ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КЛАССЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 26, № 133

2021

© Мерчела В., 2021

DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-133-44-54

OPEN

^^ ACCESS

I ACCESS

Ш

УДК 517.988.63+517.968.4+515.124.4

Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций

Вассим МЕРЧЕЛА

Лаборатория прикладной математики и моделирования, Университет 8 мая 1945 г. - Гельма 24000, Алжир, Гельма, П.Я. 401

On stability of solutions of integral equations in the class of measurable functions

Wassim MERCHELA

Applied Mathematics and Modeling Laboratory, University May 8, 1945 - Guelma B.P. 401, Guelma 24000, Algeria

Аннотация. Рассматривается уравнение G(x) = у, где отображение G действует из метрического пространства X в пространство Y, на котором определено расстояние, у € Y. Метрика в X и расстояние в Y могут принимать значение то, расстояние удовлетворяет лишь одному свойству метрики: расстояние между у, z € Y равно нулю тогда и только тогда, когда у = z. Для отображений X ^ Y определены понятия множеств накрывания, липшицевости и замкнутости. В этих терминах получено утверждение об устойчивости в метрическом пространстве X решений рассматриваемого уравнения к изменениям отображения G и элемента у. Это утверждение применено к исследованию интегрального уравнения

относительно неизвестной измеримой по Лебегу функции x : [0,1] ^ R. Получены достаточные условия устойчивости решений (в пространстве измеримых функций с топологией равномерной сходимости) к изменениям функций f, K,y.

Ключевые слова: операторное уравнение; существование решений; устойчивость решений; накрывающее отображение; расстояние; пространство измеримых функций; интегральное уравнение

Для цитирования: Мерчела В. Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26. № 133. С. 44-54. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-133-44-54.

Abstract. Consider the equation G(x) = y, where the mapping G acts from a metric space X into a space Y, on which a distance is defined, y G Y. The metric in X and the distance in Y can take on the value то, the distance satisfies only one property of a metric: the distance between y,z G Y is zero if and only if y = z. For mappings X ^ Y the notions of sets of covering, Lipschitz property, and closedness are defined. In these terms, the assertion is obtained about the stability in the metric space X of solutions of the considered equation to changes

of the mapping G and the element y. This assertion is applied to the study of the integral equation

f (t, K(t,s)x(s)ds,x(t)) = y(t), t G [0.1],

J 0

with respect to an unknown Lebesgue measurable function x : [0,1] ^ R. Sufficient conditions are obtained for the stability of solutions (in the space of measurable functions with the topology of uniform convergence) to changes of the functions f, K, y.

Keywords: operator equation; existence of solutions; stability of solutions; covering mapping; distance; space of measurable functions; integral equation

For citation: Merchela W. Ob ustoychivosti resheniy integral'nykh uravneniy v klasse iz-merimykh funktsiy [On stability of solutions of integral equations in the class of measurable functions]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2021, vol. 26, no. 133, pp. 44-54. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-133-44-54. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Результаты о неподвижных точках операторов — один из основных инструментов доказательства теорем существования решений различных классов уравнений, в том числе дифференциальных, интегральных, функционально-дифференциальных. Так, в большинстве работ по интегральным уравнениям (см., например, [1-3]) исследуются уравнения вида

х(г) = f (г, К(г,8)х(в№в,х(г)), г е [0,1]. (0.1)

ио

Разрешенность уравнения (0.1) относительно неизвестной функции х позволяет применить к его изучению результаты о неподвижных точках. Однако, если уравнение не разрешено относительно неизвестной функции (или ее производной), условия его разрешимости, как правило, не удается получить с помощью теорем о неподвижной точке. Для исследования таких уравнений часто оказываются эффективными утверждения о точках совпадения и об операторных уравнениях, использующие свойства накрывания (также называемого регулярностью) отображений в метрических пространствах или в более общих пространствах с расстоянием. Такой подход для нелинейных интегральных уравнений Вольтерры, не разрешенных относительно неизвестной существенно ограниченной функции, был реализован в [4]. Аналогичные методы были использованы в [5] при исследовании задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной. Для таких уравнений утверждения об уравнениях с накрывающими отображениями метрических пространств позволили также исследовать корректность задачи Коши (см. [6]), получить условия существования и оценки решений краевых задач (см. [7]), задач управления (см. [8,9]).

Распространения на обобщенные метрические пространства результатов о накрывающих отображениях, полученные в работах [10-12], открывают возможности исследования более широких классов уравнений. В данной статье демонстрируются такие возможности применительно к интегральному уравнению в пространстве измеримых функций.

В первой части вводятся основные понятия, в том числе определяются множества на-крывания и липшицевости отображения, действующего из метрического пространства в пространство с расстоянием. Далее рассматривается абстрактное уравнение с отображением, действующим из метрического пространства в пространство с расстоянием. Получены

условия устойчивости решений к изменениям этого отображения. Во второй части статьи определяются расстояния между измеримыми функциями, а также исследуются множества накрывания и липшицевости конкретных отображений, действующих в полученных пространствах. Это утверждение в третьей заключительной части статьи применяется к исследованию нелинейного интегрального уравнения в пространстве измеримых функций. Здесь получены условия существования и устойчивости решений к изменениям функций, определяющих уравнение.

1. Основные понятия

Стандартно обозначаем через множество неотрицательных действительных чисел,

= [0, Эти множества полагаем линейно упорядоченными «естественным число-

вым порядком», причем > г при любом г € .

Пусть X = (X, р) —метрическое пространство с метрикой р : XхХ ^ М+. Обозначим Вх(х0,г) = {х € X : р(х,х0) < г} — замкнутый шар в X с центром в точке х0 € X радиуса г € Е+ (если г = то Вх (х0, = X при любом х0 ).

Пусть также задано множество У = 0. Расстоянием в У называют отображение й : У х У ^ М+ такое, что

€ У ,У2)=0 ^ У1 = У2 (1.1)

(в отличие от метрики, расстояние й может быть несимметричным и может не удовлетворять неравенству треугольника). Будем говорить, что последовательность {у.} С У сходится к элементу у € У и писать у. ^ у, если й(у.,у) ^ 0.

Для отображения / : X ^ У при определении аналогов классических понятий непрерывности и замкнутости следует учитывать, что в случае сходимости последовательности /(х.) ее предел может быть не единственным. Поэтому, например, требование замкнутости графика отображения / : X ^ У является чрезвычайно ограничительным. В связи с этим обстоятельством в [11,13] введено следующее понятие множества замкнутости отображения / относительно множества и С X,

С1[/; и]:= {(х,у) € X х У | У{х.} С и х. ^ х, /(х.) ^ у ^ /(х) = у}.

Для характеристики свойств накрывания и липшицевости определим еще два термина, введенные для отображений метрических пространств в [14] и распространенные на рассматриваемые здесь отображения X ^ У в [11,13]. Пусть заданы числа а > 0, в ^ 0 и множество и С X. Определим множества

Соуа[/; и] := {(х, у) € X х У | Зм € и /(и) = у, р(х, и) < а-1й(/(х), у), р(х, и) < то}, Ырв[/; и]:= {(х,у) € X х У | Уи € и /(и) = у ^ й(/(х),у) < вр(х,и)},

которые будем называть, соответственно, множествами а -накрывания и в -липшицевости отображения / относительно и.

Для определенных здесь множеств справедливы соотношения:

и С и С X х У ^

С1[/; и] э С1[/; и], Соуа[/; и] С Соуа[/; и], Ыр^[/; и] э Ь1р^[/;и]. (1.2)

Отметим, что используемые в теореме Арутюнова [15] о точках совпадения отображений ф,<^ : X ^ У (в случае, когда оба пространства X и У метрические) свойства а -накрывания отображения ф и в -липшицевости отображения ^ равносильны равенствам Соуа[ф; X] = X х У, Ырв X] = X х У. Теорема Арутюнова в [10] была распространена на отображения f -квазиметрических пространств, в [12] — на отображения, действующие из метрического пространства в пространство с расстоянием. Сформулируем это утверждение.

Пусть заданы отображение ^ : X х X ^ У и элемент у е У. Рассмотрим уравнение

С(х):= ^ (х,х)= у. (1.3)

Исследуем устойчивость решений уравнения (1.3) к изменениям отображения ^ и элемента у. Но прежде приведем условия разрешимости этого уравнения.

Лемма 1.1 (см. [11]). Пусть метрическое пространство X полное и задан элемент х0 е X такой, что (х0,х0),у) < то. Предположим, что существуют а > в > 0 такие, что для любого х е и := Вх(х0,Я), где Я := (а — в(х0,х0),у), выполнены включения

(х,у) е Соу„[^(■,х); X], (х,у) е Ырв[^(х, ■); и], (х,у) е С1[С; и]. Тогда в шаре и существует решение уравнения (1.3).

Теперь рассмотрим задачу об устойчивости решений уравнения (1.3), которую будем трактовать следующим образом. Пусть заданы отображения ^ : X х X ^ У и элементы у» е У (г е N). Нас интересуют достаточные условия существования при каждом г решения х = £г уравнения

Сг(х):= Я(х,х) = уг, г е N. (1.4)

и сходимости последовательности {£г} к решению уравнения (1.3).

Теорема 1.1. Пусть метрическое пространство X полное и задано решение х = £ е X уравнения (1.3). Предположим, что при каждом г е N существуют аг > вг > 0 такие, что при г ^ то имеет место сходимость

Яг := ^^<Я(£,£),&) ^ 0

аг Рг

и для любого х е иг := Вх(£, Яг) выполнены включения

(х,уг) е СоУа,[^(-,х); X], (х, &) е Ыр^[^(х, ■); иг], (х, уг) е С^; иг]. (1.5)

Тогда для любого г е N существует решение х = £г уравнения (1.4) такое, что £г ^ £ при г ^ то.

Доказательство. В силу леммы 1.1 уравнение (1.4) имеет решение х = £г, принадлежащее шару иг = Вх(£,Яг). Так как при г ^ то для радиуса этого шара выполнено Яг ^ 0, получаем, что последовательность {£г} сходится в метрическом пространстве X к элементу £. □

Отметим, что в случае, когда оба пространства X и У являются метрическими, условия устойчивости операторных уравнений вида (1.4) получены в [4], а условия устойчивости точек совпадения — в [16].

2. Множества накрывания и липшицевости отображений в пространствах измеримых функций

Здесь рассматриваются множества замкнутости, липшицевости и накрывания операторов, порождающих интегральное уравнение. Формулируемые здесь результаты с доказательствами содержатся в рукописи статьи «Метод исследования интегральных уравнений, использующий множество накрывания оператора Немыцкого в пространствах измеримых функций» (авторы: Е.С. Жуковский, В. Мерчела), недавно представленной в журнал «Дифференциальные уравнения», и частично в работе [11].

Мы будем рассматривать интегральные уравнения в классе измеримых по Лебегу функций. Если окажется, что интеграл от некоторой измеримой функции не существует, будем писать, что этот интеграл равен то. Поэтому наряду с «обычным пространством» R действительных чисел будем рассматривать его расширение R = R и{то}. В R определим разность двух элементов, среди которых есть то, соотношениями

то-то = 0, Vx G R x — то = то — x = то.

Определим операцию вычисления модуля как отображение | • | : R — R+, причем, будем полагать, что |то| = +то.

Обозначим через S пространство измеримых (по Лебегу) функций u : [0,1] — R, а через S его подпространство, содержащее измеримые функции, принимающие только конечные значения. В пространстве S определим расстояние следующим образом.

Пусть задана функция двух аргументов 9 : RxR — R+ такая, что при любом фиксированном втором аргументе z G R функция первого аргумента 9(-, z) : R — R+ непрерывна в точке z, выполнено 9(z,z) = 0 и

VS> 0 37 = y(z,S) > 0 Vz' G R |z' — z| > S ^ 9(z',z) > 7.

_ _0 _

В силу принятых предположений 9 является расстоянием в R, обозначим R := (R,9).

Будем также предполагать, что функция 9 суперпозиционно измерима: выполнено 9(zi, z2) G S для любых zi, z2 G S (условия суперпозиционной измеримости для пространства S получены в [17], см. также [18, с. 110]; эти условия сохраняются и для рассматриваемого здесь пространства S ). Определим отображение

dв : S x S->■ R+, Vzi ,z2 G S dв (zi, z2) = vrai sup 9(zi(t), z2(t)).

te [0,1]

Для отображения dв, очевидно, выполнено соотношение (1.1), поэтому dв — расстояние _ _0 _

в S. Определим пространство S := (S,dв) и его подпространство Se := (S, dв).

Примером функции 9 : R x R — R+, отвечающей всем сформулированным требованиям, является функция

90 : R x R — R+, Vzi,z2 G R 90(zi,z2) = |zi — z2|.

Эта функция является метрикой в R, обозначим R 0 := (R, 90).

_0 _0q

Легко проверяется, что сходимости в пространствах R и R 0 равносильны. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении непрерывных функций, определенных или имеющих значения в R, мы не будем оговаривать, относительно какого из расстояний 9 или 90 они непрерывны.

Через функцию 90 в S определяется метрика

d00 : Sx S ->• R+, Vzi,Z2 G S d00(zi, Z2)— vrai sup |zi(t) — Z2(t)|.

te [0,1]

Соответствующее метрическое пространство измеримых функций обозначим через S00 :— (S, 90), а его подпространство конечных функций — через S00 :— (S, 90). Оба метрических пространства S 0, S00 являются полными.

_0

Теперь рассмотрим отображения S00 ^ S , которые в следующем разделе будут использоваться для исследования интегральных уравнений.

Пусть задана функция g : [0,1] х R ^ R такая, что при любом x G R и п.в. t G [0,1] функция g(-,x) : [0,1] ^ R измерима, функция g(t, ■) : R ^ R непрерывна. Определим оператор суперпозиции (оператор Немыцкого) соотношением

Ng : S00 ^ S, Vu G S00 (Nu)(t) — g(t,u(t)), t G [0,1].

_û

Предложение 2.1. C1[Ng ; S00 ] — S00 х S .

Пусть задано измеримое многозначное отображение Ф : [0,1] ^ R такое, что при любом t G [0,1] множество Ф^) С R не пусто и замкнуто. Обозначим

Яе1(Ф) :— {u G S | u(t) G Ф(t) при п.в. t G [0, 1]}.

Это множество измеримых сечений измеримого многозначного отображения Ф не пусто и, более того, для Ф имеет место представление Кастэна (см. [19, п. 8.1.2], [20, § 1.5]).

Предложение 2.2. Пусть заданы а > 0, x G S, y G S. Если для функции g(t, ■) : R00 ^ R при п.в. t G [0,1] выполнено соотношение (x(t), y(t)) G Cova [g(t, ■); Ф^)], то (x,y) G Cova [Ng; Яе1(Ф)] . В частности, если (x(t),y(t)) G Cova [g(t, ■); R при п.в. t G [0,1], то (x, y) G Cov« [Ns ; S].

Утверждения, аналогичные предложениям 2.1 и 2.2, при более ограничительных предположениях на функцию 9 получены в [11].

Теперь пусть заданы две функции: измеримая функция K : [0,1] х [0,1] ^ R и функция g : [0,1] х R ^ R такая, что при любом x G R и п.в. t G [0,1] функция g(-, x) : [0,1] ^ R измерима, функция g(t, ■) : R ^ R непрерывна. Определим линейный интегральный оператор

Г1

K : S00 ^ S00, Vu G S (Ku)(t) — K(t, s)u(s)ds, t G [0,1],

о

и нелинейный интегральный оператор

f 1

Y : S00 ^ S, Vu G S00 (Yu)(t) — g(t, / K(t, s)u(s)ds), t G [0,1]. (2.1)

о

Опишем множество липшицевости отображения Y следующим утверждением. Предложение 2.3. Пусть

k0 :— vrai sup / |K(t, s)|ds < œ, te[o,i] Jo

заданы х € 8, у € 8, в > 0 и многозначное отображение Ф : [0,1] ^ Е, со значениями Ф(г) = 0, г € [0,1], и такое, что Яе1(Ф) := {п € 8 | п(г) € Ф(г) при п.в. г € [0,1]} = 0. Определим функцию V = Кх € 8 и многозначное отображение

П:[0,1] ^ Е, ОД = (КФ)(г):= К(М)п(з)^, Уп € Яе1(Ф)|, г € [0,1].

Тогда, если для функции д(£, ■) : Е^0 ^ Е^ при п.в. г € [0,1] выполнено соотношение v(t),y(t)) € Ырв[£(*,-);ВД], то (х,у) € Ыр^[Т;Яе1(Ф)].

3. Интегральное уравнение

Применим полученные утверждения к задаче об устойчивости решений интегрального уравнения.

Пусть заданы измеримые функции K, K : [0,1] х [0,1] ^ R ( i G N ), удовлетворяющие условию

k := vrai sup / |Kj(t, s)|ds< то, i G N. (3.1)

te[o,1 ] Jo

Пусть также заданы функции y, Уд G S и функции f : [0,1] х R х R ^ R, измеримые по первому аргументу и непрерывные по совокупности второго и третьего аргументов. Рассмотрим последовательность уравнений

о

fi(t, / Ki(i,s)x(s)ds,x(i)) = y*(t), t G [0,1]. (3.2)

Сформулируем условия существования при каждом г решения х = £ € 8 уравнения (3.2) такого, что последовательность С 8 сходится к решению х = £ € 8 уравнения

f (t, I K(t,s)x(s)ds,x(t)) = y(t), t G [0,1]. (3.3)

о

Для произвольной функции x G S при любом i G N определим функции : [0,1] x R0 ^ R, Vt G [0,1] Vu G R gix](i,u) = /¿(t,u,x(t)),

gjx] : [0,1] x R00 ^ R, Vt G [0,1] Vu G R gjx](t,u) = /¿(t, / Ki(t, s)x(s)ds,u).

Jo

Заданные здесь функции gix], очевидно, измеримы по первому аргументу и непрерывны по второму аргументу. Определим также при любом i G N операторы : S00 ^ S 0 соотношением

Vu G S (Kiu)(t) = / Ki(t,s)u(s)ds, t G [0,1]. Jo

Теорема 3.2. Пусть задано решение £ G S уравнения (3.3). Предположим, что при каждом i G N существует > 0 такое, что при i ^ то имеет место сходимость

R := -vrai sup в (/ (t, (Ki£)(i),£(i)), &(t)) ^ 0.

te[o,i]

Далее, пусть для всех г Е N существует > такое, что для любой функции х Е и := (£, Дг) при п.в. £ Е [0,1] выполнены включения

(х(£),й(£)) Е Ссу«г ■); К], (3.4)

((ВД(*),&(*)) Е Ь1рА [д^, 0;Щ*)], (3.5)

где := кг-1(аг — ог), Пг(£) := [(Кг£)(£) — (Кг£)(£) + Тогда для любого г Е N

существует решение х = £г Е 800 уравнения (3.2) такое, что последовательность {£г} при г ^ то сходится в пространстве 800 к заданному решению £ уравнения (3.3).

Доказательство. Уравнение (3.2) — это уравнение вида (1.4), в котором отоб-

_0

ражения : х ^ § (г Е N) определены соотношением

Ух,и Е (Я(х,и))(£) = /»(£, (Кги)(£),х(£)), £ Е [0,1],

_^

а отображения : ^ § (г Е N) — соотношением

Ух Е Сгх = Тг(х,х).

Покажем, что из предположений доказываемого утверждения следует выполнение условий теоремы 1.1 для данных отображений Пространство §является полным.

_0

Зафиксируем произвольное г. Покажем, что С1[Сг; §] = §х § . Из этого равенства будет следовать третье включение в (1.5), так как в этом случае, в силу включения

_л

С1[Сг; Щ Э С1[С; §], будет выполнено С1[Сг; V] = ° х .

Итак, пусть дана произвольная последовательность {хп} С §, элементы х Е §и у Е § такие, что

dв°(хп,х) ^ 0, ,у) ^ 0 (при п ^ то).

Покажем, что справедливо равенство Сгх = у.

Из условия (3.1) вытекает, что dв°(Кхп,Кх) < к0р(хп,х) ^ 0. Согласно определению расстояний d, dб между измеримыми функциями, получаем, что при п. в. £ Е [0,1] выполнены соотношения

9о(хга(£),х(*)) ^ 0, 0о((Кгхга)(£), (К,х)(£)) ^ 0, 9((Сгх„)(£),у(£)) ^ 0.

Эти соотношения, в силу определения функций 90, 9 равносильны «обычной сходимости»

хга(г) ^ х(£), (К,хга)(£) ^ (К,х)(£), (Сгхга)(£) ^ у(£).

Отсюда в силу непрерывности при п. в. £ Е [0,1] функции /(£, ■, ■) (по совокупности двух аргументов) (С,х„)(£) = /¿(¿, (К,хга)(£),х„(£)) сходится к (С,х)(£) = /¿(¿, (К,х)(г), х(£)). А

так как, согласно принятым предположениям, имеет место сходимость (Сгхп)(£) ^ у(£),

_^

получаем (Сгх)(£) = у(£), £ Е [0,т]. Равенство С1[Сг; §] = х § доказано.

При заданном фиксированном г для произвольного х Е (£, Дг) отображение (х, ■)

_^

представляется в виде оператора Т : §^ § , определенного соотношением (2.1), где функция д := д[х]. Определим отображение Фг : [0,1] ^ К со значениями

У£ Е [0, 1] Фг(£) = [£(£) — Дг, £(£) + Д].

Очевидно, это отображение измеримо, и множество его измеримых сечений Яе1(Фг) = В§е0 (£, Дг). Для Пг(£):= (КгФг)(г) имеем Пг(£) С и поэтому из предположения (3.5)

следует (см. третье из соотношений (1.2)) ((Кгх)(г),у(£)) € [д'х](г,-);Пг(г)]. Согласно предложению 2.3 выполнено включение (х, уг) € [Дг(х, ■); В§е0 (£,Дг)], в котором константа липшицевости = а — <

Для произвольного х € Д§е0 (£, Дг) исследуем множество -накрывания отображения _^ _0

Дг(-,х) : §00 ^ 8 . Это отображение есть оператор Немыцкого N м : §00 ^ 8 , порожден-

[х] г„ л ^

ный функцией ] : [0,1] х Е0 ^ Е . Из условия (3.4) согласно предложению 2.2 следует включение (х, у) € Соуаг [Дг (■, х); 8].

Итак, для отображений выполнены все условия теоремы 1.1, и согласно этой

теореме существует решение х = £г € уравнения (3.2) такое, что £г ^ £. □

В заключение отметим, что в большинстве работ по интегральным уравнениям исследуется уравнение (0.1), разрешенное относительно неизвестной функции. Это уравнение обычно рассматривается в банаховых пространствах непрерывных или суммируемых функций. Полученные здесь результаты позволяют исследовать не разрешенное относительно неизвестной функции интегральное уравнение не только в классе измеримых функций, но и в пространстве ¿р суммируемых со степенью р € [1, то] на отрезке [0,1] функций. При выполнении предположений теоремы 3.2, если дополнительно известно, что решение £ «предельного уравнения» (3.3) принадлежит пространству ¿р, то для любого г € N существует решение £г € ¿р уравнения (3.2) такое, что последовательность {£г} сходится к функции £ равномерно, а следовательно, и по норме пространства ¿р.

References

[1] T. Diogo, A. Pedas, G. Vainikko, "Integral equations of the third kind in Lp spaces", J. Integral Equations Applications, 32:4 (2020), 417-427.

[2] R. Precup, Methods in Nonlinear Integral Equations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2002.

[3] C. Corduneanu, Integral Equations and Applications, Cambridge Univ. Press, Cambridge-New York, 1991.

[4] A. V. Arutyunov, E. S. Zhukovskiy, S. E. Zhukovskiy, "Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 75:3 (2012), 1026-1044.

[5] Е. Р. Аваков, А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, "Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной", Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613-634; англ. пер.:Е. R. Avakov, A. V. Arutyunov, Е. S. Zhukovskiy, "Covering mappings and their applications to differential equations unsolved for the derivative", Differential Equations, 45:5 (2009), 627-649.

[6] А. В. Арутюнов, Е. С. Жуковский, С.Е. Жуковский, "О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523-1537; англ. пер.^^. Arutyunov, Е. S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, "On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative", Differential Equation, 47:11 (2011), 1541-1555.

[7] Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова, "Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной", Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439-455; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, Е. A. Pluzhnikova, "Covering mappings in a product of metric spaces and boundary value problems for differential equations unsolved for the derivative", Differential Equations, 49:4 (2013), 420-436.

[8] Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова, "Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями", Автомат. и телемех., 2015, №1, 31-56; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, Е. A. Pluzhnikova, "On controlling objects whose

motion is defined by implicit nonlinear differential equations", Autom. Remote Control, 76:1

(2015), 24-43.

[9] А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский, "Точки совпадения отображений в пространствах с векторной метрикой и их приложения к дифференциальным уравнениям и управляемым системам", Дифференциальные уравнения, 53:11 (2017), 1473; англ. пер.:А.У. Arutyunov, S.E. Zhukovskiy, "Coincidence points of mappings in vector metric spaces with applications to differential equations and control systems", Differential Equations, 53:11 (2017), 1440 -1448.

[10] А. В. Арутюнов, А. В. Грешнов, "Теория (qi, 52) -квазиметрических пространств и точки совпадения", Доклады РАН, 469:5 (2016), 527-531; англ. пер.:А. V. Arutyunov, А. V. Greshnov, "Theory of (q1, q2)-quasimetric spaces and coincidence points", Doklady Mathematics, 94:1

(2016), 434-437.

[11] Е. С. Жуковский, В. Мерчела, "О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений", Уфимский ма-темтический журнал, 12:4 (2020), 42-55; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, W. Merchela, "On covering mappings in generalized metric spaces in studying implicit differential equations", Ufa Mathematical Journal, 12:4 (2020), 42-55.

[12] В. Мерчела, "К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 65-73. [W. Merchela, "About Arutyunov theorem of coincidence point for two mapping in metric spaces", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 23:121 (2018), 65-73 (In Russian)].

[13] С. Бенараб, Е. С. Жуковский, В. Мерчела, "Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением", Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:4 (2019), 52-63. [S. Benarab, Е. S. Zhukovskiy, W. Merchela, "Theorems on perturbations of covering mappings in spaces with a distance and in spaces with a binary relation", Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 25:4 (2019), 52-63 (In Russian)].

[14] Е. О. Бурлаков, Т. В. Жуковская, Е.С. Жуковский, НП. Пучков, "Приложения накрывающих отображений в теории неявных дифференциальных уравнений", Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры, 165 (2019), 21-33. [Е. O. Burlakov, T.V. Zhukovskaya, Е. S. Zhukovskiy, N. P. Puchkov, "Applications of covering mappings in the theory of implicit differential equations", Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 165 (2019), 21-33 (In Russian)].

[15] А. В. Арутюнов, "Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки", Доклады РАН, 416:2 (2007), 151-155; англ. пер.^. V. Arutyunov, "Covering mappings in metric spaces and fixed points", Doklady Mathematics, 76:2 (2007), 665-668.

[16] А. В. Арутюнов, "Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений", Матем. заметки, 86:2 (2009), 163-169; англ. пер.^. V. Arutyunov, "Stability of coincidence points and properties of covering mappings", Mathematical Notes, 86 (2009), 153-158.

[17] И.В. Шрагин, "Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476-478. [I. V. Shragin, "Superpositional measurability under generalized caratheodory conditions", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 19:2 (2014), 476-478 (In Russian)].

[18] Е. С. Жуковский, "Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина", Алгебра и анализ, 30:1 (2018), 96-127; англ. пер.:Е. S. Zhukovskiy, "On order covering maps in ordered spaces and Chaplygin-type inequalities", St. Petersburg Mathematical Journal, 30:1 (2019), 73-94.

[19] А. Д. Иоффе , В.М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974; англ. пер.^. D. Ioffe, V. M. Tihomirov, Theory of Extremal Problems. V. 6, Stud. Math. Appl., North-Holland-Amsterdam-New York, 1979.

[20] Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальних включений, ЛИБРОКОМ, М., 2011. [Yu. G. Borisovich, B.D. Gel'man, A. D. Myshkis, V. V. Obukhovskii, Introduction to the Theory of Multi-Valued Mappings and Differential Inclusions, Librokom Publ., Moscow, 2011 (In Russian)].

Информация об авторе

Мерчела Вассим, аспирант. Лаборатория прикладной математики и моделирования, Университет 8 мая 1945 г. - Гельма, г. Гельма, Алжир. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3702-0932

Information about the author

Wassim Merchela, Post-Graduate Student. Applied Mathematics and Modeling Laboratory, University May 8, 1945 - Guelma, Guelma, Algeria. E-mail: [email protected] ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3702-0932

Поступила в редакцию 10.11.2020 г. Поступила после рецензирования 14.01.2021 г. Принята к публикации 05.03.2021 г.

Received 10.11.2020 Reviewed 14.01.2021 Accepted for press 05.03.2021