Один из случаев решения задачи Маркушевича в замкнутой форме Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.544.8

ОДИН ИЗ СЛУЧАЕВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МАРКУШЕВИЧА В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ

1 9

А.А. Патрушев , Е.В. Патрушева

Предложен метод явного решения краевой задачи Маркушевича в классе кусочно-аналитических функций. Краевое условие задано на единичной окружности. Получено решение в замкнутой форме при некотором ограничении, наложенном на коэффициент b{t) задачи.

Ключевые слова: краевые задачи для аналитических функций, краевая задача Рима на, краевая задача Гильберта, краевая задача Маркушевича.

В предложенной работе получил дальнейшее развитие метод нахождения решения задачи Маркушевича в явном виде, разработанный в статье [1]. Этот метод отличается от рассмотренного в статьях [2-4], что обусловлено различными постановками задачи.

Рассмотрим трехэлементную задачу Маркушевича

Y+ (0 = a(t)W- (t) + b(t)W+ (0 + АО (!)

на единичной окружности L. Здесь a(t),b(t), f(t)eH(L) - гельдеровские функции, а(1) Ф 0. te L. Пусть K=IndLa(t), a(l)=a+(l)lhа_(1) - факторизация коэффициента а(1) по формулам Га-хова. Перепишем краевое условие (1) в виде

ф+ (0 = tK(p_ (t) + Ьу (г)ф+ (t) + /о (0, (2)

где ф±(t) =-^±(t;), МО = b(t)^+(t), fo(t) = ■

a± (t) a+ (t) a+ (t)

Наложим следующие ограничения на коэффициент b^t) задачи (2):

а) ^(0 + 1^0,te Ц

б) Ь} (/) +1 является краевым значением аналитической и отличной от нуля всюду в области D_ функции, за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки, в которой она имеет конечный порядок К .

Тогда краевое условие (2) можно записать следующим образом:

tK 2b (t)

Ф+ (t) = Г7ХГ7 Ф- (t) + ^77КеФ+ (t) + fi(t), (3)

b1 (t) +1 b1(t) +1

где J1(t) = f (t}

о+(0(^(0 + !)

Рассмотрим соотношение (3) как неоднородную задачу Римана, считая Яе0+(О известной.

tK

Ко = IndL ,, ч , = К-К, К = IndL(bi(t) +1). bi(t) +1

Если /г0 > 0 , то общее решение задачи (3) будет иметь вид [5]

ф(г) = %(г)[Р(г) + Рщ_х (г)]. (4)

Е> I \ “

■, РК()-1\г) ~ произвольный многочлен степени не

Здесь F(z) = f

1 7Г1 J

2niL

2Ь1(т)Яеф+ (т) + (^)

(Й1(т) +1)

т-z

выше К0 — 1,

1 Патрушев Алексей Алексеевич - доцент, кафедра общей математики, Южно-Уршьский государственный университет.

E-mail: [email protected]

2 Патрушева Елена Васильевна - доцент, кафедра прикладной математики, Южно-Урмьский государственный университет._________________

х(г) =

1, г є Б+

*і( г) +1

- каноническая функция.

Если лг0 < 0, то условия разрешимости задачи Римана запишутся следующим образом:

2Ь1 (т) Яе ф+ (т)

(Й1(т) +1)

-1ёт -1 /1 (т)тк-1ёт = 0, к = 1, • • •, -

(5)

Сравним на контуре £ краевое значение функции ф+{г), аналитической в области £)+, решения задачи Римана (3), с краевым значением ^+(г), которое является решением задачи Шварца для этой области. Приходим к вырожденному сингулярному интегральному уравнению

„ , 2Яе^+(0

относительно неизвестной функции ------------):

Ь1(і) +1

2Яе ф+ (і) (\(І) +1)

- Л(()

+-1- (

2пі'

2 Яе ф+ (т)

.(*1(7) +1)

- /1(т)

ёт

т-і

= ё + Рк0-1(і)

(6)

0 ^ 1 гЯе0+(г)^

Здесь а =----- ----- —ат-с0 , где с0 - произвольная мнимая постоянная.

І7ГІ * 'Т

2кг

Ь

Постоянная ё должна удовлетворять условию

2Яе0+(г)

-1- |

2пі'

/1(т)

ёт

= ё + а

Ьу(т) +1

где а0 = /'А- _| (0) - произвольная постоянная. Если лг0 < 0. то а0 =0.

Решение сингулярного интегрального уравнения (6) запишется в виде [6]

2Яеф+(0_ +

Ь^) +1 1 *°-1 П

где д\ (0 - произвольная аналитическая в области /)_ функция, исчезающая на бесконечности. Тогда

Яе ф+ (і)=2(ь (і) + 1)[а+Рк0 -1 (і) - р- (і)]+

(7)

/ (і)

так как /Лі) = -

' о+(0(*і (0 + 1)

тельнозначная, приходим к неоднородной задаче Гиль

. Учитывая, что правая часть соотношения (7) - функция действи-

/ (і) 1

Яе[-і(Ь (і) + 1)р (і)] = Іт\ (* (і) + 1)[ё + Рк0-1 (і)] +

а+ (і) Г

в классе функций, исчезающих на бесконечности. Общее решение задачи (8) задается формулой [7]

■ -/ ч 1

-щ (г) =

*1( г) +1

(8)

(9)

Здесь (г) = | ^Т ’ Fl^=^^Ы[a^}~(т^)тCІT, “ произвольный

многочлен степени к1 -1, с(і) = Іт {(Ь1 (і) + 1)[ё + РКо-1 (і)]} .

Если кх < 0 , то полагаем Ок = 0 . Тогда функция

1

2т(Ъ1 (г) +1)

■ с(т)(т + г) (т- г)т

/(і) І т + 2

а+ (і) I (т- г)т

ёт

(10)

г

будет исчезающим на бесконечности решением задачи (8) тогда и только тогда, когда выполняются условия разрешимости

Т+тйТ=а, а = -1тк = °’-К1' (11)

На основании формул (7), (9) мы можем теперь выписать в явном виде выражение для Яс0+(7), а также общее решение ф{г) задачи Римана (3). Тогда общее решение неоднородной задачи Маркушевича для единичной окружности определится формулой

¥(.г) =

а+ (г)

к ат+С( 2)+Рк-1

2П ЬТ- г

(г)

г е В+

а- (г )(Й1( г) +1)

— ГМ(Т- Ст + в( г) + РК 1( г)

2П Т-г К°-1

(12)

г е В

Здесь

я (()=ЬЛ() [с+рк° -1^ )]■

Ь1(^)+1

р° () + 0,к-\() + Ящ-ДО

1 ГЯ1(Т)

2т* Т- г

Ст ,

Ъх(1)

Ь1( О +1

ДО а+ ( О

Если /(/) = 0 . то мы имеем однородную задачу Маркушевича. В этом случае С(г) = 0 .

В итоге были получены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть коэффициенты однородной задачи Маркушевича (1) ( /(/)=()) а(1). Ь(1) еЯ(/,). а(1) Ф 0. teL, К'= 1пс11а(1). а также функция Ь} (/) + 1 является краевым значением на контуре Ь, аналитической и отличной от нуля всюду в области /.)_ и /,. за искчюче-нием, быть может, бесконечно удаленной точки, в которой она может иметь конечный порядоккх, /с0 =к-к1.

Тогда однородная задача (I) ( /(/)=()) в кчассе кусочно-аналитических функций, исчезаюгцих на бесконечности,

1) при К] > 0. л*0 > 0 имеет общее решение, определяемое формулой (12) (С(г) = 0), которое линейно зависит от 2/с0 + 2кх = 2к произвольных вещественных постоянных:

2) при к\ > 0. л;> < 0 общее решение задается формулой (12) ((г(г) = 0), (Рк_ _х (г) = 0), которое содержит 2к\ - /, произвольных вещественных постоянных, /, - ранг матрицы коэффициентов однородной системы (5) (если /, = 2к\, то задача имеет только тривиальное решение) :

3) при к\ < 0. л*0 > 0 имеет общее решение, определяемое формулой (12) ((1(г) = 0.

Оц-1 (г) = 0), которое содержит 2к{) — г произвольных вещественных постоянных, г - ранг .матрицы коэффициентов однородной системы (11) (если г = 2к{), то задача, отличного от тривиального, решения не имеет):

4) при к\ <0, л*0 < 0, если функция Ь} (!) +1 удовлетворяет условиям (11) (/'(/) = 0 ) и условиям (5) (/(0 = 0), имеет одномерное пространство решений, определяемое формулой (12) ((г (г) = 0,0 ч (г) = 0, Рк_ _ 1 (г) = 0); в противном случае имеет только тривиальное решение.

Теорема 2. Пусть коэффициенты неоднородной задами Маркушевича а^),Ь^)е Н(Ь), функция /(/)£ Я(Л), а(1) Ф 0, / е Т, а также функция Ь} (!) +1 является краевым значением на контуре Ь функции, аналитической и отличной от нуля всюду в области /)_ и /,, за исключением бесконечно удаленной точки, в которой она имеет конечный порядок.

Тогда неоднородная задача в кчассе кусочно-аналитических функций, исчезающих на бесконечности:

1) при К] > 0. л*0 > 0 имеет общее решение, определяемое формулой (12), которое линейно зависит от 2к произвольных вещественных постоянных:

К

г

2) при к\ > 0. Л‘0 < 0 общее решение задается формулой (12) (г) = 0), если выполняют-

ся -л;, - /, условий разрешимости, выписанных явно (/, ранг .матрицы коэффициентов системы (5)), которое содержит 2кх - 2/, произвольных вещественных постоянных (если /, = л,, ре-

3) при к\ < 0. л,, > 0 имеет общее решение, определяемое формулой (12) (0А._1_1(г) = 0), если выполняются —К] +1 - г условий разрешимости, выписанных явно (г - ранг матрицы коэффициентов системы (11)), которое линейно зависит от 2к{) -2г произвольных вещественных постоянных (при г = Л‘0 решение будет единственным):

4) при К] < 0. л;> < 0 имеет единственное решение, определяемое формулой (12) (Ок]_}(г) = 0./'а; _1 (г) = 0/ тогда и только тогда, когда выполняются -к\ + 1 условий разрешимости (11) и -Л‘0 условий разрешимости (5).

Пример к теореме 1. Рассмотрим трехэлементную задачу Маркушевича на единичной окружности Ь:

у/+ (^) = (2^ +1)2^_ ^) + (3^ +1)^+ (^), I е Ь' (13)

Решение ищем в классе кусочно-аналитических функций, исчезающих на бесконечности. Запишем краевое условие (13) в виде

(2^ +1)2 . . 2^ + П . . .1л,

¥+(<) = -^^-(')+^зТ^КеГ+(,)' (14)

о (2^+ 1)2

В нашем случае к = 1пс!ь (21 + 1)‘ = 2. к\ = 1пс!ь (3/ + 2) = 1. л*0 = 1пс!ь ——— = 1. Очевидно, функ-(2Г + \)2

ция ——— является краевым значением функции на контуре Ь, мероморфной в области /)_ .

Следовательно, на основании формул Сохоцкого, на контуре Ь имеем:

.. 3^ + 1 1 г (Зт + 1)Яе1/г+(т)с1т

¥+ (° = ^7+1 Ке^+ (° + _Г ^ +^; л +а- (15)

3г + 2 тлЬ (3т + 2)(т-^

где а - произвольное комплексное число.

С другой стороны,

_ .. 1 гЯе^+ (т)аТ 1 гЯе^+ (т)аТ

у/+ (ґ) = Яе^+ (ґ) + — I '----------------------— I ' + Со, (16)

т; т-ґ 2т ; т

с0 - произвольная мнимая постоянная. На основании соотношений (15), (16) приходим к вырожденному сингулярному интегральному уравнению

Ке^+(ґ)+1 г Ке^+ (т)ат = 2а а = і а+С0+_!_

3ґ + 2 (3т + 2)(т-ґ) 2 0 2*1 т

(17)

Ь

Решением уравнения (17) является функция

Ке^+(О = (ЗГ + 2)(^-0Г(О), (18)

где <р~ (г) - произвольная аналитическая в области /)_ функция, исчезающая на бесконечности. Так как левая часть выражения (18) - функция действительнозначная, то приходим к однородной задаче Гильберта:

1т

(3ґ + 2)¥- (ґ) = 0, (19)

где *Р (1) = с1 — ср (0 - краевое значение функции, аналитической в области /)_, *Р (°°) = <3. Запишем краевое условие (19) иначе:

(3ґ + 2)¥- (ґ) - (- + 2)¥- (ґ) = 0 , ґ

или

Т+ (I) =(3' + 2)1 Т-(I), Т1(z) = -1 Т(г,)-12|< 1

3 + 21

(20)

Т- (2), | г |> 1.

Функция

Х( 2) =

3 + 2 2* 1

3г + 2'

2 |< 1, 2 |> 1,

очевидно, удовлетворяет условию симметрии = /}л(г) и является канонической симмет-

ричной функцией задачи (20). Следовательно, имеем:

Т- (г) = 1 (2а0 +а(2 + 2_1) + а2/(2 - 2_1)),

3 2 + 2

где а0,ах,а2 е Я.

Тогда на основании соотношения (18)

Яе ^+ (I) = 2а0 + а(1 +1_1) + а2/(1 -1_1).

Заметим здесь, что, так как (°°) = ^ + , то

СКл -Ь 1(Хо 1 . _ .

—^—- = — (а + с0 + 2а0), где

1 г(2а0 +а1(т + т г) + а27(т-т г))с?т = 1 гЯе^+ (т)йт

2Пь

= -^ [ 2п

Откуда решением однородной задачи Маркушевича (13) является функция

¥( 2) =

2а0 + 2а + 7а2)2 - с0, | 21< 1, 32 + 2 ( 4а0 11(ах + 7а2)

(22 +1)2 V 32 + 2 32 + 2

а 7а2 2(а^ + 7а2)

- +

■2а0 1, 121> 1.

где а0,ах,а2,7с0е Я.

Литература

1. Патрушев, А.А. Задача Маркушевича в классе автоморфных функциий в случае произвольной окружности / А.А. Патрушев // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2011. - Вып. 4. - № 10(227). - С, 29-37.

2. Патрушев, А.А. Алгоритм точного решения четырехлементной задачи линейного сопряжения с рациональными коэффициентами и его программная реализация / А.А. Патрушев, В.М. Адуков // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2010. - Вып. 6. - № 35(211). - С. 4-12.

3. Патрушев, А.А. Четырехлементная задача Маркушевича на единичной окружности / А.А. Патрушев // Известия Смоленского государственного университета. - 2010. - № 4. - С. 8297.

4. Патрушев, А.А. О точном и явном решении трехэлементной задачи Маркушевича / А.А. Патрушев, В.М. Адуков // Известия Саратовского государственного университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2011- Т. 11. - Вып. 2. - С. 4-12.

5. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи /Ф.Д. Гахов. - М.: Физматгиз, 1963. - 640 с.

6. Гахов, Ф.Д. Вырожденные случаи особых интегральных уравнений с ядром Коши / Ф.Д. Гахов // Дифференциальные уравнения. - 1966. - Т. 2, № 2. - С. 533-544.

7. Чибрикова, Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л.И. Чибри-кова. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - 301 с.

2

A VARIANT OF THE SOLUTION OF MARKUSHEVICH BOUNDARY PROBLEM

1 2 A.A. Patrushev , E.V. Patrusheva

In the article an explicit method for the solution of Markushevich boundary value problem in the class of piecewise analytic functions is suggested. Boundary condition of the problem is given on the unit circle. The problem is found in a closed form under additional restriction on the coefficient b(t) of the problem.

Keywords: boundary problems for analytic functions, Riemann boundary problem, Hilbert boundary problem, Markushevich boundary problem.

References

1. Patrushev A.A. Zadacha Markushevicha v klasse avtomorfnykh funkciij v sluchae proizvolnoj okruzhnosti [The Markushevich problem in the class of automorphic functions for arbitrary circle]. Vestnik YuUrGU. Seriya “Matematika. Mexanika. Fizika”. 2011. Issue 4. no. 10(227). pp. 29-37. (in Russ).

2. Adukov V.M., Patrushev A.A. Algoritm tochnogo resheniya chetyrekhlementnoj zadachi line-jnogo sopryazheniya s racionalnymi koefficientami i ego programmnaya realizaciya [Algorithm of exact solution of generalized four-element Riemann-Hilbert boundary problem with rational coefficients and its programm realization]. Vestnik YuUrGU. Seriya “Matematicheskoe modelirovanie i programmiro-vanie”. 2010. Issue 6. no. 35(211). pp. 4-12. (in Russ.).

3. Patrushev A.A. Izvestiya Smolenskogo gosudarstvennogo universiteta. 2010. no. 4. pp. 82-98. (in Russ).

4. Adukov V.M., Patrushev A.A. Izvestiya Saratovskogo gosudarstvennogo universiteta. Novaya seriya. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika. 2011. Vol. 11. Issue 2. pp. 4-12. (in Russ.).

5. Gaxov F.D. Kraevye zadachi (Boundary problems). Moscow: Fizmatgiz, 1963. 640 p. (in Russ.).

6. Gaxov F.D. Differencialnye uravneniya. 1966. Vol. 2, no. 2. pp. 533-544.

7. Chibrikova L.I. Osnovnye granichnye zadachi dlya analiticheskikh funkcij [Basic boundary problems for analytic functions]. Kazan: Izdatelstvo Kazanskogo universiteta, 1977. 301 p. (in Russ.).

Поступила в редакцию 18 декабря 2012 г.

1 Patrushev Alexey Alexeevich is Associate Professor, Department of General Mathematics, South Ural State University.

E-mail: [email protected]

2 Patrusheva Elena Vasilievna is Associate Professor, Applied Mathematics Department, South Ural State University.___________