К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-00427, № 12-01-31140).

Zhukovskiy S.E., Pavlova N.G. ON THE APPLICATION OF COVERING MAPPING THEORY TO NONLINEAR MARKET MODELS

Existence of an equilibrium price-vector in a nonlinear market model is studied. Sufficient conditions for existence of the equilibrium price-vector are obtained. Stability of the equilibrium is studied. These results are obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.

Key words: a -covering mappings; coincidence points; demand function; supply function; equilibrium price-vector.

УДК 517.922, 517.988.5

К ВОПРОСУ О РАЗРЕШИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

© Е. С. Жуковский, Е. А. Плужникова

Ключевые слова: накрывающие отображения метрических пространств; обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной; управляемые дифференциальные системы.

Получено утверждение о липшицевых возмущениях векторного накрывающего отображения. Этот результат используется для исследования разрешимости управляемой дифференциальной системы неявного вида со смешанными ограничениями на управление и фазовые переменные.

Идея использования накрывающих отображений для исследования дифференциальных управляемых систем была предложена в работах [1,2]. Для эффективного применения предложенных схем возникла необходимость распространения теорем о липшицевых возмущениях на векторные накрывающие отображения. В работе [3] получены утверждения о возмущениях для отображений, действующих в произведении двух метрических пространств. В данной работе такое утверждение получено для отображений, действующих в произведении любого конечного количества метрических пространств. Этот результат мы используем для исследования управляемых систем, описываемых не разрешенными относительно производной дифференциальными уравнениями со смешанными ограничениями на управление и фазовые переменные.

Приведем определения понятий, необходимых для формулировки основных результатов.

Пусть заданы метрические пространства (Х,рх), (У, ру)■ Обозначим через Вх(х,г) замкнутый шар с центром в точке х радиуса г> 0 в пространстве X (аналогичное обозначение используем для У и конкретных метрических пространств, рассматриваемых ниже).

Определение 1 [4, определение 1]. Пусть задано число а> 0. Отображение Ф: X ^ У называется а-накрывающим, если для любого г> 0 и любого и € X имеет место включение

Ф(Вх(и, г)) 5 Ву (Ф(и),ат).

Отметим, что отображение Ф является а -накрывающим тогда и только тогда, когда для любых и € X, у € У существует х € X, удовлетворяющий уравнению Ф(х) = у и оценке

рх(х, и) ^ а-1ру (у, Ф(и)) ■ (1)

Это свойство называют метрической регулярностью [5]. Понятие накрывания связано с двумя свойствами отображений: сюръективностью и преобразованием расстояний в соответствии с неравенством (1). Эти свойства бывает целесообразно разъединить, поскольку в ряде задач оказывается достаточно одного из них. В связи с этим в [6, с. 615] предложено понятие условного накрывания.

Определение 2. Отображение Ф : X ^ У называется условно а -накрывающим, если для любого г > 0 и любого и € X имеет место включение

Ф(Вх(и,г)) 5 Ву (Ф(и),аг) П Ф^)■

Отображение Ф является условно а -накрывающим, тогда и только тогда, когда для

любых и € X, у € Ф(X) существует х € X, удовлетворяющий уравнению Ф(х)= у______и оценке (1). ____________________________________________________________________________

Пусть заданы метрические пространства (Xj, рх^), (У}, ру), точки у^ € У), ,] = 1,п, и определены отображения Фг: XI х П^=1 Xj ^ Уг, % = 1,п. Рассмотрим систему уравнений

' Ф1(х1,х1,х2, ■ ■ ■,х„)= у1,

Ф2(х2,х1,х2,...,хп)= у2, / ч

. (2)

Фи(хи,х1,х2, ■ ■ ■ , хп) = уп,

относительно неизвестного х = (х1, х2, ■ ■ ■ , хп) € ПП=1 Xj ■

Положим X = пп=1 Xj, У = П п= 1 Уj ■ На множестве X будем определять метрику ра-

венством

рх (х,и) = \рх1 (х1,т), рх2 (х2, и2), ■ ■ ■ ,рхп (хп,ип)|, V х = (xj )j=l,n, и = (и )j=ln € X, (3) где | • | — произвольная норма в М”\ Определим отображение

Т: X х X ^ У, Г(и,х) ^г^х^^^

Тогда систему (2) можно записать в виде уравнения

Т(х,х) = у■

Пусть заданы числа аг > 0, [3^ ^ 0, г,] = 1,п■ Определим матрицы

А = d.iag(аг)nxn, В = (вгj)nxn, С = А В = (а- вгj)пхп■

Обозначим д(С) — спектральный радиус матрицы С■

Теорема 1. Пусть метрические пространства Xj, ] = 1,п, являются полными и выполнены следующие условия:

для всех г = 1,п, х € X отображение Фг(^,х): Xг ^ Уг является условно аг -накрывающим и

уг € Фг^г, х);

при любых і,і = 1,и для всех щ Є Хі, х\ Є Х\, ... , х^-\ Є Х^-\, х^+\ Є Х^+\, ... , хп Є Хп отображение Фі(иі, Х\,..., х^-\, ■, х^+\, ..., хп) : X^ ^ Уі является [3^ -липшице-вым;

для любой последовательности {ик}с Х из того, что ик и, Т(ик,и) у, следует

Т(и,и) = у.

Тогда, если д(С) < 1, то система уравнений (2) разрешима, и, кроме того, для любого є> 0 можно так определить норму | ■ | в пространстве Мп, что при задании метрики в Х формулой (3) для произвольного и0 = (и1, и®,..., иП) Є Х существует решение х = { Є Х системы (2), удовлетворяющее оценке

PYn {Vu, фп(иП,и°)) V ап

1

1 — Q(C )

+ є) |(

'PYl (Vi, $і(Щ,и°))

а,\

PY2 (V2, ф2(и2,и))

а?

Для применения теоремы 1 к исследованию управляемых дифференциальных систем требуются условия накрывания оператора суперпозиции (оператора Немыцкого) в функциональных пространствах. В работах [6, 7] получен признак накрывания оператора Немыцкого в пространствах существенно ограниченных функций, в [8] — в пространстве суммируемых функций. Здесь приведено более общее утверждение об условиях накрывания оператора Немыцкого в пространствах суммируемых с любой степенью функций.

Путь е1(Мг), comp(Rг) — пространства всех непустых замкнутых и, соответственно, компактных подмножеств пространства Для множества Ш € е1(Мг) обозначаем

dW = min j-wj; для V G comp(Rl) обозначаем \Vj =max jaj.

weW veV

Стандартно обозначаем: Lp([a, 6],R^ — пространство функций y :[a,b] ^Rl, суммируемых в p -ой степени, 1 ^ p< ж; L^ ([a,b], Rl) —пространство существенно ограниченных функций y : [a, b] ^ Rl.

Пусть задано 1 ^ p ^ ж и определено измеримое многозначное отображение Q : [a, b] ^ ^ cl(Rl), такое что dQ() G Lp([a,b], Rl). Определим полные метрические пространства: Lp ([a,b], Q) — пространство функций t G [a,b] ^ y(t) G Q(t), суммируемых в p -ой степени, если 1 ^ p< ж, и существенно ограниченных при p = ж, с метрикой

( } \1/Р

P Lp (У1,У2)=( \yi(s) — y2(s)\Pds) , p = ж; pLco (У!,У2 )= vrai sup\yi(s) — y2(s)\ ;

\J / s€ [a,b]

a

ACp ([a,b], Q), 1 ^p ^ ж — пространство таких абсолютно непрерывных функций x :[a,b] ^ ^ Rl, что X G Lp([a,b], Q), с метрикой pACp (xi,x2) = \{pLp (Xi,x2 ), xi(a) — x2(a))\. В перечисленных обозначениях функциональных пространств будем опускать область определения и множество значений функций — элементов пространств, если это не приводит к разночтениям.

Пусть заданы числа 1 ^ pi ^ p2 ^ ж. Пусть при каждом t G [a,b] заданы измеримые многозначные отображения

t G [a, b] ^ ü(t) G cl(RZl), t G [a, b] ^ &(t) G cl для которых dü(-) G LPl{[ [a,b], R^1), d&(-) G Lp2 ([a,b], RÎ2), и определена функция

(t G [a,b], x G Q(t)) ^ g(t,x) G &(t),

удовлетворяющая условиям Каратеодори. Используя известные условия [9, с. 375] действия оператора Немыцкого в пространствах Ьр([а,Ь], Мг), легко показать, что отображение

(Кд у)(г) = д(і,у(і)), (5)

действует из ЬР1{[[а, Ь], П), р1 = ж в ЬР2([а, Ь], ©) тогда и только тогда, когда

З п Є ЬР2 ([а,Ь], МІ2) З \ Є М У г Є [а,Ь] У у Є П(г) |д(г,у)|^ \1у1рі/р2 + п(г), (6)

и в этом случае оператор N : ЬР1([а, Ь], П) ^ ЬР2 ([а, Ь], © является непрерывным и ограниченным. Для того чтобы оператор (5) действовал из ([а,Ь], П) в ЬР2([а,Ь], ©, необходимо и достаточно выполнения условия

У г> 0 З Пг Є Ьр2 ([а,Ь], МІ2) У г Є [а, Ь] У у Є П(г) ІуІ ^ г Ід(г,у)1 ^ Пг (г), (7)

в этом случае оператор Ыд : Ь({а, Ь], П) ЬР2([а, Ь], © является замкнутым и ограниченным.

Теорема 2. Пусть заданы числа 1 ^ р1 ^ р2 ^ ж, и для функции д, если р1 = ж, выполнено условие (6), а при р1 = ж — условие (7). Тогда, если для некоторого ад > 0 при п. в. г Є [а,Ь] отображение д(г, ■):П(г) ^ ©(г) является условно ад -накрывающим, то оператор Немыцкого Хд : ЬР1 ^ ЬР2 будет условно ам -накрывающим, где

=__________ад_______.

ам (Ь — а)(Р2-Рі)/РіР2 ’

в частности, при р1 = р2 константы накрывания равны: ам = ад, в случае р1 <р2 = ж выполнено ам = (Ь — а)-1/Р1 ад. Аналогично, если при п. в. і Є [а,Ь] отображение д(г, ■):П(г) ^ ©(г) является ад -накрывающим, то оператор Немыцкого Мд : ЬР1 ^ ЬР2 будет ам -накрывающим.

Применим теоремы 1, 2 к исследованию управляемости дифференциальных систем. Пусть заданы [а,Ь] с М, А0 Є Мп, измеримые многозначные отображения

П : [а,Ь] сотр(Мп), и : [а,Ь] сотр(Мк), V : [а,Ь] сотр(МІ2),

и существует такое Ку Є М, что V(г)1 ^ Ку при п. в. і Є [а,Ь]. Пусть, далее, определены удовлетворяющие условиям Каратеодори функции

/ : [а, Ь] х Мп х Мп х Мк ^ М^1, д : [а, Ь] х Мп х Мк ^ М^2,

относительно которых, кроме того, предполагаем, что для любого г > 0 существует такое

К> 0, что при п. в. г для всех х, г, и, удовлетворяющих условию 1x1 + ІгІ + и ^ г, имеют место неравенства |/(г,х,г,и)1 ^ К, Ід(г,х,и)І ^ К.

Рассмотрим управляемую систему

/(г,х(г),х(г),и(г)] = 0, г є [а,Ь], х(а) = а0, (8)

с ограничениями на управление и фазовые переменные

и(г) є и (г), д(г,х(г),и(г)) є V (г), г є [а,Ь] (9)

и дополнительным ограничением на производную решения

х(г) є П(г), г є [а,Ь]. (10)

Управление п(-) будем предполагать измеримым и существенно ограниченным, а решение x(-) будем искать в классе абсолютно непрерывных функций, имеющих существенно ограниченную производную. Соответственно, локальным решением управляемой системы будем считать пару (x,u) € AC{[a, a + т], Q х L([a, a + t],U), удовлетворяющую уравнениям (8), (9), (10), при почти всех t € [a, a + т], т € (0,b — a].

Пусть задано а> 0. Положим D = Bru(A0,o).

Теорема 3. Пусть существуют такие положительные числа а\, а2 и неотрицательные в\, @2, что выполнены следующие условия:

при п. в. t € [a,b] и любых x € D, u € U (t) отображение f (t,x, ■,u):Q(t) ^ М^1 является условно а\ -накрывающим;

существует такое r0 > 0, что при п. в. t € [a,b] и любых x € D, u € U(t) имеет место включение 0 € fit, x, Bru (0, Го) П Q(t),u);

при п. в. t € [a,b] и любых z € Q(t) отображение f (t, ■,z, ■) : D х U(t) ^ М^1 является (3\ -липшицевым;

при п. в. t € [a,b] и любых x € D отображение g(t,x, ■): U(t) ^ М^2 является условно a2 -накрывающим;

при п. в. t € [a,b] и любых u € U(t) отображение g(t, ■,u): D ^ М^2 является в2 -лип-шицевым;

множество П g{t,x,u(t)n HV(t) не пусто при п. в. t € [a, b].

x^D

Тогда управляемая система (8), (9), (10) локально разрешима.

В заключение приведем оценку решения управляемой системы (8), (9), (10), следующую из неравенства (4).

Определим матрицу

C = /а- гвг а- вЛ \а-1г/в2 0 ) '

ка21тв2 0

Зададим норму | • \ в R2, так, чтобы

с=„с )=та +. [щ—м (и,

2ai у 4а\ aia2

(это возможно, т. к. у 2 х 2 матрицы С два различных собственных числа). Выберем любое т> 0, удовлетворяющее следующим двум соотношениям:

го а\а2

т ^ —, т <

а ва + вФ2‘

и произвольные функции uo € ([a,a + r],U), vo € L^ {[a,a + r], Q). Пусть T|vo(t)| ^ a.

Положим

ф1 = vrai sup

t£ [a, а+т]

a

i t ф2 = vrai sup |

t£ [а, а+т]

f(t, Ao + f vo(s) ds, vo(t),uo(t))

a

g(t, Ao + f vo(s) ds,uo(t)} - n(t)

^ n '

Тогда существует решение (x,u) € AC^ {[a, a + t], Q) x L^ ([a, a + t],U) управляемой системы (8), (9), (10), удовлетворяющее неравенству

vrai sup | (X(t) - vo(t), u(t) - uo(t)) f ^ | (—, — ) Г.

t£ [а, а+т] 1 Q\C) а1 a2

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.

2. Плужникова Е.А. Один метод исследования разрешимости задач управления для дифференциальных уравнений // Тезисы научной конференции "Тихоновские чтения". М., 2011. С. 65-66.

3. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Теорема о накрывании операторов в произведении метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 1 С. 70-72.

4. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

5. Mordukhovich B.S., Wang B. Restrictive metric regularity and generalized differential calculus in Banach spaces // Maths. Math. Science. 2004. V. 50. P. 2650-2683.

6. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

7. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.

8. Плужникова Е.А. О накрывании оператора Немыцкого в пространстве суммируемых функций // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1686-1687.

9. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стецен-ко В.Я. Интегральные уравнения. СМБ. М., 1968. 448 с.

Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 11-01-00-645, № 11-01-00-626), Министерства образования и науки РФ (ГК № 14.132.21.1348, проект № 1.1877.2011).

Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova Е.А. ON QUESTION OF SOLVABILITY OF CONTROLLED DIFFERENTIAL SYSTEMS

A statement on Lipschitz perturbations of a vector covering mapping is derived. This result is used for to study the solvability of a controlled differential system in implicit form with mixed constrains on control and phase variables.

Key words: covering mappings in metric spaces; ordinary differential equations unsolved for derivative; controlled differential systems.