Вязкий ударный слой в окрестности затупления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VI 1975

№ 3

УДК 533.6.011.55

ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАТУПЛЕНИЯ

А. Л. Анкудинов

Проанализированы результаты численных расчетов гиперзвуко-

вого вязкого ударного слоя, проведенных для окрестности критической точки затупленного тела при трех значениях отношения удельных теплоемкостей газа х и температуры поверхности для широкого диапазона чисел Рейнольдса. Попутно дана приближенная оценка точности используемой двухслойной модели вязкого ударного слоя в области режимов течения, примыкающих к пограничному слою. Для этого значения числа Ие, являющегося параметром при расчетах ударного слоя, доведены до достаточно высоких значений, и полученные при этом результаты сопоставлены с соответствующими данными, рассчитанными по теории пограничного слоя. Предполагается, что степень отличия этих результатов может служить ориентировочной оценкой точности используемой модели в диапазоне умеренно высоких значений числа Ре.

Уравнения и граничные условия, описывающие течение вязкого совершенного газа около нетонких гладких тел в приближении двухслойной модели гиперзвукового тонкого ударного слоя для умеренно малых значений числа Ие [1, 2], имеют следующий вид:

р* и*2 ___ др* .

(1)

~ (р* и* г*") + ~~(р* V* г*') = 0; )х* ду*

р* = Р* Я* г*; Н* — I* ;

условия на внешней границе ударного слоя (модифицированные соотношения Рэнкина—Гюгонио):

условия на поверхности тела (рассматривается холодная непроницаемая стенка, что позволяет пренебречь эффектами скольжения и скачка температуры на поверхности):

здесь принято: я*, у* — расстояния, отсчитываемые соответственно вдоль поверхности тела от критической точки и по нормали к поверхности; и*, V* — составляющие скорости в направлениях х* и у* соответственно; /*, Н* — соответственно энтальпия и полная энтальпия; р*, р*, Т* — соответственно плотность, давление и температура; р.* — коэффициент вязкости; и г* — радиусы продольной кривизны поверхности и поперечного сечения осесимметричного тела соответственно; /?* — газовая постоянная; Рг — число Прандтля; vг=0)l соответственно для плоского и осесимметричного случаев; индексы ю и® относятся соответственно к величинам в набегающем потоке и на поверхности тела. Звездочкой отмечены размерные величины; соответствующие величины без звездочек в тексте являются безразмерными; причем обезразмеривание проведено по скорости набегающего (невозмущенного) потока плотности р^, радиусу кривизны носовой части профиля удельной теплоемкости с* коэффициенту вязкости р.* = р.*(7’*), где Т*0 — температура адиабатического торможения набегающего потока.

Использованная в настоящей статье двухслойная модель тонкого вязкого ударного слоя основана на разделении области возмущенного течения около тела, обтекаемого гиперзвуковым потоком при умеренно малых числах Ие, на две характерные смежные области (слоя): область собственно ударного слоя и область перехода через скачок уплотнения. Уравнения для каждого из указанных слоев получаются соответствующим упрощением полных уравнений Навье—Стокса. Течение в собственно ударном слое описывается параболической системой уравнений (1), течение в области перехода через скачок — некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, дополнительные упрощения которых в зоне, непосредственно примыкающей к внешней границе собственно ударного слоя, дают соотношения (2). Использование соотношений (2), учитывающих эффекты переноса в скачке, в качестве внешних граничных условий системы (1), а соотношений (3) — в качестве условий на стенке дает возможность замкнуть задачу ударного слоя и позволяет исследовать область собственно ударного слоя независимо от области перехода через скачок.

Модель (1) — (3) гиперзвукового вязкого ударного слоя используется для описания течения вблизи поверхности тела в широком

(2)

и* = ю* = 0; Т* — Т*т = сопв!:;

(3)

диапазоне чисел Re — от режима течения с ударной волной конечной толщины до течения с идеальным скачком уплотнения.

Введем, аналогично [3], новые переменные задачи в соответствии с формулами

С = /*¥"; W = 2V ^/r1+v; К = const; 1 (4)

Р° = (Р ~ Po)/r2\ U = ujK\ в == И—Hw\ /?„ = /?(* = 0), J

где <]> = ф*/?» tC>^o(1+v)— безразмерная функция тока (преобразование (4) соответствует преобразованию, предложенному в работе (3], при = 0 и у = 1).

Для окрестности критической точки затупленного тела задача (1) —(3) в переменных (4) с принятой в теории тонкого ударного слоя точностью сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений при условиях, заданных на концах интервала [0, К112]'.

д

Ж

(К 2V~1)3

Re

+

(j-p и С

(1-V)

dU

~дС I?U +

+ t*P U*

2р°

и?

(1+v)

др°

дС

Г)1 — V

¥ и

д

Ж

К R-w

(К г"-1)2 Re Рг

Р о

дв

Ж

_ г:з(1+у)

2Ч К Rw Р (х-1)

Г 3

dU

+

]-

(1+V)

(0 + Hw)\

д%

(5)

условия на внешней границе (при С

кг-1

Re

КГ~1 Re Рг

► dU Н-Р^с-^- + w и2

■К112):

1 = 0;

Р

да

Ж

1;

(6)

условия на поверхности тела (при С = 0):

ди

Ж'

1 ае

ТЖ

(К 2V“1)2

Re

[Ар2 U2

= 0;

1 = 0; /=0 + Яда-г-;а^-

(~)

здесь Ие = 1/^/?*р^/[1* — число Рейнольдса; х — отношение удельных теплоемкостей.

Численное интегрирование уравнений (5) с условиями (6) и (7) для течения в окрестности критической точки осесимметричного тела (>=1) проводилось при числе Мс»=оо и числе Рг —0,75. Коэффициент вязкости р. предполагался пропорциональным величине 7'1/2. Задача рассматривалась при трех значениях ж = 5/3, 7/5, 4/3 и трех значениях температуры стенки (Га,/7’0) = 0,3; 0,03; 0,003. Число Рейнольдса изменялось от значения Ие ^;3 до величины 1?е = 106. При расчетах использовался численный метод, разработанный для решения задач пограничного слоя [4].

На фиг. 1—3 представлены результаты проведенных расчетов для одного значения температуры поверхности Тш = 0,003 Т0 (при других рассмотренных величинах Тт соответствующие кривые име-

Z

I -ЛИф

ют аналогичный характер). На фигурах приняты следующие обозначения:

т' = (х/х) УИе; 0' = <7]/Не; с; = 2х\

‘, = (^-—-^1 СК<К,-КУ- ,

где

ду*

да*

[А

д_у*

?=Ф*

дТ*

ду*

Р* У*3; $

Гоо у 00 ’

■х,— 1 2%

Л* — коэффициент теплопроводности.

Пунктиром на фиг. 1 нанесены результаты расчета задачи для сферы по классической теории пограничного слоя. При их получении использовались данные работ [5, 6] о невязком обтекании.

На фиг. 1 представлены для —0,003 Т0 распределения по Ие величин х' и </'. Можно отметить следующие особенности полученных решений.

Функции х', щ’ имеют максимумы в области достаточно низких чисел Рейнольдса и положение их (максимумов) практически не зависит от температуры стенки и величины х.

Максимумы функций приходятся соответственно для функции х' — на числа Ре = 20 — 30, а <?' — на числа Ие = 50 — 60.

От области своего максимума кривые х' и с?' уходят в направлении больших чисел Ие в целом более полого, чем в сторону меньших чисел Рейнольдса.

Относительные величины превышения максимальных значений х' и $ над соответствующими значениями для пограничного слоя на сфере (отнесенные к значениям для пограничного слоя) возрастают с уменьшением х и температуры стенки Тш, причем тенденция эта значительно более сильно выражена для х', чем для ц'.

Количественно (в %) указанные отношения (обозначим их соответственно Х[ и 9,) равны для температур стенки (Тт/Т0) = 0,3; 0,03; 0,003 соответственно: при х = 4/3(1,33):

тх — 57,1; 69,0; 71,1; ^ = 21,0; 22,5; 22,7;

при х = 7/5 (1,4):

X! = 48,4; 57,9; 59,6; = 18,6; 19,9; 20,0;

при х = 5/3 (1,66):

= 34,8; 39,5; 40,4; <71 = 14,6; 15,2; 15,3.

В работе [1] отмечалось, что с уменьшением чисел Ие решение задачи ударного слоя дает величины напряжения трения и удельного теплового потока, приближающиеся к соответствующим значениям для гиперзвукового свободномолекулярного течения при коэффициентах аккомодации, равных единице. Для более наглядного выявления характера такой асимптотики (при убывании числа Ие) в выбранном случае Тт = 0,003 Т0 на фиг. 2 приводятся кривые зависимости от Ие~1/2 коэффициента теплопередачи ск и коэффициента трение с, (свободномолекулярный предел: сн = сг/2 = = !)•

На фиг. 3 приводятся для значения 7^ = 0,003 Г0 функции х° = = (х/х) ^/Яее-1/4 и <7° = ^"[/Иег1/4 в зависимости от числа Яе. Здесь г^1/4 является множителем подобия для величин трения и теплового потока в гиперзвуковом пограничном слое (имеется в. виду критическая точка затупленного тела), т. е. (х/х) |/Ке е~114 — сопэ^ и <7 Т/Ие в1/4 = сопэ^ для результатов гиперзвукового пограничного слоя, отличающихся числами х. Видно, что множитель е+'м коррелирует полученные данные с точностью порядка ~2% в диапазоне от Ие = Ю6 до Яе^бООО. (Это же относится и к результатам при других рассмотренных в работе значениях Тт).

Отметим следующее обстоятельство. При максимальном рассчитанном числе Не=106 величины х' и $ все еще превышают значения для пограничного слоя (на сфере —см. выше) соответственно на — 18 — 21 % и —9 — 10 %; большее отличие соответствует случаю максимального из рассмотренных х = 5/3, меньшее — Двум другим х. Таким образом, при использовании модели (1) — (3) тонкого ударного слоя для исследования гиперзвукового обтекания сферы при режимах, близких к пограничному слою, можно ожидать ошибки (завышения) в трении на стенке до -~20% и более хорошего соответствия (ошибки до ■—10%) по тепловому потоку. Подобный же результат получен в работе [7], причем ошибка (превышение) в трении на поверхности в точке торможения рассмотренного там гиперболоида (гиперболоида, асимптотически переходящего в конус с полным внутренним углом 45°), имеющая место при использовании модели тонкого ударного слоя по сравнению с уточненным расчетом (решением так называемого „полного ударного слоя“), составляла величину порядка 20 % не только при высоких числах Ие, но оставаясь приблизительно постоянной для исследованного широкого диапазона чисел Ие(б=0-^-1, где £ =[(**(У^/с^/^У^*^12)] знак ошибки также сохранялся. Значительно лучше совпали соответствующие сопоставляемым в [7] решениям данные по тепловому потоку (также на всем диапазоне чисел Ие). (Можно отметить,

что течения вблизи критической точки сферы и упомянутого выше гиперболоида при больших числах М» и Ие близки между собой; такие оценки можно сделать, используя таблицы работы [8]).

Полученные результаты дают возможность заключить, что (даже с учетом указанной выше ошибки) на значительном интервале умеренных значений числа Иё эффект низких чисел Ие существенно более проявляет себя в отношении величины поверхностного трения, чем в отношении величины теплового потока. Модель (1)— (3) тонкого ударного слоя для умеренно малых чисел Ие позволяет получать удовлетворительные данные по тепловому потоку. Следует отметить, что модель тонкого слоя может быть улучшена в рамках параболических уравнений подобно тому, как это было сделано в работе [7]. Тогда решение задачи (1) —(3) будет первым приближенным в последовательности уточняющих итераций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cheng Н. К. The blunt body problem in hypersonic flow at low Reynolds number. JAS Paper, 1963, N 63-92.

2. Анкудинов А. Л. Расчет вязкого гиперзвукового обтекания при умеренных числах Рейнольдса. В сб. „Аэродинамическое нагревание при гиперзвуковых скоростях потока". Труды ЦАГИ, вып. 1106, 1968.

3. Анкудинов А. Л. Расчет вязкого гиперзвукового ударного слоя с подводом массы при умеренно малых числах Рейнольдса. „Известия АН СССР, МЖГ", 1970, № 3.

4. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб. „Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы*. М., „Наука", 1964.

5. Белоцерковский О. М. Расчет обтекания осесимметричных тел с отошедшей ударной волной. М., ВЦ АН СССР, 1961.

6. Б а з ж и н А. П., БлагосклоновВ. И., Минайлос А. Н., Пирогова С. В. Обтекание сферы сверхзвуковым потоком совершенного газа. „Ученые записки ЦАГИ", т. II, № 3, 1971.

7. Davis R. Т. Numerical solution of the hypersonic shock lajrer

equations. A1AA J., vol. 8, N 5, 1970. '

8. Любимов A. H., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел. М., „Наука", 1970.

Рукопись поступала 28jXII 1973 г.