CC BY
0ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, ПРИВОДЯЩИХ К УРАВНЕНИЯМ
ДИОФАНТА Останов К.1, Эсанов О.Д.2, Ботиров З.Ш.3
1Останов Курбан - доцент, кандидат педагогических наук, кафедра теории вероятностей и прикладной математики, математический факультет, Самаркандский государственный университет имени Шарафа Рашидова; 2Эсанов Обид Джалалович - преподаватель, 3Ботиров Зафар Шокирович - преподаватель, кафедра точных наук, Академический лицей Самаркандского института сервиса и экономики, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в данной статье рассмотрены технологии обучения решению задач, приводящих к диофантовым уравнениям, в процессе обучения математике в школе и обучению некоторым способам их решения, а также примеры и примеры решения задач, используемые при обучении им в процессе обучения в школе. Соответствующие уравнения могут иметь не только первую степень, но и любые другие неизвестные. А вопросы, возникающие из дополнительных условий, могут быть самыми разными. И снова мы подходим к новому разделу математики. Этот раздел был начат Диофантом. Он рассматривал уравнения, которые сегодня пишем в виде ах+Ьу=с.
Ключевые слова: диофантовы уравнения, тройки Пифагора, уравнение Пифагора, прямоугольный треугольник, квадратные числа.
Задача 1. Кто-то подошел к клетке, где находились фазаны и кролики. Сначала посчитал голову, их было 15, потом посчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?
Решение: пусть х — количество кроликов, а у — количество фазанов. В этом случае по условию х + у =
15. Но у кролика 4 ноги, у фазана -2 ноги, то есть у всех кроликов -4 х ног и у всех фазанов -2 ноги, и по условию
4 х +2у = 42 у нас будет система уравнений х + у =15; 4 х +2у = 42
Это не единственная интересная вещь в построении графиков уравнений с двумя переменными. В случае фазанов и кроликом есть повод задуматься над следующим вопросом: в уравнении у = - х + 15 переменная х может принимать любые значения, и тогда переменная и может принимать любые соответствующие, а также любые значения. Любой! Но количество кроликов, как и количество фазанов, не может быть ни дробью, ни отрицательным числом! Это подразумевается в постановке задачи, но обозначение х + у =15 об этом ничего не говорит. В то же время, зная это дополнительное условие, иногда из одного уравнения с двумя переменными можно получить полностью удовлетворяющие нас результаты, даже без второго уравнения.
Задача 2. На складе имеются гвозди в ящиках по 16, 17 и 40 кг. Может ли продавец продать 100 кг, не открывая коробки?
Попробуем решить задачу, построив уравнение обычным способом. Итак, предположим, что задача решена: будет х ящиков по 16 кг, у ящиков по 17 кг и z по 40 кг. Всего было удалено 100 кг, поэтому уравнение:
16 х +17 у +40 z =100
совершенно неясно, что делать с этим уравнением. Но вы можете возразить, что в коробке весом 40 кг не может быть больше двух, потому что 40 * 3 = 120, а это больше, чем нужно. А двух быть не может, потому что 40*2=80, 100-80=20, а 20 кг можно получить, только открыв хотя бы одну коробку. Возможно, можно взять одну коробку 40 кг, а остальные 60 кг, объединив коробки 16 и 17 кг: если взять одну коробку 17 кг, то останется 43 кг, а если взять одну, то не останется брать по 16 кг. 2 коробки по 17 кг, то 60-17*2=26 и целые коробки по 16 кг оже не годится, но если взять 3 коробки по 17 кг, то останется 9 кг, без открытия коробки отдать нельзя. Оказалось, что коробки по 40 кг нам вообще не нужны. Если есть решение проблемы, то нужно объединить только ящики по 16 и 17 кг. Итак, уравнение: 16 х +17 у = 100. Но 100 не делится ни на
16, ни на 17, поэтому нам нужно посмотреть, что произойдет, если из 100 вычесть 17, 17*2, 17*3, 17*4, 17*5. Если разница делится на 16, задача решена, если нет, то кладовщик должен открыть хотя бы один ящик. 83-не делится на 16, ни 66, ни на 49 не делится, а 32 = 16*2 и задача решена: 17*4+16*2=100, то есть 4 ящика. Необходимо вывезти 17 кг и 2 коробки по 16 кг. Это единственное решение, то есть других вариантов нет. Увидев, что для решения проблемы не нужны ящики по 40 кг, можно было пойти другим путем. Если получить 6 коробок по 16 кг, то есть если выбрать число, кратное 16, близкое к 100, то получится, что из 100 не хватает 4 кг, то есть 4 из этих 6 коробок. следует заменить четырьмя ящиками по 17 кг каждый и получим тот же результат. Вывод: Подобных вопросов много и большинство из них имеют практическое значение. Соответствующие уравнения могут иметь не только первую степень, но и любые другие неизвестные. А вопросы, возникающие из дополнительных условий, могут быть самыми разными. И снова мы подходим к новому разделу математики. Этот раздел был начат Диофантом. Он рассматривал уравнения, которые сегодня пишем в виде ах+Ьу=с. В этом уравнении а, Ь, с — целые числа, и ответ необходимо давать только в
целых числах, другими словами, это уравнение нужно было «решить в целых числах». Такие уравнения теперь называются «Диофантовы уравнения». [1].
Задача 3. У мальчика было 50 000 сумов денег, на которые он хотел купить почтовые марки. В книжном магазине были марки по 4000 сумов и 3000 сумов каждая, но сдачи у продавца не было. Помогите мальчику и продавцу выбраться из этой ситуации.
Решение. Это решение, в отличие от предыдущего, имеет не одно, а несколько решений. Если мы подумаем таким же образом, то обнаружим, что существует 4 разных решения проблемы: 2 марки по 4000 сум и 14 марок по 3000 сум; 8 марок номиналом 4 000 сумов и 6 марок номиналом 3 000 сумов; 5 марок - 4 000 сумов и 10 марок - 3 000 сумов; 11 марок по 4000 сум и 2 марки по 3000 сум;
Простота реальных ситуаций в задачах, приводящих к уравнениям Диофанта, позволяет предположить, что люди были способны решать такие задачи, вероятно, даже до Диофанта, не используя какой-либо общей теории.
Общие теории никогда не возникают сами по себе. Сначала возникают конкретные проблемы, а уже потом находятся люди, которые понимают, что от таких проблем пора переходить к общим приемам и методам [2]. Вот, например, еще одна специфическая задача для неопределенных уравнений-теперь уже неопределенных уравнений второго порядка, появившихся в Древнем Египте примерно за две тысячи лет до Диофанта (как Диофант, как известно, знал и использовал):
Задача 4. Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то треугольник прямоугольный.
Это утверждение использовалось для построения прямых углов - ведь оптических измерительных приборов еще не было, но для строительства домов, дворцов и особенно великих пирамид - это нужно было делать. Они сделали это очень просто [3]. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязываются узлы. В точке С, где должен быть построен прямой угол, ставится кол, веревка тянется в нужном строителям направлении, в точке B натягивается второй кол. (CB = 4) и верёвка натянута так, что АС = 3, ЛБ = 5. Треугольник с такими длинами сторон называется египетским треугольником.
Безошибочность такой конструкции вытекает из теоремы, противоположной теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный. И, конечно, 3 2 +4 2 =5 2. Другими словами, числа 3,4,5 являются корнями уравнения
X2 + у2 = ъ2:
Сразу возникает вопрос: существуют ли другие целочисленные решения этого уравнения? Нетрудно догадаться, что корнями этого уравнения можно также считать тройку 5,12,13. Есть ли еще такие тройки? А можно ли взять одно из случайных чисел и отобразить два других? Например, меньший катет треугольника должен быть равен 4 см. Можно ли в этом случае длину второго катета и гипотенузы выразить в целых сантиметрах? Подобные вопросы интересовали мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли ответы. Пифагор тоже знал это. Один из способов решения уравнения х2 + у2 = ъ2 в целых числах оказался очень простым. Записываем квадраты натуральных чисел подряд (как говорили древние, «квадратные числа», разделяем их запятой. Под каждой запятой пишем разницу между последовательными квадратами:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 100, 121, 144, 169, 196,......
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, ....
В нижнем ряду есть квадратные числа? Да! Первая из них 9=3 2, над ней 16=42 и 25=52, знакомая тройка 3,4,5. Следующее квадратное число в нижнем ряду - 25, что соответствует 144 и 169, и здесь мы находим вторую известную нам тройку: 5,12,13. Если продолжить ряд квадратных чисел и вычислить соответствующие разности, то во второй строке мы найдем 49=72, что соответствует 576=24 2 и 625=25 2 в ряду квадратов. И, конечно, 72 +242 =252 Это третья тройка был известен в Древнем Египте. Мы имеем право сформулировать следующую теорему:
Теорема. Каждое нечетное число — это разница двух последовательных квадратов.
Составление таких последовательностей утомительно и отнимает много времени. Такие тройки проще и быстрее найти по формулам. Эти формулы и правила были известны еще 2500 лет назад. Если х - нечетное число,
у = (х 2 -1): 2 и z = (х 2 +1): 2. В этом случае выполняется равенство
х 2 + у 2 = ъ 2 , то есть найденные таким образом числа, как правило, составляют решение интересующего нас неопределенного уравнения. Мы называем это уравнение «уравнением Пифагора», а его решениями являются «тройки Пифагора». Используя это правило, можем получить известные нам тройки: если х = 3, то у =(9-1):2=4, ъ =(9+1):2=5, получается первую пифагорова тройку; если х =5, тогда у=(25-1):2=12, ъ=(25+1):2=13, вторая тройка; если
х = 7, тогда у = (49-1):2=24, ъ = (49+1):2=25. Остальные следующие пока не, но следующее нечетное число после 7 - 9, тогда у = 40, ъ = 41. Проверим наши расчеты: 92 +402 =412; должны был установить не правило вычисления пифагоровых троек, правило подсчета всех троек. Давайте сделаем и этот шаг. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
ъ+ у =2 а2, ъ + у =2 Ь2;
квадрат числа х необходимо разделить на два неравных множителя ъ + у и ъ - у, определяем для получения следующей системы:
ъ+ у =2 а2,
ъ + у =2 Ь2;
Почему коэффициенты записаны как 2 и почему они записаны как квадраты, а не просто числа а и Ь? Это делается для получения четких ответов. Решая эту систему, получаем:
ъ = а 2 + Ь 2 , у = а 2 - Ь 2 , х =2 аЬ
(надо помнить, что а > Ь)
Отсюда следует, что наименьшее значение Ь может быть только одно, тогда наименьшее значение а равно 2. Вычисляем х, у, ъ. Оказывается, ъ =5,
у =4, х =3, это уже известный нам «египетский треугольник». Теперь составим таблицу (Таблица 1):
Таблица 1. Длины сторон прямоугольного треугольника (целые числа).
а, Ь 2 3 4 5 6
1 3,4,5 6,8,10 8,15,17 10,24,36 12,35,37
2 5,12,13 12,16,20 20,21,29 24,32,40
3 5,12,13 7,24,25 27,36,45
4 12,16,20 7,24,25
понятно, что его можно расширить как вправо, так и вниз. Подчеркнем главное - уравнение решено, мы умеем вычислять все возможные целые значения длин сторон прямоугольных треугольников.
Список литературы
1. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовые уравнения. - М.: Наука, 1972.
2. Акулич И. Ф. Задачи на засыпку и другие математические сюрпризы. - Минск: 2001.
3. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - М.: Наука, 1975.
