О корректности функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Zhuk N.M. Borsuk-Ulam theorem for multivalued mappings infinite-dimensional Banach spaces. This article is devoted to proving the infinite-dimensional version Borsuk-Ulam theorem in the case of an odd map is a completely continuous multivalued map with convex images. Consider some applications of this theorem.

Key words: surjective operator; topological dimension; a set-valued mapping; differential inclusion.

Жук Наталья Михаиловна, Воронежский государственный педагогический университет, Алексеевский колледж эконономики и информационных технологий, г. Алексеевка, Белгородская обл., Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, пре-подватель специальных и общепрофессиональных дисциплин, e-mail: chuk_n_m@mail.ru.

УДК 517.922, 517.929, 517.988.5

О КОРРЕКТНОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

© Е.С. Жуковский, В.Ф. Осинин, Е.А. Плужникова

Ключевые слова: условно накрывающее отображение метрических пространств; функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа; корректная разрешимость.

Доказаны утверждения о непрерывной зависимости решений задачи Коши функционально-дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, от параметров (порождаемой функции, запаздываний, начальных условий). Используется аппарат накрывающих отображений.

Предложенное в [1] понятие условно накрывающего отображения и его уточнения в [2, 3] оказались удобными для исследования интегральных, дифференциальных функциональнодифференциальных уравнений [1-5]. Здесь мы применяем полученные в [3] утверждения об условно накрывающих отображениях к изучению непрерывной зависимости от параметров решений задачи Коши функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа. Это уравнение наряду со значением производной искомой функции в текущий момент времени t содержит еще и значения этой производной в «запаздывающие» моменты времени g(t), где g(-) —заданная функция, удовлетворяющая неравенству h(t) ^ t. Уравнение нейтрального типа представляет большой теоретический и прикладной интерес [6]. Здесь исследуется практически не рассматривавшаяся в литературе ситуация уравнения нейтрального типа, не разрешенного относительно значения производной искомой функ-

t

Сформулируем данное в [3] определение условного накрывания.

Пусть (X,px), (Y,Py) —метрические пространства. Будем обозначать Bx(u,r) —замкнутый шар пространства X с центром в точке и радиуса r > 0. Пусть заданы множества W С Y, A С X х R+ и чпсло а > 0.

Определение 1. Отображение F : X ^ Y назовем а-накрывающим множество W на совокупно emu A, если для лю бых (и, r) Е A имеет место включение

By(F(u),ar)Q W С F(Bx(u,r)).

Пусть задано множество U С X, такое что Вх (и, r) С U при любых (и, r) Е А. Определение 2. Отображение F : X ^ Y назовем условно а-накрывающим множество W относительно U на совокупности А, если оно является а-накрывающим множество W Р| F(U) на совокупности А.

Пусть заданы замкнутое множество О С М” и последовательность векторов {Ai}c М”. Пусть функции fi : [a, b] хМ” х О хМ” ^ Мт, i = 1, 2,..., удовлетворяет условиям Каратео-

дори, то есть при почти всех значениях первого аргумента t Е [a, b] является непрерывной

по совокупности остальных аргументов, а при любых x Е М”, у\ Е О,, У2 Е М” — измеримой по первому аргументу. Кроме того, предполагаем, что для любого q > 0 найдется такое число Mi, что при любых x Е М”, yi Е О, у2 Е М”, удовлетворяющих неравенству \x\ + \у1\ + \у2\ ^ Q, имеет место \fi(t,x,y1,y2)\ ^ Mi при п.в. t Е [a,b]. Пусть также при каждом i = 1, 2,... заданы: борелевы ограниченные функции pi, Zi : (-ж, а) ^ М” и измеримые функции hi,gi : [a,b] ^ М, такие что hi(t) ^ t, gi(t) ^ t, почти всюду на [a,b]. Будем также предполагать выполнение следующего условия

Vе С [a,b] це = 0 ^ ng~l(e) = 0, (1)

где у — мера Лебега.

Рассмотрим последовательность задач Коши для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа

fi(t,x(hi(t)),x(t),x(gi(t))) =0, t Е [a, b]; x(s) Е О, при п.в. s Е [a,b]; x(s) = Zi(s), x(s) = pi(s), если s Е [a,b]; с начальным условием

x(a) = Ai. (3)

Решение этой задачи будем искать в классе абсолютно непрерывных функций, имеющих существенно ограниченную производную. Отметим, что дополнительное ограничение на производную искомой функции x(s) Е О, s Е [a, b] возникает, например, при исследовании задач теории управления.

Определим полные метрические пространства: пространство L^([a,b], О) измеримых существенно ограниченных функций x : [a,b] ^ О с метрикой

Рьх([а,ь],п)(У1,У2) = vrai sup \yi(t) - y2(t)\;

t£ [a, b]

пространство AC^([a,b], О) таких абсолютно непрерывных функций x : [a,b] ^ М”, что x Е L^([a,b], О), с метрикой

рЛО^([а,Ь], Q)(x1, x2) \x1(a) x2(a)\ + pL^([a,b], H)(x1, x2).

Согласно введенному определению, решение задачи (2), (3) есть элемент пространства

AC^([a,b], О).

Для любых функций x Е AC^([a,b], О), y Е L^([a,b], О) обозначим

(S x)(t) = I x(hi(t)), ^ли hi(t) Е [a,b}, (S y)(t) = j y(gi(t^ если gi(t) Е [a,b},

( hi )( ) \ pi(hi(t)), если hi(t) Е [a,b]; ( 9iy)( ) \ Zi(gi(t)), если gi(t) Е [a,b].

Из принятых предположений следует действие и непрерывность отображений

Shi : AC^([a,b], О) ^ Lx([a,b], М”), Sg,Lx([a,b], О) ^ Lx([a,b], М”),

при этом условие (1) обеспечивает измеримость суперпозиции y(gi(t)) и преобразование эквивалентных функций в эквивалентные [7, с. 706].

Далее, равенством ÇNfi(y\,y2,y3))(t) = f (t,yi(t),y2(t),y3(t)) зададим оператор Немыц-кого Nfi : L^([a,b], Rra) х L^([a,b], Q) x L^([a,b], Rra) ^ L^([a,b], Rm). В перечисленных обозначениях функционально-дифференциальное уравнение (2) запишется в виде

Nfi (Shi Х,Х ,Sgi x)=0 (4)

В работах [1-3, 8] получены условия, при выполнении которых операторы, входящие в уравнение (4) обладают свойствами условного накрывания и липшицивости. Это позволяет воспользоваться утверждениями [3] о корректности уравнений с условно накрывающими отображениями.

Пусть заданы положительные числа R, v и функция uo Е AC^([a,b], Q). Для t Е [a,b] положим

wi(t) = fi(t, (Shiuo)(t),Uo(t), (SgiUo)(t));

(S U)(t) = / BRn{u,o(hi(t)), v), если hi(t) Е [a,b],

(ShiU )() X <Pi(hi(t)), если hi(t) Е [a, b];

V(t) = Bn(ùo(t),R); (Sg V)(t) = { B^m, R), если ch(t) Е M,

W щ 0w ; ygi \ Zi(gi(t)), если gi(t) Е [a,b];

A(t) = { (v,r) : v Е V(t), 0 ^ r ^ R — \v — U0(t)| }.

Теорема. Пусть существуют такие 0 ^ в < a, K ^ 0, т > 0, что для любого i = 1, 2,... выполнены условия:

A) при п.в. t Е [a, b], при любых x Е (ShtU)(t), y Е (SgiV)(t) отображение fi(t,x, ■,y) : Q ^ Rm является уеловно а-накрывающим множество

Wi(t,x,y) = BRm(fi(t,x,Uo(t),y), aR)

относительно V (t) на совокупно emu A(t);

B) при п.в. t Е [a, b], удовлетворяющих неравенствам gi(t) ^ a, gi(t) ^ t — т, для всех y, y Е (SgiV)(t), x Е (ShiU)(t) v Е V(t) выполнено

\fi(t,x,v,y) — fi(t, x, v, y)\ ^ e\y — y\;

C) при п.в. t Е [a, b], удовлетворяющих неравенствам hi(t) ^ a, hi(t) ^ t — т, для, всех

x, x Е (ShiU)(t), v Е V(t) y Е (SgiV)(t) выполнено

\fi(t,x,v,y) — fi(t,x,v,y)\ ^ K\x — x\.

Тогда, если имеет, место сходимость

llwi||Lœ([a,b],Rm) ^ 0 \Ai — u0(a)\ ^ °

и при п.в. t Е [a, b] и любых x Е (ShiU)(t), y Е (SgiV)(t) выполнено включение

0 Е fi(t, x, V (t),y), i = 1, 2,..., (5)

i, [a, b]

решение xi Е AC^([a,b], Q) задачи (2), (3), такое что рло^([а,ь],n)(xi,u0) ^ 0.

m

Замечание. Если при каждом натуральном i отображение fi(t,x, ^,y) : Q ^ R' является «безусловно» а-накрывающим множество Wi(t, x, y) на совокупности A(t), то

включение (5) становится следствием остальных предположений и исключается тогда из условий приведенной теоремы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

2. Arutyunov A., Zhukovskii Е., Zhukovskii S. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications (March 2011). doi:10.1016/j.na.2011.03.038.

3. Арутюнов А.В., Жуковский E.C., Жуковский C.E. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11.

4. Жуковский Е.В., Жуковская Т.В. О разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып. 1. С. 67—69.

5. Жуковский С.Е. Приложение условно накрывающих отображений к интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. Вып.” 3. С. 727-734.

6. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнения нейтрального типа // Математический анализ. Т. 19 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1981. С. 55-126.

7. Данфорд Н., Шварц Док. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.

8. Плужникова Е.А. О накрывании оператора Немыцкого в пространстве суммируемых функций // Вестник ТГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1686-1687.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-01-97503, № 11-01-00645) и ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы».

Zhukovskiy E.S., Osinin V.F. Pluzhnikova E.A. On well-posedness of functional-differential equation of neutral type. The statements about continuous dependence of the Cauchy problem for a functional-differential equation unsolved for the derivative on parameters are proved. The apparatus of covering mappings is used.

Key words: conditionally covering mapping in metric for the spaces; functional-differential equation of neutral type; well-posed solvability.

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет

им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор института математики, физики и информатики, e-mail: zukovskys@ mail. ru.

Осинин Владимир Федорович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики и биомедицинской техники, e-mail: im99pda@mail.ru.

Плужникова Елена Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: pluznikova_elena@mail.ru.