CC BY
425
Итак, правильно выбранный способ исследования функции может существенно упростить нахождение ее наибольшего или наименьшего значения. Однако, анализ теоретического и задач-ного материала школьных учебников показал, что учебники для 10-11 классов по алгебре и математическому анализу базового уровня в теоретической части и в задачном материале недостаточно полно отражают алгоритмы исследования функций на наибольшее и наименьшее значения. В основном акцент делается на применение утверждений 1 и 3. Причем утверждение 3 чаще всего формулируется для интервала. Даже при наличии более общей формулировки для произвольного промежутка задачный материал не отражает всего диапазона его применения.
В то же время, для эффективного решения заданий на наибольшее и наименьшее значения из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике требуется рассмотрение большего количества алгоритмов для различных типов функций на различных множествах. Выбор эффективного алгоритма должен зависеть не от типа промежутка, а от свойств функции на этом промежутке. Поэтому исследование модели необходимо начинать с исследования свойств функции на заданном промежутке, что позволит в процессе исследования выбрать наиболее эффективный алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции.
Таким образом, изучение эффективных алгоритмов исследования функциональных моделей в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значений может способствовать решению проблемы низких показателей при решении подобных заданий на ЕГЭ по математике профильного уровня.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ляхова, Н.Е. Обучающая модель решения текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений/Ляхова Н.Е.//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2006. № 1.— С. 73-80.
2. Ляхова, Н. Е. Тематическая ориентированность выпускных квалификационных работ бакалавров направления «Педагогическое образование» профиль «Математика»/Н. Е. Ляхова, М. Г. Макарченко, И. В. Яковенко//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. Гуманитарные науки. -2014. -№ 1. - С. 85-91
3. Ляхова, Н.Е. Использование ограниченности функций в школьном курсе математики/Н.Е. Ляхова, А.И. Гришина, И.В. Яковенко//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2015. № 1. - С. 3-10.
4. Ляхова, Н.Е. Применение производной в элементарной математике/Н.Е. Ляхова//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2010. -№ 1. - С. 49-56.
5. Кабиров, Н.Н. Выбор тематики и отбор содержания элективных курсов по алгебре/Кабиров Н.Н., Ляхова Н.Е.//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. № 2. - С. 102-108.
Т.К. Шульга
АКТУАЛЬНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В КУРСАХ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Аннотация. В настоящей статье рассматривается актуальность использования межпредметных связей «математика-физика», определяются темы школьного курса, содержащие вышеуказанные связи. Рассматриваются существующие проблемы реализации межпредметных связей, предлагаются пути их решения. Также приведены примеры заданий, содержащие межпредметные связи.
Ключевые слова: межпредметные связи, «математика-физика», метапредметность, дополнительное образование, естественнонаучное образование.
T.C. Shulga
THE RELEVANCE OF THE USING INTERDISCIPLINARY RELATIONS IN MATHEMATICS AND PHYSICS COURSES IN HIGH SCHOOL
Abstract. This article discusses the relevance of the use of intersubject links of "math-physics", identifies the themes of a school course containing the above communication. Examines the implementation of interdisciplinary connections, and offers the ways of their solution. Also examples of tasks that contains interdisciplinary connections.
Key words: interdisciplinary communication, "math-physics", metasubject, additional education, natural-scientic education.
Современная наука носит метапредметный характер, поэтому образование в школе предусматривает взаимосвязь и сосуществование школьных предметов. Межпредметные связи лежат в основе методических разработок каждого из предметов, способствуют эффективному усвоению школьного материала.
Понятие межпредметных связей в педагогической литературе рассматривается с разных точек зрения, каждый из авторов пытается показать свое понимание сущности этого термина, но общего определения понятия пока не существует. И. Д. Зверев, В. Н. Максимова отмечают: «Мно-
гообразие межпредметных связей в процессе обучения показывает, что сущность данного понятия не может быть определена однозначно... Исследователи принимают ту или иную точку зрения на определение термина «межпредметные связи», но не всегда выдерживают ее, и нередко данное понятие трактуется в нескольких значениях. Причину мы видим не столько в небрежности оперирования термином, сколько в объективно существующем многофункциональном характере самих межпредметных связей».
Согласно федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования, утвержденного приказом № 413 Министерства и науки РФ от 17 мая 2012 г., метапредметные результаты освоения основной образовательной программы должны отражать:
— «владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания»;
— «владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения».
Межпредметные связи развивают у учащихся логическое и критическое мышление, творческие способности. Использование таких связей в учебном процессе уменьшает дублирование при изучении нового материала, формирует навыки и умения учащихся применять в практике общенаучные знания.
Изучение всех предметов естественнонаучного цикла тесно связано с математикой. Сущность развития ученика путем изучения математики состоит в формировании у учащихся единства разных видов знаний и умений - специфико-математических и общеинтеллектуальных, реализуемых на математическом материале. Полноценное обучение математике невозможно без понимания детьми происхождения и значимости математических понятий, роли математики в системе наук. Этот предмет дает учащимся систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека, а также для изучения смежных предметов. Одним из наиболее важных таких предметов является физика.
Математика помогает физике устанавливать и описывать законы окружающей среды. Физика делится с математикой реальностью изучаемых процессов и объектов, моделирует естественным образом отрицательные числа, пропорции, векторы и многое другое. Наблюдая за реальными физическими процессами, ученики осознают, что силы образуют пары, как и противоположные по знакам числа; знакомятся с понятием рычага, а в дальнейшем узнают, как оно связано с пропорцией и средними значениями величин.
Преемственные связи математики с курсом физики раскрывают практическое применение математических умений и навыков (табл. 1). Это способствует формированию у учащихся целостного научного мировоззрения. Главной задачей педагога представляется демонстрация учащимся единства и дополнения различных подходов, а не проведение какого-либо их сравнительного анализа.
Таблица 1.
Межпредметные связи математики и физики
Тема Математическое содержание
Равноускоренное движение Линейная функция, производная функции
Движение, взаимодействие тел Прямая и обратная пропорциональная зависимость
Механика Векторы, метод координат, производная, функция. График функции
Оптика Симметрия
Кинематика Векторы, действия над векторами
Сила тока, работа Дифференцирование и интегрирование
Очень многие элементы метапредметных связей могут улучшить преподавание физики на всех уровнях, делая её более ясной и доступной для учеников. Уровень математической подготовки учащихся определяет методы преподавания и содержание курса физики. Программы по физике должны учитывать знания учащихся по математике и наоборот. Важную роль в курсе математики играет пропедевтика понятий физических величин и процессов [1].
Однако существуют определенные проблемы в реализации межпредметных связей «математика-физика». Отметим некоторые из них.
1. Временная несогласованность школьных программ.
Практика показывает, что на сегодняшний день четко выражено временное несоответствие прохождения учебного материала по математике и физике. Например, возьмём тему «Векторы» в
геометрии и тему «Кинематика», изучаемую в курсе физики девятого класса, а также темы «Сила» и «Скорость» в курсе физики седьмого класса. При изучении понятий силы и скорости семиклассники получают информацию о векторах. Лишь более чем через год учёбы в девятом классе, учащийся знакомится с векторной алгеброй, обучается складывать и вычитать векторы.
2. Понятийное несоответствие школьных программ.
Кроме рассмотренной выше временной несогласованности присутствует и понятийная несогласованность школьных программ по физике и математике. В учебниках по этим дисциплинам различается понятийная база, а также различно обозначаются и трактуются отдельные термины.
Для устранения данных проблем целесообразно установить сотрудничество между учителями математики и физики, обмен между ними учебными материалами.
Для успешной реализации межпредметных связей между математикой и физикой учитель-математик может взять у учителя-физика примеры задач по соответствующей теме, примеры обозначений физических величин, может решать математические уравнения не только с безликими переменными х и у, но и с переменными V, s, t и другими переменными, традиционно обозначающими соответствующие физические величины. Учитель физики, в свою очередь, знакомится с содержанием школьной математической программы, установленными в ней терминами и понятиями для того, чтобы математическим языком объяснять темы и понятия физики на уроках. Так, одним из понятий математики является понятие производной функции у=(х). В физике школьники учатся вычислению скорости и ускорения тела (первой и второй производной от пути) через заданные формулы и графики. В курсе физики на основе этого можно использовать знания о функциональных зависимостях, углубленно изучать построение графиков скорости и ускорения
[4].
Рассмотрим несколько возможных путей применения межпредметных связей.
1) Функциональная зависимость - одно из ведущих понятий в математике и очень часто используется в курсе физики. Первоначально ученики знакомятся с этой темой на уроке математики в шестом классе, учатся строить графики движения, температуры, находить по графику значение одной переменной через другую. Одним из примеров пропедевтики терминов и понятий физики являются задачи на сравнение физических показателей движения двух объектов и задачи на определение расстояния или скорости в определённый момент пути.
Необходимо при прохождении данной темы в курсе физики обращать внимание учащихся на необходимость обозначения координатных осей при вычерчивании графиков зависимостей символами исследуемых физических величин, а не традиционными математическими х и у.
2) Для качественного закрепления понятия функциональной зависимости в курсе физики и алгебры седьмого класса имеется достаточное количество дидактического материала. Тема «Движение и силы» в физике опережает по времени тему «Функция» в алгебре, поэтому во время изучения темы «Функция» на уроках математики рекомендуется применять знания, полученные на уроках физики. Одной из распространенных ошибок учащихся является то, что они принимают график зависимости пути от времени за траекторию движения тела. Для того чтобы не допустить подобную ошибку, учащимся необходимо объяснить, как читать графики движения с последующим их анализом [5].
Например: «Лиза идёт с постоянной скоростью 4 км/ч. Ее подруга Аня едет на велосипеде и догоняет Лизу со скоростью 12 км/ч. Представьте в виде графика движение девочек. Обе хотят попасть в парк, который находится в 16 км от их дома. Кто прибудет туда первой?»
3) В седьмом классе в курсе математики вводятся понятия прямой и обратно пропорциональной зависимости. Практическую реализацию данных понятий можно показать путем решения физических задач по определению массы тела по его плотности и объёму, силы давления по площади опоры. На уроках физики при построении графика прямолинейного равноускоренного движения можно подчеркнуть, что зависимость скорости такого движения от времени является линейной. Таким образом, насколько ученики усвоят данную тему в курсе математики, настолько зависит качество её усвоения при изучении физики.
4) Квадратичная функция у восьмиклассников. Эта тема очень важна при изучении понятия равноускоренного движения на уроках физики в 9 классе. В этом случае требуется использовать и закреплять алгоритм решения квадратных уравнений, который был изучен на уроках математики в 8 классе, можно применять и теорему Виета. Типичная задача по этой теме содержит заданные скорость и ускорение движения, в ней требуется вычислить, через какое время движущееся тело пройдёт заданное расстояние. Такие задачи хороши для наглядного представления ученикам разницы между графиком движения и траекторией движения.
Исходя из вышеизложенного, учащиеся применяют математические знания на уроках физики, и тем самым закрепляют их применительно к реальным физическим процессам. На разнообразных моделях физических процессов учащиеся постигают, насколько фундаментальны матема-
тические законы, понимают необходимость измерения (подход при этом используется эмпирический, а не теоретический).
Наилучшим способом реализации межпредметных связей является решение на уроках задач, относящихся к обоим предметам. Приведём несколько примеров.
Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону :
, ^ (1)
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2 с. Решение.
Скорость есть производная от пройденного пути:
, м/с (2)
Ускорение есть производная от скорости:
, м/с2 (3)
Ответ. 56 (м/с), 46 (м/с2).
Пример 2. На наклонной плоскости находится в покое тело массой т. Оно удерживается горизонтальной силой. Определите эту силу, если угол наклона равен а. Трением пренебречь. Решение.
1) Физический метод решения (алгебраический метод).
Схема решения всегда одна и та же: сначала рисуют все силы, а затем используют условие равновесия.
Тело находится в равновесии под действием трех сил: известной mg и неизвестных F и
N. Реакция опоры N всегда перпендикулярна плоскости. Выбираем систему координат, как показано на рисунке 1, и проецируем все силы на оси Ох и Оу .
2) Геометрический метод решения.
Откладываем силу mg и из ее концов проводим прямые параллельные неизвестным силам (рис. 2). Прямые пересекаются в точке С.
в\
Рис. 2. Треугольник сил ABC.
Из треугольника ABC находим Ответ.
Пример 3. Тело массой 0,2 кг совершает гармонические колебания по закону х = 0,5 sin2n t [м]. Запишите уравнение vx(t), ax(t) и определите vmax .
Рис. 3. Математический маятник. Решение. Каноническое уравнение колебаний маятника имеет вид:
* = Хтах + Фо1
Исходя из этого, Хтах = 0,5 м; т = 2п с'1.
Так как vx(t) является первой производной по координате х, то
V = Xmax®COS(Юt + ф0), ,
где Хтах® = ^
Отсюда
Vmax = 0,5*2Ж = П м/с.
Ускорение является второй производной от координат и первой производной от скорости тела.
a = _ ^ах®2^^ + ,
где
_ 2 =
Хтах® = amax .
Данные примеры демонстрируют широкое использование математического аппарата при решении прикладных задач и не исчерпывают всего многообразия межпредметных связей. Однако можно сделать вывод, что подобные задачи необходимы в курсе математики, и обучающиеся должны владеть методами их решения.
Таким образом, «современный учебный процесс преподавания естественно научных дисциплин требует использования межпредметных связей физики и математики, а именно: сочетания теоретических методов изучения физики с экспериментальными методами на основе доступных понятий элементарной математики. Этот подход обеспечивает одновременно достижение высокого уровня усвоения математики, формирует критическое и логическое мышление учеников, а также способствует пониманию единства материального мира» [3]. У учащихся появляется понимание того, что математические формулы и уравнения реально воплощаются в жизнь в физических процессах.
«Использование междисциплинарного подхода при изучении математики и физики дает возможность обучающимся:
— уметь работать с информацией, делать выводы, анализировать, контролировать и оценивать свою деятельность;
— повысить уровень мотивации, осознанной потребностью в усвоении знаний, умений;
— уметь применять полученные знания в практической деятельности» [2].
Реализация межпредметных связей физики и математики может быть осуществлена через систему интегрированных учебных занятий - систему, значительно упрощенную для удобства практического использования и рассчитанную не на педагога с обширными многопредметными познаниями и опытом систематической работы в разных учебных дисциплинах, а на обычного учителя-предметника.
Кроме того, эффективным средством формирования у учащихся межпредметных знаний является решение задач межпредметного содержания и выполнение заданий, требующих комплексного применения знаний смежных предметов, работа над междисциплинарными проектами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кожекина, Т.В., Никифоров, Г.Г. Пути реализации связи с математикой в преподавании физики // Физика в школе. 1982, № 3. — С. 38.
2. Минаева, А.М. Использование межпредметных связей в преподавании математики в техническом вузе // Международный студенческий научный вестник.- 2015. - № 5-3.- С.331- 334.
3. Гурьев, Л. Методологические основы построения и реализации дидактической системы межпредметных связей в курсе физики средней школы. Челябинск, 2002. - 372 с.
4. Синяков, А. З. Об использовании понятия производной в курсе физики в средней школе // Физика в школе. - 1976. № 4, - 37с.
5. Коробов, В. А., Опыт применения математики в преподавании физики // Физика в школе. - 1991. № 4. - 23 с.
6. Ляхова, Н.Е. Обучающая модель решения текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2006. № 1. - С. 73-80.
7. Ляхова, Н.Е. Применение производной в элементарной математике // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2010. -№ 1. - С. 49-56.
И.В. Яковенко, О.А Лисаченко
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ЛОГАРИФМЫ. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»
Аннотация. Статья посвящена вопросу методики изучения темы «Логарифмы. Логарифмические уравнения» в школьном курсе математики. Представлены основные положения ФГОС средней школы по математике. Приведен сравнительный анализ по изучению указанной темы в рамках различных учебных программ. Рассмотрены и проиллюстрированы основные критерии и требования по составлению задач для уроков математики по теме «Логарифмы. Логарифмические уравнения».
Ключевые слова: логарифмы, методика изучения математики, задачи.
I.V. Yakovenko, O.A Lisachenko
FEATURES OF METHODOLOGY OF CONSTRUCTION OF THE SYSTEM TASK TO LEARN THE TOPIC "LOGARITHMS. LOGARITHMIC EQUATIONS"
Abstract. The article is devoted to methods of studying the topic "Logarithms. Logarithmic equations" in the school course of mathematics. The main provisions of the FSES secondary school mathematics. Comparative analysis for the study of this subject within various curricula. Reviewed and illustrated the basic criteria and requirements for drawing up objectives for the mathematics lessons on the topic "Logarithms. Logarithmic equations".
Key words: logarithms, equations, the methodology for the study of mathematics, tasks.
Математические знания необходимы человеку практически в любой сфере деятельности, и эта необходимость положительно сказывается на развитии науки и техники. Математика на протяжении всего времени обучения в школе постоянно помогает обучающимся выяснять все стороны взаимосвязей в окружающей жизни, позволяет применять на практике изучаемые теоретические положения. Овладение практически любой профессией невозможно без математических знаний. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной деятельности в современном мире требуется достаточно прочная математическая подготовка.
Одной из тем в курсе математики в средней школе является тема «Логарифмы». Тема является укоренившейся в курсе алгебры средней школы, но очень непросто дается учащимся из-за подачи многообразия материала.
Однако овладеть методикой решения логарифмических уравнений очень важно, так как повышаются умственные и творческие способности обучающихся, приобретаются первые навыки исследовательской работы, обогащается математическая культура обучающихся, развиваются способности к логическому мышлению, происходит повторение, расширение и более глубокое усвоение учебного материала.
Чтобы обучающиеся смогли успешно сдать ЕГЭ по математике, необходимо уделять достаточное внимание решению логарифмических уравнений на уроках. При изучении указанной темы на уроках алгебры продуктивная учебная деятельность школьников, заинтересованность их темой возможна только при условии использования на уроках определенных приемов, комплекса задач и упражнений, направленных на снятие и преодоление психологических барьеров, пробуждение интереса к математике и т.д.
Эта тема непростая с учетом малого количества времени, отведенного на ее изучение, и требует особого подхода с учетом ФГОС СОО, вступившего в силу 17 мая 2012 г.
