CC BY
107Ученый XXI века • 2015 • № 5-6 (6-7) Педагогические науки
УДК 37.037
ФОРМИРОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Д.А. Царькова1, Н.А. Демченкова2
Аннотация
В статье определено понятие формирования логического мышления с помощью системы математических задач; определены требования к математическим задачам, направленным на формирование логического мышления; выделены основные умения, раскрывающие сформированность логического мышления; представлена методика изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии», составленная с учетом описанных требований и умений.
Ключевые слова
Логическое мышление, формирование логического мышления с помощью системы задач.
Формирование логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом методической работы многих учителей и методистов. Логическое мышление развивается у учащихся, прежде всего, в ходе рассмотрения различных математических выводов: индуктивных и дедуктивных, в ходе доказательств теорем, обоснований решения задач.
В соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом среднего (полного) общего образования изучение предметной области «Математика» должно обеспечить, кроме прочих, сформированность элементов логического мышления. Именно поэтому проблема формирования логического мышления учащихся приобретает особую актуальность.
Проблеме формирования и развития логического мышления посвящены работы многих отечественных и зарубежных методистов, психологов и педагогов: А.В. Брушлинского, Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, В.А. Гусева, Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, В.А. Крутицкого, А.Н. Леонтьева, А.А. Столяра, Д. Пойа, Ж. Пиаже, Э. Де Боне. Проблемы логического мышления в школе и вузе изучали методисты и педагоги: В.И. Арнольд, Л.А. Калужнин, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, И.Л. Никольская, Г.И. Саранцев, В.А. Успенский, Л.М. Фридман и др. Важный вклад в иссле-
1 Царькова Дарья Александровна - магистрант кафедры алгебры и геометрии, Тольяттинский государственный университет.
2 Демченкова Наталья Анатольевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии, Тольяттинский государственный университет.
дование рассматриваемых проблем внесли работы С.Н. Дорофеева, Т.А. Ивановой, В.И. Игошина, Л.М. Наумовой, М.А. Родионова, И.Л. Тимофеевой, Р. А. Утеевой и др.
Роль логических знаний и умений в теории и практике обучения математике А. А. Столяр определял в двух аспектах: во-первых, усвоение общелогических приемов является необходимым условием формирования и развития познавательной деятельности; во-вторых, разработанный в рамках математической логики язык и некоторые общие понятия (высказывания, логические операции, логические рассуждения и другие) способствуют раскрытию структуры учебного материала и его более глубокому пониманию.
Под логическим мышлением будем понимать мышление, которое предполагает наличие следующих специфических умений: умения подчиняться законам логики, организовывать свои действия в соответствии с этими законами; умения выполнять логические операции, осознанно их аргументировать, строить гипотезы, обосновывать и опровергать их; умения выделять существенные или несущественные признаки математических объектов и понятий. Под формированием логического мышления будем понимать процесс овладения выделенными умениями.
Наряду с задачей развития логического мышления должна решаться задача воспитания логической грамотности учащихся общеобразовательной школы. Под логической грамотностью будем понимать логические знания и умения, которые дают возможность для успешного обучения и самообразования учащихся.
В системе работы учителя по развитию логического мышления учащихся возможно выделить следующие уровни.
Первый уровень (низший). Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным фактором, направляющим в этом случае процесс развития, является усваиваемое содержание предмета.
Второй уровень (средний). Организация деятельности учащихся по осознанию логической составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных задач.
Третий уровень (высший). Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления: доказательство математических утверждений методом от противного, выделение основных шагов математического доказательства, их теоретическое обоснование; подведение под определяемое математическое понятие, формулирование различных определений математического понятия.
Актуальность темы исследования обусловлена сложившимися к настоящему времени противоречиями между: содержанием государственного стандарта образования и отсутствием единых требований к разнообразным авторским учебным программам, альтернативным учебникам и пособиям по различным учебным дисциплинам (в частности математике), которые не всегда достаточно полно ориентированы на развитие логического мышления учащихся; возможностями школьного курса математики по развитию логического мышления учащихся и требованиями общества на современном этапе; необходимостью использования математической логики в школьном курсе математики и недостаточной разработанностью методики её преподавания, недостаточной дидактической обеспеченностью.
Предмет исследования: формирование логического мышления учащихся в процессе обучения математике.
Цель исследования заключается в разработке методической системы формирования логического мышления учащихся при обучении математике в общеобразовательной школе.
В данной статье предлагается методическая система формирования логического мышления учащихся, которая включает в себя: основные умения по данной теме, формы, методы, средства её реализации.
К основным умениям формирования логического мышления учащихся общеобразовательной школы будем относить следующие:
- владение основными мыслительными приемами (анализом, синтезом, обобщением, сравнением, систематизацией, конкретизацией), создание обобщений, установление аналогий; самостоятельный выбор основания и критерий для классификации; установление причинно-следственных связей;
- умение проводить доказательства утверждений, знать наиболее часто употребляемые приемы доказательств; обнаружение грубых логических ошибок; создание логических рассуждений, умозаключений (индуктивных, дедуктивных и по аналогии); формулирование выводов;
- умение определить известное понятие; умение проверять определение математического понятия на соответствие требованиям корректности к нему;
- понимание смысла логических связок «и», «или», «не», «если...то», «следует», «эквивалентно»; умение записывать определения математического понятия, теоремы и задачи на языке математической логики;
- умение выделить логическую форму математического утверждения, формулирование обратного, противоположного и обратного противоположному утверждений;
- умение правильно организовывать и рационализировать свою деятельность в соответствии с внутренней логикой ситуации.
Формы учебной деятельности, способствующие формированию логического мышления [4]:
1) Индивидуальная форма учебной деятельности учащихся.
Индивидуальной формой учебной деятельности учащихся на уроке
математики называется такой способ организации деятельности учащихся класса, если: перед всеми учащимися одновременно поставлена некоторая цель, как индивидуальная, личная цель каждого; содержание задания одинаково для всех, либо дифференцированно, либо индивидуализировано; в основе формы лежит самостоятельная индивидуальная деятельность каждого учащегося, реализующая отношение «деятельность учителя - деятельность ученика»; учащимся оказываются все три вида помощи со стороны учителя; руководство по выполнению задания осуществляет каждый учащийся самостоятельно; подводятся итоги деятельности каждого учащегося.
2) Групповая форма учебной деятельности учащихся.
Групповой формой учебной деятельности учащихся на уроке математики назовем такой способ организации деятельности учащихся класса, если: перед всеми типологическими или перед отдельными группами одновременно поставлена некоторая учебная цель, как общая цель для учащихся данной группы; содержание задания одинаково для всех либо дифференцировано с учетом особенностей групп; в основе формы лежит коллективная деятельность членов группы, реализующая отношение «деятельность учителя - деятельность группы - деятельность ученика».
Методы формирования логического мышления учащихся:
1) Анализ и синтез. Анализ применяется при доказательстве теорем и при решении различного вида задач. При доказательстве теорем анализ состоит в том, что рассуждения ведутся по пути от искомого к данным. При решении задач анализ заключается в следующем: исходя из допущения, что искомая фигура построена или искомое значение величины существует, разыскивают те соотношения, которые следуют из этого допущения, затем те соотношения, которые вытекают из этих следствий, и так продолжают до тех пор, пока не приходят к выводу, который может служить исходным соотношением и цели обратных предложений. Синтез же в этом случае состоит в решении задачи путем объединения простых задач в одну составную и включает в себя доказательство того факта, что найденные посредством анализа и использованные при построении необходимые условия существования искомой фигуры являются вместе с тем и достаточными.
2) Индукция и дедукция. Такое умозаключение, посредством которого из единичных или частных посылок делается общий вывод, в курсе логики называется индукцией. В то время как индуктивный метод характеризуется переходом от рассмотренных частных фактов к обобщениям, дедуктивный метод доказательства состоит в том, что, исходя их предыдущих теорем, выводят необходимо вытекающие из них следствия - новые теоремы - без предварительного рассмотрения частных случаев.
3) Аналогия и сравнение. С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, то есть наличие у них общих и не общих (различных) свойств. Заключения по аналогии - это заключения по сходству.
4) Обобщение, абстрагирование и конкретизация. Обобщение - это мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу объектов или отношений. Абстрагирование - это мысленное отвлечение общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных для нашего изучения свойств рассматриваемых объектов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) этих несущественных свойств.
Основным средством формирования логического мышления, с нашей точки зрения, выступают системы задач. Требования к математическим задачам сформулируем на основе результатов исследования Ра-хымбек Д. [3]. Направленные на развитие логического мышления задачи могут быть сгруппированы следующим образом:
1. Задачи, требующие анализа, синтеза, абстрагирования, систематизации и обобщения знаний. Включаются задания на выделение главного и существенного в содержании изучаемого учебного материала, наглядного материала, учебного эксперимента. Также входят задания на установление причинно-следственных связей изучаемых явления, процесса, математического объекта.
2. Задачи, требующие сопоставления, сравнения, классификации, обобщения. В данной группе присутствуют задачи на усвоение черт сходства и различия, общего и специфического, также задачи на установление закономерностей развития однотипных процессов и явлений.
3. Задачи, требующие умозаключений и выводов. Данная группа задач направлена на выявление сути рассматриваемого процесса и подведение повторяющихся фактов либо зависимостей под формулируемый закон.
4. Задачи, требующие доказательства правильности выводов. Включаются задачи, требующие обоснование или опровержение выдвинутой гипотезы. Требуется применение знаний о законах для обоснования сделанных выводов, либо для опровержения сделанных предположений.
Нами разработана методика формирования логического мышления на примере темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Данная методика представлена в таблице.
Таблица 1
Методика формирования логического мышления на примере темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Умения формирования логического мышления
Формирование данных умений
1) умение определить известное понятие
Первое знакомство учащихся с прогрессиями можно начать с конкретных примеров нескольких последовательностей, среди которых имеются, например, арифметические прогрессии. Рассматривая эти примеры, учащиеся могут выявить характеристические свойства последовательностей некоторого вида, которые учитель затем называет арифметическими прогрессиями и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии._
2) знание правил классификации
3) - 4) понимание смысла логических связок «и», «или», «не», «если...то», «следует», «эквивалентно» (логически); умение выделить логическую форму математического предложения
Можно предложить ученикам самостоятельно сформулировать определения возрастающих и убывающих последовательностей с помощью логических связок «если ... то», данный ход будет являться одним из средств понимания логических связок.
Так же понимание логических связок (в данном случае «и») помогает решение следующих задач.
№1. В арифметической прогрессии (а ) выполняется а + аг = 24 и а ■ а = 60 . Найдите а и й .
Продолжение таблицы 1
Умения формирования логического мышления Формирование данных умений
Решение: Связка «и» означает одновременное выполнение условий, поэтому составляем систему: [а + а = 24, [а + а + 4d = 24, [а + 2d = 12, 11 5 О 1 1 1 ° [а а = 60, [(а,+ d)(а2d) = 60, [(а_+ d) • 12 = 60, [а + 2d = 12, [d = 7, Г 1 , «[ , [а + d = 5, [а ] = -2. Ответ: d = 7 , а = -2 . 1 №2. В арифметической прогрессии (Сп) выполняется с6 + се = 82 и с8 — с3 = 1 2 . Найдите С и & Решение. Аналогично предыдущей задачи составляем систему: [с + 5d + с + 7d = 82, [2С + 12d = 82, [d = 2,4, [ 1 1 1 , «[ , , О [с + 7d - с - 2d = 12, [5d = 12, [с = 41 - 6 • 2,4, [d = 2,4, [с, = 26,6. Ответ: й = 2,4, с = 26,6 . 1 '
5) умение проводить доказательства утверждений, знать наиболее употребительные приемы доказательства, обнаруживать грубые логические ошибки; Материал данной темы чрезвычайно удобен для упражнений с логическими умозаключениями по аналогии. Обучая учащихся правильно пользоваться таким эвристическим методом, как аналогия, находить и исправлять ошибки в одних предложениях и доказывать другие, подчеркивая истинные аналогии и разрушая ложные, можно развивать элементы логического мышления. Для достижения данной цели рекомендуется обратить внимание на вывод формулы общего члена прогрессии. Для формирования логического мышления, работу по выводу формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий можно провести на уроке «Сравнение арифметической и геометрической прогрессий» самостоятельно по вариантам, а затем сделать вывод и записать формулы и . Так же на уроке учитель должен подвести учащихся к характеристическим свойствам прогрессий, например, с помощью трех заданий, предлагаемых ученикам последовательно. 1) Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию? 2) Справедлива ли эта зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей? а) а 2 = а 1+а 3 (для арифметической прогрессии); б) (для геометрической прогрессии). 3) Доказать, что для членов прогрессий справедлива закономерность: а) ап+± = а" +а " * 2 (для арифметической прогрессии); б) !!2Ш = ¿2= 1>п . 1>п+2 (ддя геометрической прогрессии). ьп ьп+1
Продолжение таблицы 1
Умения формирования логического мышления Формирование данных умений
Для того чтобы работа заинтересовала учащихся, можно рассказать предание о маленьком Карле Гауссе, будущем немецком короле математики, решившим в десятилетнем возрасте очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел, а затем поставить перед учениками проблему: «Как смог найти сумму ста натуральных чисел десятилетний мальчик?». Далее необходимо отметить, что с помощью рассуждений, аналогичных проведенным при решении выше указанной проблемы, можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии. После этого следует приступить к выводу формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии. Для формирования логического мышления эту работу можно дать в форме задачи, а затем обсудить полученные результаты в виде двух вариантов формулы и сделать вывод. При изучении формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии сначала можно рассказать древнюю индийскую легенду об изобретателе шахмат Сете, затем рекомендуется поставить проблему перед учащимися следующего содержания: «Сколько зерен должен был получить Сета за свое изобретение?» Дальнейшая работа по выводу формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии проводится аналогично работе с формулой суммы первых п членов арифметической прогрессии.
6) - 7) умение правильно организовывать и рационализировать свою деятельность в соответствии с внутренней логикой ситуации; умение мыслить критически, последовательно, четко и полно Для достижения данной цели следует обучать учащихся решению нестандартных задач: Задача 1. Найдите сумму а + а + а + а членов арифметической п 3п 5п 7 п прогрессии, если сумма первых (8п - 1) членов этой прогрессии равна 5 . Решение. Преобразуем искомую сумму: а + а + а + а = а + й(п - 1) + а + й(3п - 1) + а + й(5п -1) + п 3п 5п 7 п 1 4 ' 1 4 ' 1 4 ' +а + й(7п -1) = 4а + й(16п - 4) = 4(а + (4п - 1)); 2а + й(8п - 2) 5 =—1-■ (8п - 1) = (а + й(4п - 1)) ■ (8п - 1). 8п-1 2 1 5 По условию (а + й(4п 1))(8п 1) = 5 , отсюда а + й(4п 1) = . 1 1 8п -1 Ранее мы доказали, что а + а + а + а = 4(а + (4п - 1)) . 45 Из последних двух равенств следует: а + а + а + а = . п 3п 5п 7 п 8п -1 4 5 Ответ: . 8п-1 Задача 2. В арифметической прогрессии 5 :5 = от2 : п2. Найдите отношение а к а . 5 (2а + (т-1)й ) т щ2 Решение. По условию =-1-=-. 5^ (2^ + (п-1)й ) п п2 Из последнего равенства получаем: т [ 2^ + (т - 1)й т | 2а + (т - 1)й т т 1 = 0 ^ = , таккак Ф 0 . п 2^ + (п -1)й п ) 2^ + (п -1)й п п Дальнейшие преобразования приводят к уравнению 2а (п - т) - й(п - от) = 0 , или (п - от)(2а -й) = 0 . а Если п-т = 0, то п = т и = 1. а
Окончание таблицы 1
Умения формирования логического мышления
Формирование данных умений
Пусть п Ф т, тогда й = 2а , причем из условия ясно, что а] Ф 0. Найдем
требуемое отношение:
а + (т -1)й а + 2а (т -1) 2т -1 а + (п -1)й а + 2а (п -1) 2п -1
Ответ:
2т -1 2п -1
8) владение основными мыслительными приемами (анализ, синтез, обобщение, сравнение и т.п.) в простейших случаях и т.д.
Следует провести изучение арифметической и геометрической прогрессий параллельно. В таком случае материал подается с точки зрения сравнения -поиска аналогии и различий. Это вынуждает использовать в один момент слишком много учебной литературы, зато максимально включается в работу логическое мышление.
Арифметическая прогрессия
| Геометрическая прогрессия
Определение:
Числовую последовательность, каждый член которой начиная со второго равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа ^ называют арифметической прогрессией, а число ^ разностью арифметической прогрессии.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а числа q -знаменателем геометрической прогрессии._
Формула п-го члена прогрессии
ап = а± + й (п — 1)
= ьг ■ Г
ап-1 ап+1
Характеристическое свойство
ип — 1 "/) + !
Сумма первых п членов прогрессии
а± + ап =----п
2 а± + (п — 5„ =----п
5„ =
5„ =
К -К-д 1-9
К (1-4")
1-д
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при < 1
5„ =
1-а
а
а
В процессе проведения данного исследования мы еще раз убедились в том, что одним из самых эффективных средств формирования логического мышления является система специально подобранных математических задач.
1. В процессе обучения необходимо так организовать учебную деятельность школьников, чтобы они сами "открыли" способ решения задачи. При этом нужно рассматривать с учащимися все предложенные ими способы решения задач, акцентировать внимание на наиболее рациональные.
2. Необходимо составлять с учащимися план решения задачи, чтобы дети учились планировать свои действия прежде, чем будут их выполнять. При этом важно, чтобы выполнение составленной системы действий приводило к достижению намеченной цели.
3. На уроках нужно стараться учить детей сопоставлять различные суждения, свойства, устанавливать общие закономерности и находить
отличительные черты. Большое внимание нужно уделять заданиям, в которых необходимо определять верность суждения (для различных возрастных групп учащихся), конечно, при этом меняется характер вопросов.
4. Математическая задача должна быть поставлена чётко и лаконично. Некоторые учителя дают такие задачи, в которых неточно сформулирован вопрос. Если ученик плохо или поверхностно знает определение, свойство или теорему, то ошибки неизбежны. Ошибки бывают и в том случае, если ученики не приучены осмысливать критически различные суждения. Причина в том, что учителя почти всегда предлагают учащимся задания, в которых ошибки исключены. Это вырабатывает у детей чрезмерное доверие ко всем сообщениям, указаниям и заданиям. Поэтому учителя математики иногда должны сознательно допускать в вопросе неточность, заставляя тем самым анализировать условие.
5. На уроках математики целесообразно использовать занимательные, несложные, хотя и требующие смекалки, задачи, которые оживили бы урок и дали пищу для мышления.
6. Большое внимание учителя должны уделять решению задач повышенной трудности, как на уроках, так и на факультативных, кружковых и дополнительных занятиях. При этом учитель должен стремиться научить ребят из сложной задачи выделять простые задачи, обобщать задачу, делать определённые выводы, большое внимание уделять составлению обратных задач и предложений.
Список литературы:
1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие / Л.В. Виноградова. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005. - 252 с.: ил. - (Здравствуй, школа!)
2. Демченкова Н.А. Проблемно-поисковые задачи как средство формирования исследовательских умений будущего учителя в курсе методики преподавания математики в педвузе: дис. на соискание ученой степени канд. пед. наук. - Тольятти, 2000. - 189 с.
3. Рахымбек Д. Методические аспекты формирования приемов учебной работы у школьников/ Д. Рахымбек, А.А Юнусов // Международный журнал экспериментального образования, 2014. - № 3. - С. 49-53.
4. Утеева Р.А. Формы учебной деятельности учащихся на уроке // Математика в школе. - 1995. - № 2. - С. 33-35.
© Д.А. Царькова, Н.А. Демченкова, 2015
