Математическое моделирование кусочно-однородных сред на основе решения задачи Маркушевича в классе автоморфных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.544.8

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕД НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МАРКУШЕВИЧА В КЛАССЕ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

A.A. Патрушев

Предложен алгоритм явного решения краевой задачи Маркушевича в классе функций, автоморфных относительно фуксовой группы Г второго рода. Краевое условие задано на главной окружности. Коэффициенты задачи являются гельдеровскими функциями. Алгоритм основан на сведении задачи к краевой задаче Гильберта. Получено решение задачи в замкнутой форме при дополнительном ограничении, наложенном на один из коэффициентов задачи b(t): если x+(t),x-(t) ~ факторизационные множители коэффициента a(t), то произведение функции b(t) на частное от деления X+(t)) на x+(t) аналитически продолжимо в область D- и автоморфно относительно Г

Ключевые слова: краевые задачи для аналитических функций, задача Маркушевича, автоморфные функции.

Введение

Одной из математических моделей прочностных свойств разнообразных композиционных материалов, расчета электрических цепей, теории гетерогенных сред, теории фильтрации, теории оболочек и задач других разделов механики и физики является задача R-липейпого сопряжения Маркушевича [1]. Задача Маркушевича особенно актуальна сегодня в связи с насущной необходимостью исследования кусочно-однородных (гетерогенных) сред, физические параметры которых па линиях соединений сред удовлетворяют во многих случаях условию R-литтейпого сопряжения Маркушевича. Хотя исследования по этой задаче ведутся давно (с середины прошлого века), тем не менее, точные решения задачи известны лишь для небольшого числа частных случаев, что лишний раз подтверждает высокую степень сложности проблемы построения точных решений задачи. Поэтому любые исследования в данном направлении являются актуальными, и любые новые результаты представляют научный и практический интерес. Особенно важны исследования, направленные па конструктивное построение решений указанной задачи.

1. Постановка задачи

Пусть Г : Oo(z) = z, Ok(z), k = 1, 2,..., - конечнопорожденная фуксова группа второго рода с областью инвариантности S, с неподвижной (главной) окружностью L : \z — zo\ = Tq, для которой то является обыкновенной точкой. Известно, что такая группа является груп-

ГО

пой первого класса, то есть ряд ^2\ок(z)\ сходится на любом компактном множестве, не

o

содержащем предельных точек группы и точек Ok(то) [2]. Пусть Ro - фундаментальная область Форда, р - род фундаментальной области, D± - внутренность и внешность окружности L : \z — zo\ = tq соответствен но, R± = Ro П D±, L* - множество дуг главной окружно-L

аналитическую функцию ф(г), автоморфную относительно группы Г , исчезающую на бесконечности, если на контуре Ьо = Ь* П Ко ее краевые значения удовлетворяют условию

Ф+^) = а(г)ф-(г) + ь(г)ф+(г),г е Ьо. (1)

Полной теории разрешимости задачи (1) в настоящее время пет. В представленной работе задача решена при следующих ограничениях, наложенных на коэффициенты: а^) =

0, Ь\^) + 1 = 0 на Ь, где функция Ь\^) = Х+( )Ь^) аналитически продолжима в область

Х+ ()

П- и автоморфна относительно Г в этой области. Здесь х+(^),Х-(^) ~ факторизационные множители коэффициента а^). В данной работе получил дальнейшее развитие метод нахождения решения задачи Маркуптевича в явном виде, разработанный в статье [6]. Этот метод отличается от рассмотренного в статьях [З-о], что обусловлено различными постановками задачи. Идея предложенного метода заключается в сведении задачи Маркуптевича к сингулярному интегральному уравнению относительно И,е ф^^) с последующим решением скалярной задачи Гильберта в классе автоморфпых функций. Решение задачи Маркуптевича (1) представлено в замкнутой форме при допущении, что проблема обращения Якоби рбпшнэ..

2. Сведение задачи к сингулярному интегральному уравнению

Как известно [7], если а^) = 0, t е Ьо, - гельдеровская функция, то функцию а(^

МОЖНО ПрбДСТсШИТЬ в виде

« = Й!5' «

р п

х(г) = ег(г')Е-к(г,^,во) Ц Е(г,в] ,во) Ц Е™ (г’аз (во),во), к = !п<1Ьо [а(^], (3)

з=1 з=1

1 Г и (т)

Г(г) = к (*'т ] 1п а(т )Лт'к (г'т ] = ^ Илт— = £

ьо 3=0 3=0

т - (г) т - (<х>)_

И1(г),.ип(г) - порождающие преобразования группы Г tо е Ьо - фиксированная точка: точки вз е К-, в] = 0о, ] = 1,--.,р, где во - фиксированная точка области К— т]= 1,...,и, - целые числа. Функция

Е(г,в,во) = ехр К(г,т)йт^ ,

где К(г,т) - квазиавтоморфный аналог ядра Коши, берется вдоль пути, целиком расположенного в 5. Она однозначна в этой области и, в случае неконгруэнтных между собой во в 1

точки во и в между собою конгруэнтны, то Е(г, в, во) на множестве 5 ограничена и нигде тте обращается в пуль. Так как

Х(ик (г)) = х(г)еНк, У г е 5\Ь,

*о р дз п а3 (до)

Нк = 2— ! Пк(т)1па(т)йт - к ! Пк(т)йт + ^ J Пк(т)йт + ^ т^' Пк(т)йт, к = 1, 2,...,

Ьо до 3=1 до 3=1 до

то для автоморфности канонической функции х(г) необходимо потребовать, чтобы все И = 0(шоё2т). То есть целые числа т^,] = 1,...,п, и точки € К-, = в0, ] = 1,...,р,

г

должны являться решением проблемы Якоби обращения интегралов фк(г) = [ Пк(т)Лг, к =

во

1,...,Р,

р п 1 г

£>к (вj )^Х! т] Пк,з + Пк 2т = — — у Пк (т )1па(т )йт + кфк (Ь),

з=1

j=1

^0

а ¡{во)

где Пк, к = 1,. ..,р - некоторые целые числа, = фк (vj (г)) — фк (г) = / Пк (т )йт, ,] =

во

1,...,п. Один из методов решения проблемы обращения Якоби с использованием специальной ©-функции Рнмана был предложен в работе Э.И. Зверовпча [8]. Функция х(г) авто-морфна относительно группы дробно-линейных преобразований Г имеет в точках в 1,..., вт. образующих решение проблемы обращения Якоби, нули кратности Л1Лт, соответственно, а в точке во имеет порядок к — р.

На основании вышеизложенного краевое условие (1) запишется в виде :

Ф+(1) = гтг^т Ф-($ + г22*1 Ие Ф+(г)+ д(г),

ГД6

д(^) = (1 , 1 \ ,Ф±(*) = —у.$, Ь1(ь) = ъ(г)х+()

х+ШШ + 1)'

х+(^'

(4)

(5)

.Функция Ф(г), удовлетворяющая краевому условию (4), имеет полюсы в точках в1,... ,вт € К- соответственно кратности Л1,..., Лт , исчезает на бесконечности и имеет порядок р — к в точке во € К-.

Пусть К1 = 1пё^0[21 (£) + 1]. Решение полученной задачи (4), где предполагается ИеФ+(1) известной, запишется следутопщм образом [9]:

Ф(г) = хо(г)№ (г) + Фо(г) + Ф1(г) + Ф2(г)).

(6)

Здесь

хо(г) =

1, если г € 0+,

Ъ1(г) + 1, если г € Б-,

каноническая функция,

р Ф+(т)+д(т ]

А(г, т)йт =

1

2пг

Lо

2Ъ1(т) Ъ1(т) + 1

Ие Ф+(т) + д(т)

к(г,т )йт — ^2 ^ к (г,а) — ^ 5j к (г,а),

j=l

j=l

1 Г 2Ъ1(т)

^ 2п^ Ъ1(т) + 1

/2Ъ ( ) 1 {*

Ъ^т(:р[КеФ+(т)шj(т)г1т’ ^ = 2П1 у д(т^(т)г1т’ э = 1,...,р

^о

£о

Ф0(г) = С + СЧ'и (г’ в(1)’ Л 1 + Л2 + ' '' + Лт = р;

д= 1 у= 1

1 1 р (и (г, вд) = ^ Й~^ - ТОТ^ЖЛ-Й^ 4,1к (г’ а );

3=0

_(аз(х) - вду (а(ж) - вя)

3 = 1

(д) ^^(вд)

з =-------V - 1)! , д = 0,...,т, V = 1, 2,...; щ = Шьо [Ь(г) + 1];

К—р ( — К\ — \

Ф1(г) = \ ^(г,во), К > Р, ; ^2(х) I ^ Ьк(г’ ж)’ К1 - 0

V^(хч в0) , К

V =1 ' ~4 7 | к=1

0, К - Р. 0, К1 > 0.

Автоморфный аналог ядра Коши А(г,т) имеет вид [7]:

А(г, т) = К (г, т) - Ш1(т )К (г, а{) - ... - Шр (т )К (г, ар),

где р - род фундаментальной области Ко- Здесь предполагается, что бесконечность не является неподвижной точкой преобразования группы Г. Функции

^ р шк—1(оо)

Ск(г,ж) =гк + ^(«7к(г) -а3км) -^ К(г’аз)} к = 1’---’-К1-1

3 = 1 3 = 1 ( )!

являются коэффициентами разложения ядра А(г, т) в окрестности т = ж. В точках

аз € К+, ] = 1,...,р, ядро А(г, т) имеет простые полюсы с вычетами Шз (т), ] = 1,...,р,

соответственно [10].

Функция ф(г) имеет в точках аз, ] = 1,...,р, простые полюсы с вычетами

—К1 — 1 Ш (к—1)( ) т К—р

Ьз = йз + §з - ^ Ьк 3(к_1)! - ^ £ °д," з -^2 сV 42 Л = 1,...,р. (7)

к=1 ( )! д=1и=1 и=1

К1 > 0

ф(г) = хо(г)(Р (г) + Фо(г) + Ф1(г)),

К1

1 [ 2Ь1(т)И,е ф+(т)

2п% ] [Ь1(т) + 1]

Ьо Ьо

йк—1

Рк—1 = - йгк—1 [фо(г) + Ф1(г)]

Пк—1(т, ж)йт + 2П^/д(т)Пк—1(т, ж)йт = вк—1, (8)

, к = 1,...,К1.

Здесь Пк(т, ж) - коэффициенты разложения ядра А(г,т) в окрестности точки г = ж. Рассмотрим случай к < р, К1 — 0. Тогда формула

ф(г) = хо(г)№ (г) + Фо(г) + Ф2(г))

Р - К

решимости

1 [ 2Ь1(т)И,е ф+(т) . 1

2п% ] [Ь1(т) + 1]

Ьо Ьо

Пк (т,во)йт + 2^/д(т )Пк (т,во)йт = 0к, (9)

2 = ОС

йк—1

вк = - йг— [фо(г) + Ф2(г)]

к — 1,..., р — к.

К <Р К1 > 0

лится формулой

ф(г) = Хо(г)(Р (г) + фо(г)).

Условия разрешимости запишутся в этом случае, соответственно, следующим образом:

1 !' 2Ь\{т)^еф+{т)

2пг ] [Ь1(т) + 1]

Ьо

Пк—1 (т, ж)йт + 2^1/ д(т)Пк—1(т, ж)йт = вк—1,

(10)

Ьо

1 А 2Ь1(т)И.еф+(т) 2п^ [Ь1(т) + 1]

Ьо

Пк (т,во )йт + 2^/д(т )Пк (т,во)йт = $к, (11)

Ьо

йк—1

вк—1 = - йг— Фо(г^

йз— 1

к = 1,...,К1, в1 = -йг— Фо(г)

к — 1,..., р — к.

Построенная функция ф(г) является кусочно аналитической в области Ко и автоморф-ной относительно группы Г за исключением точек аз € К+,з = 1,...,р, в которых она имеет простые полюсы.

На основании формул Сохоцкого из равенства (6) на контуре Ьо имеем :

ф+() = Щ+ГЕе ф+(()+^ П /

Ьо

д(^) , 1 [ Ь1(т)

Ь1(т) +1

И,е ф+(т)А^, т)йт+тт^ I д(т)А(Ь, т)йт+Ф^), 2т 7

(12)

Ьо

где Ф(Ь) = Фо(Ь) + Ф1(г) + Ф2(Ь).

С другой стороны, заметим, что функция ф+(г) определяется в области К+ с точностью

Ьо

Здесь

ф+(г) = — I Ие ф+(т)А(г, т)йт + ((г) + в + гс. пг 7

Ьо

С(г) = ^2 ЪК(г, аз) -^ (|ар+зо ^ 7зК(г, ар+з), ар+з = го + Г° ,

'о аз го

(13)

з=1

з=1

з = 2пг1Кеф+(т)шз(т)йт, 3 = 1,...,р, в = -2пгIКеф+(т)А(го,т)йт-с(го).

Ьо Ьо

Вычеты функции ф+(г) в точках аз € К+, 3 = 1 ,...,р, равны соответственно -^з, 3 = 1,...,р

Так как функция ф+ (г) в области 0+ должна быть аналитична, потребуем, чтобы вычеты этой функции в точках аз € К+, 3 = 1,...,р, равнялись нулю, то есть:

1з = 0

вз + $з = 0,

, 3 = 1,...,Р,

(14)

^ п^ Ь1(т) + 1Шз

Ьо

1 [ Ие ф+(т)

Ш-

(т)йт - ^2 Ьк

—К^1 ш(к—1)(ж)

(к - 1)!

к=1 д=1 V=1

К—р

5^£с^Л -^2^42 ,

и=1

г=

г=ос

г=

$з = 2tïJ9(т )Wj (т )dr’j = i’---’p-

_ 1

из = 7 2п

Ьо

Здесь тз,3 = 1,.. .,р, - вычеты в точках аз € К+, з = 1,...,р, функции ф+(г), являющейся решением задачи Шварца; вз+6з = Ьз,3 = 1,...,р, - вычеты в тех же точках функции ф+(г). являющейся решением задачи (4), рассматриваемой как задача Римана. Из соотношения

Ьо

Ф+а) = к. ф+ю + ^ ф+(т т, г )*■+<«)+ц+«, {щ

Ьо

Откуда, сравнивая выражения (12), (15), приходим к сингулярному интегральному уравпе-

нию

Reф+(Ь) 1 f Reф+(т) , git) 1 f , . .

+ ~J ь(т) + 1 A(t,T) =ЖГ + +2П~и 9(т)A(t,T)dT + Ф(^ - Z(t) + d’

Ь(г) + 1 пг ,} Ь(т) + 1

Ьо Ьо

где й = -в - гс.

3. Постановка и решение задачи Гильберта относительно функции )

Для однозначной кусочно аналитической функции

2И,е ф+(т)

= à /

Lo

_ Ъ\(т) + 1

- 9(т)

А(г,т )dт (16)

сингулярное интегральное уравнение, па основании автоморфпых аналогов формул Сохоц-кого, сводится к односторонней краевой задаче

4+(t) = ®(t) - Z(t) + d, (17)

в классе Г-автоморфных функций, имеющих простые полюсы в точках aj G R+, j = 1,...,р. и исчезающих па бесконечности. Заметим здесь, что функция

Ф(г) - Z(z) + d

Г - автоморфна в области D+ кроме точек aj G R+, j = 1,...,р, и точек, конгруэнтных

им, в которых она имеет простые полюсы. Поэтому решение задачи (17), по аналогии с

односторонней краевой задачей Римана, запишется в виде 111]:

т = (-4<z>+z G D+ (i8)

\ (z), z G D_, K >

где p_ (z) - произвольная аналитическая в области D_ функция, исчезающая на бесконеч-

Г

В точке zq, очевидно, должно выполняться равенство

^(zo) = $(zo) - Z(zo) + d. (19)

На основании (16), (18) имеем Re ф+^) 1

bi(t) + 1 2

&(t) - Z(t) + d + g(t) - Pi (t)

, t G Lq. (20)

Учитывая, что в левой части выражения (20) имеется действительнозначная функция И,еф+(1) приходим для функции р—(г) к краевой задаче Гильберта в классе автоморфных

Г

Ие {-г[Ь1(г) + Цр- (г)} =

(Ь1(Ь) + 1)(Ф(Ь) - ((Ь) + й + д(Ь))

(21)

Решение этой задачи запишется в виде [10]:

-гр- (г) =

Ь1(г) + 1

Ро(г) + Р1(г) + Якл- 1(г)+ Якл- 1(г*)

(22)

Здесь

Ро(г) = 2Пг/ со(т)А(г,т)йт + (0(г) + в°; ^(г) = 2^1 / ^)А(г,т)йт + (01(г) + в01;

Ьо

Ьо

со(т) = 1т

(Ь1^) + 1)(ф(^) - ((^) + й)

с1(т) = 1т

(Ь1(т) + 1)д(т)

= 1т /(т)

Х+(т)

(ар+з го) о

Т°К (г,ар+з):,

з=1

з=1

в° = - 4—1 со(т )А(го,т)йт - (°(го); 7°° = 4П~г / со(т )шз (т )йт, 3 = 1,...,р;

Ьо Ьо

С01(г) = ^ зК(г,аз) -^ (ар+з 2 го) зК(г,ар+з);

з=1 з=1 Го

з = 4^1 с1(т )шз (т )йт,3 = 1,...,р; в01 = - с1(т )А(го,т)йт - (01(го);

Ьо Ьо

(*1—1

ао + V акСк(г, ж), *1 > 0 к=1

0, К1 - 0.

Если *1 — 0 (ф* - 1(г) = 0),) то №1 имеем -*1 + 1 условий разрешимости

7— / со(т)Пк—1(т, ж)йт - вк—1 = -2пг I сл(т)Пк—1(т, ж)йт + вк—1

(23)

где

Ьо йк-1

в— = - Ко (г)+ в° ]

Ьо

йк-1

, вк—1 = --^1-1 [С° 1(г)+ Г]

,к = 1^.., -*1 + 1.

Для аналитичности функции р- (г) в точках ар+з € К—, 3 = 1,...,Р, потребуем, чтобы вычеты функции в этих точках обращались в пуль, а именно:

1

4пг

г ^ ш(к—1) (ж) 1 г

г I со(т)шз(т)йт - 2^ = -4п%] с1(т)Шз(т)йт, если *1 > 0; (24)

Ьо к=1 Ьо

4П~г / со(т )шз (т )йт = - 4— I с1 (т )шз (т )йт,, есл и *1 — 0, 3 = 1,...,р. (25)

1

'

о

х=ос

х=ос

4. Нахождение Кеф+(£) и решения задачи Маркушевича

Пусть р—(г) является решением задачи Гильберта (21). Так как

И,е ф+(Ь) 1

Ь1(г) + 1 = 2

ф(^) - С(^) + й + д(1) - р1 №

, £ € Ьо;

а функция р- (г) апалитичпа в области 0— и исчезает на бесконечности, то условия разрешимости (14) можно переписать в виде:

/(Ь1(т) + 1) [Ф(т) - ^(т) + Ъ Шз(т)йт-

Ьо

2п

Ро(т) + Я*1 - 1(т) + Я*, - 1(т) Шз(т)йт = ез, 3 = 1,...,Р

Ьо

ез = 2п1Р1(т )Шз(т )йт - ¿1 / Х+т) Шз(т )йт• 3 = 1'-'Р

Ьо Ьо

Ь

Кеф+(1) = ^1(^2+1] [ф(г) - ((г) + й + д(г)\-

-г[Ро № + Е-- № + - 1(^) + Я*л - 1(£)].

Из соотношений (6), (27) следует, что функция

Р (<г) + Ф(<г),

если г € 0+,

(Ь1(г) + 1)[Р(г) + Ф(г)}, если г € 0—, 11

Р(г) = 2~ / с(т)Ь1(т)А(г,т)йт + 2^/ /^^(т)А(г,т)йт,

/ ®

Ьо /1(т) =

Ьо

2г

Х+(Ф1(^ Ь1(т) + 1

удовлетворяет краевому условию (4). Здесь

Р— (т),

Ф(г) = Фо(г) + Ф1(г), с(т) = [Ф(т) - ((т) + й] -

2г

Ь1 (т) + 1

Ро (т) + Я*1 - 1(т) + Я*1 - 1(т)

*1 > 0,

Ф(г) = Фо(г) + Ф1(г) + Ф2(г), с(т) = [Ф(т) - ((т) + й] -2г

-г0 (т), тел и *1 — 0.

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Ь1(т) + 1

Условия разрешимости (8), (9), па основании вышеизложенного, соответственно, запишутся в явном виде!

Ь1(т)с(т)пк-1(т, ж)йт - вк-1 = - ¿У Ь1(т )/1(т )пк-1(т, ж)йт,

(31)

Ьо

йк

-1

вк-1 = - йгк-1 [фо(г) + Ф1(г)]

Ьо

к = 1,..., *1, если *1 > 0;

1

£ = ОС

2— J Ь1(т )с(т )пк &,во )йт - вк = - 2- ! Ь1(т )/1(т )пк (^во )йт, (32)

Ьо Ьо

, к = 1,..., р - *, если * — р.

йк— 1

в1 = - к-1 [Ф(г) + Ф2(г)]

йгк-1

г=во

ф(г) р

р

что обеспечивает аналитичность функции в точках аз € К+, 3 = 1,...,р-

На основании проведенных выкладок, а также формул (2), (3), (о), общее решение

неоднородной задачи Маркуптевича (1) запишется в виде:

Г х+(г) [Р(г) + Ф(г)] , если г € D+,

Пг) = \ х если (33'

Х-(г)(Ь1(г) + 1) Р(г) + Ф(г)

где функции Ф(г), Р(г), х(г) определяются из формул (28), (29) или (30), (3). Рассмотрим несколько случаев.

1) * > р, *1 > 0. В этом случае Ф2(г) = 0, функция с(1), определяемая формулой

(29), содержит К + К1 комплексных постоянных. Эти постоянные должны удовлетво-2р *1

'

пеодпородпой системы линейных уравнений (24), (26), (31). Как известно, полученная объединенная неоднородная система разрешима тогда и только тогда, когда

р

к в°°

и=1 и=1 VI = 1

к »V + К»> к ЬV1, к 1 = 0, к = 1,...,2р + *1 - г, (34)

где

1 1 1 /(т)

»V = -ш] с1(т)ш”(т)йт, е” = тп] Р1(т)Ш(т)йт-тпг] х+тШ(т)йт, и = 1,...,р,

Ьо Ьо Ьо

(^1 = - ¿/Ь1(т )/1(т )^1-1(т, ж)йт, V1 = 1,...,*1.

Ьо

Здесь N,к, Ки,к, Ьи1,к (V = 1,...,р, Vl = 1,...,*1, к = 1,...,2р + *1-г) - полная

система линейно независимых решений соответствующей однородной транспонированной системы. При выполнении этих условий общее решение неоднородной задачи Маркушевича содержит * + *1 - г произвольных комплексных постоянных. Если ' = * + *1

2) * — р, *1 > 0. Так как Ф2(г) = 0, Ф1(г) = 0, то функция с(Ь) содержит *1 + р

2р

*1 р - *

'1

родной системы линейных уравнений (24), (26), (31), (32). Полученная объединенная неоднородная система разрешима тогда и только тогда, когда

р р К1 р—к

£ ли »V + Е Ки,кev + ^ ^ Ьи1,к^ ^ — 0 (35)

и=1 V=1 и=1 и=1

к — 1,...,3р + К1 - к - т 1, &,0о )Лг, у2 — 1,...,р-к. Здесь

Ьо

к■ ,к ■ ,к ■ Т^2,к {У — 11---1р1 к — 3р + к\ к т1 ■ V1 — к\■ ^2 —

1,...,р — к■) - полная система линейно независимых решений соответствующей однородной транспонированной системы. При выполнении этих условий общее решение неоднородной задачи Маркушевича содержит к\ + р — т\ произвольных комплексных постоянных. Если т\ — р + к\, то задача имеет единственное решение.

3) к > р, к\ < 0. Тогда ЯК1 — 1(т) = О, функцпя с{1), определяемая формулой (30), содержит к — к\ комплексных постоянных. Эти постоянные должны удовлетворять

2р комплексным условиям разрешимости (27), (26), —к\ + 1 комплексным условиям разрешимости (23). Пусть т2 - ранг матрицы коэффициентов объединенной неоднородной системы линейных уравнений (27), (26), (23). Объединенная неоднородная система разрешима тогда и только тогда, когда

Р Р -Х1+1

Л

и=1 и=1 и=1

Ми,к 8V + К^,к М^з,к =0) к = 1,...,2р - К\ + 1 - Г2, (36)

где

= - 2Л1 і Сі(Т )п^з-і(т) ж)(!т + 0^3-1) Уз = 1)...) -К1 + 1.

Ьо

Здесь М^к) К^к) М„з,к (у = 1)...)р) к = 1)...)2р - кі + 1 - Г2, Уз = = 1)..., -кі + 1)

- полная система линейно независимых решений соответствующей однородной транспонированной системы. При выполнении этих условий общее решение неоднородной задачи Маркушевича содержит к - кі - Г2 произвольных комплексных постоянных. Если Г2 = к - кі, то задача имеет единственное решение.

4) к < р, к1 < 0. В этом случае Як1 - 1(т) = 0, Ф1(^) = 0 функция с(і) содержит р- к1 комплексных постоянных. Эти постоянные должны удовлетворять 2р комплексным условиям разрешимости (27), (26), -к1 + 1 комплексным условиям разрешимости (23) и р - к комплексным условиям разрешимости (32). Пусть Тз - ранг матрицы коэффициентов объединенной неоднородной системы линейных уравнений (27), (26), (23), (32). Полученная объединенная неоднородная система разрешима тогда и только то-

ГДеЦ КОГДеї

р р —к\ + 1 р—к

,к8и + 'У ' Ки,к+ 'У ' М„з,к^из + У ' Т^2,к= 0) (37)

и=1 и=1 и=1 и=1

к = 1)...)3р - к1 - к +1 - Тз. Здесь М„,к) К„,к, Миз,к, Т^2,к

(У = 1)...)р) к = 1)...)3р - к1 - к +1 - Тз, Уз = 1)...) -к1 + 1) У2 = = 1)...)р - к)

- полная система линейно независимых решений соответствующей однородной транспонированной системы. При выполнении этих условий общее решение неоднородной

р - к1 - Тз

Тз = р - к1

Следовательно, справедлива.

Теорема 1. Пусть коэффициенты а(і))Ь(і) и свободный член f(і) неоднородной задачи Маркушевича являются гельдеровскими на, Ь0 функциями, а(і) = 0) 1 + Ь1(і) = 0) і Є Ь0, функция Ь1(і) + 1 является краевым значением функции, автоморфной относительно фуксовой группы второго рода Г в областлі 0—, и отличной от нуля в этой области, за исключением быть может бесконечно удаленной точки и точек, конгруэнтных ей.

Тогда неоднородная задача в классе автоморфных функций относительно группы Г.-

1) при к > р, к\ > 0, если выполняются 2р + к\ — r комплексных условий (34), имеет, общее решение, определяемое формулой (33), которое содержит 2к + 2к\ — 2r

r

единенной неоднородной системы линейных уравнений (24), (26), (31) (при r = к + к\ имеет единственное решение);

2) при к < р, к\ > 0, если выполняются 3р + к\ — к — r\ комплексных условий (35), имеет общее решение, определяемое формулой (33), которое содержит 2р + 2к\ — 2r\ произвольных вещественных постоянных , где r\ - ранг матрицы коэффициентов объединенной неоднородной системы линейных уравнений (24), (26), (31), (32) (при r\ = р + к\ имеет, единственное решение);

3) при к > р, к\ < 0, если выполняются 2р — к\ + 1 — r2 комплексных условий (36) имеет общее решение, определяемое формулой (33), которое содержит 2к — 2к\ — 2r2 произвольных вещественных постоянных, где r2 - ранг матрицы коэффициентов объединенной неоднородной системы линейных уравнений (27), (26), (23) (при r2 = к — к\ имеет, единственное решение);

4) при к < р, к\ < 0, если выполняются 3р — к\ — к + 1 — r3 комплексных условий (37), имеет общее решение, определяемое формулой (33), которое содержит 2р — 2к\ — 2r3 произвольных вещественных пост оянных, где r3 - ранг матрицы коэффициентов объединенной неоднородной системы линейных уравнений (27), (26), (23), (32) (при r3 = р — к\ имеет, единственное решение).

Литература

1. Векуа, И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа. - М.: Физматгиз, 1959.

- 560 с.

2. Форд, Р. Автоморфттые функции / Р. Форд. - М.; Л.: ОНТИ, 1936. - 340 с.

3. Патрушев, A.A. Алгоритм точного решения четырехэлементной задачи линейного сопряжения с рациональными коэффициентами и его программная реализация / A.A. Патрушев, В.М. Адуков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010.- № 35 (211), вып. 6. - С. 4-12.

4. Патрушев, A.A. Четырехэлеметттпая задача Маркуптевича па единичной окружности /А.А.Патрушев // Известия Смоленского государственного университета. - 2010. - №4.

- С. 82-97.

5. Патрушев, A.A. О явном и точном решении трехэлементной задачи Маркуптевича / A.A. Патрушев, В.М. Адуков // Известия Саратовского государственного университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011.- Т. 11, вып. 2. -С. 9-20.

6. Патрушев, A.A. Задача Маркуптевича в классе автоморфттых футткциий в случае произвольной окружности / A.A. Патрушев // Вестттик ЮУрГУ. Серия: Математика. Физика. Химия. - 2011,- №10 (227), вып. 4. - С. 29-37.

7. Сильвестров, В.В. К вопросу об эффективности решения краевой задачи Риматта для автоморфттых функций / В.В. Сильвестров, Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика.

- 1978. - № 12. - С. 117-121.

8. Зверович, Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах тта риматтовых поверхностях /' Э.И. Зверович /'/' Успехи мат. паук. - 1971. - Т. 26, вып.

1 (157). - С. 113-179.

9. Чибрикова, Л.И. Краевая задача Риматта лля автоморфттых функций в случае группы с двумя инвариантами / Л.И. Чибрикова // Изв. вузов. Математика. - 1961. - №6. -С. 121-131.

10. Сильвестров, В.В. Краевая задача Гильберта для одттой бесконечной области в классе автоморфттых функций / В.В. Сильвестров // Тр. семинара по краевым задачам. -Казань: Изд-во Казатт. утт-та, 1980. - С. 180-194.

11. Гахов, Ф.Д. Вырожденные случаи особых интегральных уравнений с ядром Копти / Ф.Д. Гахов. // Дифференциальные уравнения. - 1966. - Т. 2, №2. - С. 533-544.

Алексей Алексеевич Патрушев, кандидат физико-математических паук, доцеттт, кафедра «Общая математика:», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,

2013, vol. 6, no. 2, pp. 49-61.

MSC 30E25

Mathematical Modelling in Piecewise-Uniform Invironment Based on the Solution of the Markushevich Boundary Problem in the Class of Automorphic Functions

A. A. Patrushev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]

An algorithm for the explicit solution of the Markushevich boundary value problem in the class of automorphic functions with respect of Fuehsian group r of the second kind is suggested. The boundary condition of the problem is given on the main circle. The coefficients of the tasks are Holder functions. The alqorithm is based on a reduction of the problem to the Hilbert boundary problem. The solution is found in a closed form under additional restriction on the coefficient b(t) of the problem: if x+ (t), X-(t) are factorization multipliers of coefficient a(t), the product of the function b(t) on the quotient of x+(t) and X+(t) is analytic in the domain ^ and automorphic with respect to r in this the domain.

Keywords: boundary problems for analytic functions, the Markushevich boundary problem, automorphic functions.

References

1. Vekua I.N., Obobshchyennye analyticheskie funktsii [Generalized Analytic Functions].

Moscow, Fizmatgiz, 1959. 560 p.

2. Ford R., Aftomorfnye funktsii [Automorphic Functions]. Moscow,ONTI, 1936. 340 p.

3. Patrushev A.A., Adukov V.M. Algorithm of Exact Solution of Generalized Four-Element Riemann-Hilbert Boundary Problem with Rational Coefficiet.s and Its Programm Realization [Algorit.m tochnogo resheniya chetyrekhelementnoy zadachi lineynogo sopryazheniya s ratcionarnymi koeffitsientami і ego programmnaya realizatsiyaj. Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software», 2010, 110. 35 (211), issue 6, pp. 4-12.

4. Patrushev A.A. The Generalized Hilbert-Riemann Boundery Problem on the Singular Circle [Chetyrekheleinentnaya zadacha Markushevicha 11a elinichnoy okruzhnostij. Izvestiya Smolenskogo Gosudarstvennogo Universiteta [ News of Smolensk State University], 2010, no. 4, pp. 82-97.

5. Patrushev A.A., Adukov V.M. On Explicit and Exact Solution of the Markushevich Boundary Problem for Circle [0 yavnoin і tochnom resheniyakh zadachi Markushevicha 11a okruzhnostij. Izvestiya Saratovskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Novaya Seriya. Seriya: Matematika, Mekhanika, Informatika [Proceedings of Saratov State University. Series «Mathematics. Mechanics. Informatics»], 2011, vol. 11, 110. 2, pp. 9-20.

6. Patrushev A.A. The Markushevich problem in the class of automorphic functions for arbitrary circle [Zadacha Markushevicha v klasse avtoinorfnykh funktsiy v sluchae proizvoknoy okruzhnostij. Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematics. Physics. Chemistry», 2011, 110. 10(227), issue 4, pp. 29-37.

7. Silvest.rov V.V., Chibrikova L.I. The Issue of Efficiency of Solving the Boundary Value the Tasks of the Riemann for Automorphic Functions [K sluchayu ob effektivnosti resheniya kraevoy zadachi Riinana dlya aftoinorfnykh funktsiyj. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1978, 110. 12, pp. 117-121.

8. Zverovich E.I. Boundary Value Problems in the Theory of Analytic Functions in Holder Classes 011 Riemann Surfaces. Russian Mathematical Surveys, 1971, vol.26,110. 1, pp. 117-192.

9. Chibrikova L.I. Boundary Value Problem of Riemann for Automorphic Functions in the the Case of Groups with Two Invariants [Kraevaea zadacha Riinana dlya avtoinorfnykh funktsiy v sluchae grupp s dvuinya invariant, ainij. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1961, 110. 6, pp. 121-131.

10. Silvest.rov V.V. Boundary Value Problem of Hilbert’s for One Infinite the Field in the Class of Automorphic Functions [Kraevaya zadacha Gilbert.a. dlya odnoy beskonechnoy oblast.i v klasse avtoinorfnykh funktsiyj. Trudy Seminara po Kraevym Zadacham [Proceedings of the Seminar 011 Boundary Value ProblemsJ. Kazan’, Publisher Kazan Gos. Univ., 1980, pp. 180-194.

11. Gaknov, F.D. Degenerate Cases of Singular Integral Equations with Cauchy’s Kernel [Vyrozhdennye cluchai osobykh integral’nykh uravneniy с yadroin KoshiJ. Differentsial'nye Uravneniya [Differential EquationsJ, 1966, vol. 2, 110. 2. pp. 533-544.

Поступила в редакцию 16 ноября 2012 г.