CC BY
31
Математика
УДК 517.544.8
ОДИН ИЗ СЛУЧАЕВ ТРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ НА ПРЯМОЙ
В.М. Адуковл, А.А. Патрушев2
Предложен метод явного решения трехэлементной краевой задачи линейного сопряжения в классе кусочно-аналитических функций. Краевое условие задано на прямой. Получено решение в замкнутой форме при некотором ограничении, наложенном на коэффициент Ъ(£) задачи.
Ключевые слова: краевые задачи для аналитических функций, матричная краевая задача Римана, краевая задача Маркушевича.
Рассмотрим трехэлементную задачу линейного сопряжения
У+ it) = ait )y— it) + bit )y— it) + f it)
(і)
на вещественной прямой Г:Imz = 0. Здесь a(t),b(t),f(t)eH(Г) - гельдеровские функции, a(t) Ф 0, t e Г, бесконечно удаленная точка включается в Г.
Требуется найти функции y+ (z), y- (z), аналитические соответственно в верхней полуплоскости S+ и нижней полуплоскости S- , непрерывно продолжимые на прямую Г, если граничные значения этих функций связаны линейным соотношением (1). Решение будем искать в классе функций, исчезающих в точке z = -i.
Пусть к=МГ a(t) =-^- [ln a(t)1|+°°, где под [ln a(t)l|+°° следует понимать приращение
2pi |-¥ |-¥
ln a(t) , когда точка t пробегает прямую Г от t = -¥ до t = +¥ .
Для того, чтобы привести рассматриваемую задачу к граничной задаче для единичной окружности, рассмотренной в статье [1], применим следующее дробно-линейное преобразование:
При этом преобразовании прямая Г плоскости г переходит в единичную окружность Ь: |т| = 1 плоскости V .
Дробно-линейное преобразование (2) конформно преобразует область 5+ во внутренность единичного круга В+ , а область 5— — во внешность В ; при этом точке г = ¥ соответствует точка £ = — , а точке V = ¥ — точка г = —/.
Для упрощения записи мы, следуя [5], будем обозначать функцию
просто через yif); аналогичное обозначение используется в дальнейшем для ait),bit), f (t) и других функций.
Тогда граничное условие (1) запишется в виде:
д + і
z—i
i2)
z + і
Г — і
У І z) = У —i^~
V г +i
y+ it) = a(t)y— it) + bif)y — it) + fit), te L .
ІЗ)
Адуков Виктор Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет.
Б-шаП: [email protected]
2 Патрушев Алексей Алексеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и стохастических уравнений, Южно-Уральский государственный университет.
Б-таП: [email protected]
Математика
Наложим следующее дополнительное ограничение на коэффициент b(t) краевой задачи (1): функция b(t) есть граничное значение функции, мероморфной в верхней полуплоскости S+ . Очевидно, что в этом случае функция b(t) краевой задачи (3) будет являться краевым значением функции, мероморфной в круге D+ .
Воспользуемся теперь результатами статьи [1]. В этой работе трехэлементная краевая задача линейного сопряжения для единичной окружности на основании аналитического продолжения
по симметрии j* (g) = <
W+ (Л ve D-,
( \ d ( \ d( \ 1 [^n[tKa(t)]dt
\ = exp b± (\), B(\) =—l-
2m J
где
j± t) = y± (t)a-1 (t), a(t) = a+ (t)rKa_ (t),
, сводится к матричной задаче Римана:
t-g
Ф+(t) = G(t)F_ (t) + F(t), te L .
(4)
Здесь
Ф(\) =
j(g\'
\j+ (g),\e D+, k
j(g)=i , . n , G(t)=t
[j_ (g),ge D_,
\
b1(t) = b(t)a_ (t)a-1 (t), F(t) =
f1(t)-t b1(t) f1(t)
1 _ b1 (t)| t\ (t) _tb1(t) 1 y
, f1(t) = f (t)a_1(t).
Решение задачи (4) ищется в классе симметричных, исчезающих на бесконечности вектор функций. При факторизации матрицы G(t) используется метод существенных многочленов [2-4].
В итоге строится каноническая матрица
(1и(д) C2(g\^
c(g) =
хМ %22(g\
(5)
c (g)=J [y(g) _ u(\)b+ (g)]R (\)+gqWb (g)a+ (g)R (g)+b+ (Z)], g e d+ , 1 g-Kq4(g) R(g), ge d_ ,
c (g)=J_[v(g)_u(g)b+ (g)]R2(g)_gq(g)b1(g)[a+ (g)R(g)+b+ (Z)], ge d+ , C12f 1 g-Kq 4(g) R2(g), ge d_ ,
c21(g:> = =i
f q(g)[a+ (g) R (g)+b+ (Z)] _ u (g)R (g), ge d+ ,
[g-kq-'(g) R,(g)b. (Г1) _g-kq(g)[a_ (g) R(g) _b+ (Z)], ge d_ , _q(g)[a+ (g)R(g)+b+ (Z)]+u (g) R(g), ge d+ , _g-V(g)R(g)b+(rT) _g-kq(g)[a_ (g)R(g) _b+ (Z)], ge d_ .
рд)
Здесь Ь+ (V),Р^), ?(?) определяются из равенства ф^) =—— + Ь+ (V); функции u(g),v(v)
q(v)
являются решением уравнения Безу p(v)u(v) + q(v)v(v) = 1; R1 (V),R2(V) — существенные многочлены последовательности а2 N -1,^,а1:
2 N-1
Р2N-1 (т)^ (Т) = Т а- (т) + Т^ (Т ] = 1 2, P2N-1 (т) = Е а2,
k=1
где т1,т2 = 2N - г — индексы последовательности, а- (т) — многочлены от Т- , Ь+ (т) — многочлены от т степени не выше л -1, N — число полюсов функции Vb(v) в области D+,
r = rankTN, Tk = a
2N_i+ j i=k,...,2N_1 j=0,..,k _1
1 \
ak =-------| tk_1a(t)dt ,
2mi'
, 1 < k < 2N _ 1, — последовательность
теплицевых матриц;
; a(g) = a+ (g) + a_(g) = u(g)q-1(g)_p\)((q(g-1)) q~2(g).
a
При нахождении решения неоднородной задачи используются кусочно-аналитические функции
1 (т)йт
П, (V) =7- • ) = 1.2.
2кг * т-v
где
W(t) = — [c2+2(t) f(t) _tk_1q-1(t)R2(t) f1(t)] wt) = _-- [c+1(t) f(t) _tk_1q-1(t)R1(t) f1(t) ] .
so so
z — i
Вернемся теперь к переменной z по формуле \ = _i---------. Результаты статьи [1] позволяют
z + i
сформулировать следующие теоремы.
Теорема 1. Если к< r _ N, то однородная трехэлементная задача линейного сопряжения для полуплоскости допускает в классе исчезающих в точке z = _i кусочно-аналитических функций только нулевое решение.
Если r _ N <k< N_ r , то размерность над R пространства решений однородной задачи равна k+ N _ r. Любое решение y(z) этой задачи имеет вид
У( z) = аД z)j( z),
J а+(z), ze S+, и Г \ иг \ 1 +¥ z + i lnao(t)dt (t + i Y
a1(z) = i a±(z) = expB±(z), B(z) = — l-----------------, ao(t) = 1------------I a(t),
[a_ (z), z e S_, 2mi _¥ t + i t _ z V t _ i)
j(z) = p (z)c 1 (z) + ^ z+Lj m* (z)c*1 (z),
где m1(z) — произвольный полином относительно I-----------I с комплексными коэффициентами
V z + i)
степени не выше к+ N _ r _ 1, а C11(z),C21(z) — элементы канонической матрицы c(z), определяемой формулой (5), в которой g = _i-—-.
z + i
При k> N_ r пространство решений однородной задачи имеет размерность 2к, и любое решение может быть представлено в виде
У( z) = аД z )j( z),
j( z) = p( z)cn( z) + m2( z )C12( z) + (—V (z Ш z) + (—I m2* (z Ш z).
V z + i) v z + i)
Здесь m1(z), m2(z) — произвольные полиномы относительно I zi I с комплексными коэф-
V z + i)
фициентами степени не выше k+ N _ r _ 1, k_ N + r _ 1 соответственно.
Теорема 2. Неоднородная трехэлементная задача линейного сопряжения для полуплоскости имеет единственное решение при любой правой части тогда и только тогда, когда к= 0, r = N. Это решение находится по формуле
Уо( z) = аД z)jo( z),
1 Хи(z)W (z) +Xl2(z)W2{z) +1—|c*1 (z)W*(z) +1—iWz)W*2<z) , (6)
jo( z) = -
,2 + 1 ) V г + 7,
П, (*) = — +¥ V ^ , , = ,,2.
2кг V $ +1 ) $ - ?
Задача имеет не более одного решения при к< г - N. При к< 0 решение существует тогда
и только тогда, когда выполняются следующие 2 к условия разрешимости:
+¥ ($ - г V-1 щ(г)Ж п , 7 ($ - г V-1 со2($)Ж . . 10 |, ЛГ |
II-----I „ = 0, ] = 1,2,..., к+ N - г , II----| 2 „ = 0, ] = 1,2,..., k - N + г .
-¥ V $+ г1 ($ + г)2 1 1 -¥ V $ + г1 ($ + г)2 1 1
Единственное решение в данном случае строится по формуле (6).
Математика
Задача разрешима при любой правой части только при к> N - г. Общее решение в этом случае имеет вид
У і z) = Уо( z) + aii z)
z + i
piz)Cii(z) + P2Іz)Сl2Іz) + | — P(z)Ci(z) +1 — |P2*iz)c22iz)
z + i
где y0(z) определяется формулой (6), а m1(z),m2(z) — произвольные полиномы относительно
с комплексными коэффициентами степени не выше k+ N _ r _1,k_ N + r _ 1 соответ-
z + i ственно.
Наконец, при r — N < k< N — r формула
У і z) = УоІ z) + aii z)
Pii z)C1ii z) +
где P1(z) — произвольный полином относительно
z—i z + i z—i z + i
Pi* і z)c*ii z)
с комплексными коэффициентами
степени не выше к+ N - г -1, дает общее решение неоднородной задачи (1) при выполнении следующих \к-N + А условий разрешимости
+¥Ґ t — i Л11 w2(t )dt
t + i
it,i)2
= 0, j = 1,2,...,Ik — N + А •
Литература
1. Адуков, В.М. О явном и точном решениях задачи Маркушевича на окружности / В.М. Адуков, А.А. Патрушев // Известия Саратовского университета. Новая серия «Математика. Механика. Информатика». - 2011. - Т. 11. - Вып. 2. - С. 9-20.
2. Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа мероморфных матриц функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4. - Вып. 1. - С. 54-57.
3. Adukov, V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl. - 1998. - Vol. 274. - P. 85-124.
4. Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа кусочно мероморфных матриц функций / В.М. Адуков // Мат. сб. - 2009. - Т. 200, № 8. - С. 3-24.
5. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968. - 542 с.
Поступила в редакцию 8 декабря 2013 г.
Адуков В.М., Патрушев А.А.
Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” ___________________2014, vol. 6, no. 1, pp. 5-9
ONE CASE OF THE GENERALIZED THREE-ELEMENT BOUNDARY PROBLEM ON THE LINE
V.M. Adukov1, A.A. Patrushev2
In the article an explicit method for the solution of generalized three-element boundary value problem in the class of piecewise analytic functions is given. The boundary condition of the problem is given on the straight line. The problem is solved in a closed form under certain constraints on the coefficient b(t) of the problem.
Keywords: boundary problems for analytic functions, Riemann matrix boundary problem, Marku-shevich boundary problem.
References
1. Adukov V.M., Patrushev A.A. O yavnom i tochnom resheniyakh zadachi Markushevicha na ok-ruzhnosti (On explicit and exact solutions of the Markushevich boundary problem for circle). Izvestya Saratovskogo gosudarstvennogo universiteta. Novaya seriya. Seriya Mathematica. Mechanica. Infor-matica. 2011. Vol. 11. Issue 2. pp. 9-20. (in Russ.).
2. Adukov V.M. Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions. St. Petersburg Mathematical Journal. 1993. Vol. 4. Issue 1. pp. 51-69.
3. Adukov V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices. Linear Algebra Appl. 1998. Vol. 274. pp. 85-124. http://dx.doi.org/10.1016/S0024-3795(97)00304-2
4. Adukov V.M. Faktorizatsiya Vinera-Khopfa kusochno meromorfnykh matrits funktsiy (Wiener-Hopf factorization of piecewise meromorphic matrix-valued functions). Sbornik: Mathematics. 2009. Vol. 200, no. 8. pp. 1105-1126. (in Russ.).
5. Mucshelischvili N.I. Singulayrnye integralnye uravneniya (Singular integral equations). Moscow: Nauka, 1968. 542 p. (in Russ.).
Received 8 December 2013
1 Adukov Victor Michaylovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University.
E-mail: [email protected]
2 Patrushev Alexey Alexeevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Differential Stochastic Equations, South Ural State University.
E-mail: [email protected]
