ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И ТРОЙКИ ПИФАГОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

мясокомбинат»);

- совместный досуг (охота, боулинг, бальные танцы, керлинг);

- особые корпоративные традиции (капустники в день рождения компании).

Таким образом, можно сделать вывод, что результатом правильного внедрения корпоративной культуры станет увеличившееся число клиентов и рост экономической эффективности работы предприятия.

Использованные источники:

1. Иванова С.В. Корпоративная культура традиции и современность / С.В. Иванова // Справочник кадровика.- 2011. - №2.- С 14.

2. Занковский А.Н. Организационная психология: Учеб. пособие для ВУЗов / А.Н. Занковский. - М.: Флинта, 2012. -621с.

3. Капитонов Э.А. Корпоративная культура / Э.А. Капитонов. - Ростов н/Д.: ОАО Ростиздат, 2012. -426с.

4. Спивак В.А. Корпоративная культура: теория и практика / В.А. Спивак. -СПб.: Питер, 2013. -369с.

5. Организационная психология /Сост. Л.В. Винокуров, И.И. Скрипюк. -СПб.: Питер, 2012. -480с.

6. Кузнецов И.Н. Корпоративная этика: Учеб. пособие / И.Н. Кузнецов. -М.: Изд-во деловой и учеб. лит., 2013. -385с.

7. Митин А.Н. Культура управления /А.Н. Митин. - Новосибирск: Дикси, 2014. -582с.

8. Наумов М. Организационная культура как фактор конкурентоспособности / М. Наумов // Управление компанией. - 2011. -№7. -С 67.

Елизаров Е.Б. Россия, г. Владикавказ ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И ТРОЙКИ ПИФАГОРА

Аннотация: Статья посвящена вечной теореме П.Ферма с простой постановкой задачи, но сложным решением, как это обычно бывает в теории чисел. Мне удалось нарушить эти представления, насколько это получилось, будет ясно при ознакомлении с данной статьей. В ней рассматривается элементарное доказательство знаменитой теоремы и построение методики нахождения абсолютно всех троек Пифагора.

Ключевые слова: теорема Ферма, тройки Пифагора, теория чисел.

1. История вопроса.

[1] В VI веке до нашей эры в Древней Греции родилась «Математика» - как точная наука, основанная на строгих доказательствах. В математике более древних времен не встречаются попытки доказать какие - либо утверждения.

Все тексты содержат лишь условие задачи и правила решения, изложенные в виде рецептов: «делай то-то». Одни и те же знания

передавались из поколения в поколение в течение многих столетий.

В списке величайших математиков древности и наших дней на первом месте, безусловно, должен стоять Пифагор (это уже потом Евклид, Архимед, Аполоний, Герон, Птолемей, Диофант и т.д.).

Он старался получать теоремы при помощи чисто логического

мышления, исходя из первых ее оснований.

Пифагор родился около 570г. до н.э., побывал во многих чужеземных странах, учился у знаменитых ученых и восторгался чудесами Востока. В Южной Италии Пифагор основал знаменитый «Союз», доступ в него был не для всех; своими открытиями нельзя было делится с теми, кто в «Союз» не входил.

В начале V века до нашей эры «Союз» распался, но и после многие замечательные ученые античности называли себя пифагорейцами. Отделить творчество самого Пифагора от результатов его учеников сейчас невозможно, поэтому будем говорить о математике пифагорейцев. Для них главный объект - число, они рассматривали его как «собрание единиц» т.е. изучали только целые положительные числа. Пифагор говорил: «Все есть число!».

Главным достижением этой школы было построение «Теории делимости». Они разбивали все натуральные числа на четные и нечетные, простые и составные. Поворотным пунктом в развитии античной математики было открытие иррациональности, но этому предшествовала следующая теорема: Пусть имеется прямоугольный треугольник. Длины его катетов равны X и У, длина гипотенузы равна Z. Пифагор доказал X2 + У2 = Ъ2. Тройки чисел, удовлетворяющие этому уравнению называют «пифагоровыми», хотя некоторые из них были известны еще в Древнем Египте и Вавилоне.

В египетских текстах нет никаких сведений об этой теореме, однако греческие ученые, побывавшие в Египте, сообщали о том, что там имеется правило для построения прямого угла: использовалась веревка разделенная на 12 равных частей, ее натягивали в виде треугольника со сторонами 3,4,5 -эти сведения относятся к середине первого тысячелетия до н. э.

А задолго до этого (1950г. до н.э.) в Древнем Вавилоне знали много «пифагоровых» троек. До нас дошла таблица, содержащая: (4, 3, 5), (12, 5, 13), (24, 7, 25), (60, 45, 75), (72, 65, 97), а также более сложные тройки (3456, 3367, 4825) - ясно, что эта таблица не могла быть составлена с помощью простого подбора. Наверняка, вавилоняне знали какой-нибудь общий прием для отыскания «пифагоровых троек».

Пифагор или кто-нибудь из его учеников нашли формулы для отыскания бесконечного множества таких троек:

X = (т2 -1) / 2 , У = т, Z = (т2 +1) / 2, где т - натуральное нечетное число.

Однако, если X = 56, Y = 33, Ъ = 65, - из приведенных формул - эти

значения получить нельзя.

Наиболее общие формулы, для решения уравнения x2 + y2 = z2, привел Евклид (365^300г. до н.э.) в "Началах": X = 2pq, Y = р2 -q2, Z = р2 + q2 .

Уже с конца III века до н.э. начались тяжкие разрушительные войны -создавалась будущая Римская империя. Практическому складу римского ума было чуждо стремление к теоретическому познанию, столь характерному для греческой научной мысли. Однако римские императоры все - таки поддерживали развитие науки в Александрии, именно в этом городе математика достигла новых больших успехов. В 1 веке до н.э. в Александрии работали выдающиеся математики Герон - всевозможные формулы для измерения площадей геометрических фигур, Менелай - заложил основы сферической тригонометрии. Во втором веке нашей эры в Александрии работал Клавдий Птолемей - его основной труд «Математическое построение».

Величайшим математиком начала нашей эры (250г. н.э.) и последним крупным ученым античности был Диофант. Основное сочинение Диофанта «Арифметика» состояло из 13 книг, из которых до нас дошли шесть. Диофант построил новую алгебру, коренным образом отличающуюся от классической геометрической алгебры - она уже опиралась на арифметику.

В «Арифметике» собрано 189 задач, каждая из которых снабжена решениями или пояснениями, также, как это было в Древнем Вавилоне -указывается последовательность действий, которые нужно произвести, т.е. рецепт решения задачи.

Однако у Диофанта впервые появилась буквенная символика, а общие методы, созданные Диофантом, удалось понять лишь в наши дни. Он изучал неопределенные уравнения и их системы. Эта область математики сейчас называется «диофантов анализ». Пусть дано m - уравнений от n -переменных, где m < n

fl ( x1,..............xn ) = 0,

Й! ............... xn ) = 0.

Эта система состоит из многочленов с рациональными коэффициентами. Требуется найти множество М всех рациональных решений системы. В частном случае, когда т = 1, п = 2 - задача сводится к исследованию уравнения f (x, у ) = 0. Оно определяет на плоскости алгебраическую кривую второго порядка. Например, уравнение х2 + у2 = а2 определяет окружность. Решить это уравнение - значит, каким - либо образом описать множество М точек окружности, координаты которых являются рациональными числами.

Приведем - задачу №9 (книги 11 "Арифметики"):

"Данный квадрат разделить на два квадрата".

Поясним метод Диофанта:

1.На окружности лежит точка (0; -а) - она является рациональным

решением данного уравнения.

2.Диофант делает подстановку (у = кх - а), т.е. проводит через точку (0; -а) прямую у = кх - а.

Прямая пересечется с окружностью в точке с рациональными координатами. Чтобы ее найти решим систему

Г х2 + у2 = а2,

| у = кх - а. Отсюда: х = 2ак / (к2 +1) 1 у = а (к2 -1) / (к2 +1)

В качестве к можно взять любое рациональное число. При этом мы сразу же найдем точку с рациональными коэффициентами, лежащую на окружности. У Диофанта, как у всякого восточного математика, задача всегда конкретна: а =2; к =2, поэтому приведенная выше формула решения системы уравнений, дала ему числа х = 16/5; у = 12/5.

В XVII веке методы Диофанта обрели новую жизнь в произведениях П.Ферма. В замечании к задаче №8 (11книги "Арифметики"): «Разложить квадратное число а2 в сумму двух квадратов», Ферма записал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба; ни биквадрат на два биквадрата -ни вообще, степень большую квадрата на две степени с тем же показателем!»

Через некоторое время приписал: «Мне удалось найти удивительное доказательство этого утверждения, но поля книги слишком малы, чтобы его уместить».

2. Итак последняя (12-я) теорема П.Ферма: Хп + У" =

(1)

[2] Доказать, что при п >2 нет натуральных целых X, У, Ъ.

Мы будем исследовать эту формулу методом "от обратного", т.е. какие значения может принять степень п, если X, У, Ъ - натуральные целые числа.

Перепишем уравнение (1) в несколько иной форме, более удобной для исследования: тп — yn = хп (2)

здесь: X < У < Ъ.

Разложим его на сомножители (тт* - Ту* ) (тт* + Ту* ) = Xn

(3)

Обозначим: (тт* - ту* ) = А 1

(тт* + ТУ" ) = в

(4)

Согласно (3): А х В = Xn или Та2 х тв2 = Xn, т.е. Xn - есть среднее геометрическое А2 и В2 - значит: А2 ; Xn ; В2 - три члена геометрической прогрессии.

С другой стороны из уравнений (4) найдем А2 и В2

А2 = (тт* - ту" )2 = (ъп + уп ) - 2 тт* ту" 1 В2 = (тт* + туп )2 = (ъп + уп ) + 2 тт* ту" / (5)

Откуда видим, что: А2; (Ъп + Уп ); В2 - есть три члена

арифметической прогрессии с разностью

ё = 2 ^ ^ Итак мы имеем две прогрессии:

А2; (7п + Уп ); В2 - арифметическую^ А2 ; Хп ; В2 - геометрическую] (6)

Запишем эти прогрессии в общем виде:

а1 ; (а1 + ё) ; (а1 + 2ё) - арифметическая I а1 ; а1 д ; а1 геометрическая

(7)

Так как третьи члены арифметической и геометрической прогрессий (6) равны - можно записать для прогрессий (7):

(а1 + 2ё) = а1 , откуда а1 = 2ё / (д2 -1). Подставив это значение а1 в (7) и сделав преобразования, получим: 2^ 2d( q2 + 1) , 2d q2

( q2-l)' ( q2-l)2 ' ( q2-l) 2^ 2d ^ 2d q:

- арифметическая прогрессия

(8)

( q2-1) ' ( q2-1)' ( q2-1) '

геометрическая прогрессия

Из (8) видно, что прогрессии (6) и (7) можно разделить на

2ё / (д2 -1) = а1 = А2

в результате получим:

1; ; - арифметическая прогрессия 1; д ; - геометрическая прогрессия

(9)

Но новые прогрессии характеризуют не свойства уравнения:

2п - yn = хп, которое разлагается на сомножители

- Ту* ) + Ту* ) = Хп, (--)

а какого-то другого подобного уравнения:

7п- уп = хп

(10)

которое аналогично разлагается на сомножители:

(^ - ) (^ + ) = хп

(11)

Где - соответственно:

(^ - М) = а

+ туп ) = ь

(12)

И где так же для (9) будут соответствовать подобные прогрессиям (6) следующие прогрессии:

а2; (ъп + уп) ; Ь2 - арифметическая (--)

а2; хп ; Ь2 - геометрическая (13)

Следовательно с учетом этих обозначений:

ъп = 7п /А2; уп = Уп /А2; хп = Хп /А2; и а2 = А2/ А2 =1; Ь2 = Б2/Л2

(14)

Этим самым мы показали, что уравнение вида (2) всегда можно привести к уравнению вида (10), разделив уравнение (2) на А2 = (^ - ТУ* )2 , и тогда (10) можно назвать приведенным уравнением по отношению к общему уравнению (2).

Далее, рассмотрим из системы уравнений (12) - ^у* ) = а =1,

согласно требований (14), здесь равенство соблюдается, если:

- рассматривается разность соседних чисел натурального ряда, тогда степень п = 2,

- рассматривается разность квадратов соседних чисел натурального ряда, тогда степень п = 1.

Вывод: этим доказано, что других значений степени п > 2 - не существует, а теорема Пифагора X2 + У2 = Т? является единственным точным решением исходного уравнения (1).

3. Выводы формул нахождения «пифагоровых троек» и их применение.

Применим уравнения (12) с учетом требований (14) и значения степени

п = 2, получим:

ъ - у = 1, тогда1

ъ + Г у = х2

(15)

Решим эту систему уравнений - найдем z и у, считая х = m:

т2+1 т2-1

z = -, у = - .

2 ' 2

(16)

- это и есть вывод формул нахождения пифагоровых троек самого Пифагора, но там оговорка, что m должно быть натуральным нечетным - это связано с тем, чтобы z и у были целыми числами.

Рассмотрим несколько примеров:

3.1. 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; - являются приведенными уравнениями - проверка:

ъ - у = 5 - 4 = 1 , ъ - у = 13 - 12 = 1 , ъ - у = 25 - 24 = 1 ъ + у = 5+4 = 9 = 32 , ъ + у = 13+12 = 25 = 52 , ъ + у = 25+24 = 49 =

72

т.е. соблюдаются требования (15).

3.2. 45, 60 ,75 - здесь, согласно методики доказательства теоремы Ферма,

ъ - у = 75 - 60 = 15, делим 45, 60, 75 на 15 и получаем приведенное

уравнение: 3, 4, 5, значит оно есть родословное уравнение этой и других подобных троек, т.е.15 х (3, 4, 5), а требования (15) выполняются только с приведенными уравнениями.

3.3. Рассмотрим следующую тройку 65, 72, 97 - согласно методике доказательства теоремы Ферма:

ъ - у = 97 - 72 = 25, делим 65, 72, 97 на 25 и получаем приведенное уравнение:

97 22

ъ = — = 3 —

25 25 72 22

у = — = 2 —

25 25 65 3

х = — = 225 5

ъ - у = 3- - 2 = 1

25 25

0 22 22 97 72 169 132 _

ъ + у = 3 —+ 2 — =--1— = — = —- = х2

25 25 25 25 25 52

т.е. также строго соблюдаются требования (15).

3.4. Рассмотрим следующую тройку 33, 56, 65 - согласно методике доказательства теоремы Ферма:

ъ - у = 65 - 56 = 9, делим 33, 56, 65 на 9 и получаем приведенное уравнение:

65 2

ъ = — = 799

56 2 у = — = 699

33 2

х = — = 393

22 ъ - у = 7- - 6- = 1

99

„ 2 , 2 65 56 121 112

ъ + у = 7" + 6" = — + — = — = — = х2

9 9 9 9 9 32

т.е. также строго соблюдаются требования (15).

3.5. Рассмотрим следующую тройку 3367, 3456, 4825 - согласно методике доказательства теоремы Ферма:

ъ - у = 4825-3456 = 1369, делим 3367, 3456, 4825 на 1369 и получаем приведенное уравнение

4825 „ 718

ъ =-= 3-

1369 1369 3456 718

у =-= 2'

1369 1369

3367 17

х =-= 2 —

1369 37

_ 718 718

ъ - у = 3--2- = 1

1369 1369

„ 718 „ 718 4825 3456 8281 912 _

ъ + у = 3--+ 2- =--1--=- = —- = х2

1369 1369 1369 1369 1369 372

т.е. также строго соблюдаются требования (15).

Этими примерами мы показали, что формулы нахождения «троек» самого Пифагора являются общими для всех типов уравнений, и дают абсолютно точные решения теоремы Пифагора Х2 + Y2 = 72 - как в целых числах (ъ и у - соседние числа натурального ряда), так и в дробных значениях ^ и у - смешанные равноостаточные дроби и соседними числами натурального ряда являются их неполные частные), этим мы подтвердили право на существование приведенных уравнений.

3.6. Когда в данных примерах обнаружилось, что согласно методики доказательства теоремы Ферма: х/(ъ - у); у/(ъ - у); ъ/(ъ - у); - результаты деления не всегда получаются целыми числами, мы вынуждены предложить другой вариант формул нахождения пифагоровых троек, т.е. получения общих уравнений теоремы Пифагора, только в целых числах.

M

Обозначим т = — — , подставив в формулы (16), выполнив

преобразования, получим:

Z = M2 + N2 , Y = M2 -N2 , X = 2MN - это есть формулы решения уравнения Х2 + У2 = 72 - предложенные Евклидом - такой метод дает общее решение, всегда в целых числах. Для проверок пифагоровых троек: X - всегда четное, т.к. х = 2MN.

Z = M2 + N2 и х = 2MN, тогда Z + х = M2 + 2MN + N2 = ДО + N>2 т.е. Z + х - есть всегда точный квадрат, (17) аналогично Z - х = M2 - 2MN + N2 = ДО - N>2 т.е. Z - х - есть всегда точный квадрат.

Это верно, т.к. если У = М2 -N2 , то У2 = (М2 -N2)2 = (7 - х) (7 + х) =(М - N32 (М + N2.

Тогда наши примеры:

12

42 + 32 = 52, тогда т = 11 = 2 , (М = 2, N = 1);

из (17): Z + Х = 5+4=9=32 = (М + N2 = (2 + 1)2 Z - Х = 5-4=12 = (М - N2 = (2 - 1)2

13

122 + 52 = 132, тогда т = 11 = 3 , (М = 3, № 2);

из (17): Z + Х =13+12=25=52 = (М + ^2 = (3 + 2)2 Z - Х =13-12=12 = (М - N2 = (3 - 2)2

14

242 + 72 = 252, тогда т = 11 = 4 , (М = 4, N = 3);

из (17): Z + Х = 25+24=49=72 = (М + К)2 = (4 + 3)2 Z - Х = 25-24=12 = (М - N2 = (4 - 3)2

37

562 + 332 = 652, тогда т = 13 = 7 , (М = 7, N = 4);

из (17): Z + Х = 65+56=121=112 = (М + N2 = (7 + 4)2 Z - Х = 65-56=9=32 = (М - N2 = (7 - 4)2

59

722 + 652 = 972, тогда т = 15 = 9 , (М = 9, N = 4);

из (17): Z + х = 97+72=132 = (М + ^2 = (9 + 4)2 Z - х = 97-72=52 = (М - N2 = (9 - 4)2

3.7. Сочетание формул Пифагора и формул Евклида создает систему нахождения всех пифагоровых троек, а это очень важно, т.к. до этого такая методика отсутствовала.

Совместив формулы нахождения троек Пифагора и Евклида, можно найти абсолютно все значения X, Y, Z, к примеру до 1000.

1 2 29

Придавая последовательно - различные значения m = 1— , 1 — .. 1— ..

и т.д., причем N от (-Ы) до (+N3 будем иметь тройки X, Y, 7, но надо смотреть, чтобы их значения не превышали 1000, таким образом построится Таблица 1, где:

- приведенные уравнения для нечетных чисел будут т = 1 — ,

- приведенные уравнения для четных чисел будут т = 12 ,

- каждое последовательное значение из приведенных уравнений нечетных и четных чисел станут родословными для построения остальных ветвей троек Пифагора (цвет), при каких-то (-Ы) - Х станут отрицательными, но на теорему Пифагора X2+Y2=Z2 это не влияет, важно получить все тройки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

1. Обычно при решении математической задачи «понять уравнение означает половину дела», поэтому в уравнении Ферма - Уп = Хп надо было найти делитель, мы его вычислили (т^* - ту* )2, после деления на него исходного уравнения, из полученного приведенного уравнения (10),

сомножитель (т^* - ^у* ) =1 - дал однозначный ответ справедливости только теоремы Пифагора.

2. Из сомножителей (12) приведенного уравнения (10) при п = 2 были выведены формулы троек Пифагора и затем Евклида - их сочетание создало систему построения всех троек теоремы Пифагора.

Таблица 1. Тройки Пифагора (до 1000).

1

т = 1 —

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

X 0 4 12 24 40 60 84 112 144 180 220 264 312 364 420

Y 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Z 1 5 13 25 41 61 85 113 145 181 221 265 313 365 421

15 16 17 18 19 20 21

480 544 612 684 760 840 924

31 33 35 37 39 41 43

481 545 613 685 761 841 925

2

т = 1-

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

X 0 6 16 30 48 70 96 126 160 198 240 286 336 390 448

Y 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

Z 4 10 20 34 52 74 100 130 164 202 244 290 340 394 452

15 16 17 18 19 20 21

510 576 646 720 798 880 966

64 68 72 76 80 84 88

514 580 650 724 802 884 970

3

т = 1-

N -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

X -4 0 8 20 36 56 80 108 140 176 216 260 308 360 416

Y 3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87

Z 5 9 17 29 45 65 89 117 149 185 225 269 317 369 425

14 15 16 17 18 19 20

476 540 608 680 756 836 920

93 99 105 111 117 123 129

485 549 617 689 765 845 929

4

т = 1 —

N -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X -6 0 10 24 42 64 90 120 154 192 234 280 330 384

Y 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112

Z 10 16 26 40 58 80 106 136 170 208 250 296 346 400

13 14 15 16 17 18 19 20

442 504 570 640 714 792 874 960

120 128 136 144 152 160 168 176

458 520 586 656 730 808 890 976

т = 1 —

N -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X -12 -8 0 12 28 48 72 100 132 168 208 252 300 352

Y 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135

Z 13 17 25 37 53 73 97 125 157 193 233 277 325 377

12 13 14 15 16 17 18 19

408 468 532 600 672 748 828 912

145 155 165 175 185 195 205 215

433 493 557 625 697 773 853 937

6

т = 1-

N -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X -16 -10 0 14 32 54 80 110 144 182 224 270 320 374

Y 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168

Z 20 26 36 50 68 90 116 146 180 218 260 306 356 410

12 13 14 15 16 17 18 19

432 494 560 630 704 782 864 950

180 192 204 216 228 240 252 264

468 530 596 666 740 818 900 986

т = 1-

N -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X -24 -20 -12 0 16 36 60 88 120 156 196 240 288 340

Y 7 21 35 49 63 77 91 105 119 133 147 161 175 189

Z 25 29 37 49 65 85 109 137 169 205 245 289 337 389

11 12 13 14 15 16 17 18

396 456 520 588 660 736 816 900

203 217 231 245 259 273 287 301

445 505 569 637 709 785 865 949

8

т = 1 —

N -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X -30 -24 -14 0 18 40 66 96 130 168 210 256 306 360

Y 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224

Z 34 40 50 64 82 104 130 160 194 232 274 320 370 424

11 12 13 14 15 16 17

418 480 546 616 690 768 850

240 256 272 288 404 320 336

482 544 610 680 754 832 914

9

т = 1 —

N -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X -40 -36 -28 -16 0 20 44 72 104 140 180 224 272 324

Y 9 27 45 63 81 99 117 135 153 171 189 207 225 243

Z 41 45 53 65 81 101 125 153 185 221 261 305 353 405

10 11 12 13 14 15 16 17

380 440 504 572 644 720 800 884

261 279 297 315 333 351 369 387

461 521 585 653 725 801 881 965

1 1° т = 1 —

N -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

X -48 -42 -32 -18 0 22 48 78 112 150 192 238 288

Y 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

Z 52 58 68 82 100 122 148 178 212 250 292 338 388

9 10 11 12 13 14 15 16

342 400 462 528 598 672 750 832

280 300 320 340 360 380 400 420

442 500 562 628 698 772 850 932

11

т = 1 —

N -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

X -60 -56 -48 -36 -20 0 24 52 84 120 160 204 252

Y 11 33 55 77 99 121 143 165 187 209 231 253 275

Z 61 65 73 85 101 121 145 173 205 241 281 325 373

8 9 10 11 12 13 14 15 16

304 360 420 484 552 624 700 780 964

297 319 341 363 385 407 429 451 473

425 481 541 605 673 745 821 901 985

12

т = 1 —

N -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

X -70 -64 -54 -40 -22 0 26 56 90 128 170 216 266

Y 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312

Z 74 80 90 104 122 144 170 200 234 272 314 360 410

8 9 10 11 12 13 14 15

320 378 440 506 576 650 728 810

336 360 384 408 432 456 480 504

464 522 584 650 720 794 872 954

13

т = 1 —

N -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

X -84 -80 -72 -60 -44 -24 0 28 60 96 136 180 228

Y 13 39 65 91 117 143 169 195 221 247 273 299 325

Z 85 89 97 109 125 145 169 197 229 265 305 349 397

7 8 9 10 11 12 13 14

280 336 396 460 528 600 676 756

351 377 403 429 455 481 507 533

449 505 565 629 697 769 845 925

14

т = 1 —

N -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

X -96 -90 -80 -66 -48 -26 0 30 64 102 144 190 240

Y 28 56 84 112 140 168 196 224 252 280 308 336 364

Z 100 106 116 130 148 170 196 226 260 298 340 386 436

7 8 9 10 11 12 13 14

294 352 414 480 550 624 702 784

392 420 448 476 504 532 560 588

490 548 610 676 746 820 898 980

15

т = 1 —

N -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X -112 -108 -100 -88 -72 -52 -28 0 32 68 108 152 200

Y 15 45 75 105 135 165 195 225 255 285 315 345 375

Z 113 117 125 137 153 173 197 225 257 293 333 377 425

6 7 8 9 10 11 12 13

252 308 368 432 500 572 648 728

405 435 465 495 525 555 585 615

477 533 593 657 725 797 871 949

16

т = 1 —

N -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X -126 -120 -110 -96 -78 -56 -30 0 34 72 114 160 210

Y 32 64 96 128 160 192 224 256 288 320 352 384 416

Z 130 136 146 160 178 200 226 256 290 328 370 416 466

6 7 8 9 10 11 12

264 322 384 450 520 594 672

448 480 512 544 576 608 640

520 578 640 706 776 850 928

17

т = 1 —

N -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

X -144 -140 -132 -120 -104 -84 -60 -32 0 36 76 120

Y 17 51 85 119 153 187 221 255 289 323 357 391

Z 145 149 157 169 185 205 229 257 289 325 365 409

4 5 6 7 8 9 10 11 12

168 220 276 336 400 468 540 616 696

425 459 493 527 561 595 629 663 697

457 509 565 625 689 757 829 905 985

18

т = 1 —

N -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

X -160 -154 -144 -130 -112 -90 -64 -34 0 38 80 126

Y 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 396 432

Z 164 170 180 194 212 234 260 290 324 362 404 450

4 5 6 7 8 9 10 11

176 230 288 350 416 486 560 638

468 504 540 576 612 648 684 720

500 554 612 674 740 810 884 962

19

т = 1 —

N -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

X -180 -176 -168 -156 -140 -120 -96 -68 -36 0 40 84

Y 19 57 95 133 171 209 247 285 323 361 399 437

Z 181 185 193 205 221 241 265 293 325 361 401 445

3 4 5 6 7 8 9 10

132 184 240 300 364 432 504 580

475 513 551 589 627 665 703 741

493 545 601 661 725 793 865 941

20

т = 1 —

N -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

X -198 -192 -182 -168 -150 -128 -102 -72 -38 0 42 88

Y 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480

Z 202 208 218 232 250 272 298 328 362 400 442 488

3 4 5 6 7 8 9

138 192 250 312 378 448 522

520 560 600 640 680 720 760

538 592 650 712 778 848 922

21

т = 1 —

N -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

X -220 -216 -208 -196 -180 -160 -136 -108 -76 -40 0 44

Y 21 63 105 147 189 231 273 315 357 399 441 483

Z 221 225 233 245 261 281 305 333 365 401 441 485

2 3 4 5 6 7 8 9

92 144 200 260 324 392 464 540

525 567 609 651 693 735 777 819

533 585 641 701 765 833 905 981

22

т = 1 —

N -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

X -240 -234 -224 -210 -192 -170 -144 -114 -80 -42 0 46

Y 44 88 132 176 220 264 308 352 396 440 484 528

Z 244 250 260 274 292 314 340 370 404 442 484 530

2 3 4 5 6 7 8

96 150 208 270 336 406 480

572 616 660 704 748 792 836

580 634 692 754 820 890 964

23

т = 1 —

N -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

X -264 -260 -252 -240 -224 -204 -180 -152 -120 -84 -44 0

Y 23 69 115 161 207 253 299 345 391 437 483 529

Z 265 269 277 289 305 325 349 377 409 445 485 529

1 2 3 4 5 6 7

48 100 156 216 280 348 420

575 621 667 713 759 805 851

577 629 685 741 805 873 945

N -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

X -286 -280 -270 -256 -238 -216 -190 -160 -126 -88 -46 0

Y 48 96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576

Z 290 296 306 320 338 360 386 416 450 488 530 576

1 2 3 4 5 6

50 104 162 224 290 356

624 672 720 768 816 864

626 680 738 800 866 936

25

т = 1 —

N -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

X -312 -308 -300 -288 -274 -252 -228 -200 -168 -132 -92 -48

Y 25 75 125 175 225 275 325 375 425 475 525 575

Z 313 317 325 337 353 373 397 425 457 493 533 577

0 1 2 3 4 5 6

0 52 108 168 232 300 372

625 675 725 775 825 875 925

625 677 733 793 857 925 997

26

т = 1 —

N -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

X -336 -330 -320 -306 -288 -266 -240 -210 -176 -138 -96 -52

Y 52 104 156 208 260 312 364 416 468 520 572 624

Z 340 346 356 370 388 410 436 466 500 538 580 626

0 1 2 3 4 5

0 54 112 174 240 310

676 728 780 832 884 936

676 730 788 850 916 986

27

т = 1 —

N -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

X -364 -360 -352 -340 -324 -304 -280 -252 -220 -184 -144

Y 27 81 135 189 243 297 351 405 459 513 567

Z 365 369 377 389 405 425 449 477 509 545 585

-2 -1 0 1 2 3 4

-100 -52 0 56 116 180 248

621 675 729 783 837 891 945

629 677 729 785 845 909 977

28

т = 1 —

N -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

X -390 -384 -374 -360 -342 -320 -294 -264 -230 -192 -150

Y 56 112 168 224 280 336 392 448 504 560 616

Z 394 400 410 424 442 464 490 520 554 592 634

-2 -1 0 1 2 3

-104 -56 0 58 120 186

672 728 784 840 896 952

680 730 784 842 904 970

29

т = 1 —

N -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4

X -420 -416 -408 -396 -380 -360 -336 -308 -276 -240 -200

Y 29 87 145 203 261 319 377 435 493 551 609

Z 421 425 433 445 461 481 505 533 565 601 641

-3 -2 -1 0 1 2

-156 -108 -56 0 60 124

667 725 783 841 899 957

685 733 785 841 901 965

30

т = 1 —

N -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4

X -448 -442 -432 -418 -400 -378 -352 -322 -288 -250 -208

Y 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660

Z 452 458 468 482 500 522 548 578 612 650 692

-3 -2 -1 0 1

-162 -72 -60 0 62

720 780 840 900 960

738 788 842 900 962

31

т = 1 —

N -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5

X -480 -476 -468 -456 -440 -420 -396 -368 -336 -300 -260

Y 31 93 155 217 279 341 403 465 527 589 651

Z 481 485 493 505 521 541 565 593 625 661 701

-4 -3 -2 -1 0

-216 -168 -116 -62 0

713 775 837 899 961

745 793 845 901 961

32

т = 1 —

N -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5

X -510 -504 -494 -480 -462 -440 -414 -384 -350 -312 -270

Y 64 128 192 256 320 384 448 512 576 640 704

Z 514 520 530 544 562 584 610 640 674 712 754

-4 -3 -2 -1

-224 -174 -120 -64

768 832 896 960

800 850 904 962

N -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6

X -544 -540 -532 -520 -504 -484 -460 -432 -400 -364 -324

Y 33 99 165 231 297 363 429 495 561 627 693

Z 545 549 557 569 585 605 629 657 689 725 765

-5 -4 -3 -2

-280 -232 -180 -124

759 825 891 957

809 857 909 965

34

т = 1 —

N -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6

X -576 -570 -560 -546 -528 -506 -480 -450 -416 -378 -336

Y 68 136 204 272 340 408 476 544 612 680 748

Z 580 586 596 610 628 650 676 706 740 778 820

-5 -4 -3

-290 -240 -186

816 884 952

866 916 970

35

т = 1 —

N -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7

X -612 -608 -600 -588 -572 -552 -528 -500 -468 -432 -392

Y 35 105 175 245 315 385 455 525 595 665 735

Z 613 617 625 637 653 673 697 725 757 793 833

-6 -5 -4

-348 -300 -248

805 875 945

877 925 977

36

т = 1 —

N -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7

X -646 -640 -630 -616 -598 -576 -550 -520 -486 -448 -406

Y 72 144 216 288 360 432 504 576 648 720 792

Z 650 656 666 680 698 720 746 776 810 848 890

-6 -5

-360 -310

864 936

936 986

37

т = 1 —

N -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8

X -684 -680 -672 -660 -644 -624 -600 -572 -540 -504 -464

Y 37 111 185 259 333 407 481 555 629 703 777

Z 685 689 697 709 725 745 769 797 829 865 905

-7 -6

-420 -372

851 925

949 997

38

m = 1—

N -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8

X -720 -714 -704 -690 -672 -650 -624 -594 -560 -522 -480

Y 76 152 228 304 380 456 532 608 684 760 836

Z 724 730 740 754 772 794 820 850 884 922 964

1 39 m = 1 —

N -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9

X -760 -756 -748 -736 -720 -700 -676 -648 -616 -580 -540

Y 39 117 195 273 351 429 507 585 663 741 819

Z 761 765 773 785 801 821 845 873 905 941 981

40

m = 1 —

N -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10

X -798 -792 -782 -768 -750 -728 -702 -672 -638 -600

Y 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800

Z 802 808 818 832 850 872 898 928 962 1000

1 41 m = 1 —

N -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12

X -840 -836 -828 -816 -800 -780 -756 -728 -696

Y 41 123 205 287 369 451 533 615 697

Z 841 845 853 865 881 901 925 953 985

1 42 m = 1 —

N -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14

X -880 -874 -864 -850 -832 -810 -784

Y 84 168 252 336 420 504 588

Z 884 890 900 914 932 954 980

43

m = 1 —

N -21 -20 -19 -18 -17 -16

X -924 -920 -912 -900 -884 -864

Y 43 129 215 301 387 473

Z 925 929 937 949 965 985

44

m = 1 —

N -21 -20 -19 -18

X -966 -960 -950 -936

Y 88 176 264 352

Z 970 976 986 1000

Использованные источники:

1. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики.- Квантор.1991

2. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел.- М.Наука.1978