu); G : S&0 ^ S, G(x) = F(xx, x).

Докажем замкнутость отображений F, G. Пусть для произвольных последовательностей {xi\, {ui} С S®0, элементов x,u Е Se° и w Е S при i ^ го выполнено p(xi,x) ^ 0, p(ui,u) ^ 0 и de (F(xi,u),w) ^ 0. Тогда, как показано при доказательстве предложения 1, при п.в, t Е [0, т] имеют место сходимости xi(t) ^ x(t), ui(t) ^ u(t) и ( F(xi,u))(t) ^ w(t). В силу второго го этих трех соотпошепий при п.в, t Е [0, т] имеем ui(h(t)) ^ u(h(t)). Поэтому в силу непрерывности функции f(t, •, •) при п.в, t Е [0, т] выполнено f(t,ui(h(t)),xi(t)) ^ f(t,u(h(t)),x(t)). Итак, (F(xi,ui))(t) ^ (F(x,u))(t) и (F (xi,ui))(t) ^ w(t), следователь но, (F (x,u))(t) = w(t), t Е [0, т]. Доказано, что отоб-F G

Для произвольной функции v Е BSe0 (x0, R) оператор F(•, v) : S®0 ^ S является оператором Немыцкого N н, порожденным функцией . Этот оператор удовлетворяет усло-

91

виям предложения 2 при у = у, любом x Е BSe0 (x0, R) и многозначном отображении t Е [0, т] м- Q(t) = R. Согласно предложению 2 пара (x, у) при любом x Е BSe0 (x0,R) принадлежит множеству Cova[ F(•, v); S]. Следовательно, пара (v,у) также принадлежит множеству Cova [ F(•, v); S].

Оператор F(v, •) : S00 ^ Se — это композицня N [v]Sh, удовлетворяющая уелови-

92

ям предложения 4 при у = у, любом x Е BSe0 (x0, R) и многозначном отображении t Е [0, т] м- Q(t) = BR(x0(t), R). В силу предложения 4 для любого x Е BSe0 (x0,R) выполнено (x,y) Е Lipp [F (v, •);BSe0 (x0, R)]. Следовательно, (v ,y) Е Lip^ [F (u, •);BSe0 (x0,R)].

В заключение напомним, что пространство S®0 является полным. Итак, выполнены все условия теоремы 2,1, и согласно этой теореме существует решение x Е BSe0 (x0, R) уравнения (3,27), □

Замечание 3. В теореме 3,1 предполагается, что функция д^ удовлетворяет условию (3,25), где у = у, x Е BSe0 (x0,R) и Q(t) = BR(x0(t),R). Согласно следствию 2, для выполнения этого условия достаточно, чтобы при п.в, t Е [0, т] отображен не g2\t, •) : R ^ R было ,5-липшицевым на множестве [x0(h(t)) — R,x0(h(t)) + R].

Пример 6. Пусть заданы функции р,у Е S+, у ^ 0 и ^такция h : [0,1] ^ [0,1], удовлетворяющая условию (3.22) (где т = 1). Рассмотрим уравнение

x2(t) (p(t) + ix(h(t))) = y(t), t Е [0,1]. (3.29)

Нас будет интересовать существование неотрицательного решения этого уравнения, принадлежащего некоторой окрестности функции x0(t) = 0 в пространетве S. Отображения

x(^) Е S ^ x2(•) Е S, x(j Е S ^ x(h(t)) Е S,

составляющие левую часть уравнения (3.29), ни при каком a > 0 те являются «-накрывающими относительно «обычной метрики» dd0 пространства S. Таким образом, к рассматриваемому здесь уравнению нельзя применить теоремы о таких отображениях. Продемонстрируем возможности теоремы 3.1 в исследовании уравнения (3.29).

Положим

R = 2wai sup y(t). (3,30)

te[o,i]

Покажем, что при выполнении условий

p(t) ^ 1 при п.в, t Е [0,1]; 2j R < 1 и 2j R2 < 1

уравнение (3,29) имеет решение х Е S+ такое, что x(t) ^ R п.в. на [0,1]. Определим вспомогательное уравнение

х2(t)(p(t) +-f\x{h{t))\) = y(t), tE [0,1]. (3.31)

Для любого решения х Е S уравнения (3.31) функция |х(-) | будет решением уравнения (3.29), и по решению х Е S+ уравнения (3.29) очевидно определяются решения уравнения (3.31). Итак, разрешимости в S+ уравнений (3.29), (3.31) равносильны, но областью определения функции

f(t ,хъх2) = х"2 (p(t) + 7|х1 \) является [0,1] х R х R, поэтому нам удобнее будет исследовать вспомогательное уравнение (3.31).

Определим формулой (3.10) функцию в : R х R ^ R+ и зададим соответствующее расстояние de в пространетве S.

Для произвольной функции v Е S определим функции д"^ : [0,1] х R ^ R,

д™(t, х) = х2 {pit) + f lv(h(t))l), gf (t, х) = v2(t) (p(t) |х|).

Положим a = 1, P = 1/2 и х0({) = 0 на [0,1]. Вычисленное то формуле (3.28) значение R совпадает с (3.30). Как показано в примере 1, функция д^ удовлетворяет условию (3.8), в котором Q(t) = R, а х, y Е S — любые функции (в том числе, если х Е BSe0 (х0, R) и y = у — заданная правая часть уравнения (3.29)).

Согласно примеру 3, функция g2(t,х) = p(t) + f^l при всех х,и Е R удовлетворяет

.

v Е BSe0 (х0, R) функция д^ удовлетворяет условию (3.19) с коэффициентом

max {ffR2, jR} ^ 1/2 = p.

В соответствии с теоремой 3.1 уравнение (3.31), а следовательно, и уравнение (3.29) имеет решение х Е S+ такое, что х({) ^ R п.в. на [0,1].

4. Задача Коши для неявного дифференциального уравнения

В пространстве S = S([0, т], R) выделим подпроетранство L = L([0, т], R) суммируемых (по Лебегу) функций. Это пространство с определенным формулой (3.2) расстоянием dв будем обозначать Le. Пространетво Le° полным. Отметим, что для любых х Е L,

г Е R+ выполнено BLe0 (х, г) = BSe0 (х, г). Обозначим AC = AC([0, т], R) — пространство абсолютно непрерывных функций х : [0, т] ^ R, имеющих п.в, на [0, т] производную х Е L.

Пусть функция у : R+ ^ R измерима, функция f : R+х R х R ^ R измерима по первому аргументу и непрерывна по совокупности второго и третьего аргументов. Рассмотрим неявное дифференциальное уравнение

¡^,х(^,х^)) = y(t), 0. (4.1)

Пусть т > 0. Решением уравнения (4.1), определенным па [0, т], называем функцию х Е AC([0, т], R), удовлетворяющую этому уравнению при п.в. t Е [0, т]. Получим условия существования решения х Е AC([0, т], R) уравнения (4.1), удовлетворяющего при заданном А Е R начальному условию

х(0) = А. (4.2)

Для произвольных функций v Е AC([0, т], R) и w Е L([0, т], R) определим функции 9i\ 9^ : [0, т] х R ^ R соотношениями

g[?](t ,x) = f(t, v(t),x), g[™](t ,x) = f(t ,x,w(t)), tE [0, г], ж Е R.

Теорема 4.1. Пусть заданы числа а > 0, ft ^ 0, г > 0 такие, что 0т < а, и функция x0 Е AC([0, т], R), удовлетворяющая условию (4,2). Пусть

R:=-—wai sup 9(f (t,x0(t),x0(t)),y(t)) < го. (4,3)

а -fir te[o,r ]

Определим многозначные отображения V,V: [0, т] ^ R соотношениям,и

V (t) = BR(xc(t),Rt), V(t) = BM(xo(t),R), tE [0, г]. (4.4)

Предположим,, что для любой абсолютно непрерывной функции v Е Sel(V) функция g^ удовлетворяет условию (3.8) при y = у, всех x Е Se l(V), Q(t) = R; для, любо го w Е Se l(V) функция, g^ удовлетворяет условию (3.17) при у = у , всех абсолютно непрерывных функциях x Е Sel(V) и П = V. Тогда, существует определенное на, [0, г] решение x задачи, (4.1), (4.2) такое, что x Е BLe0 (x0,R).

Доказательство. Запишем задачу (4.1), (4.2) в виде уравнения

f(t,A +f u(s)ds,u(t)) = y(t), t Е [0, т]. (4.5)

Jo

относительно неизвестной функции u = x Е L([0, г]). Определим отображение

F : L0 х L0 ^ S, (F(u, z))(t) = f(t, A +f z(s)ds,u(t)), гЕ [0, r],

o

и отображение G : L00 ^ S, G(u) = F(u, u). При таком определении отображения G уравнение (4.5) принимает вид (2.1), и его разрешимость можно доказать на основании теоремы 2.1. Проверим выполнение ее условий.

Докажем замкнутость отображений F,G. Пусть для произвольных {u}, {Zi] С L00, u,z Е L0 и у Е S выполнено p(ui, u) ^ 0, р(zi, z) ^ 0 и de (F(ui, zi),у) ^ 0. Из последнего соотношения следует сходимость ( F(ui, zi))(t) ^ y(t) при п.в. t Е [0, т] (см. доказательство предложения 1). А из второго соотношения получаем /0 zi(s)ds ^ /0 z(s)ds при п.в. t Е [0, т]. Далее, в силу непрерывности функции f(t, •, •) при п.в, t Е [0, т] выполнено (F(щ, Zi))(t) ^ ( F(u, z))(t). А так как (F(щ, Zi))(t) ^ y(t), получаем (F(u, z))(t) = y(t), t Е [0, т]. Итак, доказано, что отображение F является замкнутым, соответственно, отоб-G

Для произвольной функции w Е Sel(V) оператор F(•,w) : L00 ^ S является оператором Немыцкого Ng[v], порожденным функцией д^, где v(t) = A + j'0w(s)ds. Очевидно, v Е Sel(V) и v Е AC([0, т], R). Согласно принятым предположениям оператор N м удо-

Я\

влетворяет условиям предложения 2 при у = у, любом x Е Sel(V) и Q(t) = R. Согласно предложению 2 выполнено вложение Sel(V) х {у} С Cova[F(•,w); S], следовательно, (w,g) Е Cov«[ F (•,w); S].

Теперь рассмотрим оператор F (w, •) : L00 ^ S0, вде w — любое измеримое сечение многозначного отображения V. Оператор F(w, •) является композицией интегрального оператора К : L00 ^ L00определяемого формулой (Кz)(t) = /0 z(s)ds, и оператора Немыцкого

N [та] : L00 ^ S0, порожденного функцией д^. Оператор К является липшицевым с ко-

92

эффициентом т па множестве Sel(V) и К(Sel(V)) С AC П Sel(V). Функция д^ удовлетворяет условиям предложения 3 при у = у, любом x Е AC П Sel(V) и П = V. Потому, в

силу предложения 3 для любого х Е AC П Sel(V) выполнено (х,у) Е Lipe [X н; Sel(V)]. Следовательно, для любого z Е Sel(V) выполнено (z,у) Е Liper[X ¡W]K; Sel(V)]. Таким

^ 92

образом, Sel(V) х у С Lipe [X ¡W]K; Se/(F)], следовательно, (w,y) Е Lipe [X [W]K; Sel(V)].

92 92 Итак, для уравнения (4,5) выполнены условия теоремы 2,1, поэтому это уравнение имеет

решение и Е Sel(V) = BLe0 (х0, R). А значит существует определенное на [0, т] решение х задачи (4,1), (4,2) такое, что х Е BLe0 (хо, R). □

Пример 7. Пусть заданы измеримые неотрицательные функции р, у : R+ ^ R+ и число j ^ 0. Предполагаем, что p(t) ^ 1 при п.в, t ^ 0. Рассмотрим дифференциальное уравнение

х2(г){р(г) + ф(г)1) = y(t), 0. (4.6)

Положим

R:= 2wai sup y(t). (4,7)

te[o,i]

Покажем, что для любого т > 0 такого, что

2jRr< 1, 2j R2T < 1, (4.8)

существует определенное на [0, т] решение х уравнения (4.6), удовлетворяющее начальному условию х(0) = 0 и такое, что loc(t)l ^ R при п.в, t Е [0, т].

> 0,

формулой (3,10) функцию в : R х R ^ R+ и зададим соответствующее расстояние de в пространстве S. Для произвольных функций v Е AC и w Е L определим функции 9i\ Я? : [0, т] х R ^ R соотношениями

g{^(t ,х) = х2 (p(t)+ff lv (t)l), g2\t }х) = 1»2(1){р(1)+11х1), tE [0, г], х Е R.

Положим х0({) = 0 на [0, т]. Определим многозначные отображения V,V : [0, т] ^ R формулами (4.4).

Для любой функции v Е AC (в том числе для v Е Sel(V) П AC функция д^ удовлетворяет условию (3.8) с коэффициентом а = 1 при любых х,у Е S (включая y = y а все х Е Se l(V)), Q(t) = R (см. пример 6). Для любого w Е Se I (V) функци я д^ удовлетворяет условию (3.17) с коэффициентом 3 = max{jR,jR2} при y = y, всех абсолютно непрерывных х Е Sel(V) и Q = V (см. пример 6).

В силу неравенств (4.8) выполнено 3 ^ (2т)-1. Таким образом, а — 3Т ^ 2-1. Сле-

R

соответствнп с теоремой 4.1 существует определенное на [0, т] решение х уравнения (4.6) такое, что х(0) = 0 и 1хс(1)1 ^ R п.в. на [0,т].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. A.V. Arutvunov, E.S. Zhukovskiv, S.E. Zhukovskiv. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 75:3, 1026-1044 (2012).

2. E.P. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференц. уравнения. 45:5, 613-634 (2009).

3. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференц. уравнения. 47:11, 1523-1537 (2011).

4. Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова. Накрывающие отображения в произведении метрических прост,ранет,в и краевые задачи для, дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференц. уравнения. 49:4, 439-455 (2013).

5. Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автомат, и телемех. № 1, 31-56 (2015).

6. А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский Точки совпадения отображений в пространствах с векторной метрикой и их приложения к дифференциальным уравнениям и управляемым системам // Дифференц. уравнения. 53:11, 1473-1481 (2017).

7. А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов. Теория (q\, q2)-квазиметрических прост,ранет,в и точки совпадения II Доклады РАН. 469:5, 527-531 (2016).

8. В. Мерчела К теореме Арутюнова, о точках совпадения двух отображений метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. 23:121, 65-73 (2018).

9. Е.С. Жуковский, В. Мерчела О непрерывной зависим,ост,и от, параметра множества решений операторного уравнения // Изв. ИМИ УдГУ. 54, 27-37 (2019).

10. С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела. Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстяонием и в пространствах с бинарным, отношением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 25:4, 52-63 (2019).

11. А.В. Арутюнов. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки II Доклады РАН. 416:2, 151-155 (2007).

12. Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. ЛИБРСЖОМ, М. (2011).

13. Н. Данфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы. Общая теория. ИЛ, М. (1962).

14. Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Наука, М. (1991).

Евгений Семенович Жуковский,

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, ул. Интернациональная, 33, 392000, г. Тамбов, Россия

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, ул. Профсоюзная, 65, 117997, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]

Вассим Мерчела,

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, ул. Интернациональная, 33, 392000, г. Тамбов, Россия

Laboratoire des Mathématiques Appliquées et Modélisation, Université 8 Mai 1945 Guelma, B.P. 401,

24000, Guelma, Algeria

E-mail: [email protected]