БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1, Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, М,: Наука, 1966. 724 е.
УДК 517.51+517.98
С.А. Крейс
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ДУАЛЬНЫЕ ФРЕЙМЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В данной статье рассматриваются фреймы в банаховых пространствах. Для альтернативных дуальных фреймов доказывается аналог утверждения, ранее полученного в [1] для фреймов в гильбертовых пространствах.
Определение 1. Фреймом в гильбертовом пространстве Н называется система векторов С Н\{0}, для которой существуют такие положительные вещественные константы Л и В, что выполняются рамочные неравенства:
A II f II2 < £ |(/,^)|2 < BII/
П=1
для любого элемента / € Н.
Константы А и В из данного определения называют фреймовыми константами. При этом А называется нижней фреймовой константой, а В
НН
нее существует конечная верхняя фреймовая константа.
Определение 2. Фрейм (уп) гильбертова пространства Н называется альтернативным дуальным фреймом для фрейма (хп), если для любого х € Н справедлива формула восстановления:
х ^ ^ (x, уп) Хц
п=1
Следующая теорема получена в работе [1].
Теорема 1. Если (хп) и (уп) — бесселевы последовательности в гильбертовом пространстве Н, для любого х € Н удовлетворяющие равенствам
то
Х ^ ^ уп) Хп п=1
тогда (хп) и (уп) — альтернативные дуальные фреймы.
2
После того как Грошениг [2] впервые обобщил фреймы на банаховы пространства и назвал их атомарными разложениями, в этой области наблюдалась очень большая активность. Существует несколько различных подходов к определению фрейма в банаховом пространстве. Например, в работе [1, опр. 3.3] фрейм определяется как проекция безусловного базиса объемлющего банахова пространства.
Пусть X — банахово пространство и X* — сопряженное к нему. Далее, пусть задано банахово пространство X*, состоящее из числовых последовательностей а = (ап) и удовлетворяющее следующему условию: система канонических ортов (еп) образует базис в X*. Кроме того, сопряженная система (еП) образует баз ис в X*. Тогда сопряженное прост ранство X* мы можем рассматривать снова как пространство последовательностей.
Определение 3. Пусть заданы системы (хп) С X и (ук) С X*. Предположим, что существуют положительные постоянные А, А, В, В такие, что для любого х € X выполняется неравенство
А ||х||х < ||(х,Уп)|1х < В ||х||х (1)
и любого у € X* выполняется неравенство
А НуУх * < ||(хп ,у)|х^ < В НУ Ух * • (2)
Если при этом справедлива формула восстановления
то
х = ^ ^ (х уп) хп, (3)
п=1
то будем говорить, что пара систем (хп) и (уп) образует фрейминг.
Замечание. Фрейминг по сути является аналогом альтернативных дуальных фреймов в гильбертовых пространствах. Действительно, если рассматривать формулы (1) и (2) в случае, когда X — гильбертово пространство, то системы (хп)ТО=1 и (уп)ТО=1 являются фреймами 6X6 смысле определения 1, а из равенств (3) следует, что они удовлетворяют определению 2, то есть образуют пару альтернативных дуальных фреймов.
Сформулируем утверждение, аналогичное теореме 1, для фрейминга в банаховом пространстве.
Теорема 2. Пусть (хп) С X, (уп) С X* и существует константа В > 07 что при, всех у из X*
||(хп,у)||х* < В ||у|х* •
Предположим, что при, любом х € X:
((х,уп^ € Xd
и справедлива формула восстановления
то
х ^ ^ (x, уп) Хп..
п=1
Тогда, пара систем (хп) и (уп) образует фрейминг.
Доказательство данного утверждения удобно разбить на несколько вспомогательных лемм.
Лемма 1. Пусть (гп) — система канонических ортов, образующая, базис в Xd. Определим оператор L : Xd ^ X, действующий по формуле Ьеп = хп при всex n £ N Тогда, сопряженный оператор L* имеет следующий вид:
L*y = ((хп,У))
при, любом у £ X*.
Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда, оператор L* ишективен, то есть для любого у £ X* выполняется нижнее неравенство в (2).
Лемма 3. Пусть последовательности (хп) и (уп) удовлетворяют условиям теоремы 2. Тогда, для последовательности (уп) также справедлива формула восстановления:
то
у = ^2(хп,у) уп
п=1
при любом выборе у £ X*.
Схема доказательства теоремы 2. Объединяя результаты леммы 1 и леммы 2, получаем, что выполнение верхнего неравенства в (1) для (хп) равносильно ограниченности оператора L, определенного в лемме 1.
L
сопряженный оператор L* инъективен. А из последнего вытекает существование нижней константы в (2) для системы (хп). Неравенства (1) для системы (уп) следуют из леммы 3 с учетом принципа равномерной ограниченности Банаха — Штейнгауза и двойственности операторных инъекций и сюръекций. Таким образом, системы (хп) и (уп) удовлетворяют неравенствам (1) и (2) соответственно. Кроме того, для них верна формула восстановления (3). Следовательно, они образуют фрейминг.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Casazza Р., Han D., Larson D. Frames for Banaeh spaces // Contemp. Math. 1999. Vol. 247. P. 149-182.
2. Grochenig K. Describing functions: atomic decompositions versus frames // Monat. Math. 1991. Vol. 112. P. 1-41.