CC BY
45
УДК 37.031:51
UDC 37.031:51
ПАВЛОВА T,A.
кандидат технических наук, доцент, кафедра математики, Орловский государственный аграрный университет имени Н.В. Парахина E-mail: pavlova-tatyana-@maiI.ru УВАРОВА М.Н.
кандидат экономических наук, доцент, кафедра математики, Орловский государственный аграрный университет имени Н.В. Парахина E-mail: uvarovamn.@maiI.ru
PAVLOVA T.A.
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of mathematics, Orel State Agrarian University named after N.V. Parakhin E-mail: pavlova-tatyana-@mail.ru UVAROVA M.N.
Candidate of Economics, Associate Professor, Department of mathematics, Orel State Agrarian University named
after N. V. Parakhin E-mail: uvarovamn.@mail.ru
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ
ПО МАТЕМАТИКЕ И РЕЗУЛЬТАТ
THE PRELIMINARY PREPARATION FOR THE STATE UNIFIED EXAM IN MATHEMATICS AND ITS RESULT
В результате исследования выявлены основные проблемы при подготовке к единому государственному экзамену по математике, проведен анализ выполнения заданий второй части.
Ключевые слова: единый государственный экзамен, репетитор, анализ результатов экзамена.
The study identified the main problems during the preparation for the State Unified Exam in mathematics; the success of the second part tasks was analyzed.
Keywords: the State Unified Exam, tutor, analysis of exam results.
Подготовка к единому государственному экзамену по математике - одна из проблем не только учеников старших классов, но и их родителей. Вопросов возникает много. Например, как подготовиться к экзамену? С чего начать? Что лучше: подготовительные курсы или личный репетитор? И так далее, и тому подобное. Однако, все проблемы решаемы. Начнем с того, как правильно учить математику.
Во-первых, заниматься нужно систематично и регулярно по заранее составленному плану или личному расписанию. Начните с написания для себя тайм-менеджера, в котором выпишите все не понятные для вас темы. Подобное расписание поможет планомерно и методично двигаться к цели.
Во-вторых, необходимо освоить специфический математический язык. Совсем не обязательно дословно знать определения тех или иных терминов, достаточно понять, с чем имеешь дело и своими словами уметь рассказать об этом.
В-третьих, «набивайте руку» в решении практических задач. Разберите решенные в учебнике задания. Закройте книгу и попытайтесь воспроизвести решение. Если получилось, пробу йте решить самостоятельно похожий пример. Если нет, еще и еще раз вникайте в решение. Только не бросайте дело на полпути. Бездействие вам не помощник. Не опускайте руки. Если вы сдадитесь. лучше не станет.
В-четвертых, обязательно сравнивайте полученный ответ с тем, что дан в учебнике. Если он совпада-
ет, переходите к решению следующей задачи. Если нет, решайте все сначала. Причем, не всегда удается найти ошибку в уже написанном решении. Обычно она всплывает, когда решение идет с «чистого листа».
В-пятых, не экономьте место на листе, особенно, если имеете дело с задачей по геометрии. Рисунок должен быть достаточно крупным и четким, иначе не сможете разглядеть необходимые для решения элементы.
В-шестых, обратитесь к интернету. В настоящее время существуют обучающие сайты как учителей (например, http://alexlarin.net/egel6.html), так и образовательные сайты (http://www.fipi.ru/). В них можно найти открытые банки заданий, демоверсии, спецификации, кодификаторы, а также попробовать решить онлайн-тесты.
Итак, предположим, что, изучая математику самостоятельно, вы честно выполнили все вышеизложенное, а результат не тот, что ожидался вначале. Здесь есть два выхода: либо поступить на подготовительные курсы (они есть при любом высшем учебном заведении, да и в школе), либо обратиться за помощью к репетитору.
В первом случае поможет любая информация о существующих курсах. Поспрашивайте знакомых или посмотрите отзывы в интернете. Но здесь есть одно «но». Обычно на курсах в группах обучаются порядка 15-ти человек. Преподаватель, работающий на этих занятиях, не всегда может уделить одинаковое количество внимания всем ученикам. И дело здесь не в любимчиках или нежелании самого учителя. Его вниманием обязательно
© Павлова Т.А., Уварова М.Н. © Pavlova Т.A., Uvarova M.N.
завладеют настойчивые ученики, а те, кто сидит тихонечко на последней парте и стесняются обратиться с вопросом, так и останутся не у дел [5,6].
Теперь к вопросу о репетиторах. Прежде всего, компетентность репетитора во многом зависит от базового образования и опыта работы. Педагог имеет большой опыт работы по подготовке к экзамену, владеет методикой преподавания позволяющей найти подход к любому ученику, владеет большим количеством способов организации учебного процесса и умеет правильно подобрать именно ту форму работы, которая соответствует уровню развития и возможностям роста ученика.
Для проведения квалифицированного занятия необходимо не только знание предмета, но владение различными методиками, позволяющими провести анализ всех допущенных учеником ошибок. Нужно потратить много времени на осуществление задуманного, поэтому дешевые занятия не всегда качественные. Предлагаемые упражнения целесообразно брать из различных источников, так как учебник не дает того количества заданий, которые необходимы для отработки навыка решения. Все задачи следует ранжировать по сложности. Надо проду мать, что будет решено на занятии, а что станет содержанием домашней работы.
Для поиска репетитора можно, конечно, воспользоваться и Интернетом, однако есть вероятность того, что анкета не соответствует заявленному уровню подготовки, ее могут составить знакомые по просьбе репетитора. Не каждый родитель может достоверно оценить, насколько оптимален полученный результат. Отзыв не содержит краткой характеристики самого ученика, в течение какого периода времени была достигнута положительная динамика, с какой интенсивностью проводились занятия. Для достоверной характеристики репетитора лучше спросить о нем у того, кого вы знаете или чье мнение для вас компетентно. Профессиональный репетитор всегда может дать список своих учеников, по их характеристике вы можете сделать вывод о качестве проводимых занятий. Если такого списка нет, то, скорее всего, его опыт недостаточен, и он не соответствует заявленным требованиям [6].
Использование в качестве репетитора школьного учителя не всегда лучший выбор, так как его опыта может не хватить для индивидуальных занятий со сложным учеником. Методика проведения индивидуального занятия и школьного урока различны. В одном случае необходимо уделять внимание всем ученикам и тем самым не учитывать особенности каждого, в другом случае результаты, ошибки должны быть постоянно под контролем.
Если ученику нужен репетитор по нескольким предметам, то следует рассматривать в качестве репетитора несколько человек, так как знания одного человека по нескольким предметам могут быть поверхностными. Невозможно быть специалистом высокого уровня по всем вопросам, это связано с тем, что каждый предмет имеет свои особенности, свою методику преподавания. Аксиоматического подхода и теорем в физике просто
нет. Математический аппарат большинства физиков находится, конечно, в неплохом состоянии, но умение решать задачи и умение преподавать, не попадая в методические ловушки учебников и собственных записей, - это разные вещи. Встречаются грамотные преподаватели физики и математики, но их немного.
Распознать профессионала можно в процессе общения с ним. Опытный репетитор уже на первом занятии предложит вам несколько вариантов проведения занятий, их интенсивность. Целесообразно спросить и самого ученика после нескольких занятий, насколько доступен ему объясняемый материал, есть ли положительный результат. Для этого необходимо какое-то время понаблюдать за учеником, оценить методику параллельно работающего школьного учителя (чтобы, по возможности, не сильно с ним диссонировать), провести нужные тесты и только потом определиться, с какой интенсивностью и какими методами идти вперед. Опытный преподаватель имеет опыт адаптации своей методики для достижения конкретного результата.
При выборе репетитора следует руководствоваться не только его анкетой с указанием образования, опыта работы, но и о том, какого вида помощь он оказывает, с каким контингентом учащихся он занимается, какие методики преподавания он использует, учитывает ли индивидуальные особенности.
Вузовская методика преподавания не всегда эффективна для индивидуальных занятий, так как в этом случае большое внимание уделяется рассмотрению теоретического материала, а отработка навыков решения, как правило, проходит самостоятельно. Преподаватель вуза владеет методикой преподавания школьных учебников не в полном объеме, не всегда может проследить преемственность рассматриваемого материала. Свойственная репетиторам из вузов переоценка уровня способностей ученика рождает огромное количество методических ошибок в формировании его математического аппарата.
Для достижения максимального результата необходимо изучить ученика, прежде чем окончательно определиться с методами. На это может уйти несколько занятий. Тесты на первом занятии помогут не только выявить пробелы в знаниях, но и выявить психологические и физиологические особенности ученика. На основе анализа самостоятельной работы репетитор может получить полное представление о том, отчего возникают ошибки, каков характер этих ошибок, как быстро стирается из головы полученная информация, какие формы подачи материала дольше удерживают внимание, как быстро усваивается новый материал.[1]
Анализ проведения ЕГЭ по математике показывает. что разделение предмета на два уровня объективно необходимо. Это связано с тем, что не всем будущим абитуриентам необходимо заявлять результат ЕГЭ по математике, но на тех, кому это необходимо, накладываются повышенные требования. Базовый ЕГЭ проводится для выпускников, изучающих математику для общего развития и успешной жизни в обществе. Баллы,
полученные на базовом ЕГЭ по математике, не переводятся в 100-балльную шкалу и не дают возможности участия в конкурсе для поступления в вузы, он оценивается по пятибалльной шкале. КИМ для ЕГЭ базового уровня содержит только задания базового уровня сложности с кратким ответом. Эти 20 заданий направлены на выявление умения логически мыслить, решать задачи практической направленности, производить простейшие расчеты. Профильный уровень ЕГЭ предназначен для выпускников, которые в дальнейшем планируют использовать математику и связанные с ней дисциплины в своей будущей профессии. Результаты профильного ЕГЭ переводятся в 100-балльную шкалу и предоставляются в приемную комиссию для участия в конкурсном отборе при поступлении в вуз. Задания профильного уровня разделены на две части: первые 12 заданий с кратким ответом и 7 заданий с развернутым ответом. Анализ результатов 2-балльных заданий (13-15) показывает, что уравнения решают 28,9%; стереометрическою задачу 5,87%; неравенство - 13,1%.Это связано с тем, что задание 13 предусматривает: знание основных тригонометрических формул; владение методами замены переменной при решении уравнения: умение решать квадратные уравнения; иметь вычислительные навыки работы с числовыми иррациональными выражениями; умение решать простейшие тригонометрические уравнения по общим и частным формулам; знать области значений тригонометрических функций; владеть хотя бы одним из способов отбора корней тригонометрического уравнения из указанного промежутка: с помощью единичной окружности, решением двойного неравенства, перебором, с помощью графика функции.
При решении задания 14 выпу скник должен владеть как стереометрическими понятиями (перпендикулярность прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью и др.), так и планиметрическими (понятием прямоугольного треугольника, определениями тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника); уметь изображать многогранники, тела вращения, проводить дополнительные построения, направленные на изображение и поиск угла между прямой и плоскостью; знать признаки перпендикулярности прямой и плоскости и уметь их использовать при решении задачи;
Решение неравенства в задании 15 предусматривает следующие умения: метод введения вспомогательной переменной; метод интервалов; владение тождественными преобразованиями рациональных выражений, а также показательных и логарифмических выражений и умения оценить равносильность этих преобразований; владение понятием области допустимых значений неравенства; знание свойств показательной и логарифмической функций.
Процент решения 3-балльных заданий (16-17) составляет 1,61%. Такой низкий процент решения обусловлен тем, что в планиметрической задаче необходимо не только верное доказательство в пункте а), но и получение обоснованного ответа в пункте б). Для
этого необходимо владеть понятием вписанного многоугольника, вписанного и центрального углов, подобия треугольников, знать признаки подобия треугольников, расположения центра окружности, описанной около треугольника: условие вписанного в окружность четырёхугольника, умение проводить доказательство геометрических утверждений.
В экономической задаче (задание 17) выпускники должны владеть понятием «математическая модель», уметь работать с процентами, частями, долями; применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики, уметь анализировать полученный результат, учитывать реальные ограничения; владеть вычислительными навыками.
Задание с параметром решили 2,26% выпускников. Для получения наибольшего количества баллов за задание (4 балла) необходимо знать не только свойства основных элементарных функций, но уметь использовать графическою интерпретацию аналитических данных задачи, владеть понятием параметра, модуля действительного числа, уравнения с параметром, системы уравнений, проводить перебор и анализ полученных результатов с учетом исходного условия [3].
Процент выполнения задания 19 составил 9,36. Для поучения 4 баллов за решение этой задачи необходимо наличие как обобщенных, так и некоторых частных умений в области математики, а также наличия опыта решения нестандартных задач; умение различать логическую структуру утверждений; владеть понятием натурального числа; наличие представления о числовых множествах, отличных от множества натуральных чисел (рис.1).
По данным Департамента образования Орловской области в 2016 г. по математике нижний барьер не преодолели 25 человек, или 2% от всех принявших участие в экзамене. Результаты профильного экзамена по математике показали, что количество его участников по сравнению с прошлым годом сократилось, и одновременно вырос средний балл, что свидетельствует о более осознанном выборе экзамена выпускниками (больше 81 балла по математике смогли набрать на 2,3% больше выпу скников, чем в 2015 году) [4]._
IUI Решение неравенств Планиметрия
Я Экономическая задача Ш Параметры
Свойства целых чисел
Рис. 1. Анализ выполнения заданий 2 части (13-19) с развернутым ответом (%).
Окончательная итоговая информация по результатам ЕГЭ будет подготовлена, когда закончится рассмотрение апелляций и будут получены результаты ЕГЭ, сданных в резервные дни, а также пересдач. Однако уже сейчас можно отметить, что одной из положительных тенденцией ЕГЭ-2016 стало повышение среднего балла[2].
В 2016 году произошло изменение в КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня. Из первой части были исключены два задания: задание практико-ориентированной направленности базового уровня сложности и задание по стереометрии повышенного уровня сложности, во вторую часть вошло задание высокого уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее навыки построения и исследования математических моделей. Максимальный первичный балл уменьшился с 34 до 32 баллов. Задания по алгебре и тригонометрии в ЕГЭ по математике остались, претерпев лишь некоторые изменения. Даже на базовом уровне выпускнику приходится иметь дело с синусами и тангенсами. Но. помимо этого, теперь ему еще надо уметь решать задачки с графической составляющей и знать статистику и комбинаторику.
Задания, которые предлагаются в настоящее время, имеют практическую направленность. Например, необходимо рассчитать суточную норму приема лекарства, скидку в магазине, проверить квитанцию за «коммуналку» или выбрать подходящий тариф для мобильного телефона с учетом своих звонков. Таким образом, решается вопрос, «а пригодятся ли нам эти знания» не возникает - они нужны в повседневной жизни.
В целом по области с заданиями базового уровня сложности справились от 57,2% в Знаменском районе до 66,8% в Шаблыкинском районе Орловской области. Процент выполнения заданий повышенного уровня сложности варьируется от 4% в Новосильском районе до 16,2% в Должанском. Выпускники Дмитровского, Новосильского, Сосковского и Шаблыкинского районов области не справились с заданиями повышенного уровня сложности. Максимальный процент выполнения этого задания (12,5%) приходится на Свердловский район (рис. 2) [3].
г
11
11 " " 1
0% 10% 20% 30% 40% SO% 60% 70% 80% 90% 100%
■ базовый ■ uw сокий повышенный
Рис. 2. Результаты выполнения заданий базового высокого и повышенного уровня сложности в районах Орловской области.
Анализ выполненных заданий показывает, что, как и в предшествующие годы, наиболее доступными для учащихся являются относительно простые задачи 1-5. Это свидетельствует о том, что большинство школьников обладает навыками уверенного решения простейших задач по базовым разделам школьного курса математики. Затруднения в решении 12 задания связаны с тем, что не все школьники умеют применять производную функции для нахождения наибольшего значения на отрезке, максимума и минимума функции, критических точек.
Несмотря на то, что решение уравнений (тригонометрических, логарифмических, показательных) из второй части с развернутым ответом вызывает наименьшее затруднения, но и в них учащиеся допускают ошибки. К самым распространенным ошибкам относятся: использование формулы корней для простейшего тригонометрического уравнения относительно синуса - к уравнению относительно косинуса и наоборот, неверная периодичность корней, описки и другие ошибки в записи корня; неверное вычисление значения обратной тригонометрической функции: либо неверные значения аркфункций, либо неверное преобразование арк-функций отрицательного аргумента. Эти ошибки также приводили к тому, что корни уравнения указывались неверно, и как следствие - первый пункт задачи не был выполнен; неумение работать с иррациональными числовыми выражениями. В связи с этим для многих учащихся решение квадратного уравнения с иррациональными коэффициентами представляло трудность (чаще всего решение не доводилось до конца).
Самой распространенной ошибкой при решении стереометрической задачи была неверная трактовка признака перпендикулярности прямой и плоскости: учащиеся (упрощая себе задачу) считали достаточным доказать перпендикулярность рассматриваемой прямой только одной прямой плоскости для того, чтобы утверждать перпендикулярность прямой и плоскости. В то время как признак гласит: «Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости». Неверное определение искомого угла между прямой и плоскостью (неверный переход к планиметрической задаче). Распространенным недостатком в решении задачи было отсутствие теоретических ссылок и обоснований логических переходов. Учащиеся не указывают используемую для вывода теорию: определения, теоремы, признаки, свойства. В итоге доказательство в пункте а) было неполным и оценивалось 0 баллов.
При решении неравенств (задание 15) допускаются такие ошибки, как: формальное перенесение методов и приемов решения уравнений на неравенства того же типа, переход от дробно-рационального неравенства к неравенству, связывающему числители («отбрасывание» знаменателя), некоторые учащиеся вместо неравенства решали уравнение.
Многие участники ЕГЭ, приступившие к решению планиметрической задачи, допускают неполноту реше-
ния: есть или доказательство геометрического факта, или попытка вычислить численное значение искомой величины. Не все школьники понимают «экономическою составляющую» 18 задания и поэтому неверно трактуют условие задачи, так, например, условие «в январе каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на январь предыдущего года», как «в январе каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше», т.е. как «платеж был одинаковым». Изменив условие задачи, учащиеся решали другую задачу, что оценивалось 0 баллов.
Неверное раскрытие модуля привело к потере корней или получению «липших» при решении задания с параметром. Если исходное уравнение было решено для выделенного каким-либо образом значения параметра и показано наличие необходимого количества решений, при отсутствии или ошибочности других рассуждений решение, согласно критериям 2014 года, оценивалось одним баллом, то начиная с 2015 г. такой возможности критерии не допускали и подобные решения оценивались 0 баллов. К ошибкам при решении задачи 19 можно отнести отсутствие пояснений к ответу. Как правило, решение сводилось к однозначному ответу на вопрос пункта а).
Вместе с тем за последние годы наблюдается положительная тенденция, которая выражается в том, что выпускники, выбравшие базовый уровень, достаточно успешно исследуют простейшие математические модели, применяют производную для нахождения углового коэффициента касательной (геометрический смысл производной), решают геометрические задачи. Достигнутые умения позволяют использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
При отборе корней (задание 13 профильного уровня) выпускники достаточно успешно используют: единичную окружность. графики тригонометрических функций, с помощью числовой прямой, решая двойное линейное неравенство, перебором [9,10].
Увеличилось число выпускников использующих при решении стереометрической задачи координатный, координатно-векгорный способы или другие достаточно оригинальные способы решения. Доля правильно решенных задач с параметром (17 задание) за последние годы достаточна стабильна.
Однако результаты ЕГЭ позволяют сделать вывод о том, что доля решенных задач по алгебре значительно выше, чем по геометрии, на наш взгляд, это можно объяснить достаточно низкой мотивацией для достижения максимального результата. При оформлении решения задач второй части выпускники допускают ошибки: неправильные чертежи, алгебраические погрешности, отсутствие аргументации при доказательстве геометрических утверждений, непонимание сути требования «доказать», неверная трактовка условия задачи, склонность к упрощению условия (особенно задания с параметром), недостаточная подготовка к решению нестандартных задач. Недостаточно устойчивые навыки использования основных математических методов, отрабатываемых в школьном курсе математики, не позволяют учащимся успешно осваивать другие предметы естественнонаучного цикла, резко снижают общую способность учиться [11,12].
В этой связи при подготовке к ЕГЭ в 2016-2017 учебном году необходимо скоординировать меры по выявлению потенциальных погрешностей в решении математических задач будущими участниками экзамена, уделять внимание выпускникам, находящимся «в зоне риска» (имеющими слабую математическую подготовку). Сконцентрировать внимание на формировании их базовых математических компетенций (умении читать и верно понимать условие задачи, решать практико-ориентированные задачи, выполнять арифметические действия, тождественные преобразования), определить наиболее успешно решаемые данными учащимися типы задач и доводить, в первую очередь, их решение «до совершенства».
Дифференцировать обучение для учащихся с различным уровнем подготовки, разработать методику для успешного ее применения, проводить обобщающие уроки не только в конце 11 класса, но и по окончании каждого полугодия. При этом целесообразно ориентироваться на кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений, демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, спецификацию контрольных измерительных материалов для проведения в текущем году единого государственного экзамена по математике.
Библиографический список
t http://www.flnd-a-teacher.org/blog/kak-vibrat-repetitora-po-matematike
2. Карлов A.II. Сборник методических материалов по результатам единого государственного экзамена в Орловской области / А.И. Карлов, С.Н. Тихоновская. Орел: Полиграфическая фирма «Картуш», 2015. 293с.
3. http://www.orel(a!orcoko.ra
4. http://www.pr_obraz(a!adm.orel.ru
5. Уварова М.Н. Интернет-экзамен: методическое пособие для подготовки к интернет-экзамену /М.Н. Уварова, Т.А.Павлова. Орел: Изд-во «Картуш», 2010. 163 с.
6. Петрушина H.H. Использование интернет-тестирования как формы контроля качества подготовки студентов. / H.H. Петрушина, М.Н. Уварова. Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2009. №7-2. С. 153-155.
7. Уварова М.Н. Интернет тестирование в образовании/М.Н. Уварова, Т.А.Павлова. Russian Agricultural Science Review. 2015. Т. 6. №6-3. С. 337-342.
8. Уварова М.Н. Игровые модели и принятие решений. /М.Н. Уварова, Т.А.Павлова. В сборнике: Ресурсосберегающие экологически безопасные технологии производства и переработки сельскохозяйственной продукции. Материалы X Международной научно-практической конференции. 2014. С. 56-60.
9. http://www.mydocx.ni/l l-80797.html
10. http://www.science-education.ra/rii/articie/view?id=21580
11. down.ctege.info/ege/2015/zadaniya/matem/matem2015tipichnye-oshibki.pdf
12. http:// www.fimdamental-research.m/en/article/view?id=3576
References
1. http://www.find-a-teacher.org/blog/kak-vibrat-repetitora-po-matematike
2. Karlov A. I. The sourcebook of methodical materials on results of the State Unified Exam in the Orel region / A.I. Karlov, S. N. Tikhonovskaya. Orel: Printing firm «Kartush», 2015. 293 p.
3. http://www.orel(a3orcoko.ru
4. http://www.pr_obraz@adm.orel.ru
5. Uvamva M. N. Internet examination: methodical guides for preparation for Internet exam / M. N. Uvarova, T. A. Pavlova. Orel: Publishing house Kartush, 2010. 163 p.
6. Petmshina N. N. Using the Internet testing as a form of students quality control. / N. N. Petrushina, M. N. Uvarova Actual problems of humanitarian and natural sciences. 2009. № 7-2. Pp.153-155.
7. Uvamva M.N. The Internet testing in education / M. N. Uvarova, T. A. Pavlova. Russian Agricultural Science Review. 2015. Vol. 6. № 6-3. Pp. 337-342.
8. Uvamva M.N. Game models and decision making. / M. N. Uvarova, T. A. Pavlova. In the sourcebook: Resource-saving ecologically safe technologies of production and processing of agricultural products. Materials X International scientific and practical conference. 2014. Pp. 56-60.
9. http://www.mydocx.ru/l l-80797.html
10. http://www.science-education.ru/ru/articie/view?id=21580
11. down.ctege.info/ege/2015/zadaniya/matem/matem2015tipichnye-oshibki.pdf
12. http://www.fimdamental-research.ru/en/article/view?id=3576
