О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Неймана в классах метааналитических в круге функций с применением системы компьютерной математики Maple Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сенчилов В.В.

Смоленский государственный университет, г. Смоленск, к.ф.-м.н., доцент кафедры информатики,

senchilov. vv @ gmail .com

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ ВИДОИЗМЕНЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА НЕЙМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Краевая задача, метаналитическая функция, условие нетеровости, система компьютерной математики Maple.

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрен алгоритм решения видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических функций в круге при помощи общего подхода, основывающегося на представлении метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории задачи типа Римана для аналитических функций. Описаны необходимые и достаточные условия разрешимости задачи типа Неймана, а также указаны условия, при которых рассматриваемая задача является нетеровой. Описана процедура, реализующая этот алгоритм в среде Maple.

1. Постановка задачи. Пусть T+ - односвязная область на плоскости комплексного

переменного z=x+iy, ограниченная простым гладким замкнутым контуром L, уравнение которого

имеет вид: t = x(s) + zy(s), 0<s<l, где s - натуральный параметр. Через T- будем обозначать

дополнение T + 5L до полной комплексной плоскости.

Напомним (см., например, [1], [4]), что функция F (z )=U (x ,y )+i V (x,y ) называется

метааналитической в области T+, если она имеет в T+ непрерывные частные производные (по x и

у) до второго порядка включительно и удовлетворяет там уравнению

82F 8F „ А

6 ai^=" 6 aoF = 0 (1)

8z 8z

где д/д z = (д/д x+i д/д y )/2 - дифференциальный оператор Коши-Римана, а ао и ai -некоторые комплексные постоянные.

Как известно (см. [1], с. 139), если Ах и ^ - корни квадратного уравнения

++ 6 а1+ 6 a0 = 0, (2)

то всякую метааналитическую в области T+ функцию F+ (z) можно задать в виде

F+ (z)=[ф+ (z) + z$++( z)]exp{X0z} ,если ^ = X2=X0 , (3)

или

F+(z)= ф+(z)ехр{Х1z}+ф+(z)ехр{X2г}, если X2 (4)

где ф+(г) (к = 0, 1) - аналитические в Т+ функции, называемые аналитическими

компонентами метааналитической функции Р

Рассматривается следующая краевая задача. Требуется найти все метааналитические

функции К^) класса М 2( Т ±)пН(2)( L) , удовлетворяющие на Ь следующему краевому условию:

Ц^1 + С (Г) ^=д (t), (5)

д п

где д/дп - производная по внутренней нормали к Ь, а О(Г), д(Г)— заданные на Ь функции класса Н(Ь).

Отметим сразу, что при О (Г )=0 задача (5) представляет собой задачу Неймана в классе метааналитических функций. Поэтому при О (Г )^0, Г, сформулированную задачу будем

называть видоизмененной задачей типа Неймана для метааналитических функций или короче задачей N. При этом, если д (t )=0 , то задачу (5) называем однородной.

В данной статье будет установлено, что задача Неймана (т.е. задача (5) при G (t )=0 ) в классе метааналитических функций не является нетеровой (см. также [2], [3]). Однако, как будет установлено ниже, видоизмененная задача типа Неймана для метааналитических функций является нетеровой.

Всюду в дальнейшем в качестве области Т+ будем рассматривать единичный круг с центром в начале координат, т.е. Т + = ^: |^<1} .

Сначала покажем, что задача Неймана для метааналитических функций не является нетеровой. Для этого достаточно заметить, что все метааналитические в круге Т + = {: |^<1} функции вида

F+( z ) = ( гп-1 + г-гп) ехр {Ло г}, где п - произвольное натуральное число, а Л0 - любое комплексное число, являются решениями однородной задачи Неймана (5). Следовательно, число линейно независимых решений однородной задачи Неймана не является конечным, а значит, задача Неймана для метааналитических функций не нетерова.

2. О решении видоизмененной задачи Неймана в круге. Для полноты исследования необходимо рассмотреть два случая в зависимости от того, в каком виде будем искать решение задачи: в виде (3) или (4). Однако в данном сообщении будем рассматривать лишь первый случай, т.е. случай Л1 = Л2= Ло , и будем искать решение задачи N в виде (3).

Так как (см., например, [1], с. 102)

А), г=(6)

дп ( дt дt) ёэ (6)

-_1 г

и t =it, t = tто с учетом представления (3) краевое условие (5) можно переписать в

виде

где

+ +^ ф+ (t) + ^ ф+ (t)_gi( t)[ ^]=Э,(t) , (7)

Тл-XJ

Gi(t ) = G(t, ~i(t) = -g(t. (7a)

Вводя в рассмотрение новые аналитические соответственно в T+ и T~ функции вида

Ф+(z)= z3^М+z^^+Л0zф„+(z)+(z+ )ф+ (z), zeT +, (8)

ф-(z)=j)+^). zeT-, (9)

краевое условие (7) можно записать так:

Ф+(t)=Gj(t)Ф-(t) +gi(t), teL, (10)

где Gj(t) = t3Gj(t), gj(t) = -t2~j(t)• e~'0'.

Замечание 1. Отметим, что для всякого z, не лежащего на контуре L, из равенства (9) вытекает "условие симметрии":

Ф-( z )= z* ф+ (z*)+ ф+ (z* ) , (*)

где z* - точка, симметричная z относительно контура L.

Равенство (10) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно кусочно-аналитической функции ф (z )={ Ф+ (z), Ф- (z)} .

Пусть Xi = IndGx (t) . Тогда, как известно (см., например, [1], с. 54), при Xi—0 решение задачи Римана (10) задается в виде

Ф-

(г) = Х-(г)[ф-(г)+Р^(г)] ,

(10а)

где X-( г )

1 г д1(т) ёт

канонические функции задачи, Ф (г ) = ——т J—++

2 т 1 Х+( т) т_ г '

многочлен степени не выше X1 с произвольными комплексными коэффициентами. Если же X 1< 0 , то решение задачи (10) по-прежнему задается формулой (10а), при выполнении следующих _ X1 условий разрешимости:

с д,(т) . .

/^т тк-1 ёт=0, к = 1,2,... , _ х 1. (10б)

1 х (т)

Следовательно, решая задачу (10) (в случае ее разрешимости) определим аналитические функции ф+( г) и Ф_( г) по формулам (10а).

Далее, заменяя z на 1 / % из (9) будем иметь:

)+ш)=ф_( 1 /1) или ф+(£)+ф+(£)=ф_( 1 /Г), |с|<1. (11)

Наконец, заменив в (11) С на z и умножив обе части полученного равенства на г2 , получим

г3ф+( г) + г2ф+( г) = г2ф_( 1 /г), геТ+ . (12)

Дифференцируя по z из (12) находим

ёг

■о г

ёф+(г)

ёг

о3г2ф+ (г)+2гф+ (г)=ё[г2Ф_( 1 /г)] . (13) 0 1 ёг

В свою очередь, из (8)

,ёф+°( г) 2 ёф+( г)

Л(гф+(г) + ф+(г)) + гф+(г) = Ф+ (г) .

, - + Г + Л0 ( гф0 ( г ) + ф1 ( г )) + гф1 ( г ) = Ф' ( г ) . (14)

ёг ёг 0 0 1 1

Вычитая из (13) равенство (14) и учитывая в полученном равенстве соотношение (12), будем иметь

г2<0+ (г) - (z) = (+ - 2г) • Ф-(1/z) 6 ^ 2Ф(1/г)

аг

-Ф6 (г ).

На основании равенств (12) и (15) получается следующая система

г2ф + (г )+гф+ (г) = гФ_( 1/г), г£Т+,

-2ф+(г)_гф+1 (г)=Ф{(г), геТ+, где Ф+( г )=( Л0_2 г )-Ф_( 1 / г) + ^ [ г2 Ф_( 1 /г )]_Ф+( г) .

Решая систему (16) относительно ф+( г ) и ф+ (г ) получаем

ф++( г ) = Л <( г), ф+( г ) = ^ Щ( г),

(15)

(16)

2г

2"0^' 2г 1

(17)

где

№+(г) = гФ (1/г)+Ф+(г), №+(г) = гФ (1/г)+Ф+(г), геТ+. (17а) Из (17 и (17а) видно, что для того, чтобы функции <0(2) и (2) были аналитическими в круге Т + (т.е. для разрешимости задачи N ) функция № + (г) должна иметь в точке z = 0 нуль не ниже второго порядка, а функция № + (г) - нуль не ниже первого порядка. Очевидно, что последние условия можно записать соответственно в виде:

1

/ dt = 0, р = 1,2,

I Гр

Г-^- dt=0.

Замечание 2. Важно отметить, что при X1—0 выражения для функций г) и М +(г ) (в силу (10а) и (17а) ) линейно зависят от X1 + 1 произвольных комплексных

постоянных. Поэтому равенства (18) можно записать в виде трех линейных алгебраических уравнений относительно указанных произвольных постоянных. Следовательно, выполнение условий (18) можно добиваться за счет определенного выбора некоторых произвольных постоянных, входящих в выражения W + (г) и М + (г ) .

В силу (3), при выполнении условий (18) (а также условий (10б) в случае X 1< 0 ), решение исходной задачи N можно задавать формулой

F+( г)

1 М + (г)+М +(г)

Х0 г

е 0 , (19)

2г2 04 ' 2г где М + (г), М + (г) определяются по формулам (17а).

Таким образом, получили следующий результат.

Теорема 1. Пусть Т+ = {г: |г|< 1} и уравнение (2) имеет один (двукратный) корень. Тогда решение задачи N сводится к решению обычной скалярной задачи Римана (10). Кроме того, если X1—0 , то задача N разрешима тогда и только тогда, когда выполняются три условия вида (18) и ее общее решение, задаваемое формулой (19), линейно зависит не менее чем X1-3 (при X 1>3 ) произвольных комплексных постоянных. Если же X1 < 0, то для разрешимости задачи N необходимо и достаточно выполнение условий (10б) и (18), причем в этом случае задача N будет иметь единственное решение.

3. Пример. Пусть L = {г:|г|=1} . Требуется найти все метааналитические в области Т + = {г :|г|< 1} функции F 6 ^), являющиеся решениями уравнения

г ) = 0 (20а)

д г2 д г

и удовлетворяющие на L следующему краевому условию:

+

1

О(Г )=е7-, д(Г )=-4.

Г 2

+ е^-Р+Ш = -

д п+ г2

е ( г )=-^ . (20б)

Рассмотрим характеристическое уравнение для уравнения (20а):

X2-2 X+1= 0 .

Это уравнение имеет один (двукратный) корень Х0 = 1 , поэтому метааналитическую в области Т + функцию (г) будем искать в виде

Р+(г)=

ф+(г) + г-ф +(г )

•ег , (20в)

где ф+( г ) , ф+( г) - аналитические в т6 функции.

С учетом представления (20в), вводя в рассмотрение вспомогательные аналитические соответственно в Т + и Т- функции вида

ф+( г ) = г з ¿^Ы + г2 + гф++( г) + (г +1) ф+( г), г еТ +, (20г)

d г d г

ф-( г )=1 1)+ф+( 1).

г еТ-

(20д)

краевое условие (20б) можно записать так:

Ф+(Г) = Г3-Ф"(Г) + 1, ГеL . (20е)

Равенство (20е) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно кусочно-аналитической функции ф(г) = {Ф+(г), Ф-(г)} . Найдем индекс задачи: X = Ind(Г3)=3 .

Так как X — 0 , то задача безусловно разрешима и ее общее решение задается формулой

(10а).

Следовательно, решение задачи (20б) имеет вид

Ф+( г

с3 г 3+с 2 г2 + с1 г + с 0+1,

ф~

1

1

г )=с з + с 2 - + с1 — + с + —,

г г г

г еТ +, геТ—,

где с0

с 1, с2, сз - произвольные комплексные постоянные.

(20ж)

Далее, из (16) с учетом (20ж), будем иметь:

г2ф +(г)+гф+(Г)= с3г+с~2г2+ с^г3+ с+г

геТ +.

г2ф+(г)-гф+ (Г) = Ф+(г), геТ+,

(20з)

где

Ф+( г ) = 3 с0 г4 + (с0 + 2 с1-с3) г3 + ( с1 +с2 с2) г2 +( с2 с 1) г+ с3-с0-1 . Решая систему (20з) относительно ф+( г ) и ф+(г ) , получаем

ф++(г )=-Чм++(г), ф+(г )=^М+(г), геТ+

2 г

2 г

(20и)

где

М +( г )= 4с + г4+( с+ + 3 с 1-с3) г3 + (с 1 + 2с2 с2) г2 + ( с2 + с3-с 1)г +с3-с +-1,

М +(г)=-2с+г4-(с++с1-с3)г3-(сГ-с2)г2-(с2-с3-с 1)г—с3+с++1 геТ+ •

Так как функция М +(г) должна иметь в точке г = 0 нуль не ниже второго порядка, а функция М + (г) - нуль не ниже первого порядка, то решим следующую систему:

с, + с3-с,=0 г_

2 3 1 с,=с 3 + с 2 с3—с0-1=0 » 1 3 2 ,

3 + с+= с3—1 , с3—с+—1 = 0 1 0 3

то есть функции ф +(г ) и ф+(г ) имеют вид:

ф+(г )=2(с3—1) г2+1 (3с3+3с2—1)г+с~2+2 с3, геТ+, ф+( г )=(1—с3) г3—1 (с 3+ с 2 1) г2—1 с 3 г+ с"3, г еТ +.

(20л)

Таким образом, общее решение задачи (20а), (20б) имеет вид: Р+( г ) = [ 2 (с 3—1) г2 +1 (3с3+3с2—1

'3 '2 ("""3 ' ^2 ■"-) г +с2 + 2 с3 +

1

+ г-| (1—с3)г3—1 (с3+с2—1)г2—2с3г +с311-е"

-3'

'3

(21)

где с2, с3 - произвольные комплексные постоянные.

4. Описание процедуры ExactNeumann

Опишем основные особенности процедуры ЕхасШеитапп, реализующую алгоритм решения рассмотренной выше задачи.

Процедура имеет 4 входных параметра: числовые параметры а1, а0 условия (1), а также функциональные параметры gb и gs условия (5). Учитывая результаты, полученные в статье Адукова В.М. [5], можно сделать вывод о необходимости накладывания дополнительных требований к параметрам ao и ai уравнения (1), а также функциям G (t), g (t) условия (5). Эти требования позволят применить возможности символьных вычислений системы Maple и получить результат в виде, доступном для дальнейшего использования.

Перед обращением к процедуре требуется подключить пакет LinearAlgebra. Тогда обращение к процедуре будет иметь вид:

>with (LinearAlgebra)

>al:=-2; а0:=1; gb:=exp(l/t - t); gs:=(-l)*exp(l/t)/(tA2); > ExactNeumami (al, aO. gb, gs).

Рис.1. Способ обращения к процедуре ExactNeumann В результате использования указанных начальных данных получен следующий результат:

, 1 ^2 2 2) 2 ^ 2 2 2j 2 J J

Рис.2. Результат работы процедуры ExactNeumann

Поскольку точные вычисления предполагают использование рациональной арифметики, то контроль за рациональностью коэффициентов задачи Римана (10) на данном уровне решения проблемы обеспечивает пользователь, однако дальнейшее решение, в том числе и проверка условий разрешимости (10б) и (18), осуществляется програмно, и в случае их не выполнения процедура выдает соответствующее сообщение и прекращает выполнение.

Литература

1. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. - Смоленск: Изд-во СГПУ 1998. - 345 с.

2. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981.

3. Закарян А.А. Корректные граничные задачи для уравнения Бицадзе / Ереванск. Политехн. Ин-т. - Ереван, 1988. -34 с. - Деп. в АрмНИИНТИ 24.08.88, № 66-Ар88.

4. Расулов К.М., Сенчилов В.В. О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 3. С. 415-418.

5. Адуков В.М. О точном и приближенном решении задачи факторизации Винера-Хопфа для мероморфных матриц-функций // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та, серия «Математика, физика, химия». - 2008. - № 7(107), вып. 10 - С. 3-12.