Теорема Борсука-Улама для многозначных отображений в бесконечномерных банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Калинин Алексей Вячеславович, Нижегородский государственный университет им.

Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической физики, e-mail: [email protected].

Сумин Михаил Иосифович, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории функций, e-mail: [email protected].

УДК 517.986.6

ТЕОРЕМА БОРСУКА УЛАМА ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ © Н.М. Жук

Ключевые слова: еюръективный оператор; топологическая размерность; многозначное отображение; дифференциальное включение.

Данная статья посвящена доказательству бесконечномерной версии теоремы Борсука-Улама в случае, когда нечетное отображение является многозначным вполне непрерывным отображением с выпуклыми образами. Рассматриваются некоторые следствия доказанной теоремы.

Пусть Е\,Е2 — банаховы пространства, а : Е\ ^ Е2 — замкнутый линейный сюръ-ективный оператор. Пусть Бг (0) — сфера ради уса г с центром в нуле пространства Е1, отображение / : Бг (0) ^ Е2 — вполне непрерывное нечетное отображение.

Рассмотрим следующее уравнение:

а(х) = / (х).

Пусть N (а, /) С Бг (0) — множество решений этого уравнения. В работе [1] была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если йгш(Кег а) ^ 1, то уравнение а(х) = / (х) на сфере Бг (0) имеет, решение и ¿ш^(а, /)) ^ йгш(Кег а) — 1.

Легко видеть, что эта теорема естественно обобщает теорему Борсука-Улама на случай бесконечномерных пространств.

Настоящая работа посвящена доказательству бесконечномерной версии теоремы Борсу-

/

сведения из теории многозначных отображений содержатся в [2].

Пусть Е — банахово пространство, Ео = Е х Е1. Норму в Ео определим по правилу: \\(х,Ь)\\ = \/\\х\\2 + Ь2 .Пусть Бо — единичная сфера в банаховом пространстве Ео, а Н : Бо ^ Ку(Е) — многозначное вполне непрерывное нечетное отображение. Рассмотрим включение

Н(х, Ь) э х.

Л е м м а 1. При сделанных предположениях включение имеет, решение.

Рассмотрим теперь некоторые утверждения о топологической размерности множества решений операторных включений. Основные свойства топологической размерности содержатся, например, в [3].

Лемма2. Пусть E — банахово пространство, S С E х Rn — единичная сфера,, где n ^ 1. Пусть H : S ^ Kv(E) — вполне непрерывное нечетное многозначное отображение. Тогда, множество решений N(H,S) включения x G H(x,l) имеет, топологическую размерность dim(N(H, S)) ^ n — 1.

Опираясь на эти леммы, докажем следующую теорему.

Пусть a : D(a) С E\ ^ E2 — замкнутый линейный сюръективный оператор, S С Е\ — единичная сфера в пространстве Ei, F : S ^ Kv(E2) — a-вполне непрерывное нечетное многозначное отображение. Рассмотрим следующее включение:

a(x) G F (x).

N(a, F).

Теорема 2. Если dim(Ker a) ^ n > 0, то множество N (a, F ) = 0 и dim(N(a, F)) ^ n — 1.

S

r Ei .

Рассмотрим некоторые следствия из теоремы 2.

1.

Определение. Замкнутый линейный оператор a : D(a) С Ei ^ E2 будем называть фредгольмовым оператором положительного индекса, если выполнены следующие условия:

1) область значений Im(a) является замкнутым подпространством пространства E2 ;

2) dim(Coker(a)) < œ, где Coker(a) — фактор-пространство пространства E2 по Im(a);

3) dim(Ker(a)) > dim(Coker(a)), где dim(Ker(a)) может быть бесконечность.

Индексом оператора a называется число ind(a) = dim(Ker(a)) — dim(Coker(a)) > 0. Следствие!.. Пуст ь a : D(a) С Ei ^ E2 — фредгольмов оператор положетельного

индекса. Пусть S С Ei — единичная сфера в пространстве Ei, F : S ^ Kv(E2) — вполне непрерывное нечетное многозначное отображение. Тогда множество N (a, F ) = 0 и dim(N(a, F)) ^ n — 1.

2. Теорема об антиподах в бесконечномерных банаховых пространствах.

Пусть Ei,E2 — банаховы пространства, a : Ei ^ E2 — замкнутый линейный сюръективный оператор. Пусть S — единичная сфера в Ei и G : S ^ Kv(E2) — вполне непрерывное многозначное отображение. Рассмотрим отображение Ф : S(0) ^ Kv(E2), Ф^) = a(x) — G(x). Пусть

N(Ф) = {x G S(0) | ФЫ П Ф(—xo) = 0}.

Следствие 2. Если dim(Ker(a)) ^ n, то множество N (Ф) = 0 и

dim(N(Ф)) ^ n — 1.

Имеют место и другие следствия из теоремы 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельмом Б.Д. Бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама // Функциональный анализ и его приложения. 2004. Т. 38. № 4. С. 1-5.

2. Борисович Ю.Г., Гельмом Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений/ М: КомКнига (URSS), 2005.

3. Алексом,дров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М: Наука, 1973.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Zhuk N.M. Borsuk-Ulam theorem for multivalued mappings infinite-dimensional Banach spaces. This article is devoted to proving the infinite-dimensional version Borsuk-Ulam theorem in the case of an odd map is a completely continuous multivalued map with convex images. Consider some applications of this theorem.

Key words: surjective operator; topological dimension; a set-valued mapping; differential inclusion.

Жук Наталья Михаиловна, Воронежский государственный педагогический университет, Алексеевский колледж эконономики и информационных технологий, г. Алексеевка, Белгородская обл., Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, пре-подватель специальных и общепрофессиональных дисциплин, e-mail: [email protected].

УДК 517.922, 517.929, 517.988.5

О КОРРЕКТНОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА © Е.С. Жуковский, В.Ф. Осинин, Е.А. Плужникова

Ключевые слова: условно накрывающее отображение метрических пространств; функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа; корректная разрешимость.

Доказаны утверждения о непрерывной зависимости решений задачи Коши функционально-дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, от параметров (порождаемой функции, запаздываний, начальных условий). Используется аппарат накрывающих отображений.

Предложенное в [1] понятие условно накрывающего отображения и его уточнения в [2, 3] оказались удобными для исследования интегральных, дифференциальных функциональнодифференциальных уравнений [1—5]. Здесь мы применяем полученные в [3] утверждения

об условно накрывающих отображениях к изучению непрерывной зависимости от параметров решений задачи Коши функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа. Это уравнение наряду со значением производной искомой функции в текущий момент времени t содержит еще и значения этой производной в «запаздывающие» моменты времени g(t), где g(-) —заданная функция, удовлетворяющая неравенству h(t) ^ t. Уравнение нейтрального типа представляет большой теоретический и прикладной интерес [6]. Здесь исследуется практически не рассматривавшаяся в литературе ситуация уравнения нейтрального типа, не разрешенного относительно значения производной искомой функ-

t

Сформулируем данное в [3] определение условного накрывания.

Пусть (X,px), (Y,Py) —метрические пространства. Будем обозначать Bx(u,r) —замкнутый шар пространства X с центром в точке и радиуса r > 0. Пусть заданы множества W С Y, A С X х R+ и чпсло а > 0.

Определение 1. Отображение F : X ^ Y назовем а-накрывающим множество W на совокупно emu A, если для лю бых (и, r) Е A имеет место включение

By (F (u),ar)^\ W С F (Bx (u,r)).