Об одном случае решения в замкнутой форме краевой задачи Маркушевича для полуплоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.544.8

ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ РЕШЕНИЯ В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МАРКУШЕВИЧА ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ

А.А. Патрушев1

Предложен метод явного решения краевой задачи Маркушевича в постановке Л.И. Чибриковой, в классе кусочно-аналитических функций. Краевое условие задано на прямой. Получено решение в замкнутой форме при некотором ограничении, наложенном на коэффициент Ъ(£) задачи.

Ключевые слова: краевые задачи для аналитических функций, краевая задача Римана, краевая задача Гильберта, краевая задача Маркушевича.

Рассмотрим трехэлементную задачу Маркушевича

У+ (t) = a(t )y_ (t) + b(t )y+ (t) + f (t) (1)

на вещественной прямой Г :Im z = 0. Здесь a(t),b(t),f (t) eH(Г) - гельдеровские функции, a(t) Ф 0, t e Г, бесконечно удаленная точка включается в Г.

Требуется найти функции y+ (z), y_ (z), аналитические соответственно в верхней полуплоскости S+ и нижней полуплоскости S_, непрерывно продолжимые на прямую Г, если граничные значения этих функций связаны линейным соотношением (1). Решение будем искать в классе функций, исчезающих в точке z = _i, которые чаще всего требуются в приложениях.

Пусть к=1пйГ a(t) = -^- [ln a(t )]|+ . Так как a(t) удовлетворяет условию Гельдера в окрестности 2pi '_¥

бесконечно удаленной точки, то a(+¥) = a(_¥) ф 0 .

Для того, чтобы привести рассматриваемую задачу к случаю конечной граничной задачи для единичной окружности, рассмотренной в статье [3], применим следующее дробно-линейное преобразование:

V_i z_i

z = _i ---, V = _i----. (2)

V + i z + i

При этом преобразовании прямая Г плоскости z переходит в единичную окружность L : |t| = 1 плоскости V . Если точка t пробегает в положительном направлении прямую R, то соответствующая ей точка t плоскости V, определяемая равенством

t_i

t = _i----,

t + i

описывает окружность L в направлении, оставляющем слева ограниченный ею круг. Этот круг мы обозначим через D+, а часть плоскости, внешнюю по отношению к D+, — через D_ .

Дробно-линейное преобразование (2) конформно преобразует область S+ в область D+, а область S_ — в область D_; при этом точке z = ¥ соответствует точка V = _i, а точке V = ¥ — точка z = _i [2].

Для того, чтобы не усложнять внешнего вида формул, мы будем обозначать функцию

У( z) = y

£ +1,

просто через у(с); аналогично поступаем для функций а(ґ),Ь(ґ) и /(ґ), а также для других функций, которые нам встретятся в дальнейшем.

При этих обозначениях граничное условие (1) запишется в виде:

У+ (т) = а(т)у_(т) + Ь(т)у+ (т) + /(т), те Ь . (3)

Наложим следующие дополнительные ограничения на коэффициент Ь(ґ) краевой задачи (1):

1 Патрушев Алексей Алексеевич - доцент, кафедра общей математики, Южно-Уральский государственный университет. Б-шай; [email protected]

Патрушев А.А.

Об одном случае решения в замкнутой форме краевой задачи Маркушевича для полуплоскости

а) Ъ(0 а±(^ +1Ф 0, t еГ; а+ (t)

б) Ь^ ) —+^~) +1 - является краевым значением аналитической и отличной от нуля всюду в

a+ ^)

области S— функции, за исключением, быть может, г = —г, в которой она имеет конечный порядок к . Здесь а^)=а+ (фка—(^- факторизация коэффициента а(:) по формулам Гахова [1].

Очевидно, что в этом случае функция Ъ(т) краевой задачи (3) будет удовлетворять следующим условиям:

(

а) ЪДт) +1Ф 0

Ъх(г) = Ъ(т)

а+ (т) а+ (т)

\

, те Ь;

б) Ъ1 (т) +1 - является краевым значением аналитической и отличной от нуля всюду в области В_ функции, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки, в которой она имеет конечный порядок к .

Теперь мы можем воспользоваться результатами статьи [3]. В этой статье краевая задача Маркушевича для единичного круга сводится к сингулярному интегральному уравнению относительно Яеу+ (т) с последующим решением задач Шварца и Гильберта в классе кусочноаналитических функций. Общее решение неоднородной задачи Маркушевича для единичной окружности было получено в виде

1 ^ (т)

У(д) =

а+ д) а_ (д)(Ъх(д) +1)

Лт + О(д) + р (д)

2т1 т — д 0

Vе ®+,

1 г g (т) 2т Ьт — д

ёт + С(Х) + Рк _!(д) : т _ д 0

(4)

, Хе А_.

Здесь g (т) = Ъ (т) [к + Рк0 _1 (т)] —

&1(т) =

/Ъ1(т)

Ъ1(т) +1

(т)+Qkl—l(т)+2ц_1(т)

Ъ(т)

Ъ1(т) +1

/ (т)

а+ (т)

К

(д) = _!_ г£Ш±0*, Ч(д) = ± г Ь„\жХтд-т,

2т Ь (т — д)т 2т ■* | а+ (т) | (т — д)т

а+ (т) I (т —д)т

= к—к, к = 1пкЬ(ЪДт) +1)

с(т) = 1т {(Ъ (т) +1)[к + РК0 —! (т)]}, к) = 1пкь ъ~Г) +1

Рко— х(д), Ощ— х(Х) - произвольные многочлены степени не выше к0 — 1, к — 1 соответственно. Если к0 < 0, то появляются условия разрешимости задачи

2Ъ1 (т) Яе ф+ (т) (ЪДт) +1)

~^т—г

/ (т)

а+ (т)(Ъ(т) +1)

тк хкт = 0, к = 1,

к

(5)

ь +

где

Яеф+ (т) = 2(Ъ (т) +1)[к + Рк0 —1 (т) — щ (т)] + а(т ,

-щ (д)=■

1

(д)+Щ (д)+От, —1 (д)+Qk1 —1 (д )

Ъ(д) + и

При к < 0 возникают следующие условия разрешимости

/тй ,т=щ, « 1т {Ш ^тк£,к=0> —^1.

Если /(т) ° 0 , то мы имеем однородную задачу Маркушевича. В этом случае О(д) ° 0 .

(6)

к

т

Ь

Математика

Вернемся теперь к переменной г по формуле д = —

2 - і

2 + г

Тогда общее решение неоднородной задачи Маркушевича для полуплоскости запишется в

виде

У( г) =

а+ (г)

1

г + г

-г ■-

г - г

2кг

а- (г)(Ьі( 2) +1))

2 +г Ї «('Ь- + 0(г) + р0_‘2 -'

ґ + г ) ґ - 2

2кг J V ґ + г) ґ - 2

2 + г

1 +¥ ( 2 + г \ g (ґ) I 2 - г

- Л 7^ І7^йґ + °(2)+р*о-1

Здесь

g (ґ) = Ь1(ґ)

1

0( 2)=— ]

^( г) = — +¥

тп *

ґ + г) ґ - 2

g1(ґ) =

*0 -1

\{ґ)

Ь1(ґ) +1

ґ - і ґ+г

до

а+ (ґ)

гЬ(ґ)

Ь1(ґ) +1 - гК~ (ґ)

Ко (ґ) + б*-1

2 + і

ґ - і ґ+г

(7)

+ б*-1

ґ - г ґ + і

1 +Г с(ґ )йґ

К (г) = -1 Г ^ - -1 Г

— * ґ - 7 — *

К (2)= — 7 іт { Ж1 -А- _ — 7 * { Ж1-2*-, с(ґ) = іт |(Ь,(ґ) +,)

— ■’ І а+ (ґ) І ґ - 2 кг - І а+ (ґ) І ґ +1 І

—

ґ - 2 — ґ-г

1 +Г с(ґ )ґйґ ґ2 +1

*о -1

ґ +г

Р*

*о -1

2 + І

2 - і ] I 2 - і

, -1

2 + і

произвольные полиномы относительно

2 - і

2 + і

степени не выше

*0 -1, * -1 соответственно.

Условия разрешимости (5), (6) запишутся, соответственно, в виде:

2Ь1 (ґ) Яе ф+ (ґ) (Ь1(ґ) +1)

ґ - і ґ + і

*-1

(ґ + і)

-1

/ (ґ)

ґ - і

а+ (ґ)(Ь1(ґ) +1) V ґ + і) (ґ + і)

*-1

- = 0, к = 1,—,-*

0 :

(8)

где

Яе^+ (ґ) = ^(^(ґ) +1)

' + Р*

*о-1

ґ - і ґ + і

+

/ (ґ) 2а+ (ґ)

-іЛ (г) =

1

Ь1( г) +1

Ко(2) + ККг) + Є*-1і2^ і + Є*-1 і2 г

ґ + і ґ - і

*+1

с(ґ )йґ

(ґ + і)

аґ г

— = ак, ак =-г

+¥/ *+1

ґ + і

ґ - і

іт

2 + і V (ґ)

2 + і

а+ (ґ) | (ґ + і)2 ’

к = о,

(9)

Результаты статьи [3] позволяют сформулировать следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть коэффициенты однородной задачи Маркушевича (1) (/^°0) а^), Ъ(0 еН(Г), а(:) Ф 0, t еГ, к=1пкГa(t), а также функция Ъх^) +1 является краевым значением функции на прямой Г, аналитической и отличной от нуля всюду в области Б— и Г, за исключением, быть может, точки г = —1, в которой она может иметь конечный порядок щ,

Тогда однородная задача (1) (/(:) ° 0 ) в классе кусочно-аналитических функций, исчезающих в точке г = —/:

1) при к > 0, к0 > 0, имеет общее решение, определяемое формулой (7) (G(г) ° 0), которое линейно зависит от 2к0 + 2щ = 2к произвольных вещественных произвольных постоянных;

( Г.г — Л ^

2) при к > 0, к0 < 0, общее решение задается формулой (7) G(г) ° 0, Рко—1

2 - і

г + і

ко-

торое содержит 2щ — гх произвольных вещественных постоянных, гх - ранг матрицы коэффициентов однородной системы (8) (если гх = 2щ , то задача имеет только тривиальное решение);

*

2

*1.

*о = * *1.

(I - Т 1 1

G(—) ° 0, Qк -11-I ° 0 , которое содержит 2к0 - г произвольных вещественных постоян-

1 11 +Т)

Патрушев А.А. Об одном случае решения в замкнутой форме

краевой задачи Маркушевича для полуплоскости

3) при к < 0, к0 > 0, имеет общее решение, определяемое формулой (7)

( (I -Т

I + Т,

ных, г - ранг матрицы коэффициентов однородной системы (9) (если г = 2к0 то задача, отличного от тривиального, решения не имеет);

4) при к < 0, к0 < 0, если функция Ь1 (0 +1 удовлетворяет условиям (9) (/^° 0) и условиям (8) (/^° 0), имеет одномерное пространство решений, определяемое формулой (7) (

шение.

Теорема 2. Пусть коэффициенты неоднородной задачи Маркушевича а^),Ь^) е Н(Г), функция /(0 е Н(Г), а^) Ф 0, t еГ, а также функция Ь^) +1 является краевым значением на прямой Г функции, аналитической и отличной от нуля всюду в области 5- иГ, за исключением, быть может, точки — = -Т, в которой она может иметь конечный порядок. к.

Тогда неоднородная задача в классе кусочно-аналитических функций, исчезающих в точке I = -Т:

1) при к > 0, к0 > 0 имеет общее решение, определяемое формулой (7), которое линейно зависит от 2к произвольных вещественных постоянных;

G(—) ° 0, Рк 1 [ ~—Т I ° 0, Qk-11 ——- I ° 0 1; в противном случае имеет только тривиальное ре-

у I I Т ) у I I т) )

2) при к > 0, к0 < 0 общее решение задается формулой (7)

если выпол-

няются -к0 - г1 условий разрешимости, выписанных явно (г1 - ранг матрицы коэффициентов системы (8)), которое содержит 2— - 2г1 произвольных вещественных постоянных (если г1 = к1 , решение будет единственным);

( (г - Т1 1

3) при — < 0, —о > 0 имеет общее решение, определяемое формулой (7) QK -11--------I ° 0 ,

I 1 I г +Т)

если выполняются -— +1 - г условий разрешимости, выписанных явно (г - ранг матрицы коэффициентов системы (9)), которое линейно зависит от 2к0 - 2г произвольных вещественных постоянных (при г = к0 решение будет единственным);

4) при к < 0, к0 < 0 имеет единственное решение, определяемое формулой (7)

( ( г - Т1 ( г - Т1 1

Рк-11-----I ° 0, Qk-11----I ° 0 , тогда и только тогда, когда выполняются -к +1 условий

У 0 ^ 2 + Т) 1 У 2 + Т) )

разрешимости (9), и -к0 условий разрешимости (8).

Литература

1. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. - М.: Физматгиз, 1963. - 640 с.

2. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968. - 542 с.

3. Патрушев, А.А. Один из случаев решения задачи Маркушевича в замкнутой форме / А.А. Патрушев, Е.В. Патрушева // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2013. - Т. 5, № 1. - С. 63-69.

Поступила в редакцию 8 декабря 2013 г.

Математика

Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” ________________2014, vol. 6, no. 2, pp. 12-16

ONE CASE OF SOLUTION IN A CLOSED FORM OF MARKUSHEVICH BOUNDARY PROBLEM FOR SEMIPLANE

A.A. Patrushev

In the article an explicit method for the solution of Markushevich boundary value problem directed by L.I. Chibrikova in the class of piecewise analytic functions is given. Boundary condition of the problem is given on the line. The problem is found in a closed form under certain constratints on the coefficient b(t) of the problem.

Keywords: boundary problems for analytic functions, Riemann boundary problem, Hilbert boundary problem, Markushevich boundary problem.

References

1. Gakhov F.D. Kraevye zadachi (Boundary value problems). Moscow: Fizmatgiz Publ., 1963. 640 p. (in Russ.).

2. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya (Singular integral equations). Moscow: Nauka, 1968. 542 p.

3. Patrushev A.A., Patrusheva E.V. Odin iz sluchaev resheniya zadachi Markushevicha v zamknutoy forme (A variant of the solution of Markushevich boundary problem). Vestnik YuUrGU. Seriya “Matematika. Mekhanika. Fizika”. 2013. Vol. 5, no. 1. pp. 63-69. (in Russ.).

Received 8 December 2013

1 Patrushev Alexey Alexeevich is Associate Professor, Department of General Mathematics, South Ural State University.

E-mail: [email protected]