CC BY
105
61]. Так как аП ad, то угол между плоскостью а и прямой а равен углу между проекцией прямой аП на плоскость а и прямой аП, следовательно равен 60°. Рассмотрим прямую b как перпендикуляр, прямую аП, как наклонную и проведём проекцию наклонной (прямой аП ). Получили три прямые находящиеся в одной плоскости, заключившие между собой прямоугольный треугольник. [1, 8] рассмотрим треугольник. Один угол 90°, другой угол 60°. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что угол между перпендикуляром и наклонной составляет 30°. Вспомним, что аП строили □ а, b не пересекается с а (т.к. скрещенные прямые) [4, 318]. Тогда можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми а и b тоже равен 30°. Что и т.д.
Обобщение. Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми достаточно: 1) построить параллельную прямую одной из скрещивающихся прямых. 2) найти градусную меру угла между плоскостью и построенной прямой. 3) Обозначить фигуру образованную прямыми. 4) найти градусную меру неизвестного угла полученной фигуры. 5) обозначить и найти искомую величину.
Вывод. Решение задач первого раздела стереометрии всегда вызывало и до сих пор вызывает трудности у школьников. Этот факт свидетельствует и об отсутствии целостного понимания ими как раздела а целом, так и его отдельных теоретических положений. Целостное осмысление отдельно взятого теоретического положения стереометрии связано и с пониманием мотивирования его введения, и логической структурой его формирования и его доказательства [3]. Но главное, целостное понимание формирования теоретического положения активизируется в его применении. Применение теоретических фактов стереометрии может быть представлено описанием микроструктуры деятельности по использованию факта, например, в ходе решения задач. Этим объясняется целесообразность использования микроструктурных средств теоретических фактов первого раздела стереометрии. Активность использования микроструктурных средств первого раздела стереометрии определяется статусом целостности представления самого микроструктурного средства. Статус обычной рекомендации задаёт один уровень активности, а статус модели деятельности - другой. Подача микроструктурного средства ученикам должна отражать модель самого теоретического факта и смысл его применения. Совокупность всех микроструктурных средств первого раздела стереометрии помогает создать единую целостность всего первого раздела стереометрии, а значит, и обеспечивающих последующее изучение других объектов стереометрии.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Геометрия.10-11 классы: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И.М. Смир-
нова, В.А. Смирнов - 6-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс : базовый и профил. уровни / Б. Г.Зив. - 11-е изд. - М. : Просвещение,
2011. - 159 с.
3. Макарченко, М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике / Известия Российского государственного
педагогического университета имени А.И. Герцена. - 2008. - № 11 (71). - С. 268-276.
4. Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся. -2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.: ил.
5. Региональный центр мониторинга в образовании. Статистика ГИА 2016. URL: http://rcmo.ru (дата обращения 03.11.2016).
6. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.:
Едиториал УРСС, 2005. - 248 с.
7. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 208 с.
Н. Е. Ляхова, С.И. Порохня
ОБУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Аннотация. В статье представлена методика составления моделей, а именно, систем уравнений при решении текстовых задач, направленная на преодоление затруднений учащихся при решении этого вида задач.
Ключевые слова: задачи на составление уравнений, методы решения.
N. E. Lyakhova, S. L Porokhnia
TEACHING THE ELEMENTS OF MATHEMATICAL MODELING IN THE PROCESS OF SOLVING WORD PROBLEMS
Abstract. The article presents methodology of modelling, namely, systems of equations in solving word problems aimed at overcoming the difficulties of students when solving this type of problems. Key words: tasks on writing equations, solution methods
Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути используют такой метод познания, как математическое моделирование: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю. Под математическим моделированием понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов.
Процесс математического моделирования включает следующие этапы:
I этап - принятие допущений (т.е. идеализация реальных процессов);
II этап - запись уравнений, описывающих процесс;
III этап - исследование модели;
IV этап - возвращение к реальному процессу, интерпретация полученного результата исследования модели.
В силу значимости метода математического моделирования как метода научного познания обучение элементам использования этого метода необходимо начинать уже в школе. И этот факт отражен в требованиях Федеральных образовательных стандартов, как основного общего образования, так и среднего общего образования. Уже на этапе основного общего образования предметные результаты изучения предметной области «Математика и информатика» содержат «...умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат» [7].
Понятно, что и контрольно-измерительные материалы ОГЭ и ЕГЭ по математике содержат задания, в которых проверяются умения учащихся «строить и исследовать простейшие математические модели» [6]. В спецификации ОГЭ по математике 2016 года - это задание 22. В спецификации ЕГЭ по математике 2016 года - это задание 11.
Из представленных на сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) аналитических и методических материалов можно судить о том, как справляются учащиеся школ с задачами на составление уравнений. В аналитических отчетах о результатах ГИА-9 (2010 - 2012 годов) имеется следующая информация по этому вопросу: выполняемость заданий на составление уравнений из первой части работы колеблется в районе 50%, а выполняемость таких заданий из второй части работы составляет от 14 до 19. В отчетах отмечаются «традиционно невысокие результаты девятиклассников при составлении уравнений по условию несложных стандартных текстовых задач»; указывается, что «задание на составление уравнения по условию текстовой задачи с кратким ответом просто пропускается значительной частью школьников». На основании чего делается вывод: «Решение текстовых задач традиционно вызывает трудности даже у «сильных» учащихся. Проблема текстовых задач требует пристального внимания и является проблемой методического характера».
На том же сайте ФИПИ в разделе «Аналитические и методические материалы» размещены «Методические рекомендации для учителей, подготовленных на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике» (авторы И.В. Ященко, А.В. Семенов, И.Р. Высоцкий). Авторы материалов отмечают, что «на протяжении ряда лет характерно, что доля участников ЕГЭ, верно решающих такие задачи, практически неизменна и почти совпадает с долей тех, кто решает эти задачи в 8 или 9 классе» [5]. Таким образом, ситуация с формированием навыков решения задач на составление уравнений на этапе основной школы не улучшается и на старшей ступени средней школы.
Анализ школьных учебников показал, что практически все учебники придерживаются «традиционного» подхода для составления моделей, а именно:
1) введение неизвестных величин, которые определяются вопросом задачи (х ,у
2) составление уравнений, содержащих введенные неизвестные (х ,у
3) решение системы;
4) запись ответа.
Для достаточно простых задач такая методика вполне подходит. Однако для решения более сложных задач такая методика уже неэффективна. Тем более, как показывает практика, даже при решении стандартных задач на составление уравнений этап составления модели вызывает у учащихся большие затруднения, чем этап решения полученного уравнения или системы.
Существует и другой подход к составлению моделей. Такой подход непосредственно описан в книге М.В. Лурье, Б.И. Александрова «Задачи на составление уравнений». Задачи, послужившие примерами к изложенному в этой книге материалу, заимствованы большей частью из вариантов вступительных экзаменов в Московский государственный университет им. Ломоносова. В силу сложности этих задач, решение их традиционным способом было бы весьма затруднительно.
Этот подход авторы называют «методикой составления уравнений по тексту задачи» [4].
Суть этого подхода к составлению модели заключается в следующем.
1. Выделить в тексте задачи те предложения, которые представляют собой связи между параметрами движения.
2. После введения неизвестных по принципу наибольшего удобства записи этих связей получаются уравнения, определяющие условие задачи. Следует отметить, что обозначение тех или иных неизвестных обычно принятыми для них в физике буквами концентрирует внимание на существе задачи, делает систему уравнений более понятной для решающего задачу, исключает случайные ошибки, которые могут возникать из-за безликости введенных обозначений.
3. Записать искомую комбинацию неизвестных. Если выбирать неизвестные для составления уравнений, руководствуясь принципом наибольшего удобства математической записи условий задачи, то та величина, которую необходимо найти, может не войти в их число. Как правило, эта величина представляется некоторой комбинацией введенных неизвестных. Поэтому может случиться так, что однозначное определение всех неизвестных из системы уравнений невозможно, однако искомая комбинация этих неизвестных, тем не менее, находится однозначно.
Сравним традиционную методику и методику составления уравнений по тексту задачи на примере решения задачи из учебника «Алгебра 8 класс» С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина. Рассмотрим два способа решения задачи: первый способ решения -способ, непосредственно изложенный в учебнике, а второй способ - составление уравнений по тексту задачи.
Задача. Бригада рабочих начала рыть траншею. Через 3 дня к ней присоединилась вторая бригада, и им понадобилось еще 8 дней совместной работы, чтобы выкопать траншею до конца. Если бы, наоборот, первые три дня работала только вторая бригада, то до окончания работы обеим бригадам вместе потребовалось бы еще 9 дней. За какое время каждая из бригад в отдельности сделала бы всю работу?
Решение (первый способ). Пусть первая бригада может сделать свою работу за x дней, а
вторая - за y дней. Тогда за один день первая бригада делает — часть, а вторая - 1 часть всей
x y
работы.
В первом случае первая бригада за 11 дней сделала 11-— частей всей работы, а вторая бри-
x
гада за 8 дней сделала 8 - — частей всей работы. Поскольку вместе они выполнили всю работу, то
y
11-1 + 8 - - = 1. (1)
x y
Во втором случае первая бригада работала бы 9 дней и сделала 9 -1 частей всей работы, а
x
вторая - 12 дней и сделала 12 - — частей всей работы. Вместе они выполнили бы всю работу, т.е.
y
9 -1 +12 -1 = 1. (2)
xy
Таким образом, искомые числа x и y удовлетворяют уравнениям (1) и (2), т.е., чтобы решить задачу, надо решить систему двух рациональных уравнений с двумя неизвестными
11-1 + 8 - - = 1,
x y
(3)
11
9--+12-- = 1.
x y
Для решения этой системы уравнений нет необходимости приводить каждое уравнение к виду, где в левой части алгебраическая дробь, а в правой нуль. В данном случае это только затруднит решение. Здесь лучше рассматривать 1 и 1 как новые неизвестные.
xy
Решим систему (3) как линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными 1 и 1.
xy
Из первого уравнения системы (3) выразим 1 через 1:
yx
1 1 11 1
- =----------(4)
у 8 8 х
и подставим полученное выражение для — во второе уравнение системы (3). Получим
у
уравнение
9 • 1 +12 (1 -11 • 1 | = 1. х I 8 8 х .
Откуда 1 = —. Подставляя — вместо 1 в выражение (4), получаем, что — = — . Теперь
х 15 15 х у 30
ясно, что х = 15, а у = 30 .
Ответ. Первая бригада сделала бы всю работу за 15 дней, а вторая - за 30 дней. Решение (второй способ). Пусть v1 и у2 - производительность первой и второй бригады соответственно. Согласно первому условию задачи, первая бригада за 3 дня выполнила работу равную 3v1, и за 8 дней совместной работы со второй бригадой была выполнена работа равная
8 (у + у2), тогда, если всю работу обозначить через A , можно записать уравнение
A = 3у + 8 •(у + у2 ).
По второму условию задачи вторая бригада за 3 дня выполнила работу равную 3v2 и за 9 дней совместной работы с первой бригадой - работу равную 9 • (у + у2 ), тогда
A = 3у2 + 9 •(у + у2 ).
Внесем все данные в таблицу.
Условие задачи Уравнение
Через три дня работы к первой бригаде присоединилась вторая, и за 8 дней совместной работы они выкопали траншею. Через три дня работы ко второй бригаде присоединилась первая, и за 9 дней совместной работы они выкопали траншею. А = 3У1 + 8 • (У1 + У2 ) А = 3у2 + 9 •(У1 + У2 )
За какое время каждая из бригад в отдельности сделала бы всю работу? А - ? , А - ? У1 У2
Отсюда получаем систему из получившихся двух уравнений:
[А = 3у + 8 (у + у2 ), [А = 3у2 + 9 •(у + у2 ). Выполнив соответствующие преобразования, получим
А = 1 1У1 + 8У2, [ А = 9у1 + 12У2.
Из вопроса задачи следует, что надо найти не сами переменные, а указанные отношения. Используя однородность уравнений, делим обе части каждого на переменную А, получаем систему из двух уравнений относительно новых двух переменных из которой получаем нужные отношения.
\ = 11 — + 8 У2,
А А
1 = 9 — +12 У2.
А А
Использовав способ сложения и избавившись от одной из величин, мы получим уравнение
1 = 15 —,
А'
откуда
Л = 15.
Здесь мы понимаем, что Л - это время, за которое первая бригада сделала бы в отдельно-
сти всю работу (исходя из общей формулы Л = V ■ t).
V,
Поставив в одно из уравнений значение —
Л
бригада на всю работу в отдельности, и получим
Поставив в одно из уравнений значение — = —, найдем время, которое затратила бы вторая
Л 15
A = 30.
Ответ. Первая бригада сделала бы всю работу за 15 дней, а вторая - за 30 дней.
Сопоставляя два способа решения, можно отметить, что второй способ решения в соответствии с методикой составления уравнений по тексту задачи не приводит к более сложной системе уравнений. При этом на этапе составления модели он имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционным подходом. Переменные x и y, обозначающие время, и единица, обозначающая выполненный объем работы, не позволяют ученику после записи уравнений убедиться в их правильности. Безликость введенных обозначений не позволяет оценить «правдоподобность» равенств. В то же время при втором способе решения задач (понимая объем выполненной работы А как пройденный путь; производительность как скорость) все уравнения приобретают известный физический смысл. Заметим также, что методика составления уравнений по тексту задачи в большей степени соответствует реальному исследованию физических или иных процессов методом математического моделирования.
Такая методика составления уравнений по тексту задачи является достаточно эффективной и позволяет записать в виде уравнений (или неравенств) достаточно сложные взаимосвязи описываемого в условии задачи процесса. Однако эта методика на данный момент не рассматривается в учебниках, рекомендованных для использования в школе.
На основании всего вышеизложенного можно сделать следующие выводы.
1. Овладение учащимися средней школы элементами математического моделирования в процессе решения текстовых задач на составление уравнений имеет большое значение. Развитие у учащихся правильных представлений о природе математики и отражении математической наукой явлений и процессов реального мира является программным требованием к реализации ФГОС в области обучения математике. Моделирование как важный метод научного познания и эффективное средство активизации творческой активности учащихся является главным средством достижения этой программной цели.
2. Анализ отчетов о результатах Государственной итоговой аттестации в форме ОГЭ и ЕГЭ показал, что решение текстовых задач традиционно вызывает трудности даже у «сильных» учащихся. «Проблема текстовых задач» отмечается в каждом аналитическом отчете о результатах ИГА, она требует пристального внимания и является проблемой методического характера. Старшая школа не меняет ситуации с формированием навыков решения задач на составление уравнений по сравнению с основной школой.
3. Проведенный сравнительный анализ традиционной методики решения текстовых задач и методики составления уравнений по тексту задачи показал преимущества последней. Изучение методики составления уравнений по тексту задачи в рамках курса по выбору могло бы способствовать решению «проблемы текстовых задач».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляхова, Н.Е. Обучающая модель решения текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2006. № 1. - С. 73-80.
2. Ляхова, Н. Е. Тематическая ориентированность выпускных квалификационных работ бакалавров направления «Педагогическое образование» профиль «Математика» / Н. Е. Ляхова, М. Г. Макарченко, И. В. Яковенко // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2014. -№ 1. - С. 85-91
3. Кабиров, Н.Н. Выбор тематики и отбор содержания элективных курсов по алгебре / Кабиров Н.Н., Ляхова Н.Е. // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. № 2. - С. 102-108.
4. Лурье, М.В., Александров, Б.И. Задачи на составление уравнений: учеб. руководство. - 3-е изд., перераб.- М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 96 с.
5. Ященко, И.В., Семенов, А.В., Высоцкий, И.Р.. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике.URL: www.fipi.ru (дата обращения: 23.02.2017)
6. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2016 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень. URL:www.fipi.ru (дата обращения: 23.02.2017)
7. Приказ от 17 декабря 2010 г. №1897 «Об утверждении Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования» URL:http://минобрнауки.рф/ (дата обращения: 23.02.2017)
О.А. Мешкова, Е.С. Божко
ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ СТОХАСТИКИ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ПРЕЕМСТВЕННОСТИ МЕЖДУ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛОЙ
Аннотация. Системное исследование обучения элементам стохастики было и остается ключевым аспектом для формирования и развития личности школьника. Традиционный способ решения проблемы преемственности в обучении стохастике заключается в осуществлении локальных модификаций в образовательных программах. В статье рассмотрено содержание и методика преподавания элементов стохастики в школе, проведен анализ содержания и требований к результатам обучения элементам стохастики и содержания обучения элементам комбинаторики, теории вероятностей и статистики в учебниках математики.
Ключевые слова: стохастика, преемственность, комбинаторика, образовательная программа.
O. A. Meshkova, E. S. Bozhko
TRAINING ELEMENTS OF STOCHASTICS IS BASED ON THE PRINCIPLE OF CONTINUITY BETWEEN PRIMARY AND LOWER SECONDARY SCHOOL
Abstract. A systematic study of stochastic elements was and remains a key aspect for the formation and development of personality of the student. The traditional way to solve the problem of continuity in teaching stochastics is to implement local modifications in educational programs. The article considers the content and methodology of teaching elements of stochastics at school analysis of content and requirements, learning outcomes and elements of the stochastic learning content elements of combinatorics, theory of probability and statistics in the mathematics textbooks.
Key words: stochastic, continuity, combinatorics, educational program.
В условиях неопределенности и неустойчивости внешней среды требуются современные высокоэффективные методы подготовки школьника к жизни в современных социально-экономических условиях. Важнейшими факторами, оказывающими влияние на развитие образования в настоящее время, становятся гуманизация общественно-экономических связей и организация и воспитание новых жизненных установок личности. Данные требования связаны с трансформацией представлений о сущности готовности личности к реализации социальных ролей и профессиональных функций [1-2]. Результатом данных трансформаций стало вступление в силу новых федеральных государственных образовательных стандартов, определяющих основные векторы подготовки школьников.
Системное исследование элементов стохастики было и остается ключевым аспектом для формирования и развития личности школьника, для улучшения коммуникативных навыков, умений проявлять находчивость в социальных процессах, проводить анализ статистических данных, обнаруживающихся в современных средствах массовой информации и в учебной литературе, замечать закономерности, делать аргументированные выводы и принимать решения в повседневных ситуациях. В условиях современной действительности одной из приоритетных задач математического образования является развитие вероятностно-статистического мышления учащихся. Стохастический материал обладает огромными возможностями для активизации когнитивного интереса школьников, создания мотивации к изучению математики [3-5].
Федеральные стандарты нового поколения утверждают и обеспечивают сквозное включение стохастической содержательно-методической линии, охватывающей элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики, в школьные учебники по математике, в дополняющие их дидактические материалы, на ступенях начального и общего образования.
Преемственность в образовательном процессе предполагает ориентацию воспитания и обучения на решение задач не только текущего, но и ближайшего периода жизни ребёнка. Преемственность с позиции общего образования предполагает упор на те знания и умения, которые имеются у ребенка, при этом происходит осмысление изученного материала на более высоком уровне. Организация работы в общеобразовательном учреждении должна происходить с учетом дошкольного понятийного и операционного уровней развития и воспитания ребенка. Суть преемственности заключается в обеспечении поступательного развития и углубления знаний, в усложнении требований к интеллектуальной активности, в формировании вектора социальных взаимодействий школьников [6].
