Расчет осесимметричных тупых тел в cвepxзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том IV 1973

№ 6

УДК^533.6.011.5

РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТУПЫХ ТЕЛ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

А. П. Косых

Представлены результаты расчетов обтекания семейства тел вращения с контурами, полученными гладким сопряжением гиперболы с параболой при 1,5 <1М 1000. Расчеты выполнены для совершенного газа (у. = 1,4) при нулевом угле атаки на основе принципа установления по времени.

1. Элементы компоновки гиперзвуковых и космических летательных аппаратов имеют в ряде случаев форму тел вращения малого удлинения. Имеющиеся экспериментальные и расчетные данные дают основание полагать, что закономерности обтекания лобовой части тупых тел вращения являются определяющими для основных характеристик течения. Кроме того, нельзя решить смешанную задачу Коши об обтекании протяженных тел, не получив начальных данных у затупления в сверхзвуковой области течения. В связи со сказанным возникает необходимость расчета течения газа около тупых тел.

В основу численного алгоритма положен принцип установления с использованием модифицированной схемы Лакса — Вендроффа [1] — [3]. Применяемый метод расчета требует непрерывности кривизны контура тела. В случае невыполнения этого требования точность расчета в окрестности точки разрыва кривизны заметно уменьшается. Если использовать сетку с постоянным шагом, то в тех областях, где градиенты искомых функций велики, также возможны большие погрешности счета. Кроме гого, расходимость лучей х = const основной системы координат (х, у) (фиг. 1) при удалении от поверхности тела еще более усложняет расчеты. Возможные погрешности были уменьшены с помощью сгущения точек расчетной сетки в областях больших градиентов параметров течения и аппроксимации заданного контура с разрывом кривизны функциями, имеющими непрерывные производные требуемого порядка.

2. Рассмотрим контур некоторого тела, заданный непрерывно-дифференцируемой функцией на отрезке [а, Ь\

/(*) =

Л (*). а < X < х\

Л С*). f\(х*)=/'2 {х\)........ f\(**)= f'i+x{x*,)

fl+1 (х), ** < * < 6

и имеющий разрывы кривизны к (х) в точках хх, х2........... хг Зададим после-

довательность функций

~ г+i

fn (*)=2 ^ w - “г-i Mi fi (*). (о

где коэффициенты а; (х) =------. . , /=1,2,..., /, а0(х)=0, аг+1(дг)=1.

1+(^ _

Эта последовательность /л (*) такова, что для всех х £ [а, Ь] /п(х) и / п(х) равномерно сходятся к/ {х) и /' (х) соответственно, а/"п(х) сходится (неравномерно) к /" (х).

Для проведения расчетов контур тела, имеющий разрывы кривизны, заменялся аппроксимирующей функцией из последовательности типа (1). В системе координат у, г (см. фиг. 1) уравнение (1) для рассматриваемого ниже семейства тел принимает вид

Г = 7п (~У) = « (1) А (у) + [ 1 — « ( у)]/а ( У). (2)

Функция /\(у) определяет гиперболу с действительной^осью, совпадающей с осью у, а /2(у)—квадратичную параболу. Координаты у*, г* точки сопряжения этих кривых находятся из системы уравнений

д2)(1 1у-у*2_ а2 ) _ у*27 = 0;

_____________ ^2

г* = tgfV У*2 — а\ ; ea = tfj/tg* 7; tg-f = J^/ lg2 p ~ J------------------------------------------^Yg,

«<>) = - 1

■+(£)"'

Здесь и - радиусы кривизны гиперболы и параболы соответственно в их вершинах, которые изменялись в диапазонах 0,2 ■< ./?!<; 0,7; 0,01 < Я2<0,2. Угол, образуемый касательной в точке сопряжения кривых с осью абсцисс, обозначен через Р; этот угол принимался равным 60°; 75°; 80°. Контуры рассмотренных тел показаны на фиг. 1; здесь ОА — дуга гиперболы, АВ — дуга параболы. Расчеты показали, что изменение параметра п в формуле для коэффициента а (у) от 102 до 104 приводит к изменению кривизны в малой окрестности точки сопряжения Л (у*, г*), но практически не меняет формы самого тела. Численный эксперимент подтвердил предположение о том, что локальные изменения кривизны тела в эллиптической области приводят лишь к локальным возмущениям в поле течения. Эти возмущения по величине не превосходят погрешности используемого численного алгоритма, т. е. полученные для разных п >• 102 решения совпадали, поэтому обсуждаемые в работе результаты можно рассматривать как решения для исходного тела, соответствующего я -> ос. В приведенные расчетах всюду использовано значение п — Ю2.

Когда радиус /?2 мал (см. фиг. 1), в окрестности скругленной кромки тела цмеют место большие градиенты искомых параметров. Для повышения точности счета в этой окрестности расчетные узлы сетки сгущались с помощью функции

где т — 2, 3; X* — длина дуги контура OB; X — длина дуги до текущей точки на контуре. Из формулы (3) следует, что при постоянном шаге АХ = const X будет меняться от точки к точке неравномерно.

3. Безразмерные параметры течения введены следующим образом: линейные размеры отнесены к радиусу миделя тела, скорость v — к wmax, плотность р—

к плотности невозмущенного потока р^, давление р — к р^^шах •

Отход ударной волны от поверхности тела для М00 = 8 показан на фиг. 1. Влияние радиуса затупления /?1(/?2 = 0Л; Р = 60°) на положение ударной волны и звуковой линии мало, а изменение Rx от 0,2 до 0,6 лишь незначительно трансформирует границы эллиптической области. Отличие в отходе ударной волны

■существенно только на оси симметрии тела; увеличение радиуса затупления в три раза изменяет отход ударной волны г0 в 1.5 раза. Другие характеристики течения — координаты звуковой линии на теле лзв т и ударной волне гзв в,

градиент скорости в критической точке у'х, коэффициент сопротивления сх для различных значений /?х — почти не отличаются.

С уменьшением радиуса скругления /?2(Л1 = 0,6; р = 60°) звуковая линия ■смещается вверх, а звуковая точка на теле стремится занять положение, типичное для тела с острой кромкой. Как в дозвуковой, так и сверхзвуковой областях положение ударных волн и получаемые решения заметно различаются (см* фиг. 1).

На фиг. 2 представлены изохоры в областях значительного разрежения потока у тел с различным радиусом скругления кромки. При Я2 -»О в рассматриваемой окрестности кромки наблюдается волна, близкая к течению Прандтля— Майера. Несмотря на это, с помощью функций сгущения (3) удается достаточно точно находить картину течения. В этом случае большая часть расчетных точек располагается в области больших градиентов параметров поля течения.

Распределение давления вдоль тела для различных значений /?2 и для различных углов р (при = 0,6; У?2 = 0,01) показано на фиг. 3 (Мм = 8). При переходе от криволинейного участка затупления к почти прямолинейному исчезают центробежные силы, что приводит к перегибу кривой р=р(г). При увеличении угла р до 80° давление р стремится к соответствующим значениям для диска [4], при этом кривые, полученные для р = 75° и р = 80°, пересекаются. Такое поведение зависимости р=р(г) объясняется тем, что точка сопряжения гиперболы с параболой для р = 75“ лежит несколько выше, чем для р = 80°. Поэтому для тела, более близкого по углу р к диску (Р = 80°), поворот потока наступает раньше.

На фиг. 4 и 5 штриховыми линиями и отдельными точками (см. таблицу) показаны результаты расчетов, проведенных автором. Здесь же сплошными линиями для сопоставления представлены результаты расчетов течения около некоторых тел вращения, заимствованные из работы [3]. Значение параметра д = 0 соответствует диску, а==0(5; 0,75; 1 —эллипсоидам с полуосью вращения а, ■совпадающей по направлению с набегающим потоком, и другой полуосью, равной единице. Использованные на фиг. 4 и 5 обозначения для результатов расчета пояснены в таблице. Закономерности поведения е0, гзв_т, гзв-в, сх, их

1,2

10

0.8

ti

o,s

МЛб)П,=0,6

— Û.I/C/I ß^äO" 7S1 \x

/ \ 7

/ X 7> л

ß- —\nß“ry аЛ V / V Y \

Г/ V \

0,05/ s

L Oßi \

J

..... j

0,5 Фиг. З

0^<УУ4лЛ

â- ß = BO°-,R^O}6 P

Фиг. 2

— a = /,0- d 1 À

£t- 04 -q F - £= OJ. —o-_ Г

0,SL 7 <> и

м„ is

J * Фиг. 4

f ! 10

P Ri «2 чение (см. фиг. 4 и 5) Число М.»

60° 0,2 0,1 с/ 8

60° 0,45 0,1 © 8

60° 0,7 0,2 О 1,5-*-103

60° 0,6 0,2 л 1,5-г-103

60° 0.6 0,1 8

60" 0,6 0,05 8

о о c£> 0,6 0,01 ▲ 8

75° 0,6 0,01 0 8

80° 0,6 0,01 ■ 8

'0,75 }/M

0,25

Фиг. 5

в зависимости от числа Мж аналогичны соответствующим закономерностям для! сильно затупленных тел [3]. Следует лишь заметить, что зависимости е0(Мсо> и ^(Мю) близки к соответствующим зависимостям для сферы, а зависимости гзв. т(^со)> гзв. в(^оо)> «х(Моо) мало отличаются от соответствующих характеристик для эллипсоида, сплющенного по направлению потока (а = 0,5).

На фиг. 5 крестиками нанесены экспериментальные значения сх, полученные для сферически затупленного конуса с острыми кромками и полууглом раствора 60° [5]. Если экстраполировать получающуюся экспериментальную кривую на ббльшие значения Мга (экстраполяция показана штрих-пунктиром), то полученное в расчетах значение сх(И 1 = 0,6; = 0,01; ¡3 = 60°) близко к этой

кривой. Ясно, что при уменьшении (/?! = 0,6; р = 60°) или при увеличении угла р (/?! = 0,6; #2 = 0,01) коэффициент сопротивления сх заметно возрастает.

4. Точность полученных численных решений контролировалась путем вычисления интеграла Бернулли, расхода массы через контрольные сечения и по степени установления течения. Погрешность расчетов в соответствии с этими проверками в основном не превосходила 1%. Лишь для С 2, а также для Я3 = 0,01 погрешность возрастала соответственно до 3 и 6%.

Дальнейшее увеличение угла р или уменьшение /?3 вызывает трудности в расчетах течения газа: численный эксперимент показывает, что использованного числа расчетных точек вдоль контура тела (их было 23) недостаточно.

Автор признателен А. П. Базжину и А. Н. Минайлосу за внимание к работе

ЛИТЕРАТУРА

1. Базжин А. П., Благосклонов В. И., МинайлосА. Н„ Пирогова С. В. Обтекание сферы сверхзвуковым потоком совершенного газа. „Ученые записки ЦАГИ*, т. II, № 3, 1971.

2. Косых А. П., Минай л ос А. Н. Обтекание сферической поверхности сверхзвуковым потоком равновесно-диссоциирующего воздуха. .Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 5, 1971.

3. М и н а й л о с А. Н. Параметры подобия и аппроксимационные зависимости осесимметричного сверхзвукового течения у эллипсоидов. Известия АН СССР, МЖГ, 1973, № 3.

4. Nichols J., Nierehgarten Е. Aerodynamic characteristics of blunt bodies. Jet Propulsion Laboratory California Institute of Technology. Techn. Rep. No 32—677, 1964.

5. К о 3 л о в а И. Г., М и н а й л о с А. Н. Несимметричное обтекание лобовой части тела вращения сверхзвуковым потоком совершенного или реального газа. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.*, т. 7, № 3, 1967.

Рукопись поступила 20/XU 1972 г.