CC BY
137
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том!! 1971 М3
УДК 533.6.011.5
ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА
А. П. Базжин, В. И, Благосклонов, А. Н. Минайлос,
С. В. Пирогова
Анализируются результаты численных расчетов обтекания сферы в диапазонах изменения числа Мда от 1,5 до 1000 и отношения удельных теплоемкостей газа от 1,05 до 1,66. Для ряда характеристик течения даны эмпирические критерии подобия, позволяющие представить результаты в виде аналитических зависимостей.
Методом установления по явной конечноразностной схеме рассчитаны таблицы обтекания полусферы сверхзвуковым потоком совершенного газа при значениях числа = 1,5-^-1000 и значениях отношения удельных теплоемкостей газа % = 1,05-4- 1,66. В рассчитываемом поле с учетом граничных точек располагалось 19x11 узлов сетки. Ошибки результатов оценивались по расходу в контрольных сечениях, интегралу Бернулли в поле течения, энтропийной функции на поверхности тела, степени установления варианта; ошибки не превосходят 2%. Кроме этого, результаты совпадают с точностью до 2—3% с расчетными данными других численных методов (см., например, [1]) в широком диапазоне изменения чисел . На фиг. 1—5 приведены некоторые характеристики течения в зависимости от значений и %: отход ударной волны от поверхности тела на оси симметрии е0. градиент скорости в критической точке ди/дх, расстояние от оси симметрии до звуковых точек на поверхностях сферы гзв т и ударной волны гзв в, коэффициент сопротивления полусферы сх. При этом линейные размеры отнесены к радиусу сферы, компоненты скорости — к максимальной скорости потока; длина дуги сферической поверхности х, используемая при определении градиента скорости, взята в радианах; величина сх при значении х, равном я/2, отнесена к миделю сферы те. На этих же фигурах крестиками показаны результаты работы [2], полученные при значении т. = 1,4. Различия, как уже отмечалось, не превосходят 3%.
Ниже анализируются результаты, представленные на фиг. 1—5, и даются полученные А. Н. Минайлосом эмпирические критерии подобия, позволяющие представить результаты в виде аналитических зависимостей.
Представленная на фиг. 1 зависимость величины е0 от числа уже неод-
нократно фигурировала в различных работах (см., например, [4], [7], [12]). Кроме расчетных кривых, на фиг. 1 приведены результаты экспериментальных исследований. Белыми кружками отмечены результаты работы [3] (х =1,4), черными фигурами — работы [4] (ромб соответствует значению *.= 1,66; кружок —1,4; треугольник—1,15). Зависимость е0 от величины % при постоянных значениях близка к линейной (этот факт обнаружен в работе [4] на основе экспериментальных данных), и производная дг0/дг. слабо зависит от числа изменяясь от 0,324 при числе = 1,5 до 0,308 при числе Мсо= 1000. Кривая, соответствующая числу М00= 1000, проходит практически через точку ё0 = 0, % = 1.
Градиент скорости в критической точке возрастает с увеличением чисел и х (см. фиг. 2).
Расстояние от оси симметрии до звуковых точек на поверхностях тела гзв. т и Ударной волны гзв в характеризуют собой величину минимальной области влияния. Значения гзв т при уменьшении числа Ми возрастают, зависимость гЗВт т от * при этом ослабевает (см. фиг. 3). Таким образом, при малых сверх-
звуковых скоростях положение звукойой точки на сфере слабо зависит от величины зависимость от числа при этом также мало существенна.
Величины гзв в с ростом чисел М,^ уменьшаются (см. фиг. 4), зависимости гзв в от значений ■*. при постоянных величинах близки к линейным. Сопоставление графиков на фиг. 3 и 4 показывает, что при г* х 0,68 для всех значе-
ний * (кроме 1,66) расстояния гзв в и гзв_ т совпадают. При этом числа Мй изменяются от 2,33 (*= 1,05) до 3,51 (*.= 1,4). Все рассчитанные варианты течений можно разделить линией г = г* на две группы: при гзв в^> г* область влияния оказывается принадлежащей ко второму типу (по классификации работы [5]), а при га в<г* —к третьему. Поскольку при значении *=1,66 линии гзв т и Гзв в не пересекаются, так как всюду гэв в > гзв т , во всем диапазоне изменения* чисел Мет при *= 1,66 область влияния принадлежит второму типу.
0.5.
1.0
1,0 1,121,15
0,5
]
1,33 /У/ V5/// V /// V* // )
V'/ 1,05
1/М„ О
15
2
Фиг. 3
* 6 пм^ооо
Значения сх возрастают с ростом чисел и уменьшением значений ■». (см. фиг. 5). Исключение составляют величины сх при значениях *< 1,2 и числах Моо|>4. В этих случаях кривые имеют максимум внутри исследованного диапазона чисел М^,. Это обусловлено, по-видимому, ростом центробежных сил при уменьшении *. В пределе при *-> 1 и числе оо справедлива формула Бузе-
мана [6]. Анализ показывает, что почти во всем диапазоне изменения величины х значения давления, полученные из численных расчетов, лежат между результатами вычислений по формулам Ньютона и Буземана. При этом эффект действия центробежных сил при уменьшении величины * от 1,4 до 1,05 очевиден.
Влияние центробежных сил подтверждается также сравнением распределения плотности и картин линий тока в ударном слое при различных значениях
7—Ученые записки № 3
97
отношения удельных теплоемкостей. При малых значениях к. сжатый ударный слой в области больших значений х отходит от поверхности тела. Максимальное уменьшение значения сх из-за влияния центробежных сил при х = 1,05 составляет около 4,5%. Это необходимо иметь в виду при оценках значений сх в указанном диапазоне величин Ми и % (реально такие параметры течения возможны, например, в струях реактивных двигателей). На фиг. 5 приведены также ?резуль-таты экспериментов в баллистических установках: кружками — из работы [7] при ■х. = 1,4 и штриховыми линиями — из работы [8] при четырех различных значениях 1.. При обработке экспериментальных данных из значений сх для шара вычитался коэффициент донного сопротивления шара, который принят равным
значению —[8]. Максимальное различие расчетных и экспериментальных результатов не превосходит 4,5%.
При разработке эмпирических критериев подобия учитывались следующие соображения:
— в области больших скоростей параметры должны удовлетворять законам гиперзвуковых течений [6];
— параметры должны определяться через геометрию тела и условия набегающего потока. В этом смысле закон подобия, описанный в работе [9], неудобен, так как требует дополнительной информации для определения радиуса кривизны ударной волны;
— параметры должны сохранять свой смысл и в случае течений равновесного газа.
Известно, что отношение плотности в набегающем потоке к плотности за прямой ударной волной /(является определяющим параметром для всего течения у затупленного тела. Оно и было взято за основную при разработке критериев. Кроме того, были использованы значения числа М^, и величины рг—отношения
давления за прямой ударной волной к значению К^ах. При разработке критериев подобия для градиента ди/дх и значения гзв в были использованы результаты работ [10], [11]. Критерии подобия для величин е0. ди/дх, г3, имеют соответственно следующий вид
0,07
N1 = K +
N2 = V2K(K + 2Pl)--r
1 lQO
0,1
Щ = (1 + so) sin vк [1 + 0,67 ((1 + So) sin VkY,
0,12
N, = K-
Они позволяют представить результаты для различных значений и %
в виде единых кривых (фиг. 6 и
7). На этих фигурах различным числам Мю соответствуют следующие обозначения: числу Моо, равному 1,5 — ромб, 2 — белый квадрат, 3 — черный квадрат, 4 — белый круг, 6 —черный круг, 10 — белый треугольник, 1000 — черный треугольник. На этих же фигурах сплошными линиями нанесены результаты расчета по аппроксимирующим формулам
да
N. (0,76 + 1,05 Лф; ^г=0,88ЛГ2(1-0,15ЛГ2); гзв, т = 0,554 + ЛГ8 (0,6 - 0,366 ЛГ3);
'•зв.в = 1>05ЛГ4;
0,0016
= 0,7 - 0,75 (Ц-0,475)- .
Сравнительно плохо формулы аппроксимируют значения ди/бх игзв „при М(Х)=1,5 и малых*. Ошибки формул в диапазоне всех значений и * не превосходят для е0 4,5%, для ди/дх 24% (при М00>2 —7%), для гзв т0,8%, для гзв.в 10% (при Мдз > 2—6,6%), для сх 2,2% .
Наиболее известные соотношения для аппроксимации значения е0 только через отношение плотностей к, предложенные Сербиным, Сейфом и Амброзио и Уортманом (формулы и ссылки см. в работе [12]), оказываются менее точными, чем предложенная выше зависимость. Исключение составляет формула Амброзио и Уортмана в диапазоне чисел М00<1,5. Зависимость (3) из работы [4] близка к предлагаемой формуле для е0 и результатам расчета при* числах М >2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Косых А. П., М и н а й л ос А. Н. О явных схемах метода установления в задаче сверхзвукового обтекания затупленного тела. ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, № 2.
2. Любимов А. Н., Русанов В. В. Течение газа около тупых тел. М., „Наука", 1970.
3. Л и п м а н Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики. М., Изд. иностр. лит., 1960.
4. Масленников В. Г. Исследование положения отошедшей ударной волны при сверхзвуковом движении эллипсоидов вращения в газах с различной внутримолекулярной структурой. Сб. „Агрофизические исследования сверхзвуковых течений", М.—Л., .Наука” ,1967.
5. Белоцерковский О. В., Шифрин Э. Г. Трансзвуковые течения за отошедшей ударной волной. ЖВМ и МФ, 1я59, т. 9, № 4.
6. X е й з У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.
7. Красильщиков А. П., Подобии В. П. Экспериментальное исследование аэродинамических характеристик шара в свободном полете до чисел М « 15. МЖГ, 1968, № 4.
8. Мишин Г. И. Зависимость коэффициента сопротивления сферы при сверхзвуковых скоростях от отношения удельных теплоемкостей среды. Сб. „Агрофизические исследования сверхзвуковых течений", М.— Л., „Наука", 1967.
9. С ту лов В. П. О законе подобия при сверхзвуковом обтекании затупленных тел. МЖГ, 1969, № 4.
10. Boison J. С., Curtiss Н. A. An experimental investigation of blunt body stagnation point velocity gradient. ARS J., 1959, № 2.
11. Freeman N. C. On the theory of hupersonic flow past plane and axially symmetric bluff bodies. J. Fluid Mech., 1956, v. I.
12. Сыщи к OB а М. П., Березкин а М. К., Семенов A. H. Отход головной ударной волны от сферы в аргоне и азоте при малых сверхзвуковых числах Маха. Сб. „Аэрофизические исследования сверхзвуковых течений", М. — Л., „Наука", 1967.
Рукопись поступила 29j VII 1970
