CC BY
27
УДК 519.677+517.544.8
АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ЕГО ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
В.М. Адуков, А.А. Патрушев
ALGORITHM OF EXACT SOLUTION OF GENERALIZED FOUR-ELEMENT RIEMANN - HILBERT BOUNDARY PROBLEM WITH RATIONAL COEFFICIENTS AND ITS PROGRAMM REALIZATION
V.M. Adukov, A.A. Patrushev
Предложен алгоритм точного решения четырехэлементной задачи линейного сопряжения с рациональными коэффициентами на единичной окружности. Алгоритм основан на сведении задачи к матричной краевой задаче Римана. Создана процедура, реализующая этот алгоритм в среде Maple. Используются вычисления в поле Q(г).
Ключевые слова: задача Маркушевича, четырехэлементная задача линейного сопряжения, матричная краевая задача Римана, явные и точные решения
An algorithm for an exact solution of the generalized four-element Riemann - Hilbert boundary problem with rational coefficients on unit cirle was suggested. An algorithm is based on a reduction of the problem to the matrix Riemann boundary problem. The Maple procedure for a realization of the algorithm is made. Calculations in the field Q(i) are used.
Keywords: Markushevich boundary problem, generalized four-element Riemann - Hilbert boundary problem, explicit and exact solutions
Введение
Пусть Г - единичная окружность \z\ = 1, D+ - круг \z\ < 1, D_ - дополнение замкнутого круга \z\ < 1 в расширенной комплексной плоскости С = C[J{oo}. Рассмотрим следующую четырехэлементную задачу линейного сопряжения аналитических функций [1]: найти функции ip+(z), ip-(z), ср-(оо) = О, аналитические соответственно в областях D+ и £)_, непрерывно продолжимые на контур Г, граничные значения которых на Г удовлетворяют условию сопряжения
a(t)<p+(t) + b(t)ip+(t) = + d(t)(p-{t) + f{t). (1)
Здесь коэффициенты a(t), b(t), c(t), d(t) и свободный член f(t) - заданные на контуре Г функции класса Гельдера; (pit) - функция, комплексно сопряженная с 'p(l)- Если a(t) = 1,
Ь(1) = 0, то получаем трехэлементную задачу, которую часто называют задачей Маркуше-вича. Задача, союзная к задаче Маркушевича, также имеет вид (1) при с(1) = 1, (1(1) = 0. Классическая двухэлементная задача Римана является частным случаем задачи (1), если положить а(£) = 1, Ь(1) = 0, ¿(¿) = 0. Однако, далее мы считаем, что в граничном условии (1) обязательно содержится операция комплексного сопряжения, т.е. Ь(Ь) ф 0 или с£(£) ф 0. В этом случае множество всех решений однородной четырехэлементной задачи является линейным простанством над полем действительных чисел М.
Частные случаи сформулированной выше задачи имеют многочисленные приложения в теории фильтрации, электродинамике, теории оболочек [1] - [3].
Известно [4], что задача (1) нетерова, если
<5(£) = а(£)с(£) — 6(£)с?(£) ф 0 на контуре Г. При этом ее индекс к совпадает с удвоенным индексом Коши функции ¿(¿):
х = 2 = — [а^5(1;)]г .
7Г
Для нетеровой задачи (1) пространство решений однородной задачи конечномерно, а неоднородная задача разрешима, если функция /(£) удовлетворяет конечному числу действительных условий разрешимости. Если I - число линейно независимых решений однородной задачи, ар- число линейно независимых условий разрешимости, то I — р = к.
Полной теории задачи (1), как и задачи Маркушевича, в настоящее время нет. Характеристики I и р вычислены только в некоторых частных случаях, а решение в явном виде построено еще реже. Эффективный метод решения задачи Маркушевича, основанный на приведении ее к уравнению Фредгольма, разработан в статьях [5, 6].
Поскольку задача (1), вообще говоря, неустойчива, и нет эффективно проверяемых критериев ее устойчивости, то не разработаны и приближенные методы ее решения. Более того, даже если в каких-то частных случаях построен явный или эффективный алгоритм решения задачи (1), то это не гарантирует, в силу неустойчивости, что его можно использовать в вычислительных целях.
Задача (1) на окружности может быть сведена к матричной задаче Римана для двумерного вектора, а числа I и р выражаются через частные индексы матричного коэффициента этой задачи [1, 7]. Но теория матричной задачи Римана испытывает точно такие же трудности, и поэтому применить ее методы к нахождению явного решения задачи (1) до сих пор удавалось только в вырожденных случаях, когда |а(£)| = |£>(<)| или |с(й)| = |й(<)|-
Если коэффициенты а(£), Ь(£), с(£), (¿(¿) - рациональные функции, то элементы матричного коэффициента соответствующей задачи Римана также будут рациональными функциями. Известно [4], что тогда задача Римана может быть решена эффективно, однако этот алгоритм решения вряд ли может быть реализован программно. В [8, 9] в более общем случае мероморфного коэффициента задачи Римана было получено ее явное решение, включающее и явное вычисление частных индексов средствами линейной алгебры [8, 9]. Была также найдена причина неустойчивости матричной задачи Римана в данной ситуации. Оказалось, что она обусловлена неустойчивостью вычислительных процедур нахождения ранга матриц и решения систем линейных однородных алгебраических уравнений. Это позволило довольно успешно бороться с неустойчивостью задачи Римана. В работе [10] в условиях, когда возможны точные вычисления в рациональной арифметике, алгоритм построения этого явного решения был реализован программно в среде Мар1е [10]. Кроме того, вычислительные эксперименты, проведенные в [10], показали, что использование сингулярного разложения матриц позволяет преодолеть неустойчивость и в случае приближенных вычислений.
Целью данной работы является применение этих результатов для разработки алгоритма нахождения точного решения четырехэлементной задачи Маркушевича. Под точным
решением данной задачи мы понимаем ее явное решение, которое использует конечное число операций точной арифметики, например, арифметики мнимого квадратичного поля Q(і).
Важность такого решения несомненна ввиду неустойчивости задачи. Разработанный алгоритм реализован в системе компьютерной математики Maple в виде процедуры ExactMar-kushevich.
Необходимость проводить вычисления в рациональной арифметике налагает довольно обременительные условия на рациональные функции a(t), b(t), c(t), d(t), f(t). Мы будем считать, что:
а) коэффициенты при степенях t в этих функциях принадлежат полю Q(г),
б) нули функции S(t) — a(t)c(t) — b(t)d(t) и полюсы a(t), b(t), c(t), d(t), f(t), лежащие в круге D-1_, - также числа из Q(î).
В некоторых случаях, например, для классической трехэлементной задачи Маркушеви-ча, эти требования могут быть ослаблены. Условие рациональности функций a(t), b(t), c(t). d(t), fit) не являются необходимым условием для реализации предложенного алгоритма, а вызваны неразработанностью программного обеспечения комплексного анализа в системах компьютерной математики. Возможно, это требование также в дальнейшем удастся ослабить.
1. Алгоритм точного решения
Перейдем к построению укрупненного алгоритма нахождения точного решения четырехэлементной задачи Маркушевича.
1 шаг. Сведение задачи к матричной задаче Римана [1, 7].
Решение (p+(z), <p~(z) задачи (1) мы будем рассматривать как кусочно аналитическую функцию
V>+(z), zeD+,
Фі (-г) = Л , , „
заданную на С\Г и исчезающую на бесконечности. Окружность Г является для нее линией разрыва. Функции <р±(г), аналитические в областях П±, продолжим с помощью симметрии
г —> - относительно окружности Г в области Пц. определив аналитические в функции
ср± (z х). Зададим кусочно аналитическую функцию
[г <р+{г х), г € £>_.
Множитель введен здесь для того, чтобы выполнялось условие #2(00) = 0. Для краткости обозначим Ф*(г) = Ясно, что Фх(гг) = Ф^гг).
Функция Фг(-г) непрерывно продолжается на контур Г из областей Т)±, и для ее граничных значений Ф^(£) справедливо
Ф+(і) = Ь(р- (і), Ф2 (*) = і<р+ (г).
Присоединим к уравнению (1) уравнение, полученное применением к (1) операции комплексного сопряжения. Полученная система для функций Ф^ (¿), Ф^(£) может быть записана в виде матричной задачи Римана
Ф+(г) = С(г)Ф-(г) + т (2)
где Ф(г) = (*£>) - кусочно аналитический вектор, имеющий граничные значения Ф±(^)
Ф±(4) *2(0
c(t)\2 — |e?(i)j2 t[a(t)d(t) — c(t)b(t)] \a{t)\2 - |6(i)|
t
ГГ t ( s R \ f®Uz)
Для кусочно аналитического вектора <P(z) = I Л ' I обозначим Ф (z) = I - . -
^ / ч ооозначим ч? [г = ", ч
\Фг(*)/ \Ф*(г)
Если Ф(г) = Ф*(г), то вектор Ф(^) будем называть симметричным. Таким образом, каждое решение Фі(гг) задачи (1) порождает симметричное решение матричной задачи Римана (2). Легко проверить, что матричный коэффициент Є (і) удовлетворяет условию
G(t)JG(t)J = 7, (3)
Jj, I - единичная матрица второго порядка, а свободный член F(t) - такой,
= 0. (4)
Эти два условия гарантируют существование симметричных решений задачи (2) в случае, когда эта задача разрешима. В самом деле, если Ф(-г) - произвольное решение (2), то
при выполнении условий (3) - (4) вектор Ф* (гг) - также решение (2), и тогда - [Ф(г) + Ф*(<г)]
- симметричное решение.
Ясно, что для любого симметричного решения Ф(г) = задачи (2) функция
Ф\(г) будет решением задачи (1).
Итак, четырехэлементная задача (1) эквивалентна задаче отыскания всех симметричных решений матричной задачи Римана (2).
2 шаг. Построение канонической матрицы для матричной задачи Римана.
Известно (см., например, [4]), что, если найдена так называемая каноническая матрица Х(г) задачи (2), то легко проверить условия разрешимости этой задачи и построить ее общее решение. В свою очередь, нахождение Х(г) равносильно построению левой факторизации матричного коэффициента 0(1):
Т 1°
где J = I 1
что
G(t) = G+(t)d(t)G-(t).
Здесь G±(t) - матрицы-функции, аналитические и обратимые в областях D±, напрерывно продолжимые на контур Г, a d(t) = diag[iKl, tK2] - диагональная матрица-функция, к\ + «2 = к = 2 indri(t). Целые числа к\ > к2 называются частными индексами. Они являются важными инвариантами задачи (2), а, следовательно, и (1). Каноническая матрица X(z) в терминах факторизации строится следующим образом:
Y(z fE D+,
(Z) ~ \GZ1(z)d^1(z), z Е D-.
Мы предполагаем, что коэффициенты a(t), b(t), c(t), d(t) задачи (1) - рациональные
плексно сопряженные к рациональным, также будут рациональными, и, следовательно, матричный коэффициент G(t) задачи (2) - рациональная матрица-функция.
В этом случае задача факторизации может быть решена явно [8]. Алгоритм точного решения описан в работе [10]. Точное решение предполагает вычисления в рациональной арифметике. Это объясняет ограничения а), б), наложенные на a(t), b(i), c(t), d(t), S(t). При данных ограничениях алгоритм реализован программно в среде Maple в виде процедуры ExactFactorization [10]. Воспользовавшись этой процедурой, мы можем построить каноническую матрицу X(z), которая, очевидно, также является рациональной матрицей-функцией.
3 шаг. Построение общего решения однородной четырехэлементной задачи.
В соответствии с вышесказанным, для нахождения всех решений однородной задачи (1) требуется найти множество всех симметричных решений однородной задачи Римана (2). Легко видеть, что это множество является конечномерным пространством над полем Ж,
пространства. Тогда кусочно аналитические функции ^рг(г),..., будут образовывать базис пространства решений однородной задачи (2).
Если частные индексы к2 неположительны, то однородная задача (2), а, значит, и однородная задача (1) допускает в классе исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций только нулевое решение.
Если среди частных индексов имеются положительные, то размерность А (над С) пространства решений однородной задачи (2) совпадает с суммой положительных частных индексов. При этом, если к\ > 0, к,2 < 0, то базисом является система кусочно аналитических векторов Х1{г),гХ1{г),... ,гК1~1Х1(г), а при к\ > 0, К2 > 0 - система Х1(г),
первый и второй столбцы канонической матрицы Х(г). Далее этот базис мы обозначаем Через Ф1^), . . • , ФА(^), А = К\ ИЛИ А = К\ + К2-
Условие (3) гарантирует нам, что векторы (Ф1 (;?))*,..., (ФА(г))* также являются решениями однородной задачи (2). Это позволяет нам построить 2А симметричных решений этой задачи:
Легко видеть, что система (5) является полной в пространстве над С всех решений однородной задачи (2) и полной в пространстве над К всех симметричных решений однородной задачи (2). Поэтому ранг над С системы (5) равен А. С другой стороны, легко проверить, что линейная независимость над С любой системы симметричных векторов равносильна линейной независимости над М. Поэтому ранг системы (5) над М также равен А. По этой причине мы можем далее не уточнять, над каким полем рассматривается линейная независимость любой подсистемы системы (5).
Таким образом, размерность I пространства всех симметричных решений однородной задачи (2), а, значит, и пространства всех решений однородной задачи (1) совпадает с суммой А положительных частных индексов.
Осталось выбрать базис системы (5). Из условия сопряжения Ф+(<) = Ст(£)Ф.(I) следует,
что линейную независимость любой подсистемы системы (5) достаточно проверять только в области т.е. для «плюс»-компонент кусочно аналитических векторов. Эти компоненты являются рациональными вектор-функциями, не имеющими полюсов в П+. Поэтому,
функции. На единичной окружности выполняется условие £ = —. Поэтому функции, ком-
и, значит, нам необходимо построить базис
этого
zXx(z),... ,zKl 1X1(z), X2(z), zX2(z),..., zK2 1X2(z). Здесь Хг(г), X2(z) - соответственно
\ [Ф1^) + (Ф1^))*] , ■ ■ • [ФАИ + (ФА(*))*] ,
[ф1^) - (Ф1 (*)Г], • • ■ [фА(^) - (ФА(*)Г •
(5)
умножив все векторы системы (5) на подходящий полином, мы сведем дело к проверке линейной независимости полиномиальных векторов. Пусть N - максимальная из степеней полиномов, входящих в преобразованную систему (5). Каждый полином из этой системы мы будем рассматривать как полином формальной степени N и поставим ему в соответствие (N + 1)-мерный вектор, составленный из коэффициентов этого полинома. Таким образом, системе (5) мы поставим в соответствие систему, состоящую из (2N + 2)-мерных векторов. Базис этой системы можно найти стандартыми методами линейной алгебры. В системе Maple для этих целей служит процедура Basis. Найдя номера векторов, входящих в базис, мы можем восстановить и базис системы (5). Таким образом, алгоритм нахождения базиса пространства решений однородной задачи (1) построен.
4 шаг. Построение общего решения неоднородной четырехэлементной задачи.
Чтобы найти общее решение неоднородной четырехэлементной задачи (1), нам нужно выяснить, когда эта задача разрешима, и отыскать ее частное решение. Как уже отмечалось при описании шага 1 алгоритма, неоднородная задача (1) разрешима тогда и только тогда, когда разрешима соответствующая матричная задача Римана (2). Известно (см., например, [4]), что задача (2) разрешима безусловно (т.е. при любой правой части F(t)), только если индексы Ki, К2 являются неотрицательными. В этом случае кусочно аналитический вектор Ф(-г) = X(z)ft(z) является решением неоднородной задачи (2). Здесь вектор П(г) находится по формуле
ными функциями, мы можем найти компоненты 0±(<г) кусочно аналитического вектора не используя интегралы типа Коши. Пусть Л(г) - рациональная функция, имеющая полюсы в точках г\,... ,гт области и 61(2),...,От{г) - главные части рядов Лорана
функция, исчезающая на бесконечности, a R+{z) = R(z) + R-(z) - функция, аналитическая в D.|_. Таким образом, разложение R(z) = R+{z) — R-(z) является разложением по формулам Сохоцкого и
Этот способ построения кусочно рациональной функции реализован в виде процедуры
задачи (2) и решение ^ + Ф^)] неоднородной задачи (1).
Если среди индексов К1, к2 есть отрицательные, то неоднородная задача (2) разрешима тогда и только тогда, когда правая часть ^(¿) удовлетворяет некоторым условиям разрешимости. При к\ > О, К2 < 0 эти условия состоят в том, что элемент Г2г(^) кусочно аналитического вектора П(г) должен иметь в бесконечно удаленной точке нуль порядка не ниже, чем \к2\ +1- Если же К| < 0, к,2 < 0 , то к этому условию добавляется требование, что 01 (г) имеет в бесконечности нуль порядка не ниже, чем |«1| + 1. Таким образом, число р условий
В нашем случае, когда элементы матрицы (/;) и вектора Р(1) являются рациональ-
R(z) в окрестности этих точек. Тогда R~{z) = —G\{z) — ■ ■ ■ — Gm(z) - аналитическая в D_
z е -C)+j г е D—
(6)
8окЬю<хкп. Применив ее к элементам вектора С?+Х(£).Р(£), мы найдем кусочно аналитический вектор 0,(г) и получим решение неоднородной задачи Римана в виде
z Є D+, z Є D-.
(7)
Теперь мы можем отыскать симметричное решение
разрешимости задачи (2) равно сумме отрицательных частных индексов, взятой с обратным знаком. Для проверки выполнимости данных условий мы разлагаем рациональные функции £lj(z) в ряд Лорана в окрестности бесконечности и проверяем равенство нулю коэффициентов при -j—г, j = 1,2. При выполнении условий разрешимости вектор-функция (7)
гг Z
по-прежнему является решением неоднородной задачи (2), а, значит, ^ [Ф^-г) + Ф^)] будет решением исходной задачи (1).
2. Описание процедуры
Опишем теперь процедуру ExactMarkushevich, реализующую вышеуказанный алгоритм. Ей передается пять параметров а, Ь, с, d, / — коэффициенты задачи (1) и ее свободный член. Перед обращением к процедуре требуется подключить пакет LinearAlgebra. Приведем пример обращения к процедуре
>with(LinearAlgebra)
>а:=1; b:=0; c:=t; d: = (l+3*t~3)/t'~4; f:=l/(2*t+l)~4;
>ExactMarkushevich(a,b,c,d,f).
Поскольку точные вычисления предполагают использование рациональной арифметики, то должны быть выполнены условия а), б). Выполнимость а) обеспечивает пользователь. Процедура проверяет выполнение условия б) и условие нетеровости S(t) ф 0. Если они нарушены, то процедура выдает соответствующее сообщение и заканчивает работу.
Процедура возвращает числа I, р и базис пространства решений однородной задачи, если это пространство нетривиально. Кусочно аналитические функции, входящие в базис, представлены двумерными строками, в которых первый элемент есть компонента, аналитическая в области D .[, а второй - компонента, аналитическая в D .
Условие б) для свободного члена f(t) и условия разрешимости задачи процедура проверяет после решения однородной задачи. При невыполнении их процедура выдает соответствующие сообщения и заканчивает работу. В случае разрешимости задачи процедура возвращает частное решение неоднородной задачи в виде двумерной строки.
Пример 1. Приведем пример точного решения неустойчивой неоднородной задачи Мар-кушевича с помощью процедуры ExactMarkushevich. Зададим
1 Q/3 1
a(t) = 1, b(t) = 0, c(t) = t, d(t) = —, f(t) = Щ - -yj.
В результате работы процедуры мы получаем значения I = 4, р = 2 и базис
(Л ^L. ±_1_\ (_Ы J_________________________М
V 2 + ~2~’ 2t4 ~ 2tJ ’ V + ~2~’ 2i3 212 J ’
/ Зг 3it3 г i \ / 3it 3it2 i i \
\ 2 ~~ ~2~' 2? + 21)’ V 2 2~’ 2t? + 2fi)
пространства решений однородной задачи Маркушевича. Далее процедура проверяет условия разрешимости неоднородной задачи Маркушевича, определяет, что данная задача разрешима, и возвращает ее частное решение
/ i(2 + 3i3) 3i3 — 2 \
V 2(i + 2)4 ’ 2t(2t + I)4 ) '
Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ-Урал, грант №07-01-96010
Литература
1. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. - М.: Наука, 1977. - 448 с.
2. Емец, Ю.П. Точное решение задачи о формировании тока в двоякопериодической гетерогенной системе / Ю.П. Емец, Ю.В. Обносов // Доклады АН СССР. - 1990. - Т. 309, № 2. - С. 319 - 322.
3. Векуа, И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа. - М.: Физматгиз, 1959.
- 628 с.
4. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. - М.: Наука, 1970. - 380 с.
5. Расулов, K.M. Об одном методе решения граничной задачи Маркушевича в классе аналитических функций / K.M. Расулов // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сб. науч. тр. - Смоленск, 2001. -Вып. 3. - С. 98 - 108.
6. Расулов, K.M. О решении обобщенной граничной задачи Маркушевича в классе аналитических функций / K.M. Расулов // Системы компьютерной математики и их приложения: сб. тр. Междунар. науч. конф. - Смоленск, 2002. - С. 137 - 142.
7. Чибрикова, Л.П. К решению одной общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в случае алгебраических контуров / Л.И. Чибрикова, Л.Г. Салехов // Тр. семинара по краев, задачам. - Казань, 1968. - Вып. 5. - С. 224 - 249.
8. Адуков, В.М. Факторизация Винера - Хопфа мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4, вып 1. - С. 54 - 74.
9. Адуков, В.М. Факторизация Винера - Хопфа кусочно мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Матем. сборник. - 2009. - Т. 200, № 8. - С. 3 - 24.
10. Адуков, В.М. О точном и приближенном решении задачи факторизации Винера - Хопфа для мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та, серия «Математика, физика, химия». - 2008. - № 7(107), вып. 10. - С. 3 - 12.
Адуков Виктор Михайлович, доктор физико-математических наук, кафедра дифференциальных уравнений и динамических систем, Южно-Уральский государственный университет, avm@susu.ac.ru.
Патрушев Алексей Алексеевич, кафедра общей математики, Южно-Уральский государственный университет, avm@susu.ac.ru.
Поступила в редакцию 22 июня 2010 г.
