Общий алгоритм решения задачи Коши для уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

3) находим f (t),t G [-b,b], из (6);

4) вычисляем S0(b,X), C0(b,X), M(X), используя последовательно соотношения (8), (9), и (7);

5) по M(X) восстанавливaeMq(x),x G [0, b] [5].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Hochstadt Н., Lieberman В. An inverse Sturm — Liouville problem with mixed given data // SIAM J. Appl. Math. 1978. Vol. 34. P. 676-680.

2. Gesztesy F., Simon B. Inverse spectral analysis with partial information on the potential, II. The ease of discrete spectrum // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. Vol. 352. P. 2765-2787.

3. Horvath M. Inverse spectral problems and closed exponential systems // Ann. of Math. 2005. Vol. 162. P. 885-918.

4. Марченко В.А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. Киев: Наук, думка, 1977.

5. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.

УДК 517.9

В.М. Конюшков

ОБЩИЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Общий алгоритм решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения известен и применяется для нахождения приближенного решения.

В данной статье общий алгоритм переносится на уравнения в частных производных, обосновывается его применение при нахождении приближенных решений задачи Коши для уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа.

Рассмотрим следующую задачу Коши:

иху = / {х,у,и,р,д),

и\1 = 0, р|/ = 0, q |1 = 0, ()

где и = и(х, у) р = ^и? q = д^? I""""""""""" гладкая кривая па плоскости Ожу, обладающая тем свойством, что каждая характеристика пересекает ее только лишь в одной точке и не касается ее. Функция /(х, у, и, р, q) определена

и непрерывна в области (рисунок), проекцией которой на Оху является прямоугольник J = {хо < х < х0 + а, у0 < у < у0 + Ь} и удовлетворяет условию Липшица по переменным и, р, д.

' Аъ А2

У

А(х0 >Уо)

0

х

Решение (1) находится последовательными приближениями ип(х, у), где {ип(х,у)}^° — решения следующих задач Коши:

и

ху

= fn{x,y,u,p,q),

и| I = 0, р\1 = 0, д\1 = 0,

п = 0,1, 2,...,

а функции ^(х,у,и,р,я) удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши (1) и

и(х,у,ип(х,у),Рп(х,у),Яп(х,у)) = f(х,у,ип{х,у),Рп{х,у),Яп(х,у)), (2) п = 0,1, 2,...

Рассматриваемый в статье метод решения задачи Коши называется алгоритмом Функциональная последовательность ^(х,у,и,р,я) называется последовательностью, определяющей алгоритм

Пусть х,у,и,р,я) = ап(и - ип) + вп(р - Рп) + 7п(д - Яп)+ +f (х,у,ип,рп,яп) где {ап}Т? {вп}Т^ {7«!?° _ ограниченные числовые последовательности, т.е. существуют положительные постоянные С1 С2, С3 такие, что \ап\ < \вп\ < С2, \^п\ < С3 для всех п = 0,1, 2,...

Теорема. Последовательность {ип(х,у)}^° сходится к решению задачи Коши, (1) на прямоугольнике 3.

Доказательство теоремы проводится следующим образом. При выбранном способе построения определяющей последовательности {^(х,у,и,р,я)} соответствующая задача Коши становится задачей для линейного уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа, которая решается методом Римана. Сходимость построенных приближений доказывается методом, изложенным в теореме существования и единственности решения задачи Коши для гиперболических уравнений [1].

1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1, Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, М,: Наука, 1966. 724 с.

УДК 517.51+517.98

С.А. Крейс

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ДУАЛЬНЫЕ ФРЕЙМЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

В данной статье рассматриваются фреймы в банаховых пространствах. Для альтернативных дуальных фреймов доказывается аналог утверждения, ранее полученного в [1] для фреймов в гильбертовых пространствах.

Определение 1. Фреймом в гильбертовом пространстве Н называется система векторов С Н\{0}, для которой существуют такие положительные вещественные константы Л и В, что выполняются рамочные неравенства:

A II f II2 < £ |(/,^)|2 < BII/

П=1

для любого элемента / € Н.

Константы А и В из данного определения называют фреймовыми константами. При этом А называется нижней фреймовой константой, а В

НН

нее существует конечная верхняя фреймовая константа.

Определение 2. Фрейм (уп) гильбертова пространства Н называется альтернативным дуальным фреймом для фрейма (хп), если для любого х € Н справедлива формула восстановления:

X ^ ^ (х, уп) Хц

п=1

Следующая теорема получена в работе [1].

Теорема 1. Если (хп) и (уп) — бесселевы последовательности в гильбертовом пространстве Н, для любого х € Н удовлетворяющие равенствам

то

Х ^ ^ (x, уп) Хп п=1

тогда (хп) и (уп) — альтернативные дуальные фреймы.

2