О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ТОЖДЕСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН № 2 (88) 2019

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 511.52

DOI: 10.35330/1991-6639-2019-2-88-37-45

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ТОЖДЕСТВ

Ф.Х. УВИЖЕВА, М.Х. КАЛАЖОКОВА

Институт информатики и проблем регионального управления -филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук» 360000, КБР, г. Нальчик, ул. И. Арманд, 37-а E-mail: iipru@rambler.ru

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из важнейших проблем теории чисел. Известно, что в общей постановке задача описания множества решений диофантовых уравнений в целых числах алгоритмически неразрешима. Несмотря на усилия многих поколений математиков, в этой области до сих пор отсутствуют общие эффективные методы их решения. В настоящей работе рассмотрены некоторые классы диофантовых уравнений, решение в целых числах которых представляет интерес как само по себе, так и, например, в процессе исследования сложных дискретных систем, при поиске оптимальных структур в органической химии и молекулярной физике, при расшифровке компьютерных алгоритмов, криптографии, в экономике и теории вероятностей. Используя известные в алгебре тождества и их модификации, а также метод математической индукции и метод Лагранжа, в работе показан эффективный метод решения как классических диофантовых уравнений, так и некоторых их обобщенных вариантов. В результате получены формулы, выражающие целые решения диофантовых уравнений. Этот метод можно применять также и для других классов диофантовых уравнений.

Ключевые слова: диофантовы уравнения, алгебраические тождества, метод математической индукции, тождества Лагранжа, уравнение Пелля.

Диофантово уравнение - это уравнение (как правило, с несколькими неизвестными), решение которого ищется в целых (иногда в натуральных) числах. Некоторые классы таких уравнений были впервые рассмотрены знаменитыми математиками древности Пифагором и Диофантом [1-6]. В память о последнем эти уравнения называются диофантовыми.

1. О решении уравнения х2 + y2 = zn.

Пусть требуется решить диофантово уравнение в целых числах:

х2 + У2 = zn . (1)

Для построения решения уравнения (1) в целых числах воспользуемся тождеством:

(AA1 + BB1) ( A A + BB/) = = (AA1 - BB1) (A A - bB ) + (AB - BA ) (A1 B/ - B1A ). (2)

Полагая в тождестве (2) A = A, B = B1, A1 = A, B = B[, получим, что

(A2 + B2) (A2 + B2) = (AA - BB )2 + (AB - AB)2. (3)

Из (3) видно, что произведение двух форм вида A2 + B2 есть форма такого же вида.

На основании правой части равенства (3) и при A = a, B = b уравнение z3 = х2 + y2 можно переписать следующим образом:

(а2 + Ъ )3 = (а3 - 3аЪ2 )2 + (за2Ъ - Ъ3 )2. Отсюда получаем решение уравнения г3 = х2 + у2 в виде:

2 = а2 + Ъ2, х = а3 -3аЪ2, у = 3а2Ъ -Ъ3,

где а и Ъ - произвольные целые числа.

Рассмотрим вывод рекуррентной формулы для решения уравнения г" = х2 + у2 методом математической индукции.

Из приведенных вычислений видно, что форма, которой выражается 2, не меняется. Поэтому решение уравнения z"-1 = х2 + у2 можно записать так:

2 = а2 + Ъ2, х = хп_х(а,Ъ), у = уп_1(а,Ъ).

Отсюда имеем (а2 + Ъ2) = х2п_х (а, Ъ) + у2_х (а, Ъ) .

Умножая обе части последнего соотношения на а2 + Ъ2, получим:

( а2 + Ъ2)" = [ хЩ1 ( а, Ъ ) + у2-, ( а, Ъ )] (а2 + Ъ2)

или

(а2 + Ъ2)" = [ах"-! (а, Ъ) + Ъу^а, Ъ)]2 + [Ъхин1 (а, Ъ )-ау^а, Ъ)]2. Отсюда для уравнения г" = х2 + у2 получаем решение в виде рекуррентной формулы: 2 = а2 + у2, х = ах"-! (а, Ъ) + Ъу^ (а, Ъ), у = Ъх^ (а, Ъ) - ауп-Х (а, Ъ).

Теорема. Решение уравнения г" = х2 + у2 можно выразить следующим образом: г = а2 + Ъ2, х = Яв(а + /Ъ)", у = 1т(а + /Ъ)", где а, Ъ - целые числа.

Докажем это утверждение методом математической индукции. При " = 2 теорема верна. Допустим, что мы доказали ее для " -1, т.е. решения уравнения z"-1 = х2 + у2 имеют вид:

г = а2 + Ъ2, хя_! = Яв(а + /Ъ)"-1, у^ = 1т(а + /Ъ)"-1,

и докажем теорему для и.

Для уравнения г" = х2 + у2 можно записать:

г = а1 + Ъ2, х = аЯв(а + /Ъ)"-1 - Ъ1т (а + /Ъ)" 1, у = ЪЯв(а + /Ъ)"-1 + а 1т (а + /Ъ )" 1,

но

(а + /Ъ )" 1 = — (а + /Ъ)" 1 +(а -/Ъ )"

Поэтому

х = а-

2/

1т (а + /Ъ)" 1 = — (а + /Ъ)" 1 -(а -/Ъ)

Ч"-1

(а + /Ъ)" 1 +(а - /Ъ)" 1

1

у = Ъ— (а + /Ъ)" +(а - /Ъ)

н-1

+ а-

2 / 2 /

( а + /Ъ )" -( а - /Ъ ) (а + /Ъ)" 1 -(а -/Ъ)

и получим, что х = Яв(а + /Ъ) , у = 1т (а + /Ъ) . Что и требовалось доказать.

2. Уравн

Полагая

2. Уравнение х2 + у2 + г2 = и2.

а = а + /а2, а = а - ^^^^, в = а + а, в = а3 - /а4,

А1 = ъ + Ъ, Д = Ъ - /Ъ, в = Ъ + Ъ, в = Ъ - Ъ

в тождестве (2) и произведя некоторые элементарные преобразования, получим:

(а2+а\ + а32+а2) (ъ + Ъ22 + Ъ32 + Ъ42 ) =

= (аЬ + а2Ъ2 - аЪ - а4Ъ4 )2 + (агЪ - а2Ь + а4Ъ3 - аъЪ4 )2 +

+(аЪ3 - аЪ+аЬ - аЪ )2+(а2ъъ + аЪ + аЪ+аЪ )2,

которое представляет собой тождество Эйлера в видоизмененной форме.

Пусть в полученном тождестве а = Ь, а = Ъ, а = Ь, а = Ъ. Тогда будем иметь:

(а2 + а2 + а2 + а2 ) = (а2 + а2 - а2 - а2 ) + (2а1а3 - 2а2а4 )2 + (2аа4 + 2а2а3 )2. (4)

Отсюда получаем формулы, выражающие целые решения уравнения и2 = х2 + у2 + г2 в виде:

и = а2 + а2 + а2 + а], х = а2 + а\ - а2 - а], у = 2(ахаъ - а2а4), 2 = 2(аа + а2а3),

где а , а , а , а - произвольные целые числа. 3. Уравнение х2 + у2 + г2 +12 = и".

Умножая обе части тождества (4) на (а2 + а\ + а2 + а\ ), получим решение уравнения и3 = х2 + у2 + г2 + ?2. Действительно,

(а2 + + а1 + ) = (а2 + а2 - а3 - а\) + (2ахаъ - 2а2аА )2 +

+(2ахаА + 2а2а3 )2 (а2 + а2 + а2 + а2). (5)

Из тождества (5) после некоторых преобразований для решения уравнения и3 = х2 + у2 + г2 + ?2 получаем следующие формулы:

и = а2 + а2 + а2 + а2,

х = а (а2+а\ - а2 - а2)+2а (аа3 - а2а4) - 2а (аа+а2а3), у = 2а (аа - аа) - а (а2+а\ - а2 - а2)+2а (аа+аа), г = 2а (аа + аа)+а (а2 + а22 - а\ - а2) - 2а (аа - аа), / = 2а (аа+аа)+2а (аа - аа)+а (а2+а\ - а2 - а2).

Рассмотрим теперь общий случай.

Пусть имеем уравнение: и"-1 = х2 + у2 + 22 + ?2. Обозначим решение этого уравнения следующим образом:

и = а2 + а2 + аз2 + а2, х = х^ (а1, ^^, ^^, а4), у = уи- (а1, ^^, ^^, а4), 2 = 2"-1(а1, а2, аз, а4), Г = ¿„-(а, ^^^ ^^, а4).

Таким образом, имеем соотношения:

(а+а22+а2+а2 )п-1 = х2-+.у2-+г^+^. (6)

Умножая обе части рассматриваемого соотношения (6) на (а2 + ^ + а32 + а2), будем иметь: (а2 + а2 + а2 + а2)п = (ах , + ау , - а,г , - а/ . )2 +

2 3 4 / V 1 п-1 2^ п-1 3 п-1 4 п-1 /

+(а у ах ,+ аг ,- ал ,)2 +

\ п-1 2 п-1 4 п-1 3 п-1 /

+(а,г -аЛ ,+ ах -ау ,)2 +

V 1 п-1 2 п-1 3 п-1 4У п-1 /

+(апг ,+ ау 1+ аЛ ,+ а.х ,)2.

\ 2 п-1 3У п-1 1 п-1 4 п-1 /

Отсюда получаем рекуррентную формулу для решения рассматриваемого уравнения: и = а2 + а2 + а\ + а2, х = ах ,+ ау — аг ,-аЛ ,,

1 п-1 2у п-1 3 п-1 4 п-1'

у = а у — ах , + а.г , - аЛ ,,

У п-1 2 п-1 4 п-1 3 п-1'

г = аг ,- аЛ ,+ ах ,- а у

1 п-1 2 п-1 3 п-1 4у п-1'

Л = аг , + а у 1 + аЛ , + а.х ,.

2 п-1 3^ п-1 1 п-1 4 п-1

п

4. О решении уравнения ут = ^х2.

г=1

Для получения формул, выражающих целые решения рассматриваемого уравнения, воспользуемся известным тождеством Лагранжа:

(а+а2 + а2 + ...а2)(Ь2 + Ь2 + Ь2+...+ь: ) = =(аЬ + аЬ + аЬ +.. .а„ьп )2+(ахь2 - а2ь )2+(ад - аЬ )2 +

+... + (а1Ьп - апЬ1 )2 + (а2Ь3 - а3Ь2 )2 + ... + К- 1Ьп - апЬп-1 )2 . (7)

Заменяя в тождестве (7) числа Ь2,Ь3,Ь"А, соответственно числами с противоположными знаками -Ь2, -Ь3, - Ь4, -..., -Ьп, получим:

(а2+а2 + а2 + ...а2)(Ь2 + Ь2 + Ь2+...+К) = = (аЬ - а2Ь2 - аЬ -... - аЬп )2+(аЬ+а2Ь )2+(аЬ+аЬ )2 +

+... + (аЬ + аЬ)2 + (аЬ -аЬ)2 + . (а Ь -аЬ ,)2.

V 1 п п 1; V 2 3 3 2/ V п-1 п п п-1;

В полученном тождестве положим, что а = Ь, а2 = Ь= Ь . Тогда получим: (а,2 + а2 + а32 + ...а2 ) =( а,2 - а2 - а32 -... - а2п) + +( 2аа )2 +(2ахаъ )2 +(2ахаА )2 +... + (2ахап )2. (8)

Очевидно, что в первой части (8) имеем п слагаемых.

Следовательно, из (8) получаем формулы, дающие искомые решения рассматриваемого уравнения:

2 2,2,2, ,2 у = х + х, + х2 +... + х ,

^ 12 3 п 7

222 2 222 2 у = а, + а2 + а, +... + а , х = а, - а,2 - а, -... - а ,

^ 1 23 п11 23 п

х2 - nаlаn,........5 хи - пalaи 5

где а, а,..., а - целые числа.

Пусть теперь мы имеем решения уравнения ут 1 = ^ х2 в виде:

/=1

т-1 2,2,2, |2 2,2,2, 2

у = х + х,, + х, +... + х , у , = а, + а,, + а, + ...а ,

^ 1 2 3 " ' ^ т-1 1 2 3 " '

х1,т-1 = х1 (а1, а2,..., а" ) , х2 = х2 (а1, а2,..., а" ) , • •,

х , = х (а,а,,...,а ).

Тогда, подставляя решения в исходное уравнение, получим:

(а2 + а22 + а32 + ...а2)т 1 = [х1,т-1 ]2 + [х2,т-1 ]2 + ... + [х",т-1 ]2 .

Умножив обе части полученного тождества на (а2 + а^ +...а^ ), получим: (а2 + а2 +... + а2 ) = (а,х , - 1 -... - ах„т ,)2 +

у 1 2 " ! у 1 1,т-1 2 2,т-1 " ",т-1 у

(ах ,+ а9х ,) +(ах ,+ ах ,) +... + (а! ,+ ах, ,)

у 1 2,т-1 2 1,т-1 у у 1 3,т-1 3 1,т-1 у у 1 ",т-1 " 1,т-1 у

+ (,+ ^х ,) +(ах ,+ ах ,) +... + (а,х„т ,+ ах,

1 1 2, m-1 2 1,m-1 / \ 1 3,m-1 3 1,m-1 / у 1 n,m-1 n 1,m-

xi m 2 , 2 , i 2

Из полученного тождества для решения уравнения у = х1 + х2 +... + хп имеем следующие рекуррентные соотношения:

ym = а2 + а2 +... + а2, х = ах ,+ ^^ ,-... - ^х ,,

12 n " 1,m 1 1,m-1 2 2,m-1 2 n,m-1"

х^ — а х~ т + а х, т, х^ — а х^ , + а х^ ,,..., х — а х , + а хл л.

2,m 1 2,m-1 2 1,m-1' 3,m 1 3,m-1 3 1,m-1' ? n 1 n,m-1 n 1,m-1

5. О решении уравнения zn = х2 + сху + my2.

Для решения рассматриваемого уравнения воспользуемся одним замечательным свойством бинарной квадратичной формы.

Известно, что произведение бинарных квадратичных форм вида Ф(а, Ь) = а2 + саЬ + mb2

всегда может быть представлено такой же формой.

Это легко проверить непосредственно, если рассмотреть произведение двух бинарных форм вида Ф(а, Ь), Ф(а, Ь) :

(а2 + саЬ+тЬ )(а2+саЬ + m^) = (а а - ™ЬЬ2 )2 + с(аа - mb1b2)х

х(а Ь + Ьа2 + сЬгЬ2) + m(^ Ь + bfl2 + сЬЬ2 )2. (9)

Преобразуем полученное тождество (9), полагая а = а = а Ь = Ь = Ь:

(а2 + саЬ + mtí1 )2 = (а2 - mtí2 )2 + с (а2 - mb2 ) • (2аЬ + сЬ2 ) + m (2аЬ + сЬ2 )2. Отсюда получаем формулы для целочисленного уравнения z2 = х2 + сху + my2:

z = а2 + саЬ + mk2, х = а2 - шЬ2, у = 2аЬ + сЬ2,

где с и m - данные целые числа, a и b - произвольные целые числа.

Рассмотрим теперь решение общего уравнения zn = х2 + сху+my2 методом математической индукции.

Пусть для уравнения zn-1 = х2 + сху+my2 имеем решения в виде zn-1 = а2 + саЬ + mtí1, хп-1 = хп-1 (а, Ь), yn-1 = yn-1 (а, Ь) такие, что

zn-1 = х2п-1 + схп-1уп-1 + my 2n-1. (10)

Умножая обе части (10) на (а2 + саЬ + mtí2), получим:

(a2 + cab + mb2 ) = (a2 + cab + mb2 ) (x2n l + cxnlynl + my2 Y) =

= (axn-i - mbyn-i )2 + c (axn- - mby„-) (ayn-i+bxn- + cby„-)+m (ayn-+bx„- + cbyn- )2 •

Отсюда получаем следующие рекуррентные соотношения для решения рассматриваемо-

п 2 2 го уравнения z = x + cxy + my в виде:

г = а2 + саЬ + тЬ2, х = ахп_х — тЬуп_ 1, у = оуи-1 + Ьх„-\ + сЬу„-1. Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Полагая в рассматриваемом уравнении п = 2, т = 1 , с = — 1, получим формулы для целочисленных треугольников с острым углом в 600.

Действительно, 22 = х2 + у2 — ху: 2 = а2 + Ь2 — аЬ, х = а2 — Ь2, у = 2аЬ—Ь2. Аналогично при п = 2, т = 1, с = 1 получаем следующие формулы для численных треугольников с тупым углом в 1200:

22 = х2 + у2 + ху: 2 = а2 + Ь2 + аЬ, х = а2 — Ь2, у = 2аЬ+Ь2.

2. При с = 0 получаем: 22 = х2 + ту2: 2 = а2 + тЬ2, х = а2 — тЬ2, у = 2аЬ . Для уравнения

3 2 2

2 = х + ту получаем:

2 = а2 + тЬ2, х = а3 — 3таЬ2, у = 3аЬ — тЬ3.

Для уравнения zn = x + my будем иметь:

z = a2 + mb2, x = axn-i -mabyn-i,y = ay- + bx^.

Теорема 1. Формулы вида

z = a +

mb2, x = Re (a + i*Jmb ) , y = —^/m (a + i*Jmb )

дают целые решения уравнения zn = x2 + my2, m > 0.

Доказательство (методом математической индукции):

Для п = 2 указанные формулы верны. Допустим, что мы доказали справедливость этих формул для п = 1. По допущению имеем, что

(а2 + тЬ2) = Яв (а + ) + т 1т (а + ¡у[тЬ)

Тогда для решения уравнения имеем, что: z = a2 + mb2,

y = a

x = aRe (a + i*Jmb ) - mb-j= /m (a + ijmb ) , -j= /m (a + iVmb) + bRe (a + iVmb) ,

но

Re (a + iyfmb) = 1 (a + iyfmb) +(a - iyfmb)

/m (a + iyfmb ) = 1 (a + ijmb ) -(a - iyfmb )

После некоторых преобразований выражений для х и у получим:

1 Г(а + ijmb) +(а - ijmb)

х = а — \ (а +

- mb-^-1 |^(а + iVmb) -(а - iyfmb ) ( а + ijmb ) +( а - i\[mb ) J = Re ( а + iyjmb ) , ^(а + iVmb) -(а - iVmb) J + |(а + ijmb) +(а - i*Jmb ) ^(а + iVmb) -(а-i>/mb) =Im(а + i^Jmb) .

1а у = ^= — I (а

Что и требовалось доказать.

3. Пусть теперь т < 0. В этом случае можно рассматривать уравнение г" = х" - ту2, где т > 0. Тогда будем иметь:

2 2 2 z = х - my

z = а2 - mb2

.3 2 „„,.2

ti 2 „„.2

z = х - my z = х - my

z = а2 - mb2

z = а2 - mb2

х = а2 + mb2 у = 2аЬ Теорема 2. Формулы

z = а2 - mb2, 1

х = а3 + 3mab2 х = ахп j + mbyn X у = 3а2Ь + Ь3 у = а^^ + ЬхиЧ, m > 0.

х = ■

2

у =

( а + Vmb ) +( а -Vmb ) ( а + yfmb ) -( а -yfmb )

1

2yfm

дают целые решения уравнения г" = х2 - ту2 при т > 0. Доказывается методом математической индукции с применением формул, приведенных выше.

6. Уравнение Пелля и уравнение х2 + ту2 = к".

Доказанные выше теоремы 1 и 2 позволяют доказать следующие теоремы относительно уравнения Пелля х2 + ту2 = к и уравнения х2 + ту2 = к".

Теорема 3. Всякое целочисленное решение уравнения х2 + ту2 = к" при положительном т имеет вид:

х = Яв (х„ +

Re(хо +4miyo) ,у = iIm(хо + 7™%) , v ' Vm v '

где ( х0, у0) - произвольное решение Пелля х2 + ту\ = к . Доказательство: По условию теоремы к = х^ + ту2, отсюда

кп =(х2 + ту2)" .

Правую часть равенства (11) на основании теоремы 1 можно переписать так:

(11)

п Г я~|2 Г J

(х1 + my2 ) = Re (х0 + i\fmy0) + m Im (х0 + i4myQ) v ' V m v ;

Отсюда

2

Теорема 4. Всякое целочисленное решение уравнения х2 — ту2 = кп при положительном т имеет вид:

в которых х0, у0 являются решением уравнения Пелля.

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. По условию теоремы имеем, что х^ — ту\ = к.

Отсюда, найдя кп, получим:

Следствие. При к = 1 получаем следующее утверждение: всякое решение уравнения х2 — ту2 = 1 при положительном т имеет вид:

где х0, у0 - какое-либо решение данного уравнения Пелля х2 — ту2 = 1.

В заключение отметим, что изложенный в работе метод тождеств для решения диофанто-вых уравнений можно применить для решения и других классов диофантовых уравнений.

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1965.

2. Арнольд И.В. Теория чисел. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР, 1989.

3. Сушкевич А.К. Теория чисел. Харьков: Издательство Харьковского университета имени А.М. Горького. 1954.

4. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952.

5. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.

6. Минухин Б.Л. Об одном методе решения диофантовых уравнений. Математическое просвещение. Выпуск третий. М.: Государственное издательство физ.-мат. лит., 1958.

7. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. М.: Издательство «Высшая школа». 1965.

8. Давенпорт Г. Высшая арифметика. М.: Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1965.

ЛИТЕРАТУРА

REFERENCES

1. Vinogradov I.M. Osnovy teorii chisel [Fundamentals of number theory]. M.: Nauka Publishing House. Main editorial office of physical and mathematical literature, 1965.

2. Arnold I.V. Teoriya chisel [Number theory]. M.: State Pedagogical Publishing House of the People's Commissariat of Education of the RSFSR, 1989.

3. Sushkevich A.K. Teoriya chisel [Number theory]. Kharkov: Publishing House of Kharkov University n.a. A.M. Gorky. 1954.

4. Gelfond A.O. Reshenie uravnenij v celyh chislah [Solving equations in integers]. M.-L.: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1952.

5. Serpinsky V. O reshenii uravnenij v celyh chislah [On the solution of equations in integers]. M.: State Publishing House of physical and mathematical literature, 1961.

6. Minukhin B.L. Ob odnom metode resheniya diofantovyh uravnenij [On a method for solving diophantine equations]. Mathematical Enlightenment. Issue three. M.: State Publishing House for physical and mathematical lit., 1958.

7. Novoselov S.I. Special'nyj kurs elementarnoj algebry [Special course of elementary algebra]. M.: "Higher School" Publishing House. 1965.

8. Davenport G. Vysshaya arifmetika [Higher arithmetic]. M.: Nauka Publishing House. Main editorial office of physical and mathematical literature, 1965.

ON SOLVING OF SOME CLASSES OF DIOPHANTINE EQUATIONS BY THE METHOD OF IDENTITIES

F.KH. UVIZHEVA, M.KH. KALAZHOKOVA

Institute of Computer Science and Problems of Regional Management -branch of Federal public budgetary scientific establishment "Federal scientific center "Kabardin-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences" 360000, KBR, Nalchik, 37-a, I. Armand St.

E-mail: iipru@rambler.ru

Solving algebraic equations with integer coefficients with more than one unknown integer coefficient is one of the most important problems in number theory. It is known that in the general formulation the problem of describing the set of solutions of Diophantine equations in integers is algorithmically insoluble. Despite the efforts of many generations of mathematicians, there are still no general effective methods for their solving in this area. In this paper, we consider some classes of Diophantine equations, the solution in integers of which is of interest both by itself and, for example, in the process of studying complex discrete systems, in searching for optimal structures in organic chemistry and molecular physics, in decoding of computer algorithms, in cryptography, economics and probability theory. Using the identities and their modifications known in algebra, as well as the method of mathematical induction and the Lagrange method, the work shows an effective method for solving both classical Diophantine equations and some of their generalized variants. As a result, we can get formulas expressing general solutions of Diophantine equations. This method can also be applied to other classes of Diophantine equations.

Keywords: Diophantine equations, algebraic identities, mathematical induction method, Lagrange identities, Pell equation.

Работа поступила 06.03.2019 г.