CC BY
99
УДК 372.851
doi 10.24411/2221-0458-2021-87-25-37
ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ» ПОСРЕДСТВОМ
СИСТЕМЫ ЗАДАНИЙ
Кара-Сал Н.М., Шактар О.О.
Тувинский государственный университет, г. Кызыл
TEACHING STUDENTS TO SOLVE THE SYSTEM TASKS ON ARITHMETIC AND
GEOMETRIC PROGRESSION
N.M. Kara-Sal., O.O. Shaktar Tuvan State University, Kyzyl
Статья посвящена обучению учащихся решению задач при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессия» с помощью системы заданий, классифицированных по группам. Обращается внимание на формирование понятия числовой последовательности, как базового понятия при изучении прогрессии. В связи тем, что задачи по данной теме входят в первую часть основного государственного экзамена (ОГЭ) по математике, то учителю необходимо систематизировать знание учащихся по указанной теме. Как показывает анализ практической деятельности учителя, задачи на прогрессии почти отсутствуют в курсе «Алгебра и начала анализа» в 10-11 классах. С другой стороны, в заданиях ЕГЭ по математике требуются знания школьников по этой теме. Поэтому в последнюю группу классификации заданий в статье приведены задачи, требующие применения свойств показательной и логарифмической функций, для обобщения знаний по «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Применение заданий, построенных в соответствии степени сложности, способствует формированию у учащихся универсальных учебных действий.
Ключевые слова: деятельностный подход; учебные действия; числовая последовательность; математические задачи; методы решения; свойство показательной и логарифмической функций
The article is devoted to teaching students to solve problems when studying the topic
"Arithmetic and geometric progression" with the help of a system of tasks, classified into groups.
Attention is paid to the formation of the concept of a numerical sequence, as a basic concept in the
25
study of progression. Due to the fact that the tasks on this topic are included in the first part of the Basic State Examination (BSE) in mathematics, the teacher needs to systematize the knowledge of students on this topic. As the analysis of the teacher's practice shows, tasks on progressions are almost absent in the course "Algebra and Beginnings of Analysis" in grades 10-11. On the other hand, the USE mathematics assignments require students' knowledge of this topic. Therefore, the last group of classification of tasks in the article includes tasks requiring the application of properties of exponential and logarithmic functions, to summarize knowledge of "Arithmetic and geometric progression". The application of tasks, structured according to the degree of complexity, contributes to the formation of students' universal learning activities.
Key words: activity approach; learning activities; numerical sequence; mathematical problems; methods of solving; the property of the exponential and logarithmic functions
Одной из основных задач современной школы является
использование приемов и методов, формирующих у учащихся способности к самостоятельности, заключающиеся в развитии «умений учиться». Реализация этой задачи и является главной сутью деятельностной парадигмы образования в соответствии с ФГОС [1]. В связи с этим основным результатом образования является овладение учащимися
универсальными учебными действиями в концепции системно-деятельностного
подхода в обучении [2]. При таком подходе учебный процесс должен быть организован так, чтобы основное внимание отводилось активной, самостоятельной познавательной деятельности учащихся.
При обучении математике с методами решения задач определенного типа связаны соответствующие ему действия, прежде всего это специфические действия [3]. При
решении математических задач - это математические действия, которые конкретизируются в процессе их выполнения в зависимости от поставленной цели. Кроме специфических выделяются учебно-познавательные, которые выражаются в конкретизации определенного приема или метода [3]. Как правило, метод решения математических задач
определенного типа есть свойственная данному типу задач взаимосвязь этих действий.
При решении задач по теме «Прогрессии» учителю необходимо учесть, что в состав метода решения задач входят следующие действия: анализ условий задачи; действия конкретизации сравнения имеющихся теоретических знаний, полученных в результате выполненного анализа условий конкретной задачи; действия, свойственные только методу решения задач на прогрессии. Например,
нахождение разности или знаменателя прогрессии; установление факта, что числовая последовательность является арифметической или геометрической прогрессией; нахождение какого-либо члена прогрессии; вычисление суммы членов прогрессии и т.д.
Для раскрытия наиболее
существенных действий метода решения задач на прогрессии рассмотрим пример.
Пример. Числа а1, а2, а3образуют арифметическую прогрессию и квадраты этих чисел составляют геометрическую прогрессию. Найдите а1,а2,а3, если известно, что а1 + а2 + а3 = 21. [4]
Анализ условий задачи приводит к актуализации теоретических знаний по арифметической и геометрической прогрессии. Задача систематизирует полученные знания учащихся по этой теме, а именно: определения арифметической прогрессии и геометрической прогрессии; разность арифметической прогрессии и знаменатель геометрической прогрессии; характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Так как а1, а2, а3 образуют арифметическую прогрессию, то их можно переписать так: а — d; а; а + d, где d -разность прогрессии. Из условий задачи имеем равенство: 21 = (a — d) + а + (а + d) = 3а, откуда имеем a=7. Из условий задачи также получаем, что (7 — d)2; 72; (7 + d)2 образуют геоме-
трическую прогрессию. Кроме того, используя характеристическое свойство геометрической прогрессии, получим: (7 - d) • (7 + d) = ±49, откуда из уравнения получим d = 0. Тогда а1 = а2 = а3 = 7 или d = 7V2 , и соответственно а 1 = 7 — 7V2 ; а2 = 7; а3 = 7 + 7V2.
Существенно важной при решении набора математических задач является установка учителя. Если при решении задач из набора обобщался тип задачи (по содержанию математических знаний; по действиям, необходимым для решения задач данного типа; по приемам решения задачи), то обучающийся накапливает учебные факты. Вследствие активного усвоения общих ориентиров типа математических задач и
последовательности специфических, общих учебно-познавательных действий школьник учится решать не только каждую конкретную математическую задачу, но и относит ее к конкретному типу. Следовательно, при решении
математических задач учебная задача является такой задачей, цель решения которой получить теоретическое обобщение математических задач определенного типа. При этом она определяется взаимосвязью
специфических, общих учебно-
познавательных действий. В результате этого ученик овладевает общим способом
решения всех частных задач определенного типа.
Для обучения школьников решению учебных задач учителю необходимо сформировать основные понятия в теме «Прогрессии». Как показывает анализ учебного материала темы, в нем можно выделить два блока. Основное содержание первого блока состоит из теоретических знаний: числовая последовательность и способы ее задания (аналитический, словесный, рекуррентный); монотонные последовательности; арифметическая
прогрессия; геометрическая прогрессия. Второй блок - блок решения задач: задачи на различные способы задания числовой последовательности (взаимно-обратные задачи, которые сводятся к следующим: зная несколько членов, найти формулу общего члена последовательности и найти формулу общего члена по известным первым членам); задачи на основные свойства числовых последовательностей; задачи на нахождение разности (знаменателя), формулы общего члена арифметической (геометрической) прогрессии; задачи на вычисление суммы членов конечной арифметической (геометрической) прогрессии; задачи на использование характеристического
свойства арифметической (геометрической) прогрессии; задачи смешанного типа.
В соответствии с выделенными блоками общей учебной задачей, которая
ставится при изучении данной темы, является усвоение основных понятий и свойств по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия», умение применять их при решении задач.
Так как базовым понятием в данной теме является понятие числовой последовательности, то остановимся на основных этапах формирования этого понятия.
I этап формирования понятия - это мотивационный этап. Понятие числовой последовательности вводится впервые. Кроме того, понятие является одним из сложных. Поэтому очень важна правильная организация мотивационного этапа. Здесь можно рекомендовать беседу, в основу которой целесообразно взять изложение материала в учебнике, где результатом обобщения жизненных и других примеров является введение числовой последовательности.
II этап - выделение существенных свойств понятия. Учащиеся должны уметь выделять существенные признаки понятия, а для этого должны овладеть приемом сравнения и анализа. В определении числовой последовательности такими являются:
- числовая последовательность представляет собой функцию;
- областью определения функции, задающей числовую последовательность, является множество N.
III этап - усвоение логической структуры определения. Для этого необходимо правильно сформировать определение числовой последовательности.
Определение: Функцию вида у = /(х), х £ N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью [5].
Это определение имеет структуру, включающую два признака:
- числовая последовательность представляет собой функцию;
- областью определения функции, задающей числовую последовательность, является множество N.
Эти два признака соединены конъюнктивно, поэтому при выполнении только одного из них не будем иметь числовую последовательность. Школьники часто делают ошибки, связанные с записью числовой последовательности в виде функцииап = /(и). Если школьник правильно пользуется указанной записью, то это показывает, что он осознал определение числовой последовательности.
Поэтому учителю необходимо на первых порах поработать с определением числовой последовательности с
приведением множества примеров, так как в дальнейшем при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» школьникам будет уже легко усваивать новые понятия. Можно предложить следующие задания.
Пример 1. Определить, является ли заданная функция числовой
последовательностью:
а) у = 3х — 1, х £ (о; +да);
в) у = 3х — 1, х £ 7;
б) у = 3х — 1, х £
г) у = 3х — 1, х £ N. [7]
Пример 2. Какова математическая модель задачи: сосулька во рту тает со скоростью 5 капель в минуту. Через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т.д. Сколько капель упадет на землю от начала таяния сосульки? Будет ли числовой последовательностью составленная
математическая модель? [6]
Следующим этапом является использование свойств числовых последовательностей и способов задания числовых последовательностей (аналитический, словесный, рекуррентный).
Учащиеся уже знакомы со способами задания функции, поэтому учителю необходимо подчеркнуть, что способы задания числовых последовательностей такие же, как и функции в соответствии с определением числовой последовательности. Учебники располагают достаточно богатым разнообразием задач, поэтому учителю остается лишь распределить задачи по уровню сложности, особо обращая внимание на рекуррентный способ задания последовательности.
Перечисленные выше этапы формирования новых понятий применимы
также при изучении арифметической и геометрической прогрессий. Здесь важен этап - использование основных понятий и их свойств при решении задач. С этой целью целесообразно осуществить классификацию задач по теме.
К первой группе задач следует отнести задачи, требующие выяснения того, является ли заданная
последовательность арифметической или геометрической прогрессией.
Пример 3. Определите, является ли последовательность 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... арифметической прогрессией [6].
Внимание учащихся обращается на то, что каждый член последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, равным 2. Поэтому она образует арифметическую прогрессию.
Необычной является последовательность, у которой все члены равны между собой: 6, 6, 6, 6,6 ...
При решении этого примера нужно подчеркнуть, что это стационарная последовательность, представляющая
собой арифметическую прогрессию, у которой первый член равен 5, а разность прогрессии равна 0.
Пример 4. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5, дают в остатке 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то
укажите первый член и разность прогрессии.[5]
Решение данной задачи требует от учащихся умений записывать в виде формулы множество натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Целесообразно прорешать с учащимися задачи двух типов: записать формулу общего члена последовательности натуральных чисел, которые при делении на 2, 3, 4, ..., 9 дают в остатке 2, 3, 4, ..., 9; анализируя условие задачи, получим ап = 5п + 3. Выяснение того, является ли данная последовательность арифметической
прогрессией, аналогично предыдущим задачам.
Ко второй группе задач отнесем задачи, в которых требуется найти первый член и разность прогрессии. Такие задачи являются базовыми, так как решение любой задачи на арифметическую прогрессию требует так или иначе нахождения первого члена и разности прогрессии.
Пример 5 Найдите первый член арифметической прогрессии (ап), если:
а) а7 = 8, й = 3;
в) я26 = -51, й = -2;
б) а37 = -70, й = -2;
г) а26 = -6^2, й = -72.[6]
Третью группу задач составляют задачи на нахождение формулы общего члена арифметической прогрессии и связанных с ней задач.
Пример 6. Составьте формулу п-ого члена арифметической прогрессии 2, 5, 8, 11, ... [6]
Для составления формулы п-ого члена, нужно найти разность ё и подставить в формулу ап = % + ^(п — 1):
^ = 5 — 2 = 3; ап = 2 + 3(п — 1) = 3п — 1. [5]
Пример 7. Число 29 является членом арифметической прогрессии 9 ,11, 13, ... Найдите номер этого члена [5].
Это задача не является стандартной на нахождение формулы общего члена последовательности, поэтому здесь важно осуществить поиск решения задачи на основе анализа условий. По условию задачи ах = 9, ^ = 2 , следовательно, ап = 9 + 9(п — 1) или ап = 2п + 1. Так как число 29 является членом прогрессии, то для нахождения номера п решим уравнение 2п+7=29, откуда находим п=11. Значит, аи = 29.
Таким образом, решение данной задачи состоит из трех этапов:
- использование определение арифметической прогрессии
- использование формулы общего члена арифметической прогрессии
- нахождение номера п, удовлетворяющего условию задачи.
К четвертой группе относятся задачи, требующие решения неравенства в натуральных числах для нахождения
соответствующего номера члена прогрессии.
Пример 8. Начиная с какого номера п все члены заданной арифметической прогрессии (ап)будут меньше заданного числа А? [5]
110, 100, 90, ..., А = 15. Данная прогрессия является убывающей с разностью й = —10, тогда
ап = —10п +120. Так как по условию ап < 15 , то задача сводится к решению неравенства —10п + 120<15 в натуральных числах. На этот факт следует особо обратить внимание учащихся. Решив неравенство, получим п > 10,5, что означает п = 11.
Пример 9. Начиная с какого номера п все члены заданной арифметической прогрессии (ап), будут больше заданного числа А? [5]
а) ах = —10, й = 2, А = 140;
б) ах = —2,5, й = 4,5, А = 0;
в) ах = 3, й = 1,2, А = 13,7;
г) ах = 13,5, й = 0,8, А = 22. Пятую группу составляют задачи на
нахождение суммы членов конечной арифметической прогрессии и связанные с этим задачи.
Пример 10. Найдите сумму 5П членов конечной арифметической прогрессии(ап), если известны первый и последний ее члены
а) ах = 1, а30 = 56; в) % = —10, а10 = —3;
б) а1 = 40, а20 = -20; г) ах = 12, й25 = 4.[8]
Пример 11.а) Найдите сумму всех двухзначных чисел, кратных 5.
б) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 2 [8].
Следующая группа задач связана с использованием характеристического
свойства арифметической прогрессии.
Пример 12. Найдите те значения х, при которых числа х, 2х-1, 5хявляются последовательными членами арифметической прогрессии [9].
Используя характеристическое свойство, найдем х, тогда имеем
о м Х+5Х л
2х — 1 = ——, откуда х= - 1.
В седьмую группу можно объединить задачи смешанного типа, среди которых имеются текстовые задачи.
Пример 13. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно штрафное очко, за каждый последующий - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков [7].
Для решения этой задачи нужно найти количество промахов: за первый
промах - 1 очко; за второй промах - 2 очка и т.д.
Тогда й = 0,5. По формуле п-го члена ап = а1 + й(п — 1) получим
1 + 0,5(п + 1) = 7. Откуда,
п=13.3начит, стрелок попал в цель 12 раз.
Пример 14. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждый следующую минуту на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания? [7]
Пример 15. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый последующий день - 5 капель больше, чем предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 29 мл лекарства, что составляет 250 капель? [8]
Для обобщения и систематизации знаний учащихся по теме «Арифметическая прогрессия» можно предложить учащимся заполнить следующую таблицу:
а1 d О-п n s
5 3 12
2 1 81
55 25 12
3 85 800
20 8 108
По такому же принципу можно разделить на группы задачи по теме «Геометрическая прогрессия».
К восьмой группе отнесем задачи, требующие знаний как арифметической прогрессии, так и геометрической.
Пример 16. Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию. Если из последнего числа вычесть 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9 [4].
Для решения данного примера нужно воспользоваться
характеристическими свойствами
арифметической и геометрической прогрессии. Пусть последовательность 9, у, ъ - образует геометрическую прогрессию, тогда 9, у, z - 16 является арифметической прогрессией (по
условию). Имеем
У
2 _
9z,y
9 + z - 16 2
Решив эти уравнения, получим у=21, ъ=49.
Пример 17. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но
в обратном порядке. Если же из цифры сотен вычесть 4, а остальное цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию
[7].
Анализ учебников по алгебре и началам анализа для средней школы показывает, что задачи по данной теме в них почти отсутствуют. Если учитель обращается к таким задачам, то чаще всего обучающиеся не помнят теоретические сведения по этой теме. Поэтому приходится вновь
систематизировать знания обучающихся по этой теме. С другой стороны, при изучении отдельных тем в курсе «Алгебра и начала анализа» в 10-11 классах можно вкрапливать задачи на прогрессии. Например, при изучении тригонометрических, показательных, логарифмических, степенных функций.
Это необходимо для
систематизации знаний учащихся по теме, так как на экзаменах ЕГЭ по математике с задачами на прогрессии учащиеся плохо справляются.
В девятую группу задач включим задачи повышенной сложности.
Пример 18. Является ли следующая последовательность членами
геометрической прогрессии
Решение этой задачи требует знания характеристического свойства
геометрической прогрессии, которое приводит к решению следующего уравнения.
7
(7)
Следует заметить, что
характеристическим свойством
арифметической и геометрической прогрессии учащиеся не пользуются, хотя это намного облегчает решение.
Пример 19. Бригада землекопов должна была в 8ч. начать рыть траншею. Однако, простояв в очереди за лопатами, они приступили к работе позже: первый 5 минут, второй на 10, третий на 15 минут и т.д. Вырыв траншею в 12 часов, они ушли на обед, а с 13часов до 16часов 30 минут, вырыли вторую такую же траншею. Сколько было землекопов? [3]
Решение: Пусть работали п землекопов.
До обеда с 8:00 до 12:00 они потратили (4-А) часов, где А-сумма потерянного времени из-за простоя. 1 -й землекоп опоздал на 5 минут 2-й землекоп опоздал на 10 минут
3 -й землекоп опоздал на 15 минут
и т.д.
Тогда п-й землекоп опоздал на (5п) минут.
А=(5+10+15+... +5п)минут.
Переведем в часы: п (минут) = • п(часа) =
5+5п
5(1+п)-п
24
(часа).
Значит, до обеда потрачено 4 —
(1+п)-п 24
после обеда потрачено по
условию 3,5 часа.
4_(1+п>п = 3.5 (1+п)-п
24
24
-, откуда получим квадратное уравнение
п2 + п — 12 = 0, где п £ Миз корней П! = 3, п2 = —4 - второй не подходит.
Таким образом, работали 3 землекопа.
Пример 20. Некто продал лощадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лощадь, потом передумал и возвратил ее продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лощадь, которая этих денег не стоит» Тогда продавец предложил другие условия «Если по-твоему, цена лощади высока, то купи только ее подковные гвозди, лощадь получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай
мне всего - копейки, за второй
- копейки, за третий 1 копейку и т.д.».
Покупатель, соблазненный такой ценой и желая даром получить лощадь, принял
2
1
условия продавца. За сколько покупатель проторговался?[8]
Решение: В задаче речь идет о геометрической прогрессииЬп, для
которой Ъ1 = - и д=2. За все 24 гвоздя
пришлось уплатить
- + -+1 + 2 + 22 + 23 + —+ 224-3 4 2
копеек.
Следовательно,. Всего он должен
заплатить
221-2-- 1 -4 = 222 -1 = 4194304 -
2-1 4
-что составляет примерно 42000 рублей.
Задачи по этой теме встречаются не только в математике, но и в химии, физике, биологии, экономике, статистике
и в решении некоторых задач, встречающихся в повседневной жизни. Неслучайно поэтому они включены в задания ОГЭ и ЕГЭ, причем они сформулированы как в блоке «Реальная математика» и других блоках. Следует отметить, что особенно они вызывают затруднения у школьников, когда они сформулированы в виде задачи с экономическим содержанием на экзамене ЕГЭ по математике.
Таким образом, решение задач по данной теме, имеет прикладное значение, что очень важно для формирования у школьников универсальных учебных действий.
Библиографический список
1. Федеральные государственные образовательные стандарты. - URL: https://fgos.ru/ (дата обращения: 01.11.2021). - Текст : электронный.
2. Асмолов, А. Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе : от действия к мысли. Система заданий : пособие для учителя / под редакцией А. Г. Асмолова. - Москва : Просвещение, 2010. - 159 с. - Текст : непосредственный.
3. Талызина, Н. Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. -Москва : Знание, 1983. - 230 с. - Текст : непосредственный.
4. Дорофеев, Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы / Г. В. Дорофеев, М. К.
Потапов, Н. Х. Розов. - Москва : Наука, 1993. - 527 с. - Текст : непосредственный.
5. Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс. Ч. 1-2 : учебник / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. - Москва : Мнемозина, 2015. - 258 с. -Текст : непосредственный.
6. Мерзляк, А. Г. Алгебра : 9 класс для учащихся общеобразовательных организаций / А .Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. - Москва : Вентана-Граф, 2018. - 304 с. - Текст : непосредственный.
7. Алгебра. 9 класс : пособие для самостоятельной подготовки к итоговой аттестации 2019 / Ф. Ф. Лысенко. - Ростов -на- Дону : Легион, 2019. - 251 с. - Текст : непосредственный.
8. Никольский, С. М. Алгебра : учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. -
Москва : Просвещение, 2015. - 260 с. -Текст : непосредственный.
9. Ященко, И. В. Подготовка к ОГЭ по математике в 2020 году : методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков. -Москва : МЦНМО, 2020. - 300 с. - Текст : непосредственный.
10. Кара-Сал, Н. М. Решение некоторых уравнений на уроках алгебры в 7-9 классы / Н. М. Кара-Сал. - Текст : непосредственный // Башкы. - 1997. - № 5. - С.11-15.
11.Макарычев, Ю. Н. Алгебра. 8 класс : учебник для школ и классов с углубленным изучением математики / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков. - Москва : Мнемозина, 2015. - 369 с. - Текст : непосредственный.
References
1. Federal State Educational Standards. - [online] Available at: https://fgos.ru/ (date of access: 01.11.2021). (In Russian)
2. Asmolov A. G. The formation of universal learning activities in the basic school : from action to thought. A system of tasks : a manual for the teacher, edited by A. G. Asmolov. Moscow : Prosveshchenie, 2010, 159 p. (In Russian)
3. Talyzina, N. F. Formation of cognitive activity of students. Moscow : Znanie, 1983, 230 p. (In Russian)
4. Dorofeev, G. V., Potapov M. K., Rozov N. H. Mathematics for university entrants - Moscow : Nauka, 1993, 527 p. (In Russian)
5. Mordkovich, A. G., Semenov P. V. Algebra. 9th grade. Part 1-2 : textbook. Moscow : Mnemozina, 2015, 258 p. (In Russian)
6. Merzlyak, A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebra : 9th grade for students of general educational organizations. Moscow : Ventana-Graf, 2018, 304 p. (In Russian)
7. Lysenko F.F. Algebra. 9th grade: manual for independent preparation for the final attestation 2019. Rostov-na-Donu : Legion, 2019, 251 p. (In Russian)
8. Nikolsky, S. M. Algebra : textbook for the 9th grade of general educational institutions. -Moscow : Prosveshcheniye, 2015, 260 p. (In Russian)
9. Yashchenko I. V., Shestakov S. A. Preparation for the Main State Exam (OGE) in mathematics in 2020 : methodological guidelines. Moscow : ICNMO, 2020, 300 p. (In Russian)
10. Kara-Sal, N. M. Solution of some equations at the lessons of algebra in 7-9 grades. Journal Bashki [The teacher], 1997, No 5, Pp.11-15. (In Tuvan)
11. Makarychev, Y. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I. Algebra. 8th grade : textbook for schools and classes with advanced study of mathematics. Moscow : Mnemozina Publ., 2015, 369 p. (In Russian)
Кара-Сал Надежда Маасовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и МПМ, Тувинский государственный университет, г. Кызыл, е-таП: кага-salnm@mail.ru
Шактар Ойнарина Очуровна - старший преподаватель кафедры математики и МПМ, Тувинский государственный университет, г. Кызыл, е-mail: oynarina@mail.ru
Nadezhda M. Kara-Sal - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics and MMT, Tuvan State University, Kyzyl, Russia, e-mail: kara-salnm@mail.ru
Oynarina O. Shaktar - Senior Lecturer, Department of Mathematics and MMT, Tuvan State University, Kyzyl, Russia, e-mail: oynarina@mail.ru
Статья поступила в редакцию 03.12.2021
