CC BY
31
fundamental significance of properly organized students’ work, both auditorial and self-reliant, for the successful development of common cultural competence components of the innovative sphere specialists. The article covers the major techniques of exercising influence on the students engaged in self-studying activity.
Key words: common cultural competence; didactic conditions for development of common cultural competences; students’ self-studying activity; creative tasks; brainstorming.
УДК 517.922, 517.929
О ЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
© Е. А. Плужникова
Ключевые слова: условно накрывающее отображение метрических пространств; функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа; локальная разрешимость задачи Коши.
Получены условия локальной разрешимости задачи Коши функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа, не разрешенного относительно производной. Используется аппарат условно накрывающих отображений.
Уравнение нейтрального типа представляет большой теоретический и прикладной интерес [1]. Это уравнение наряду со значением производной искомой функции в текущий момент времени t содержит еще и значения этой производной в "запаздывающие" моменты времени. В работе продолжены исследования [2, 3] и рассматривается разрешимость задачи Коши для уравнения нейтрального типа, не разрешенного относительно значения
t
ски не изучалось в литературе. Мы используем утверждения о накрывающих отображениях работ [4, 5, 6].
Пусть (X,px), (Y, ру) —метрические пространства. Обозначим Bx (u,r) —замкнутый шар с центром в точке и радиуса r > 0 в пространстве X. Пусть заданы множества W С Y,, А С X х К+ и число а > 0.
Определение 1 [6]. Отображение F : X ^ Y назовем а -накрывающим множество W на совокупно emu А, если для лю бых (и, r) Е А имеет место включение
Ву(F(u),ar)P| W С F(Bx(u,r)).
Пусть задано множество U С X, такое что Bx(u,r) С U при любых (u,r) Е А.
Определение 2[6j. Отображение F : X ^ Y назовем условно а -накрывающим множество W от,носит,ельно U на совокупности А, если оно является а-накрывающим множество WP|F(U) на совокупности А.
Пусть заданы замкнутое множество Q С R” и вектор A Е К”. Пусть функция f : [a, b] х К” х Q х К” ^ Rm, удовлетворяет условиям Каратеодори, т. е. при почти всех значениях первого аргумента t Е [a, b] является непрерывной по совокупности остальных аргументов, а при любых x Е К”, у\ Е О,, У2 Е К” - измеримой по первому аргументу.
Кроме того, предполагаем, что для любого д > 0 найдется такое число М, что при любых х Є М™, у1 Є О, у2 Є М™, удовлетворяющих неравенству \х\ + \у1\ + \у2\ ^ д, имеет место \/(і,х,уі,у2)\ ^ М при п. в. і Є [а,Ь]. Пусть также заданы: борелевы ограниченные функции : (-ж, а) ^ М™ и измеримые функции Н,д : [а,Ь] ^ М, такие что Н(і) ^ і, д(і) ^ і, почти всюду на [а,Ь]. Будем также предполагать выполнение следующего условия
V е С [а,Ь] це = 0 ^ цд-1(е) = 0, (1)
где ц — мера Лебега.
Рассмотрим задачу Коши для функционально-дифференциального уравнения нейтраЛЬНОГО ТИПсІ
^і,х(к(і)),х(ї),х(д(ї))) =0, і Є [а,Ъ]; х(в) = ((в), х(в) = р(в), если в Є [а,Ъ];
с начальным условием
х(а) = А; (3)
и дополнительным ограничением на производную решения
х(в) Є О при п.в. в Є [а,Ъ]. (4)
Решение этой задачи будем искать в классе абсолютно непрерывных функций, имеющих существенно ограниченную производную. Отметим, что дополнительное ограничение (4) возникает, например, при исследовании задач теории управления.
Определим полные метрические пространства: пространство Ь^([а,Ъ], О) измеримых существенно ограниченных функций х : [а,Ъ] ^ О с метрикой
Рь^([а,ь],п)(У1,У2) =vrai sup \yi(t) - y2(t)\;
t£ [a, b]
пространство AC^([a,b], О) таких абсолютно непрерывных функций x : [a,b] ^ К”, что X Е L^([a,b], О), с метрикой
PAC^([a,b], П)(хЪ x2) = \X1(a) - x2 (a) \ + pLx([a,b], П)(Х 1, X 2 )■
Определение 3. Пусть 6 Е (0,b-a]. Функцию xs Е AC^([a,b], О), такую что f (t,xs(h(t)),xs(t),xs(g(t))) = 0 при п.в. t Е [a,a+6], будем называть решением задачи Коши (2), (3), (4) на отрезке [a,a+6].
Для любых функций x Е AC^([a,b], О), у Е L^([a,b], О) обозначим
(S x)(t) = \ x(h(t)), если h(t) Е ML (S y)(t) f у(g(t)), если g(t) Е [a,bК
(Shx)(t) \ <p(h(t)), если h(t) Е [a,b]; (Sgy)(t) \ ((g(t)), если g(t) / [a,b].
Из принятых предположений следует действие и непрерывность отображений
Sh : AC^([a, b], О) ^ Lx([a, b], К”), Sg : Lx([a, b], О) ^ Lx([a, b], К”), при этом условие (1) обеспечивает измеримость суперпозиции y(g(t)) и преобразование
()
Далее, равенством (Nf (y1,y2,y3))(t) = f (t,y1 (t),y2(t),y3(t)) зададим оператор Немыц-кого Nf : Lж([a,b], К”) х L^([a,b], О) х Lж([a,b], К”) ^ L^([a,b], Кт). В перечисленных обозначениях функционально-дифференциальное уравнение (2), (4) запишется в виде
Nf (Shx, x, Sgx) = 0. (5)
Для исследования этого уравнения воспользуемся утверждением о липшицевых возмущениях условно накрывающих отображений [6] и результатами работ [8, 9] о накрывании оператора Немыцкого.
Пусть заданы положительные числа R, v и функция Uq Є AC^([a,b], О). Для t Є [а,Ъ] положим
w(t) = f (t, (ShUo)(t),Uo(t), (SgUo)(t));
U{t)= BRn {M {ShUXt) = { Є К
V® = wwm SVm = { Zlm Є Ц
A(t) = { (v,r) і v Є V(t), G ^ r ^ R — \v — U0(t)\}.
Теорема. Пусть существуют такие G ^ в < a, K ^ G, а Є (G^—a], что
выполнены следующие условия:
(a) при п.в. t Є [а, а + а], при любых x Є (ShU)(t), y Є (SgV)(t) отображение f (t,x, ■,y) і
О ^ М™ является уеловно а -накрывающим множество
W (t,x,y) = BRm (f (t, x, Uo (t) ,y), uR) относительно V (t) на совокупно emu A(t);
(b) при п.в. t Є [a, a + а], таких что g(t) ^ а, для всех y,y Є (SgV)(t), x Є (ShU)(t), v Є V(t) выполнено
\f (t^^^) — f (t^^^) ^ P\y — y\■
(c) при п.в. t Є [a, a + а], таких что h(t) ^ а, для всех x,x Є (ShU)(t), v Є V(t),
y Є (Sg V)(t) выполнено
\f(t^^j^) — f(t^v^) ^ K\x — x\.
Тогда, если при п.в. t Е [a, a + а] и любых x Е (ShU)(t), y Е (SgV)(t) выполнены включение
0 Е f (t, x, V(t),y), (6)
и неравенство
----sup \w(t)\ < R,
a P tE [a, a+a]
то при любом e Е (0, a — в) существует 6 Е (0, а] и соответствующее решение x* Е AC^([a,a + 6], О) задачи (2), (3), (4), такое что
PLx([a,a+a], Q)(x* , ^ \-“V™ sup \w(t)\,
a — P — e tE [a, a+a]
где u0 - сужение на, [a, a + 6] функции u0.
В завершение отметим, что если отображение f (t,x, -,y) : О ^ Кт является "безусловно" а -накрывающим множество W(t, x, y) па совокупности A(t), то включение (6) становится следствием остальных предположений и исключается тогда из условий приведенной теоремы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнения нейтрального типа // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. Математический анализ. 1981. Т. 19. С. 55-126.
2. Жуковский Е.С., Осинин В.Ф., Плужникова Е.А. О корректности функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1078-1081.
3. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В. О разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 1. С. 67-69.
4. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения
к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. 5. С. 613-634.
5. Arutyunov A., Zhukovskii Е., Zhukovskii S. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. doi:10.1016/j.na.2011.03.038
6. Арутюнов А.В., Жуковский E.C., Жуковский C.E. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11.
7. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. С. 706.
8. Плужникова Е.А. О накрывании оператора Немыцкого в пространстве суммируемых функций // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1686-1687.
9. Жуковский С.Е. Приложение условно накрывающих отображений к интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 3. С. 727-734.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 11-01-00645, № 11-01-00626), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы", Министерства образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011).
Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.
Pluzhnikova Е.А. On local solvability of the Cauchy problem for a functional-differential equation of neutral type. The statements about conditions of local solvability of the Cauchy problem for a functional-differential equation of neutral type unsolved for the derivative are under discussion. The apparatus of conditionally covering mappings is used.
Key words: conditionally covering mapping in metric spaces; functional-differential equation of neutral type; local solvability of the Cauchy problem.
