Элективый курс «Избранные вопросы математики» в рамках подготовки выпускников к ЕГЭ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

5. Макарченко, М.Г., Ляхова, Н.Е. Субъектный опыт будущего учителя математики: мысленный образ учебного процесса «Изучение теоремы и ее доказательства» // Вестник Таганрогского государственного педагогического. 2007. - № 1. - С. 90 -96.

6. Кочагина, М.Н Обучение будущих учителей математики в условиях введения профессионального стандарта педагога. В книге: Концепция развития математического образования: проблемы и пути реализации Материалы XXXIV Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов. Научный руководитель семинара Александр Григорьевич Мордкович. 2015. - С. 370-372.

А.В. Забеглов, И.В. Пивина

ЭЛЕКТИВЫЙ КУРС «ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ» В РАМКАХ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ К ЕГЭ

Аннотация. В статье представлена программа элективного курса, направленного на подготовку учащихся к сдаче единого государственного экзамена, затрагивающего вопросы решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Ключевые слов: Элективный курс, модуль, неравенства.

A.V.Zabeglov, LV.Pivina

ELECTIVE COURSE "SELECTED TOPICS OF MATHEMATICS" IN PREPARATION FOR

GRADUATES TO USE

Annotation. The article presents the program jelektivnogo course, aimed at preparing students to pass the single national exam involving issues decision level and inequalities containing module.

Keywords: Elective course, module in inequality.

В статье представлена программа элективного курса, направленного на подготовку учащихся к сдаче единого государственного экзамена, затрагивающего вопросы решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

В системе школьного обучения, важной составляющей является подготовка ученика к сдаче единого государственного экзамена. Структура экзамена не остается постоянной. Каждый год она претерпевает определенные изменения. Появляются задания новых типов, изменяются уже существующие. Большую помощь в подготовке к единому государственному экзамену оказывают сформированные открытые банки заданий на различных интернет-порталах. Задачи из этих банков, безусловно, развивают практические навыки учащихся, учат справляться с заданием государственного экзамена, на основе уже решенных прототипов. Вместе с этим одной из важнейших задач учителя в данных условиях, является задача формирования системы теоретических знаний, которая бы являлась эффективной в использовании и позволяла справляться ученику с поставленными заданиями экзамена. Без этой системы выполнение заданий учеником будет неэффективным с точки зрения затрат времени на экзамене, которое можно было бы обратить в дополнительные баллы. Именно концентрированное знание в дополнение к многократно решенным примерам, являются залогом успешности выполнения заданий Единого государственного экзамена.

Это относится к «технически» сложным заданиям второй части [1,22]. Решение задач второй группы во многом предполагают наличие определенной математической культуры учащихся, которая формируется в том числе на различных образовательных элективных курсах (от лат.екйш- избранный, избирательный). Элективные курсы - это обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, которые реализуются за счет школьного компонента учебного плана. Очевидно, что тематический план таких курсов при подготовке к ЕГЭ во многом определяется составом заданий в нем. В данной статье рассматривается вариант построения такого курса, тема которого «Избранные вопросы математики».

В первой части, в соответствии с общими требованиями к составлению программ элективных курсов, представлена программа разрабатываемого курса. Она содержит пояснительную записку и учебно-методический план необходимый для изучения курса.Курс разработан для учащихся 10 классов общеобразовательного профиля и предполагает помимо систематизации и обобщения уже имеющихся знаний, знакомство с некоторыми разделами, изучение которых не предусмотрено школьной программой, но может быть востребовано при решении нестандартных задач Единого государственного экзамена [2,98]. Это решение уравнений высших степеней различными способами и решение уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Для достижения поставленных целей в данном курсе используется метод ключевых задач. Он состоит в рассмотрении материала, необходимого для решения основополагающей «ключе-

вой» задачи, ее разбора в ходе совместной деятельности и дальнейшей отработки практических навыков применения полученных знаний в решении специально подобранных упражнений. Контроль обеспечивают релейные контрольные работы, задача которых состоит в осуществлении контроля по текстам ранее решенных задач. Задание дается достаточно крупным массивом и является долгосрочным. Его выполнение рассчитано на достаточно продолжительный отрезок времени и должно быть готово к окончанию изучения модуля. Не является нарушением обмен решениями в группе учащихся. Задания контрольной работы формируются из данного массива. Чем больше процент решенных задач будет у учащихся, тем больше вероятность решения подобной задачи в контрольной работе. Структура курса составлена таким образом, что учащиеся получают возможность решать поставленные задачи несколькими способами, в том числе и уже рассмотренными в основном курсе. В то же время, разбирая новые способы решений, учащиеся выбирают наиболее рациональные, доступные и широкоформатные способы решений [4].

Во второй части статьи, на основе раздела, выбранного в качестве примера, содержит конспективно - практический материал курса. Здесь разбираются ключевые задачи, и систематизируется структура материала по темам учебно-методического плана. Эта часть работы содержит разобранные примеры с методическими рекомендациями по их решению, замечаниями по их ходу.

Программа по элективному курсу «Избранные вопросы математики» Пояснительная записка.

Данный элективный курс разработан для учащихся 10 классов общеобразовательного профиля. Для реализации курса достаточен объем знаний по алгебре в рамках основной школы.

Курс предполагает помимо систематизации и обобщения уже имеющихся знаний, знакомство с некоторыми разделами, изучение которых не предусмотрено школьной программой, но может быть востребовано при решении нестандартных задач Единого государственного экзамена. Эти разделы не выходят за рамки общеобразовательного курса, однако для их успешного освоения необходимы методы и приемы решения задач, требующих высокой математической культуры, алгоритмического мышления и широкого математического кругозора. В связи с этим, уровень трудности задач, представленных в курсе - повышенный. К особенностям данного курса можно отнести: повышенное внимание практической значимости получаемых знаний, большую роль самостоятельной работы учащихся над материалом, повышенную роль развивающей составляющей процесса обучения. Программа курса предполагает:

- Развитие математических способностей учащихся;

- Формирование устойчивого интереса к получению новых математических знаний;

- Подготовку к решению задач повышенной трудности единого государственного экзамена; Программа курса обеспечивает:

- развитие математического мышления;

- формирование широкого математического кругозора;

- развитие поисковой активности учащихся и творческого подхода к решению математических задач;

- формирование навыков самостоятельной работы и реализации потребности к самообразованию. Цель курса:

- систематизация и обобщение знаний учащихся по математике; -подготовка учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике;

- развитие математической культуры, логического мышления;

- обеспечение условий для специализации обучения и построения индивидуальных образовательных линий.

Задачи курса:

- подготовка к успешной сдаче единого государственного экзамена;

- формирование устойчивых умений и навыков освоения математических знаний. Структура курса:

Для достижения поставленных целей в данном курсе используется метод ключевых задач. Он состоит в рассмотрении материала, необходимого для решения основополагающей «ключевой» задачи, ее разбора в ходе совместной деятельности и дальнейшей отработки практических навыков применения полученных знаний в решении специально подобранных упражнений. Контроль обеспечивают релейные контрольные работы. Смысл заключается в том, что контроль осуществляется по текстам ранее решенных задач. Задание дается достаточно крупным массивом и является долгосрочным. Его выполнение рассчитано на достаточно продолжительный отрезок времени и должно быть готово к окончанию изучения модуля. Не возбраняется обмен решениями в группе учащихся. Задания контрольной работы формируются из данного массива. Чем больше процент решенных задач будет у учащихся, тем больше вероятность решения подобной задачи в

контрольной работе. Структура курса составлена таким образом, что учащиеся получают возможность решать поставленные задачи несколькими способами, в том числе и уже рассмотренными в основном курсе. В то же время, разбирая новые способы решений, учащиеся выбирают наиболее рациональные, доступные и широкоформатные способы решений. Основной метод курса - метод проблемных задач. Форма занятий курса:

- разбор ключевых задач;

- практические занятия; -консультации;

- контрольные работы.

В данном курсе реализован модульный подход в преподавании материала. Наряду с этим применяется принцип индивидуализации в освоении различных уровней представленного материала. Ожидаемый результат. Результативность данного курса определяется решенными самостоятельно задачами курса и решениями задач банка данных ЕГЭ.

Содержание и организация курса.

№ п/п Содержание материала Кол-во часов Форма контроля Примечание

1 Уравнения высших степеней 14 контрольная

2 Уравнения и неравенства с модулем 16 контрольная

1. Уравнения высших степеней (14 часов)

Многочлены. Деление многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера. Введение новой переменной. Возвратные уравнения. Неравенства. Метод интервалов.

2. Уравнения и неравенства смодулем.(16 часов)

Уравнения вида: |/(х)| = g(х);| f (х)| = ^(х)|.

Неравенства вида: \/(х)| < g(х);|/(х)| > g(х);|/(х)| < ^(х).

Уравнения и неравенства с несколькими модулями; Уравнения и неравенства, содержащие модуль в модуле, Уравнения и неравенства, решаемые заменой переменной; Требования к результатам обучения

В результате изучения курса учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

- знание математических определений и теорем, предусмотренных программой;

- умение точно и сжато выразить математическую мысль в письменном изложении, используя соответствующую символику;

- уверенное владение математическими умениями и навыками решения математических задач;

- свободно решать системы уравнений (включая алгебраические, показательные, логарифмические и тригонометрические выражения);

-Применять свойства многочленов к решению задач;

-Делить многочлен на многочлен с остатком и без остатка, используя теорему Безу; -Использовать схему Горнера;

-Решать однородные, симметрические, возвратные уравнения; -Решать уравнения, системы уравнений, неравенства с модулем.

Учебно-тематический план занятий

№п/п Содержание Учебное время, часы

занятие с/р зачет

1 Уравнения высших степеней (14 часов)

1 Многочлены. Деление многочлена. 2

2 Теорема Безу. Схема Горнера. 2

№п/п Содержание Учебное время, часы

занятие с/р зачет

3 Введение новой переменной. 2

4 Возвратные уравнения. 2

5 Рациональные неравенства. Метод интервалов. 4

6 Зачетное занятие. 2

2.Уравнения и неравенства с модулем.(16 часов)

1 Уравнения вида: /(х) = g(х); /(х) = ^(х) . 2

2 Уравнения и неравенства с несколькими модулями. 4

3 Неравенства вида: \/(х) < g(х);/(х) > g(х);/(х) < ^(х) 2

4 Уравнения и неравенства, решаемые заменой переменной. 2

5 Уравнения и неравенства, содержащие модуль в модуле. 4

6 Зачетное занятие. 2

Конспективно-практический материал курса на основе раздела «Неравенства, содержащие знак

модуля».

Неравенства вида: |/(х)|

< а

\/(х) < а , а > 0 I / (х) < а о ( ) , О - а < / (х) < а.

(/(х).- а.

Пример 1. |2х - 3 < 5

, , {2х - 3 < 5,

2х - 3 < 5 о <! о-1 < х < 4.

1 1 (2х-3 >-5.

Ответ: (-1;4).

Неравенства вида: |/(х) < (р(х)

/(х) < ср{х) о ^(х) < ^}, о -р(х) < /(х) < р(х) .

Пример 2. х - 6 < х - 5х + 9

х - 6 < х - 5х + 9 о

х - 6 < х - 5 х + 9,

х2 - 6х +15 > 0,

Ответ: (- го;1)и (3;+го) Пример 3. |1 + 4х- х2| < 1 - 2х

к . 2| , „ {1 + 4х-х2 < 1 -2х (1)

1 + 4 х - х2 < 1 - 2 х о<! к'

1 1 (1 + 4 х - х2 > 2 х -1 (2)

х - 6 > -(х2 - 5х + 9) ° ((х - 1)(х - 3) > 0

о

х < 1 х>3

о

x - 6x > 0 о

x < 0 x>6

(1)

-2x-2 < 0 о 1 -n/3 < x < 1 + n/3 (2)

Ответ:

: 1 -л/3;0|

Неравенства вида:| f (x) > (p(x)

\f (x) > p(x)

о

f (x) > (p(x), f(x) < -p(x )

Пример 15: 1 + 4x - x 2 > 1 - 2x

1 + 4 x - x2 > 1 - 2 x о

1 + 4 x - x > 1 - 2 x 1 + 4x - x2 < 2x -1

о

x - 6 x < 0 x2 - 2x - 2 > 0

о

0 < x < 6 x < 1 - V3 о x > 1 + V3

x < 1 - V3 x>0

Ответ: (- - V3Ju [0;+ro). Пример4. |x2 - 4 > -2x - 1

x2 - 4 > -2x -1,

x - 4 > -2x -1 о

о

x2 - 4 < 2x +1. x < -3

о

(x - 1)(x + 3)> 0,

(x-1+ V6)x-1-V6)< 0.

x < -3

x > 1 о

1 -л/б <x < 1 + л/б

1-V6 < x < 1 1<x < 1 + л/б x > 1 + л/б Ответ: (-ro;-3)u (1 -л/бд) (1;1 + V6)

(1 + V6;+4 Неравенства вида: |f (x) > |p(x)|

\f (x) > |p(x)| о f2(x) > p2(x) о f2(x)- p2(x) > 0 о (f (x)- p(x))(f (x) + p(x)) > 0 If (x) < |p(x)| о |p(x) > I f (x) о (cp(x)- f (x)X<p(x) + f (x)) > 0

Пример 5. |2x -1 > |x + 2

2x -1 > |x + 2 о (2x -1 - (x + 2))(2x -1 + x + 2)> 0 о (x - 3)(3x +1) > 0 о

Ответ: ^-ro;-1 |u(3;+ro). Пример 6. x < x -1

x < — 3

x > 3

x < x -

-1 о |x -1 > |x| о (x -1 - x)(x -1 + x) > 0 о (2x -1)< 0 о x <1

x

1

Ответ: I — го; —

I 2 у

Неравенства с несколькими модулями

Решение неравенств с несколькими модулями строится аналогично решению подобных уравнений, т.е. весь порядок решения сохраняется, лишь на заключительном этапе после освобождения от модулей решаем не уравнения, а неравенства.

Пример 7. |— X — 1 +14 — х| < 7

I— х — 1 +14 — X < 7 о |х +1 + X — 4 < 7

Корни подмодульных выражений: х = — 1; х = 4

- - -1 - + 4

+ +

Далее решение строим последовательно на интервалах, двигаясь слева направо по числовой оси.

\х <—1

[— х — 1 — х + 4 < 7 \— 1 < х < 4 [х +1 — х + 4 < 7 \х > 4

I х +1 + х — 4 < 7

о

[х <—1 [х > —2 [— 1 < х < 4 [5 < 7 х>4 х<5

о

—2<х<—1 — 1 < х < 4 4 < х < 5

На промежутке х[—1;4] мы получили верное числовое неравенство. Это означает, что для любого х из данного промежутка неравенство верно. После объединения полученных множеств: -

2<х<5

Ответ: (-2;5).

Пример 8. (|х — 1 — 3)(|х + 2 — 5)< 0

(х — 1 — з)(х + 2| — 5) < 0 Корни подмодульных выражений: х = —2; х = 1

_-2 - + 1 + +

х < —2

[(— х +1 — 3)(— х — 2 — 5)< 0;

\— 2 < х < 1

[(— х +1 — 3)(х + 2 — 5)< 0;

о

х > 1

[(х — 1 — з)(х + 2 — 5)< 0 Ответ: (— 7;—2 )и(3;4 ).

\х < —2

[(х + 2)(х + 7) < 0;

[— 2 < х < 1 [(х + 2)(х — 3) > 0; [х > 1

[(х — 4)(х — 3)< 0;

Введение новой переменной

о

— 7 < х < —2 3 < х < 4

Пример 9. х2 — 2 х < 3

х2 — 2 х| < 3 . Сделаем замену: |х| = у, у > 0

у2 — 2у — 3 < 0 Решение:-1<у<3 . С учетом ограниченности у: 0 < у < 3

"х < 3,

Вернемся к переменной х: 0 < х < 3 . Решение: Ответ: [— 3;3]

х > —3; Модуль в модуле

о —3 < х < 3

Пример 10. х — 1 < 1 — х

x -1l < 1 - x о

x - 1 < 1 - x, [x > 0

C|- x - 1 < 1 - x, x < 0;

о

x > 0,

x -1 < 1 - x, x -1 > -(1 - x); x < 0,

x +1 < 1 - x, x +1 > -(1 - x);

о

x > 0, x < 1, -1 >-1; fx < 0, ¡1 > -1.

Выражение -1>-1 -ложь, поэтому первая система решения не имеет. Решение - х е (— сю;0) Ответ: (— сю;0).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. ЕГЭ 2014.Математика. Типовые тестовые задания / под ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. - М.: Экзамен, 2014.- 153 с.

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2014 / Под ред. Лысенко Ф.Ф., С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2014.-

186 с.

3. Математика. Тематические тесты. Часть II. Подготовка к ЕГЭ 2014. 10 - 11 классы / Под ред. Лысенко Ф.Ф. - Ростов-

на-Дону: Легион-М, 2014. - 175 с.

4. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014. Тематические тесты: геометрия, текстовые задачи. Учебно-методическое пособие /

Под ред. Лысенко Ф.Ф. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2014. - 104 с.

А. С. Кузовлева

ОПЫТ ОБУЧЕНИЯ МЕТОДУ АНАЛОГИИ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Аннотация. В статье рассказывается о методе аналогии, видах аналогий, об экспериментальной работе по использованию метода аналогии при решении стереометрических задач.

Ключевые слова: метод аналогии, виды аналогий, стереометрическая задача, поиск доказательства, эксперимент.

TRAINING EXPERIENCE METHOD OF ANALOGY IN SOLVING STEREOMETRIC TASKS

Abstract. The article tells about the method of analogy, types analogies, experimental work on the use of the method of analogy in solving stereometric tasks.

Keywords: analogy method, types of analogies, stereometric task, search evidence, experiment.

Современные учебники по геометрии построены таким образом, что сначала мы изучаем раздел «Планиметрия», а затем переходим к изучению раздела «Стереометрия». Как показывают теоретические исследования и анализ школьной практики, когда учащиеся изучают планиметрию, то образное восприятие задачи развито намного лучше, нежели чем, когда они изучают стереометрию и решают задачи в трехмерном пространстве. Образ - это результат преобразования объекта в сознании человека, способ осмысления действительности [9, 84]. Когда учащиеся переходят от изучения одного раздела к другому, возникают затруднения в представлении вроде той же картинки, но уже в трехмерном пространстве. Отсюда появляется и проблема с решением стереометрических задач.

Проблему с решением стереометрических задач подтверждают и результаты ЕГЭ по математике. Анализируя результаты за последние два года, можно сделать вывод о том, что выпускники общеобразовательных учреждений показывают низкий уровень выполнения заданий связанных со стереометрией. Так в 2015 году успешность выполнения заданий по геометрии составила 30 -50%. Трудности как раз и возникли с заданиями на применение знаний по стереометрии при решении практических задач. По заданию 16 (стереометрическая задача) максимальный балл получили 7% от всех участников экзамена [8, 11]. В 2016 году произошел рост успешного выполнения заданий по геометрии. Однако не за счет решения заданий связанных со стереометрией. Так задание 8 (стереометрическая задача) выполнило около 40%. Это задание проверяло сформирован-ность пространственных представлений. Более половины выпускников продемонстрировали его отсутствие. Задание 14 (стереометрическая задача) с развернутым ответом проверяло умение выполнять действия с геометрическими фигурами. Максимальный балл за верное выполнение этого задания - 2 балла, который получили около 5% участников экзамена. Низкий уровень успешности выполнения этого задания так же свидетельствует о несформированности пространственных пред-