Один из случаев трехэлементной краевой задачи линейного сопряжения на прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.544.8

ОДИН ИЗ СЛУЧАЕВ ТРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ НА ПРЯМОЙ

В.М. Адуковл, А.А. Патрушев2

Предложен метод явного решения трехэлементной краевой задачи линейного сопряжения в классе кусочно-аналитических функций. Краевое условие задано на прямой. Получено решение в замкнутой форме при некотором ограничении, наложенном на коэффициент Ъ(£) задачи.

Ключевые слова: краевые задачи для аналитических функций, матричная краевая задача Римана, краевая задача Маркушевича.

Рассмотрим трехэлементную задачу линейного сопряжения

У+ it) = ait )y— it) + bit )y— it) + f it)

(і)

на вещественной прямой Г:Imz = 0. Здесь a(t),b(t),f(t)eH(Г) - гельдеровские функции, a(t) Ф 0, t e Г, бесконечно удаленная точка включается в Г.

Требуется найти функции y+ (z), y- (z), аналитические соответственно в верхней полуплоскости S+ и нижней полуплоскости S- , непрерывно продолжимые на прямую Г, если граничные значения этих функций связаны линейным соотношением (1). Решение будем искать в классе функций, исчезающих в точке z = -i.

Пусть к=МГ a(t) =-^- [ln a(t)1|+°°, где под [ln a(t)l|+°° следует понимать приращение

2pi |-¥ |-¥

ln a(t) , когда точка t пробегает прямую Г от t = -¥ до t = +¥ .

Для того, чтобы привести рассматриваемую задачу к граничной задаче для единичной окружности, рассмотренной в статье [1], применим следующее дробно-линейное преобразование:

При этом преобразовании прямая Г плоскости г переходит в единичную окружность Ь: |т| = 1 плоскости V .

Дробно-линейное преобразование (2) конформно преобразует область 5+ во внутренность единичного круга В+ , а область 5— — во внешность В ; при этом точке г = ¥ соответствует точка £ = — , а точке V = ¥ — точка г = —/.

Для упрощения записи мы, следуя [5], будем обозначать функцию

просто через yif); аналогичное обозначение используется в дальнейшем для ait),bit), f (t) и других функций.

Тогда граничное условие (1) запишется в виде:

д + і

z—i

i2)

z + і

Г — і

У І z) = У —i^~

V г +i

y+ it) = a(t)y— it) + bif)y — it) + fit), te L .

ІЗ)

Адуков Виктор Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет.

Б-шаП: vicmikhad@mail.ru

2 Патрушев Алексей Алексеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и стохастических уравнений, Южно-Уральский государственный университет.

Б-таП: patraleksej@yandex.ru

Математика

Наложим следующее дополнительное ограничение на коэффициент b(t) краевой задачи (1): функция b(t) есть граничное значение функции, мероморфной в верхней полуплоскости S+ . Очевидно, что в этом случае функция b(t) краевой задачи (3) будет являться краевым значением функции, мероморфной в круге D+ .

Воспользуемся теперь результатами статьи [1]. В этой работе трехэлементная краевая задача линейного сопряжения для единичной окружности на основании аналитического продолжения

по симметрии j* (g) = <

W+ (Л ve D-,

( \ d ( \ d( \ 1 [^n[tKa(t)]dt

\ = exp b± (\), B(\) =—l-

2m J

где

j± t) = y± (t)a-1 (t), a(t) = a+ (t)rKa_ (t),

, сводится к матричной задаче Римана:

t-g

Ф+(t) = G(t)F_ (t) + F(t), te L .

(4)

Здесь

Ф(\) =

j(g\'

\j+ (g),\e D+, k

j(g)=i , . n , G(t)=t

[j_ (g),ge D_,

\

b1(t) = b(t)a_ (t)a-1 (t), F(t) =

f1(t)-t b1(t) f1(t)

1 _ b1 (t)| t\ (t) _tb1(t) 1 y

, f1(t) = f (t)a_1(t).

Решение задачи (4) ищется в классе симметричных, исчезающих на бесконечности вектор функций. При факторизации матрицы G(t) используется метод существенных многочленов [2-4].

В итоге строится каноническая матрица

(1и(д) C2(g\^

c(g) =

хМ %22(g\

(5)

c (g)=J [y(g) _ u(\)b+ (g)]R (\)+gqWb (g)a+ (g)R (g)+b+ (Z)], g e d+ , 1 g-Kq4(g) R(g), ge d_ ,

c (g)=J_[v(g)_u(g)b+ (g)]R2(g)_gq(g)b1(g)[a+ (g)R(g)+b+ (Z)], ge d+ , C12f 1 g-Kq 4(g) R2(g), ge d_ ,

c21(g:> = =i

f q(g)[a+ (g) R (g)+b+ (Z)] _ u (g)R (g), ge d+ ,

[g-kq-'(g) R,(g)b. (Г1) _g-kq(g)[a_ (g) R(g) _b+ (Z)], ge d_ , _q(g)[a+ (g)R(g)+b+ (Z)]+u (g) R(g), ge d+ , _g-V(g)R(g)b+(rT) _g-kq(g)[a_ (g)R(g) _b+ (Z)], ge d_ .

рд)

Здесь Ь+ (V),Р^), ?(?) определяются из равенства ф^) =—— + Ь+ (V); функции u(g),v(v)

q(v)

являются решением уравнения Безу p(v)u(v) + q(v)v(v) = 1; R1 (V),R2(V) — существенные многочлены последовательности а2 N -1,^,а1:

2 N-1

Р2N-1 (т)^ (Т) = Т а- (т) + Т^ (Т ] = 1 2, P2N-1 (т) = Е а2,

k=1

где т1,т2 = 2N - г — индексы последовательности, а- (т) — многочлены от Т- , Ь+ (т) — многочлены от т степени не выше л -1, N — число полюсов функции Vb(v) в области D+,

r = rankTN, Tk = a

2N_i+ j i=k,...,2N_1 j=0,..,k _1

1 \

ak =-------| tk_1a(t)dt ,

2mi'

, 1 < k < 2N _ 1, — последовательность

теплицевых матриц;

; a(g) = a+ (g) + a_(g) = u(g)q-1(g)_p\)((q(g-1)) q~2(g).

a

При нахождении решения неоднородной задачи используются кусочно-аналитические функции

1 (т)йт

П, (V) =7- • ) = 1.2.

2кг * т-v

где

W(t) = — [c2+2(t) f(t) _tk_1q-1(t)R2(t) f1(t)] wt) = _-- [c+1(t) f(t) _tk_1q-1(t)R1(t) f1(t) ] .

so so

z — i

Вернемся теперь к переменной z по формуле \ = _i---------. Результаты статьи [1] позволяют

z + i

сформулировать следующие теоремы.

Теорема 1. Если к< r _ N, то однородная трехэлементная задача линейного сопряжения для полуплоскости допускает в классе исчезающих в точке z = _i кусочно-аналитических функций только нулевое решение.

Если r _ N <k< N_ r , то размерность над R пространства решений однородной задачи равна k+ N _ r. Любое решение y(z) этой задачи имеет вид

У( z) = аД z)j( z),

J а+(z), ze S+, и Г \ иг \ 1 +¥ z + i lnao(t)dt (t + i Y

a1(z) = i a±(z) = expB±(z), B(z) = — l-----------------, ao(t) = 1------------I a(t),

[a_ (z), z e S_, 2mi _¥ t + i t _ z V t _ i)

j(z) = p (z)c 1 (z) + ^ z+Lj m* (z)c*1 (z),

где m1(z) — произвольный полином относительно I-----------I с комплексными коэффициентами

V z + i)

степени не выше к+ N _ r _ 1, а C11(z),C21(z) — элементы канонической матрицы c(z), определяемой формулой (5), в которой g = _i-—-.

z + i

При k> N_ r пространство решений однородной задачи имеет размерность 2к, и любое решение может быть представлено в виде

У( z) = аД z )j( z),

j( z) = p( z)cn( z) + m2( z )C12( z) + (—V (z Ш z) + (—I m2* (z Ш z).

V z + i) v z + i)

Здесь m1(z), m2(z) — произвольные полиномы относительно I zi I с комплексными коэф-

V z + i)

фициентами степени не выше k+ N _ r _ 1, k_ N + r _ 1 соответственно.

Теорема 2. Неоднородная трехэлементная задача линейного сопряжения для полуплоскости имеет единственное решение при любой правой части тогда и только тогда, когда к= 0, r = N. Это решение находится по формуле

Уо( z) = аД z)jo( z),

1 Хи(z)W (z) +Xl2(z)W2{z) +1—|c*1 (z)W*(z) +1—iWz)W*2<z) , (6)

jo( z) = -

,2 + 1 ) V г + 7,

П, (*) = — +¥ V ^ , , = ,,2.

2кг V $ +1 ) $ - ?

Задача имеет не более одного решения при к< г - N. При к< 0 решение существует тогда

и только тогда, когда выполняются следующие 2 к условия разрешимости:

+¥ ($ - г V-1 щ(г)Ж п , 7 ($ - г V-1 со2($)Ж . . 10 |, ЛГ |

II-----I „ = 0, ] = 1,2,..., к+ N - г , II----| 2 „ = 0, ] = 1,2,..., k - N + г .

-¥ V $+ г1 ($ + г)2 1 1 -¥ V $ + г1 ($ + г)2 1 1

Единственное решение в данном случае строится по формуле (6).

Математика

Задача разрешима при любой правой части только при к> N - г. Общее решение в этом случае имеет вид

У і z) = Уо( z) + aii z)

z + i

piz)Cii(z) + P2Іz)Сl2Іz) + | — P(z)Ci(z) +1 — |P2*iz)c22iz)

z + i

где y0(z) определяется формулой (6), а m1(z),m2(z) — произвольные полиномы относительно

с комплексными коэффициентами степени не выше k+ N _ r _1,k_ N + r _ 1 соответ-

z + i ственно.

Наконец, при r — N < k< N — r формула

У і z) = УоІ z) + aii z)

Pii z)C1ii z) +

где P1(z) — произвольный полином относительно

z—i z + i z—i z + i

Pi* і z)c*ii z)

с комплексными коэффициентами

степени не выше к+ N - г -1, дает общее решение неоднородной задачи (1) при выполнении следующих \к-N + А условий разрешимости

+¥Ґ t — i Л11 w2(t )dt

t + i

it,i)2

= 0, j = 1,2,...,Ik — N + А •

Литература

1. Адуков, В.М. О явном и точном решениях задачи Маркушевича на окружности / В.М. Адуков, А.А. Патрушев // Известия Саратовского университета. Новая серия «Математика. Механика. Информатика». - 2011. - Т. 11. - Вып. 2. - С. 9-20.

2. Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа мероморфных матриц функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4. - Вып. 1. - С. 54-57.

3. Adukov, V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices / V.M. Adukov // Linear Algebra Appl. - 1998. - Vol. 274. - P. 85-124.

4. Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа кусочно мероморфных матриц функций / В.М. Адуков // Мат. сб. - 2009. - Т. 200, № 8. - С. 3-24.

5. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968. - 542 с.

Поступила в редакцию 8 декабря 2013 г.

Адуков В.М., Патрушев А.А.

Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” ___________________2014, vol. 6, no. 1, pp. 5-9

ONE CASE OF THE GENERALIZED THREE-ELEMENT BOUNDARY PROBLEM ON THE LINE

V.M. Adukov1, A.A. Patrushev2

In the article an explicit method for the solution of generalized three-element boundary value problem in the class of piecewise analytic functions is given. The boundary condition of the problem is given on the straight line. The problem is solved in a closed form under certain constraints on the coefficient b(t) of the problem.

Keywords: boundary problems for analytic functions, Riemann matrix boundary problem, Marku-shevich boundary problem.

References

1. Adukov V.M., Patrushev A.A. O yavnom i tochnom resheniyakh zadachi Markushevicha na ok-ruzhnosti (On explicit and exact solutions of the Markushevich boundary problem for circle). Izvestya Saratovskogo gosudarstvennogo universiteta. Novaya seriya. Seriya Mathematica. Mechanica. Infor-matica. 2011. Vol. 11. Issue 2. pp. 9-20. (in Russ.).

2. Adukov V.M. Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions. St. Petersburg Mathematical Journal. 1993. Vol. 4. Issue 1. pp. 51-69.

3. Adukov V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices. Linear Algebra Appl. 1998. Vol. 274. pp. 85-124. http://dx.doi.org/10.1016/S0024-3795(97)00304-2

4. Adukov V.M. Faktorizatsiya Vinera-Khopfa kusochno meromorfnykh matrits funktsiy (Wiener-Hopf factorization of piecewise meromorphic matrix-valued functions). Sbornik: Mathematics. 2009. Vol. 200, no. 8. pp. 1105-1126. (in Russ.).

5. Mucshelischvili N.I. Singulayrnye integralnye uravneniya (Singular integral equations). Moscow: Nauka, 1968. 542 p. (in Russ.).

Received 8 December 2013

1 Adukov Victor Michaylovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University.

E-mail: vicmikhad@mail.ru

2 Patrushev Alexey Alexeevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Differential Stochastic Equations, South Ural State University.

E-mail: patraleksej@yandex.ru