45ПЕДАГОГИКА
Гуманитарные исследования. Педагогика и психология. 2021. № 7. С. 9-16. Humanitarian studies. Pedagogy and psychology. 2021. No. 7. P. 9-16.
Научная статья УДК 378.126
doi: 10.24412/2712-827Х-2021 -7-9-16
Формирование общелогических действий при обучении математике как основы функциональной грамотности современного школьника
Ирина Николаевна Власова
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, Пермь, Россия, vlasova@pspu.ru
Аннотация. Формирование логический умений у обучающихся одна из ключевых задач современного образования. Анализ контрольно-измерительных материалов международных и российских исследований показал, что в половине заданий применяются действия, связанные с установлением причинно-следственных связей, пониманием понятий «обобщение» и «конкретизация», применением в обоснованиях выполнять деление множества объектов на группы (классификация). В статье описываются методические подходы к формированию общих логических действий при обучении математике в начальной и основной школе. Анализ требований федеральных государственных образовательных стандартов общего образования 2009 и 2021 гг. учебников и рабочих программ по математике показал, что на формирование логической составляющей функциональной грамотности влияет не только выбор учебников, но и система работы педагога. В методической системе учителя системно должны применяться такие приемы и способов организации деятельности обучающихся, которые непосредственно направлены на формирование общих логических действий: «установи логическую цепочку», «распредели объекты», «найди лишнее», «построй родословную понятия» и т.п. Определены условия, влияющие на достижение логических действий средствами учебных предметов в начальной и основной школе.
Ключевые слова: общелогические действия, логические умения, функциональная грамотность, начальная и основная школа, метапредметные результаты
Для цитирования: Власова И.Н. Формирование общелогических действий при обучении математике как основы функциональной грамотности современного школьника // Гуманитарные исследования. Педагогика и психология. 2021. J№ 7. С. 9-16. https://doi.org/10.24412/2712-827X-2021-7-9-16
Original article
Formation of general logical actions in teaching mathematics as the basis of functional literacy of a modern student
Irina N. Vlasova
Perm State Humanitarian Pedagogical University, Perm, Russia, vlasova@pspu.ru
Abstract. The formation of logical skills among students is one of the key tasks of modern education. Analysis of control and measuring materials from international and Russian studies showed that in half of the tasks, actions are used related to the establishment of cause-and-effect relationships, understanding the concepts of "generalization" and "concretization", using in justifications to divide a set of objects into groups (classification). The article describes methodological approaches to the formation of general logical actions in
© Власова И.Н., 2021
teaching mathematics in primary and secondary schools. Analysis of the requirements of the federal state educational standards of general education in 2009 and 2021, approval, textbooks and work programs in mathematics showed that the formation of the logical component of functional literacy is influenced not only by the choice of textbooks, but also by the teacher's work system. In the methodological system of the teacher, such techniques and methods of organizing the activities of students should be systematically applied, which are directly aimed at the formation of general logical actions: "establish a logical chain", "distribute objects", "find unnecessary", "build a pedigree of the concept", etc. The conditions influencing the achievement of logical actions by means of school subjects in primary and secondary schools have been determined.
Keywords: general logical actions, logical skills, functional literacy, primary and primary school, metasubject results
For citation: Vlasova I.N. Formation of general logical actions in teaching mathematics as the basis of functional literacy of a modern student. Humanitarian studies. Pedagogy and psychology. 2021;7:9-16. (In Russ.). https://doi.org/10.24412/2712-827X-2021-7-9-16
Введение
Системно-деятельностьный подход как научно-методологическая основа реализации школьных стандартов второго поколения акцентирует внимание на формирование у обучающихся фундамента для овладения ключевыми компетенциями и навыками XXI века, отражающими степень подготовленности учеников к жизни в современном обществе. Важной составляющей этого фундамента является математическая компетентность, которая характеризует возможность обучающегося использовать математику в качестве средства познания окружающего мира, решения практико-ориентированных и прикладных задач. В рамках инновационного проекта Министерства Просвещения РФ «Мониторинг формирования и оценки функциональной грамотности», направленного на повышение качества и конкурентоспособности российского образования, одной из задач является создание системы формирования математической грамотности обучающихся, включающей систему заданий по развитию компонентов математической грамотности, методических материалов по диагностике уровня ее сформированности [Проект «Мониторинг формирования функциональной грамотности учащихся» 2010: 1].
Важной составляющей функциональной математической грамотности являются общелогические умения. Поэтому в утвержденных федеральных государственных образовательных стандартах основного образования в 2021 году в метапредметных результатах был выделен блок базовых логических действий, к которому относятся такие умения как [Приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 31.05.2021 № 287 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования» 2021: 33]: выявлять и характеризовать существенные признаки объектов (явлений); выполнять классификацию, обобщение и сравнение; выявлять закономерности и противоречия в рассматриваемых фактах, данных и наблюдениях, предлагая критерии для этого; выявлять причинно-следственные связи при изучении явлений и процессов; делать выводы с использованием дедуктивных и индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии, формулировать гипотезы о взаимосвязях; самостоятельно выбирать способ решения учебной задачи - сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учетом самостоятельно выделенных критериев.
В содержании школьного образования логика выступает как основной инструмент математики, с помощью которого упорядочиваются, приводятся в систему и усваиваются новые знания не только в предметной области «Математика и информатика», но в таких областях как «Общественно-научные предметы», «Естественнонаучные предметы» «Технология». Логические умения как инструмент мышления целенаправленно формируются в процессе обучения математике, а при изучении других дисциплин они используются, совершенствуются и качественно обогащаются [Гетманова 2012: 5-6].
Целью статьи является описание методических условий формирования базовых логических действий обучающихся при изучении математики в современной школе.
Основная часть
Процесс овладения необходимыми логическими умениями сложный и длительный по времени. Поэтому обучение элементам логики важно начинать еще в начальной школе, тем более что изучение математики в 5 классе требует от учащихся определенной культуры логических рассуждений.
Конструктивные начала для формирования этой культуры содержат федеральные государственные образовательные стандарты общего образования и учебные программы по математике. Важность и необходимость логических умений для понимания математики и развития обучающихся на любом этапе обучения осознается всеми, однако требования к логической грамотности школьников практически никогда не отражались в требованиях к математической подготовке, а только подразумевались. В федеральных стандартах, утвержденных в 2021 г., логические действия представлены на трех уровнях [Приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 31.05.2021 № 286 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования» 2021: 42, 48, 77]. Первый уровень - это краткие описания общелогических действий в разделе «Метапредметные результаты», которые подлежат развертыванию на следующих уровнях. Второй уровень включает более детализированные требования к логической подготовке школьников в процессе освоения предметной области «Математика и информатика»: умение оперировать понятиями - определение, аксиома, теорема, доказательство; умение распознавать истинные и ложные высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания высказываний; умение выводить формулы и приводить доказательства, в том числе, методом «от противного» и методом математической индукции (курсив - на углубленном уровне). В области «Естественнонаучных предметов»: умение классифицировать химические элементы; умение характеризовать физические и химические свойства простых веществ и т.д.
На третьем уровне описания федеральный стандарт диктует конкретные требования к содержанию логических действий, являющихся основой для создания рабочих программ по предметам, которые необходимо соотнести со спецификой образовательной организации, групповыми и индивидуальными психофизиологическими особенностями учащихся, всевозможными авторскими вариантами программ, разработанных учителями и т. п. [Примерная основная образовательная программа основного общего образования 2015: 92]. Так авторский коллектив под руководством профессора Л.Г. Петерсон при обучении математике с первого класса предлагает к изучению разделы:
- множество (понятие «множество», способы задания, операции над множествами);
- математический язык (буквы как имена, формулы, равносильные предложения, следствия, построение моделей);
- элементы логики (высказывания, истинности и ложность; отрицание высказываний, общие высказывания и высказывания о существовании; сложные предложения: конъюнкция, дизъюнкция, импликация; законы логики; определение; характеристические свойства; предложения с переменной);
- методы рассуждений (логическое доказательство, математическая истина и «физическая» истина, индуктивный метод поиска закономерностей и установления фактов, метод полного перебора, метод математической индукции, доказательство от противного, правдоподобные рассуждения и математика, эвристика и логика) [Петерсон 2019: 150].
Как видно из содержания данной программы, линия «Математический язык и элементы логики» представлена даже в большем объеме, чем того требует федеральный стандарт (больше терминов, символов и методов). Поэтому при обучении по учебникам авторского коллектива под руководством Л.Г. Петерсон учителя и обучающиеся имеют больше возможностей для достижения требований стандарта.
Около четырех десятилетий тому назад в отечественной школе впервые были предприняты попытки включения элементов формальной логики в содержание обучения
математике. Эта идея тогда представлялась весьма перспективной, но в основном в связи с общей задачей «осовременивания» курса, нежели с задачей повышения логической грамотности школьников, хотя мысли об этом тоже высказывались. В ходе эксперимента были получены результаты, весьма интересные и значимые для методики математики. В школьный курс математики 4-10 классов были включены некоторые логические понятия: высказывание, значение истинности высказывания, логическое следование, равносильность и др. [Епишева 1997: 54]. Однако вскоре пришлось отказаться от идеи введения логики в курс математики, поскольку логические понятия и операции не нашли должного применения в курсе, усваивались они весьма поверхностно, без определенной взаимосвязи с другими его линиями. Учащиеся не осознавали практической ценности знаний по логике как в самой математике, так и в других дисциплинах, не понимали, что логическими понятиями в неявной форме они оперируют каждый день в своих размышлениях, беседах, при чтении книг и т.д. Этот опыт показал, во-первых, что универсальные умения (а именно к таким относятся умения рассуждать логически) невозможно формировать в одностороннем узкоспециальном порядке. Во-вторых, элементарное логическое образование необходимо начинать в начальной школе, опираясь на субъектный опыт ученика в проведение рассуждений и органично связывать логические знания с содержанием других методико-математических линий.
Элементы логики представлены в каждой предметной содержательной линии школьного курса математики, так как овладение ими осуществляется в неразрывной связи с формированием конкретных математических знаний. Начинать соответствующее обучение следует в начальной школе с целью обеспечения пропедевтики полноценного усвоения элементов логики учащимися, необходима преемственность в их изучении (логико-языковой линии). Рассмотрим, как это можно сделать в процессе освоения содержательных линий при изучении математики.
Линия «Числа и вычисления» предполагает, например, изучение в 5-6 классах таких тем, как: «Натуральные числа и действия над ними, свойства арифметических действий», «Арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами». Это является последовательным, логическим продолжением следующих тем: «Арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление», «Законы сложения и умножения», которые изучаются на ступени начального образования. В этой математической линии отражаются такие компоненты содержания, связанные с логикой, как обозначение арифметических действий, порядок действий, скобки. В целях обеспечения логической стройности изложения данного материала можно рекомендовать учителям начальных классов вводить правила выполнения арифметических действий по принципу их ступенчатого расположения. Первая ступень - действия сложения и вычитания; вторая ступень - действия умножения и деления; третья ступень (изучение в основной школе) - действие возведения в степень.
Использование в рассуждениях логических связок «и», «или», «не» целесообразно в этой же содержательной линии при изучении тем: «Четные и нечетные числа», «Делители и кратные», «Признаки делимости чисел» (например, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5). Если ребенок в начальной школе научится понимать смысл предложений с данными логическими связками, составлять с ними высказывания и использовать их в устной речи, то это значительно облегчит ему понимание при дальнейшем обучении в школе сути математических понятий, формулировок теорем и свойств, где используются эти логические связки.
В содержательной линии «Уравнения и неравенства» все правила решения уравнений (на основе компонентов действий) формулируются с помощью логической связки «для того чтобы..., надо...», понимание структуры которой способствует формированию важных компонентов логического мышления учащихся. Получая представления об алгоритме, как об определенной последовательности действий для решения уравнений и задач, учащиеся учатся
определять количество шагов в алгоритме и их последовательность. Соответствующие умения, приобретенные в начальной школе, помогают на второй ступени обучения эффективнее использовать свои знания при решении более сложных уравнений в 5-6 классах, а затем -систем уравнений (линейных, нелинейных, с одной и двумя переменными) в 7-9 классах. Понятие алгоритма находит применение так же в темах «Вычисление по формулам», «Правила умножения и деления обыкновенных дробей, смешанных чисел» и т.д. В содержательной линии «Выражения и их преобразования» можно проследить применение логической связки «если ..., то ...», которая используется при числовых подстановках в буквенные выражения. Рассмотренные примеры, конечно, не отражают всей полноты взаимосвязи элементов логики в начальной и основной школе, однако актуализируют проблему формирования у учащихся начальных классов базовых логических умений, образующих основу изучения математики в 5-6 классах. Научив ребенка в начальной школе обосновывать ложность и истинность высказываний, понимать смысл предложений со словами-кванторами (все, всякий, каждый, некоторые), проводить правильное обоснование (умозаключение), оперировать логическими связками, работать с алгоритмами, мы тем самым сформируем умение рассуждать в процессе выполнения любого вида заданий по математике в рамках программы основной школы.
В методических исследованиях А.А. Столяра, И.Л. Никольской и других ученых были определены общие принципы работы по формированию логических знаний и умений при обучении математике [Столяр1965: 3; Никольская 1989: 4; Силантьева 2006: 4]. Так, А.А. Столяр считает, что «при традиционном методе преподавания математики уделяется внимание лишь описанию математических понятий, отражающих свойства предметов; изучаются предметы, а не объекты реального мира, являющиеся носителями определенных свойств; никак не рассматривается и не изучается вторая часть логико-математического языка, то есть сам логический язык». Математики придерживаются позиции, что логико-математический язык необходимо изучать в совершенной форме, так как «математическая логика разработала удобный рабочий аппарат для математики, который можно применять в школьном преподавании», и который «позволяет знакомить учащихся с важными приложениями в математическом содержании и положительно влияет на формирование четкого, ясного и точного мышления» [Столяр1965: 65]. При рассмотрении вопроса об усвоении логического материала в методике математики предлагается исходить из того, что главное - это изучение необходимых элементов логического языка математики, чтобы учащиеся понимали точный смысл выполняемых логических операций.
Учитывая современные требования к подготовке школьника, можно выделить следующие принципы работы по их «логической подготовке»: логические знания не должны усваиваться обособленно, они должны быть связаны с собственно математическим содержанием курса; при изучении логических понятий необходима преемственность между начальной, основной и средней школой; каждое «логическое умение» формируется постепенно, целенаправленно и систематически; уровень абстрактности предлагаемого для изучения материала должен повышаться постепенно, то есть обучающиеся начальной школы от «предметных действий» должны постепенно переходить к «действиям умственным» в основной школе; для того чтобы учащиеся осознали значимость логических форм и отношений, необходимо использовать разный материал - математический, филологический, естественнонаучный, бытовой и другой, так как запас математических знаний в начальной школе еще мал; при формировании логических умений не следует использовать специальную терминологию [Власова 2003: 23].
В практике обучения логике в школьном курсе математики используется несколько подходов. Так, сторонники одного из них считают, что получить первоначальные представления о логических понятиях дети должны уже в дошкольный период, и предлагают изучать логику в школе как одну из самостоятельных дисциплин. Сторонники другого подхода исходят из того, что элементы логики должны «растворяться» в общем материале, пронизывать все содержание курса математики, определяя последовательность и характер
развертывания других методических линий. При этом логический материал разворачивается в цепочку взаимосвязанных вопросов, которые определяют основы построения начального курса математики (образовательные системы: Л.В. Занкова, Школа России, Д.Б. Эльконина -В В. Давыдова) [Занков 2021: 1; Плешаков 2013: 12; Математика 2021: 247].
При обучении в начальной школе необходимо сформировать понимание смысла предложений со словами «все», «для каждого», «любой», «некоторые», «найдется», умение определять значения истинности таких предложений, например при работе с высказываниями, «Любое натуральное число в сумме с нулем даёт то же самое число», «Всегда найдется число, которое является решением уравнения х+5=9» и т.п., а также умение составлять и использовать в речи такие высказывания.
При обучении в четвертом классе и далее целесообразно переходить к изучению более сложных логических операций - импликации и эквиваленции. Учащиеся начальной школы на интуитивном уровне понимают смысл предложений со словами «если., то.», «поэтому», «следовательно», тогда как обучающиеся основного звена учатся не только оперировать такими высказываниями, но и обосновывать их истинность, а также использовать их при построении умозаключений. Например, по условию задачи известно, что одна из сторон вписанного треугольника является диаметром окружности. Тогда обучающийся, зная свойство вписанного угла, может из этого условия сделать вывод - получить новое знание, что данный треугольник является прямоугольным. Умение давать развернутое объяснение с указанием общего утверждения является главной составляющей доказательства (обоснования).
При составлении заданий на формирование логических умений рекомендуется использовать материал различного содержания из школьных учебников. Развитию логических действий способствует, например, сопоставление естественного (буква, слоги, слова, предложения, рассказ и т.д.) и математического языков как расширения первого с помощью внесения в русский язык дополнительной лексики и символов. На начальном этапе изучения элементов логики такие понятия как «определение» и «доказательство» формируются с опорой на реальные жизненные представления о необходимости описания объекта, обоснования и убедительности рассуждений.
Заключение
Обобщив опыт работы учителей, использующих разные подходы к преподаванию элементов логики в начальной и основной школе, сделали вывод, что целесообразно использовать первый и второй подходы в сочетании. В 1-2 классах элементы логики лучше «растворять» в каждой теме, выделяя и фиксируя для учащихся типичные логические конструкции, поскольку к осознанному их восприятию младшие школьники еще не готовы. После того как учащиеся приобретут соответствующий познавательный опыт, можно предложить им изучение элементов логики как самостоятельной дисциплины. Заметим, что меру сочетания различных подходов и «глубину» должного проникновения учащихся в суть логических конструкций каждый учитель определяет сам с учетом уровня интеллектуального развития обучаемых.
Таким образом, в процессе обучения математике в начальной и основной школе формируются не только общелогические умения, но и такие компоненты функциональной грамотности как:
- умение проводить систематизацию (объединять объекты по их внешним признакам, классифицировать объекты по отдельным признакам, сравнивать объекты по различным критериям);
- элементы образного мышления (распознавание объектов по внешним признакам, мысленное разделение объектов и соединение их в целое с помощью образов, установление количественных отношений между величинами, оперирование образами предметов на основе ассоциаций и аналогий);
- культура логических рассуждений (установление истинности высказываний, анализ и синтез в рассуждениях, индуктивные и дедуктивные умозаключения с опорой на наглядные образы, рассуждения по аналогии, раскрытие причинно-следственных связей);
- элементы абстрактного мышления (высказывание суждений, связанных с оперированием не только реальных компонентов и наглядных образов предметов, но и их знаковыми (числовыми, буквенными) обозначениями, целенаправленный поиск существенных признаков объектов, явлений, процессов и выявление на их основе закономерностей).
Список литературы
1. Власова И.Н., Лебедева И.П. Обучение младших школьников элементам логики на уроках математики. Учебное пособие. Пермь: Изд-во «Пермский государственный педагогический университет», 2003. 70 с.
2. Гетманова А.Д. Логика: учебник. М.: КНОРУС, 2012. 240 с.
3. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. Тобольск: Изд-во «Тобольский государственный педагогический институт им. Д.И. Менделеева», 1997. 220 с.
4. Занков^и Система развивающего обучения. Концепция [Электронный ресурс]. URL: http://zankov.ru/about/concept/ (дата обращения: 19.09.2021).
5. Институт системно-деятельностной педагогики [Электронный ресурс]. URL: https://www.sch2000.ru/documents_letters/detail.php?ID=7601 (дата обращения: 18.07.2021).
6. Математика: программа / сост. Э.И. Александрова [Электронный ресурс]. URL: https://files.lbz.ru/authors/nsh/1/prog-alexandrova.pdf (дата обращения: 19.09.2021).
7. Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать. М.: Просвещение, 1989. 192 с.
8. Петерсон Л.Г. Математика. 1-4 классы (система «Учусь учиться» Л.Г. Петерсон). Примерная рабочая программа: учебно-методическое пособие. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. 224 с.
9. Плешаков А.А., Железникова О.А. Концепция учебно-методического комплекса «Школа России», 2013. 64 с.
10. Приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 31.05.2021 № 287 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования» (Зарегистрирован 05.07.2021 № 64100) [Электронный ресурс]. URL: http://publication.pravo.gov.ru/Document/View/0001202107050028 (дата обращения: 10.08.2021).
11. Приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 31.05.2021 № 286 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования» (Зарегистрирован 05.07.2021 № 64100) [Электронный ресурс]. URL: http://publication.pravo.gov.ru/Document/View/0001202107050027 (дата обращения: 10.08.2021).
12. Примерная основная образовательная программа основного общего образования (одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию 8 апреля 2015 №1/15) [Электронный ресурс]. URL: https://fgosreestr.ru/wp-content/uploads/2017/03/primernaja-osnovnaja-obrazovatelnaja-programma-osnovogo-obshchego-obrazovanija.pdf (дата обращения: 18.08.2021).
13. Проект «Мониторинг формирования функциональной грамотности учащихся» [Электронный ресурс]. URL: http://skiv.instrao.ru/content/board1/ (дата обращения: 18.08.2021).
14. Силантьева М.В. Проблемы логики и теории познания в современном гуманитарном знании: учебное пособие / М.В. Силантьева. М.: МГИМО, 2006. 55 с.
15. Столяр А.А. Элементарное введение в математическую логику. Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1965. 164 с.
References
1. Vlasova I.N., Lebedeva I.P. Obuchenie mladshikh shkol'nikov elementam logiki na urokakh matematiki [Teaching junior students the elements of logic in mathematics lessons]. Perm. gos. ped. un-t. Perm, 2003, 70 p. (In Russ.)
2. Getmanova A.D. Logika [logic]. Moscow: KNORUS, 2012, 240 p. (In Russ.)
3. Episheva O.B. Obshchaya metodika prepodavaniya matematiki v srednei shkole [General methodology for teaching mathematics in high school]. Tobolsk: Tobolsk State Pedagogical University im. D.I. Mendeleeva, 1997, 220 p. (In Russ.)
4. Zankov.Ru Sistema razvivayushchego obucheniya. Kontseptsiya [Development training system. Concept]. Available at: http:.zankov.ru,about,concept, (accessed: 19.09.2021). (In Russ.)
5. Institut sistemno-deyatel'nostnoi pedagogiki [Institute of System-Activity Pedagogy]. Available at: https:.www.sch2000.ru,documents_letters,detail.php?ID=7601 (accessed: 18.07.2021). (In Russ.)
6. Matematika [Mathematics]. E.I. Aleksandrova. Available at: https:.files.lbz.ru,authors,nsh,1,prog-alexandrova.pdf (accessed: 19.09.2021). (In Russ.)
7. Nikol'skaya I.L., Semenov E.E. Uchimsya rassuzhdat' i dokazyvat' [Learning to Reason and Prove]. Moscow: Prosveshhenie, 1989, 192 p. (In Russ.)
8. Peterson L.G. Matematika. 1-4 klassy [Math. 1-4 classes]. Moscow: BINOM. Laboratoriya znanii, 2019, 224 p. (In Russ.)
9. Pleshakov A.A., Zheleznikova O.A. Kontseptsiya uchebno-metodicheskogo kompleksa «Shkola Rossii» [The concept of the educational and methodological complex "School of Russia"], 2013, 64 p. (In Russ.)
10. Prikaz Ministerstva prosveshcheniya Rossiiskoi Federatsii ot 31.05.2021 No.287 «Ob utverzhdenii federal'nogo gosudarstvennogo obrazovatel'nogo standarta osnovnogo obshchego obrazovaniya» [Order of the Ministry of Public Education of the Russian Federation of 31.05.2021 No. 287 "About the Approval of Federal State Educational Standard of the Main General Education"] (05.07.2021 No.64100). Available at: http:.publication.pravo.gov.ru,Document,View,0001202107050028 (accessed: 10.08.2021). (In Russ.)
11. Prikaz Ministerstva prosveshcheniya Rossiiskoi Federatsii ot 31.05.2021 No.286 «Ob utverzhdenii federal'nogo gosudarstvennogo obrazovatel'nogo standarta nachal'nogo obshchego obrazovaniya» [Order of the Ministry of Public Education of the Russian Federation of 31.05.2021 No. 286 "About the Approval of Federal State Educational Standard of the Primary General Education"] (05.07.2021 No.64100). Available at: http:.publication.pravo.gov.ru,Document,View,0001202107050027 (accessed: 10.08.2021). (In Russ.)
12. Primernaya osnovnaya obrazovatel'naya programma osnovnogo obshchego obrazovaniya [Basic Basic General Education Model] (08.04.2015 No. 115). Available at: https:.fgosreestr.ru,wp-content,uploads,2017,03,primernaja-osnovnaja-obrazovatelnaja-programma-osnovogo-obshchego-obrazovanija.pdf (accessed: 18.08.2021). (In Russ.)
13. Proekt «Monitoring formirovaniya funktsional'noi gramotnosti uchashchikhsya» [Project "Monitoring the development of functional literacy of students"]. Available at: http:.skiv.instrao.ru,content,board1, (accessed: 18.08.2021). (In Russ.)
14. Silant'eva M.V. Problemy logiki i teorii poznaniya v sovremennom gumanitarnom znanii [Problems of logic and theory of knowledge in modern humanitarian knowledge]. Moscow: MGIMO, 2006, 55 p. (In Russ.)
15. Stolyar A.A. Elementarnoe vvedenie v matematicheskuyu logiku [Elementary introduction to mathematical logic]. Moscow: Prosveshchenie, 1965, 164 p. (In Russ.)
Информация об авторах И.Н. Власова — кандидат педагогических наук, доцент, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет.
Information about the authors I.N. Vlasova - Ph.D., Associate Professor, Perm State Humanitarian Pedagogical University.
Статья поступила в редакцию 22.08.2021; одобрена после рецензирования 13.09.2021; принята к публикации 13.09.2021.
The article was submitted 22.08.2021; approved after reviewing 13.09.2021; accepted for publication 13.09.2021.
