The volume of Parseval frame Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).

УДК 517.51:517.98

91

ОБЪЕМ ФРЕЙМА ПАРСЕВАЛЯ1

© 2007 Е.С. Драбкова, С.Я. Новиков2

Работа является обзором полученных в 2000-2007 гг. результатов по фреймам (каркасам) в конечномерных унитарных и евклидовых пространствах. Получены новые оценки МЯЕ (средней квадратичной ошибки) при передаче зашумленного цифрового сигнала. Приведено замкнутое доказательство теоремы о существовании фрейма Парсеваля произвольного объема.

Дано полное описание равномерных жестких фреймов в К2.

Введение

Понятие фрейма (каркаса) для евклидова, гильбертова и банахова пространства стало объектом математических исследований недавно. В тех книгах, которые доступны русскоязычному читателю [1—5], они обсуждаются в рамках теории всплесков (вейвлетов) в пространствах Ь2. При этом без должного внимания остается большой и важный для приложений раздел теории фреймов — фреймы в конечномерных евклидовых (унитарных) пространствах. К настоящему времени работами многочисленных авторов получены важные результаты, в известной монографии О. Христенсена [6] первая глава посвящена фреймам в конечномерных пространствах. После выхода этой книги получены важные результаты, поставлены новые задачи, активно продолжаются исследования.

Предлагаемая вниманию читателя работа представляет собой небольшой обзор последних результатов теории фреймов в конечномерных пространствах. При этом авторы старались сделать изложение замкнутым и независимым.

В отечественных изданиях (не включая тезисы конференций) нам известна только одна работа [7], посвященная фреймам в конечномерных пространствах.

1. Определение фрейма. Фреймы и полные системы

Пусть М и N — натуральные числа, причем М ^ N. Все дальнейшие рассуждения будут проводиться, в основном, в конечномерных пространствах и . Если выбор числового поля не влияет на формулировки результатов и определений, применяется обозначение HN. Пространство HN наделяется стандартным скалярным произведением (•, •) и нормой ||х|| = У(х, х).

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором С.В. Асташкиным.

2 Драбкова Екатерина Сергеевна (kadra82amail.ru), Новиков Сергей Яковлевич (nvks@ssu.samara.ru), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Определение. Набор элементов Ф = {ф;}М=1 называется фреймом для пространства , если существуют числа А, В > 0 такие, что для любого х е выполняются неравенства:

м

А||х|| 2 ^|<х, ф;>|2 < В||х|| 2. (1.1)

;=1

Числа А и В называются границами фрейма. Они определены неоднозначно. Супремум множества всех нижних границ и инфимум множества всех верхних границ фрейма называются оптимальными границами фрейма. Количество элементов фрейма М будем называть объемом фрейма.

Если набор Ф является фреймом, то используем запись Ф е (Р). Если элементы фрейма имеют одинаковые нормы, то есть ||ф;|| = |фу| для любых } = 1,...,М, используем запись Р е (иР), называя такой фрейм равномерным. Если Ф — нормированный фрейм, то есть ||ф;|| = 1, ; = 1,...,М, используем запись Ф е (МТ).

Заметим, что правая часть (1.1) выполняется для любого конечного набора Ф: м / м

2>, фг>1 2 <

i=1 V i=i

Выполнение левой части (1) влечет полноту системы Ф : span Ф = HN. Действительно, если x ± фг-, i = 1,...,M, то ||х|| = 0. Условие полноты оказывается и достаточным:

Предложение 1. Если Ф — набор из M элементов пространства HN, то Ф — фрейм для span Ф.

Доказательство. Обозначим W := spanФ. Отображение х € W ^ £1м=1 |(х, фг->|2

непрерывно, единичная сфера в W — компакт, следовательно, найдется y € W,

||у|| = 1, такой, что

м ( м \

А := X КУ, Фг'>12 = inf iZl Кх> Фг'>12 : х € W ||х|| = 1!-.

i=1 { i=1

А > 0 (если A = 0, то y _L span Ф) и

м

Ф^|2 > А||х||2, х € W.

i=1

Следствие. Набор Ф является фреймом для HN тогда и только тогда, когда span Ф = HN.

Полученное следствие показывает, во-первых, что фрейм в конечномерном пространстве — это другое название полной системы, а, во-вторых, что объем фрейма может быть сколь угодно большим. Добавление новых элементов к фрейму (в частности, к базису) оставляет его фреймом (возможно, с другими границами). Такое увеличение объема фрейма оказывается полезным для приложений.

Отметим здесь, что в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве Н последнее следствие не имеет места. В случае бесконечномерного гильбертова пространства определение фрейма становится таким:

Определение. Последовательность элементов Ф = {фг}^ бесконечномерного гильбертова пространства Н называется фреймом, если существуют числа A, В > 0 такие, что для любого х € Н выполняются неравенства:

А||х||2 <£|<х, ф,->|2 < В||х||:

Если для некоторой последовательности Ф выполнено только правое неравенство, то Ф называют бесселевой последовательностью. Конечно, и в этой бесконечномерной ситуации из определения фрейма вытекает полнота Ф: span Ф = Н. Но теперь полноты недостаточно для представления произвольного х € Н в виде х = 2&=1 ск фк.

Пример [6, 5.4.6]. Пусть {е*}^=1 является ортонормированным базисом для Н и пусть

фк := вк + вк+Ь к € N.

Тогда

1) {ф*}*=1 полна и минимальна, ее единственная биортогональная последовательность определяется равенствами

к

^ (-1)и+1 вп для нечетных к и

-1 (1.2) ^ (-1)n en для четных к.

n=1

2) {фк}^=1 является бесселевой последовательностью, но не является фреймом. Покажем, что последовательность {фк}^= является бесселевой. Для х е Н

^ |<х, вк + ек+1>|2 = ^ |<х, вк) + <х, ек+1>|2

|2

к=1 к=1

2^>, вк>|2 + 2^|<х, вк+1>|2 < 41

к=1 к=1

Для доказательства полноты {ф*}£=1 предположим, что х е Н и что

<х, ек + ек+1> = 0 для всех к е N.

Тогда <х, е*> = -<х, е*+1> для всех к е К, и, следовательно, |<х, ек>| является константой. С другой стороны, в силу равенства Парсеваля, £^ |<х, ек>|2 = ||х||2 < поэтому <х, ек> = 0, к = 1,2,... и получаем, что х = 0. Таким образом, последовательность {фк}^=1 является полной.

Для доказательства минимальности системы будем рассуждать от противного. Предположим, что для некоторого у е N

фу е эрап{фк}кфу = эрап{е1 + ^ е2 + ^..., еу-1 + ej, еу+1 + ej+2,...} =

= 8рап{е1 + е2, е2 + ез, . . . , еу-1 + еу} © 8рап{еу+к + еу+к+1}“=1.

Так как фу = еу + еу+1, то мы получаем, что

еу е 8рап{е1 + е2, е2 + е3,..., еу-1 + еу}.

Это означает, что найдутся коэффициенты «1,...,ау- такие, что

еу = Й1(е1 + е2) + ... + ау-1 (еу-1 + еу),

или

а1 е1 + (а1 + а2)е2 + (а2 + а3)е3 + ... + (ау-2 + ау-1)еу-1 + (ау-1 - 1)еу = 0.

Из последнего равенства следуют противоречащие друг другу равенства: а- = 0 и а- = 1. Таким образом, последовательность {фк}£=1 минимальна. Каждая минимальная последовательность имеет единственную биортогональную последовательность {^к}£=1, определяемую соотношениями:

<Ук, ек + ек+1> = 1, <Ук, еу + еу+1 > = 0 для ] Ф к.

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что последовательность {^k}^=1, определяемая равенством (l.2), действительно является биортогональной для

Ф }Г=1.

Заметим, что ||yjЦ = yff, j = 1,2,... и “ 1

X I(¥j, Фk)|2 = 1 = -ll¥jll2, j = 1,2,... . (1.3)

k=1 j

Теперь становится очевидным утверждение о том, что система {ф^^ не является фреймом. Равенство (l.3) явно противоречит левому неравенству из определения фрейма.

Приведенный здесь пример показывает, что объединение базисов подпространств может не быть базисом или фреймом всего пространства. Действительно, {2_1/2(e2k_i + e2k)}*=i является ортонормированным базисом для span{e2k_i + e2k}^=i, {2_1/2(e2k + e2k+i)}*Li является ортонормированным базисом для span{e2k + e2k+i}*=iі объединением этих базисов является последовательность {2_1/2(ek + ek+i)}J=i, которая не является ни базисом ни фреймом для span{ek + ek+i}J=i = Н. Более того, система ^k}^=i не является даже системой представления, т. е. существует x є Н, который не может быть представлен в виде x = £Ckфk ни для какого набора коэффициентов {ck}^=i. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять x = Єї. Отметим дополнительно, что даже если {ф^^і является базисом Рисса, то ^k + Фk+l}*=i не будет фреймом. Однако, если ^k }£=i является фреймом, то ^k + Фk+1 }*=1 может оказаться фреймом [6, 7.2.5].

2. Фреймы и операторы

С фреймом связаны три оператора:

• оператор анализа F : x ^ {(x,фi)}M1 —инъекция из НN в НMі

M MM M

• сопряженный к F оператор синтеза F* : {Ci}M, ^ £ Сі фі — сюръекция из НM

i =1

в НNі заметим, что F*5k = фk, k = 1,..., M, если 5k — k-й орт пространства НNі

• фреймовый оператор S := F* F, действующий из НN в НN.

Рассмотрим последний оператор подробнее.

M

Sx = F*Fx = ^(x, Фі) Фі і

i=1

1 M * M

(Sx, x) = /^(x, Фі) Фі, Л = ^ I(x, Фі)|2, x є НN.

' і=ї ' i=i

Следовательно, (l.l) можно переписать как

A(x, x) < (Sx,x) < B(x, x) или AIn < S < BIN, (2.1)

здесь имеется в виду стандартная частичная упорядоченность самосопряженных операторов [В, l2.32].

Определение. Фрейм называется жестким (tight frame) (в этом случае используем запись Ф є (TF)), если оптимальные границы совпадают: A = B.

Определение жесткого фрейма можно выразить равенством: м

^ |<х, ф;>|2 = А||х||2, х е НМ или 5 = AIN, (2.2)

;=1

8х = Ах, х є НЛ;

подробнее

м

тЛ

У/х, ф;> ф; = Ах, X Є НЛ,

; = 1

1 м

х = а X <х, ф;> ф;- (2.3)

А ;=1

Формуле (2.3) можно придать такой вид:

м

х = ^ <х, ф;> ф;, (2.4)

;=1

где

ф

ф; := А•

Следующая теорема является базовой для фреймов в конечномерном евклидовом пространстве. Она обобщает (2.4) на произвольные фреймы.

Теорема 1. Пусть Ф = {ф г-}М—фрейм в НЛ с фреймовым оператором 8. Тогда

1) оператор 8 обратимый и самосопряженный;

2) каждый вектор х є НЛ может быть представлен в виде

мм х = ^<х, фі> ф; = ^<х, ф;> фі,

=1 =1

где ф; = 8-1ф ;, і = 1, - - -, М — канонический дуальный фрейм.

3) Фреймовые коэффициенты {(х, ф;>}М=1 минимизируют І2-норму на множестве

(ЫМ=1 I 2М=1 Ск фк = х).

Доказательство. Докажем 1). Обратимость 8 следует из (2.1) :

А8 -1 < 8 -18 < В8-1,

В1Я < 8-1 < А 1я.

Так как 8 = ¥* ¥, то 8 * = 8.

Обратимость 8 можно доказать и по-другому. Из (2.1) следует инъектив-ность 8 :

м

8х = 0 ^ 0 = (8х, х> = ^] |(х, ф;>|2 > А||х||2 ^ х = 0.

=1

Полнота Ф влечет сюръективность оператора синтеза ¥ * : для любого х Ф 0 є НЛ найдется набор {с;}М1 є См такой, что ¥*{с;}М1 = х. Набор {с;}М1 можно брать из = ^¥, а 8 = ¥*¥, следовательно, 8 —сюрьекция.

Докажем 2). Для каждого х є НЛ

М М

х = 8 8 х = ¥ ¥8 х =

=1 =1

88 1 х = ¥ * ¥8 1 х = (8 1 х, ф ;> ф; = (х, ф;> ф;.

Последнее равенство справедливо в силу самосопряженности оператора 8. Если начать с равенства х = 8-18х, получим второе представление из 2):

/ М \ М М

х = 8-18х = 8-1

;=1

ф; >ф; = ^(х, ф;>8 1 ф; = ^(х, ф;> ф;.

;=1

Для доказательства 3) предположим, что х = £г=1 с; ф;. Представим с;,

; = 1,..., М в виде

С; = (С; - (х, ф;>) + (х, ф;>. (2.5)

По предположению имеет место равенство ^;(с; - (х, ф;>)ф ; = 0. Это означает, что ({С;} - {(х, ф|->})М=1 є И¥* = Я£. С другой стороны, {(х, ф|->} = {(8-1 х, ф ;>} є К¥. Таким образом, слагаемые в правой части (2.5) перпендикулярны друг другу. По теореме Пифагора

М М М

21с;12 = XI с; -(х, ф;->!2 + X 1(х, ^'>12.

=1 =1 =1

Левая часть будет минимальной, если с; = (х, (р;>, ; = 1,..., М.

Следующая теорема указывает на связь между собственными значениями фреймового оператора 8 и другими свойствами фрейма. Рассмотрение этой связи оказывается полезным во многих вопросах.

Теорема 2. Пусть Ф — фрейм в НЛ, Х1,...,Хл — собственные значения фреймового оператора 8. Справедливы следующие утверждения:

1) оптимальная нижняя граница Ф равна тіп{Х;};= •

оптимальная верхняя граница Ф равна тах{Х Л^;

N М '

2) 2 Х; = £ ІІфкІІ2;

;=1 к=1

3) если Ф є (иТ¥) и "ф ;|| = с, ; = 1,..., М, то А = с2.

Доказательство. Из (2.1) и теоремы 1 следует, что оператор 8 ^ 0 обрати-

мый, самосопряженный, поэтому все его собственные значения Х1,..., Хл — положительные числа.

Пусть {вк}*1—ортонормированный базис в НЛ, состоящий из собственных векторов оператора 8. Для любого х є НЛ

N

х = ^ (х, вк> вк,

к=1

N

8 х = ^ (х, вк > Хк вк,

к=1

М і N

2

^|(х, ф ;>| 2 = (8 х, х> = (^(х, вк>Хк вк,^(х, ву> вп = ^ Хк|(х, вк>|2

;=1 'к=1 у=1 I к=1

Следовательно,

тах"

1

В частности, при фиксированном к є{1,...,Л}

М

(8 вк, вк) = ^ |(вк, ф ;>|2 = (Х вк, вк> = Хк,

откуда сразу следует оптимальность границ Хт|П и Хтах, если в качестве ек выбирать собственные вектора, соответствующие собственным числам Хтщ и Хтах. След Тг5 оператора 5

N N N М

Тг 5 := £ Хк = £ (8вк, вк) = ££| {вк ’фг) I2 =

к=1 к=1 к=1 ;=1

М N М

= 22^, ф;)|2 = £||фг|12.

;=1 к=1 1=1

Если Ф € (иТЕ) и |ф ;|| = с, ; = 1,...,М, то согласно (2.2)

5 = А^ и ^1 = ^2 = ... = XN = А, равенство 2) в условии теоремы примет вид:

N ■ А = М ■ с2.

3. Фреймы и передача сигналов

Пусть передается сигнал х € от А к К. Для защиты информации в этом сигнале можно предоставить А и К некоторый фрейм Ф в качестве ключа и передавать фреймовые коэффициенты

{<х, ф;-))М1 или {<х, ф ;>}М1.

К восстанавливает сигнал по формулам

ММ

х = ^<х, Е) ф ; или X = ^<х, ф ;) ф1.

=1 =1

Реально К получает зашумленный или квантованный (с округлениями до заранее определенных уровней) сигнал

{(х, Е) + п $М1.

При восстановлении получаем

ММ

х, Е) + п;) ф ; = х + ^ п; ф1.

=1 =1

Последнее слагаемое в правой части равенства является шумом. Если М > N то -МЕ* Ф {0}. Появляется теоретическая возможность подобрать Ф так, чтобы помехи {п;} € Ые*, это значит: £;=1 П ;ф ; = 0, что приведет к точному восстановлению сигнала.

При использовании вместо фрейма ортонормированного базиса {ф;}; такая ситуация теоретически невозможна в силу равенства | с ф | 2 = |с | 2.

Задача восстановления сигнала алгоритмически решается разными способами [9]. Опишем здесь простейший из них, линейный. Обозначим полученный сигнал У = Ех + п. Если п = 0, то х = £^(х,ф ;)ф; = Е*у, где Е* —оператор синтеза канонического дуального фрейма Е. Ив общем случае будем действовать по такому же алгоритму. В качестве оптимального сигнала берется

М

У := Е*у = Е*(Ех + п) = ^((х, ф ;) + п ;)Е;.

=1

Ошибка такой замены (в векторном виде)

M

M

M

X - х = ^(х, ф;>ф; - ^«х, ф;> + п;)ф; = - ^ Щ ф;.

;=1 ;=1 ;=1

Численно ошибку можно измерять разными метриками. Рассмотрим простейший вариант — евклидову метрику.

MSE(mean square error) := — E||x - = nE

M

X Пі Фі

i=1

математическое ожидание или усреднение берется по вероятностному пространству, на котором определены случайные величины П;- Обычно предполагается, что

2

П; независимы или некоррелированы, имеют одинаковую дисперсию о и математическое ожидание, равное нулю.

Преобразуем ЫБЕ :

2

MSE = — E

N

M

Yj Пі Фі

i=1

= - E

N

MM

ZI Пі nk (Si, Sk) i=1 k=1

о2

N

M

2> i2

k=1

о2

N

N 2 N Л

ЪS=n ъ £•

i=1 i=1

где ф;, і = 1,N —собственные значения фреймового оператора ф канонического

дуального фрейма. Учитывая, что ф = 5-1, получим ф; = —, і = 1,...,N.

Теорема 3. Минимальное значение М5Е на классе всех равномерных фреймов

N02

с нормой, равной с, достигается на жестком фрейме, и это значение равно ---------2.

Мс2

В частности, при фиксированном объеме фрейма М ^ N минимальное значение

Гії

М5 Е на классе всех равномерных фреймов с нормой -Л м достигается на фрейме

Парсеваля, и это значение равно о2.

Доказательство. В силу условия 2) теоремы 2 для Ф є (ПБ) справедливо:

N М

^Х; = X ^2 = Мс2, где с = Уф*У, к = 1,...,М.

i=1

k=1

N 1

Таким образом, задача сводится к минимизации — при условии

;=1 —

£i Xi = const. Известно решение этой задачи: X1 = X2 =

= Xn =

Mc2

~N~

Как

мы видели выше, одинаковые собственные значения фреймового оператора 5 характеризуют жесткий фрейм.

Таким образом, получили следующие оценки для МБЕ :

02 02

а) для фрейма общего вида ^ МБЕ ^ —;

б) для равномерного фрейма (ПБ) в силу теоремы 3 имеем

No2 о2

----2 < MSE < —,

Mc2 A

c = УФіУ, і = 1,...,M;

2

в) для равномерного жесткого фрейма (ПТЕ) МБЕ минимальна и

Ив2 _ а2 _ М

Мс2 гс2 ’ N

МБЕ = 1л 2 = —^, г = — > 1 —отношение избыточности,

т.е. для класса ПТЕ ошибка МБЕ = , г ^ то.

Для равномерного фрейма Парсеваля третье утверждение теоремы 2 примет вид

, М 2 2 N

1 = — с ^ с = —,

N М

и поэтому МБЕ не зависит от г и МБЕ = а2.

4. Объем фрейма Парсеваля

В связи с изложенными в предыдущем параграфе результатами возникает следующий вопрос: существуют ли фреймы Парсеваля с одинаковыми нормами сколь угодно большого объема?

Во-первых, отметим следующий простой результат.

Предложение 2. Если Ф € (ИРЕ) в НИ , то М = N и Ф— ортонормированный базис.

Доказательство. Как показано выше для Ф € (ПРЕ) справедливо равенство

2 N

Нфк1 |2 = м , к = -,..., М.

Поэтому из условия сразу следует равенство N = М.

По определению фрейма Парсеваля для каждого ' имеем

N

- = Нф; II2 = X ^ ’ф* ^12 = - + X1(Ф'ф* ^

к=1 кф;

откуда (ффк) = 0 для к ф '. Таким образом, Ф— ортонормированный базис в Ю^. Конструктивный метод построения фреймов в Ю^ основан на теореме 4. Теорема 4. Пусть Л — М X ^матрица, строки которой ф-,..., фм —элементы Ю^’ а столбцы у-,...,уN —элементы НМ. Векторы {фг)М=1 образуют фрейм в HN с границами А и В тогда и только тогда, когда для любого набора {скN1 из Ю^ выполняются неравенства:

N N N

А^ |ск| ^ || ^ ск¥к|НМ ^ В |ск|2, (4.1)

к=1 к=1 к=1

т.е. {ук)N=1 является базисом в своей линейной оболочке в НМ.

Доказательство. Утверждение теоремы становится очевидным, если заметить, что

м 2 2 м

К скУк|ИМ = ||Л{ск}к=1| = 2 1 (ФЬ {с*)к=1)|2, {ск^=1 € ^.

к=1 1=1

Таким образом, неравенство (4.1) совпадает с определением фрейма в пространстве Ю^.

Пример 1. [6, 1.3.5]

Л =

Векторы уь у2, Уз ортогональны в К5,

0 V 3 73

= л/ 3, к = 1,2, 3 и выполняется

__^ ц2 5 _^

^ СкУк| = 3 ^ \Ск|2, для любого {ск} е К3.

к=1

3

к=1

Следовательно, набор Ф = {фг}5=1 строк матрицы Л образует жесткий фрейм в К3 с границей А = 3 и ||ф;|| = 1, г = 1,...,5.

/3

Матрица -Л 5 Л порождает в К3 фрейм Парсеваля с одинаковыми нормами и М = 5.

Приведенный пример интересен тем, что удаление двух последних строк превращает матрицу в вырожденную. Активно исследуются вопросы о сохранении фрейма после удаления некоторого количества его элементов [10].

Следствие 1. Пусть М ^ N и Л— М X ^-матрица. Эквивалентны следующие утверждения:

(1) Выполняется равенство Л*Л = ^.

(2) Столбцы У1,...,уN матрицы Л образуют ортонормированную систему в НМ.

(3) Строки ф1,..., фм матрицы Л образуют фрейм Парсеваля в HN.

Доказательство. Докажем (1) ^ (2). Запишем равенство (1) подробнее:

' - У1 - ' ( 1 1 1

Л*Л = - У2 - 1 1 У1 У2 . 1 . УN

, - У/у - - , \ \ 1 ,

это эквивалентно системе равенств

2

= 1, к = 1,...,N; у> = 0, к,; = 1,...,N к * /

Докажем (2) ^ (3). Согласно теореме 4, условие (3) эквивалентно выполнению равенства:

N 2 N

|| 2 СкУк|| = ^ \Ск\2,

к=1 к=1

а оно, в свою очередь, эквивалентно утверждению, что {Ук}к=1 образуют ортонормированную систему, т.е. условию (2).

0

0

0

Следствие 2. Пусть Л — унитарная матрица размерности М X М. Тогда после удаления любых М - N столбцов матрицы Л строки оставшейся матрицы будут образовывать фрейм Парсеваля для пространства HN.

Доказательство. Доказательство вытекает из следствия 1, если заметить, что оставшиеся N столбцов матрицы Л образуют ортонормированную систему в НМ.

Другой подход к построению фреймов Парсеваля основан на теореме М.А.Наймарка [11, 12]: Набор Ф = {ф;};єі образует фрейм Парсеваля в гильбертовом пространстве Н тогда и только тогда, когда существует гильбертово пространство К э Н, существует ортонормированный базис {в;};єі в К и ортопроектор Р из К на Н такой, что Рв; = ф;, і є I.

Часть ’’только тогда” в теореме Наймарка простая: если {в;};є і — ортонормиро-ванный базис в К, то

<Х, ф;> = <Х, Рв;) = <РХ, в;> = <Х, Є;>, І Є I

для х є Р(К) = Н и

^ !<Х, ф;>|2 = ^ |<Х, Є;>|2 = ||хН2.

;єі ;єі

Фреймовое представление для фрейма Парсеваля имеет такую же форму, как представление для ортонормированного базиса:

х = ^ <х, ф;> ф;.

І

Как уже отмечалось выше, для фрейма Парсеваля фреймовый оператор 5 = ^, а канонический дуальный фрейм Ф = Ф.

Следующее предложение дает общее описание фреймов в виде образов сюръ-ективного оператора. Первые два утверждения являются классическими и приводятся для сравнения базисов и фреймов.

Предложение 3. Справедливы следующие утверждения:

1) любой ОНБ в есть множество вида

({и5*}^і ! и — ортогональная матрица, 5* - орты в );

2) любой базис в есть множество вида

({и5*}^=! | и — линейная биекция, 5* - орты в );

3) любой фрейм Ф объема М в

Ф = {ф;}Мі = ({и5;}Мі | и : НМ ^ — сюръекция).

Доказательство. Докажем 3). Если Ф — фрейм, то оператор синтеза ^* : {сМ є КМ Мі с; ф; — сюръекция по определению фрейма; Б*5; = ф;, 5; —

;-й орт в НМ.

Обратно, пусть ф := и5 и и — линейный сюрьективный оператор из НМ на НN. Тогда и * —инъекция из в НМ. Более того, найдется А > 0 [8] такое, что

|| и*х||2 > А ||х||2, х є ^.

Имеем следующие равенства

ММ

^|<х, ф ;>| 2 = !> и5 ;>|2 =

=і =і

М

= £ |<и * х, 5 ;>|2 = ни * х||2 > А||х||2, х є ^

=і

Далее речь будет идти о фреймах Парсеваля с одинаковыми нормами. В теореме 5 приведено полное описание равномерных жестких фреймов в пространстве R2. Как мы видели выше (следствие 2 к теореме 4), если взять ортогональную или унитарную матрицу размера MX M, удалить из нее M- N столбцов, то строки оставшейся матрицы дадут фрейм Парсеваля, но он не будет фреймом Парсеваля с одинаковыми нормами. Получается, что проектор P сохраняет фреймовы границы, но не сохраняет нормы и делает из векторов единичной длины векторы разной длины. Таким образом, возникает общая для гильбертова пространства с ортонормированным базисом {ег-}г-е/ задача: среди множества всех ортопроекторов P выделить те, для которых ||Рєі|| = const. Эта задача остается открытой [13].

Теорема 5. Пусть M ^ 2. Эквивалентны утверждения:

1) Набор Ф = ^k = (с ■ cos ak, с ■ sin ak)}k=l образуют равномерный жесткий фрейм в R2.

M

2) Числа al,...,aM удовлетворяют равенству £ е2іak = О.

k=l

Доказательство. Запишем матрицу оператора анализа для Ф :

cos al sin al

F = с

cos aM sin aM

Набор Ф является равномерным жестким фреймом с границей А тогда и только тогда, когда выполняется равенство 5 = Б*Б = А12, причем, ввиду утверждения 3

теоремы 2, А = — с2. Записывая операторное равенство в матричной форме, имеем

с

2 cos al sin al

cos aM sin aM

отсюда

MM 2 M Ц cos2 ak = —,

k=l

2

MM

£ cos ak sin ak = О,

k=l

и, наконец, в комплексной форме

cos al sin al

cos aM sin aM

MM

2i ak _

= О.

k=l

Пример 2. Множество jak = —, k = 1,...,mJ удовлетворяет теореме:

M2 = у с 212,

2 cos 2ak = О,

k=l

MM

^ sin 2ak = О,

k=l

M

M

M

Z2і nk 2m x і

е2і‘ м = [ш := е M ] = >

ш -

M+l

ш =

k=l

k=l

1 - Ш

ш - ш 1 - ш

= О,

или

М Л

так как ю = 1.

М 2

р и. ™ - Г

иРБ в К2.

Пример 3. Если — с = 1, т. е. с = м» т0 теорема дает полное описание

п 2п

Пример 4. Пусть М = 3, а1 = 3, а2 = —, аз = п;

Фз = д/|(-1, 0).

Ф1 = л/ з

' 1 Уз' /2 ' 1 Уз'

, 2, Т. , ф2 = Уз ,-2, Т,

Введение любого нового понятия ставит вопрос о его инвариантности относительно некоторого класса преобразований. В этой связи вводится Определение. Набор Г = {уг)М элементов пространства СЛ (КЛ) назовем эквивалентным фрейму Ф = {ф;}М=1 пространства СЛ (КЛ), если существует унитарное (соответственно ортогональное) преобразование и : СЛ (КЛ) ^ СЛ (КЛ) такое, что У; = иф;, ; = 1,...,М.

Теорема 6. Если набор Г эквивалентен фрейму Ф с оптимальными границами А и В, то Г является фреймом с теми же оптимальными границами.

Доказательство. Напомним, что преобразование и : С (КЛ) ^ С (КЛ) называется унитарным (ортогональным), если (их, иу) = (х,у), х,у е СЛ (КЛ)[14]. Оператор, сопряженный к унитарному (ортогональному), также является унитарным (ортогональным). Так как

(х, у;) = (х, иф;) = (и*X, ф;),

то

А\\и*х||2 <£|(ху;)|2 = £>и*х,ф;)|2 < В\\и*х||2.

Остается заметить, что ||и*х|| = ||х||, х е СЛ (КЛ).

В недавних работах [13, 15] был получен принципиальный результат о существовании равномерных фреймов Парсеваля сколь угодно большого объема. В этих работах он получен в качестве следствия общей теоремы, которая приводится здесь без доказательства ввиду его большого объема и сложности.

Теорема 7. Пусть 5 — положительный, самосопряженный оператор на НЛ с собственными значениями Х1 ^ Х2 ^ ... ^ ХN. Пусть дан набор из М неотрицательных чисел а.1 ^ а.2 ^ ... ^ ам ^ 0.

Эквивалентны утверждения:

1) существует фрейм Ф = {ф;}М=1 в НЛ с фреймовым оператором 5 и ||ф;|| = а;, ; = 1,...,М;

2) для всех к = 1,...,N выполняются неравенства

к к М N

£ а2 Х; и Ё а2 = £ Х;.

;=1 ;=1 ;=1 ;=1

Отметим, что последнее равенство уже было получено в теореме 3.

Следствие. Для любого М ^ N в пространстве HN существует равномерный фрейм Парсеваля объема М.

Доказательство. В условии теоремы 7 в качестве фреймового оператора 5 возьмем

[¥

5 = ^ и положим а; = -Лм> ; = 1,...,М. Получим выполнение условия 2 теоремы 7:

k ^ n vN

1) х; a2 = k— і

' i=1 - M^-=f

m 2 N —

2) £ a2 = M— = V 1

,=1 - m

= k и

= N.

Согласно теореме Т, существует фрейм Ф = {ф-}Мі с фреймовым оператором

N

S = I— и Нф-Н = Л/ м> - = і,.

., М; это и есть равномерный фрейм Парсеваля

у М

объема М.

В пространстве СМ такой фрейм можно построить явно. Для этого надо воспользоваться матрицей дискретного преобразования Фурье. Зафиксируем М > М, ю := еі — мнимая единица. Образуем М X М- матрицу:

VM

1

ю

ю2

1

ю2

ю4

М-2 ю2(М-2)

1

юм-1

ю2(м-1)

ю(М-1)(М-2)

М-1

ю

2(M-1)

ю

(М-1)2

Столбцы и строки этой матрицы образуют ортонормированный базис пространства CN, так называемый базис Фурье.

Удаляя из этой матрицы любые M - N столбцов, получим в строках векторы {фо,...,фм-1} = Ф, которые образуют UPF в CN, его называют гармоническим фреймом. Он обладает дополнительными свойствами, например, устойчивостью к потерям (erasures): каждое подмножество Ф с количеством элементов, большим N, остается фреймом.

Переход от CN к Rn нетривиален. Приведенные в [13] примеры фреймов Парсеваля не имеют, вообще говоря, одинаковых норм.

Теорема S. Справедливы утверждения:

1) фрейм для RN с границами A и B является фреймом для CN с теми же границами;

2) если Ф = {фк}Мі является фреймом для CN с границами A и B, то 2М векторов ({Re фк}Мр {Im фк}М=1) образуют фрейм в RN

с границами A и B.

Доказательство. Докажем 1). Пусть {фк}Мі —фрейм в RN с границами A и B. Если x є CN, то x = a + ib, где a, b є RN. Рассмотрим

NN

(x, фк^— = ^ Xnф{■k) = ^(an + ibn)Фnk) = (a, фкк— + i(b, фк)r— .

n=1

Поэтому

n=1

M

CN I2 =

A(||a||2 + HbH2) ^ |(x, фк)c—|2

k=1

MM

= J^(a, фк)R— + ^(b, фк)R— < B(|aH2 + HbH2),

к=1

к=1

1

или, учитывая, что

у2 = \\а\\2 + ||Ь||2, получим

М

Л||х||2 фкЫ2 < Б\\х\\2

к=1

М

Докажем 2). Пусть теперь {фк}^=1 —фрейм в С^ с границами А и В, и пусть х е . Тогда

<х, фк>€М = ^ хп(яе фПк) - і Іт ф®) =

= <х, Яе фк >км - і{х, Іт фк>км,

П= 1

откуда и из условия получим

М

2

к=1

И |{х, фк >€М 12

ММ

А\х\^„ = Аух\€м <2 ({х,Яе фк>Км + {х, Іт фк>^) < Б||х||€м = Б||х\|

к=1

УКМ •

Теорема 8 позволяет строить фреймы Парсеваля в КМ объема 2М, однако равенство норм при этом может нарушаться.

Пример 5. Рассмотрим гармонический фрейм с N = 2 и М = 3.

ф1 =

_^( 1 —з

ф2 =

і

уз

1

ф3 = ю2

1

где ю = е 3 •

Яеф1 = ^і1)’ Яеф = —

1

1

"2

Яе фз = —

Уз

1

1

"2

0 0

Іт ф2 = 1 , Іт ф3 = 1

^ 2 ^ - 2

На этом примере можно увидеть, что векторы {1т фк}£=1 не образуют фрейм

в К . Кроме ™°, „ормы век„р°в |Ы = у з, к = 1,2,3, а „ормы векторов

{Яе фк, Іт фк }|=1 разные.

В КМ есть еще одна подходящая для наших целей матрица — матрица Уолша. Ниже приведены матрицы Уолша 1-го, 2-го и 4-го порядков:

11 1 -1

11 1 -1

11 1 -1

Также, как и выше, можем получать из этих матриц иРБ с 2к элементами. Но этот фрейм (Уолша-Парсеваля) не имеет устойчивости к потерям и содержит одинаковые элементы. Повторяющиеся элементы фрейма — нежелательное явление в при использовании его для передачи сигнала. Даже небольшие потери могут разрушить этот фрейм.

0

Заключение

Основными новыми результатами работы являются теорема 3 о минимизации средней квадратичной ошибки при передаче зашумленного сигнала на жестких фреймах и независимость такой ошибки от объема фрейма Парсеваля, теорема 8 о сохранении границ фрейма при переходе от вещественных пространств к комплексным и обратно и пример после этой теоремы.

Литература

[1] Новиков, И.Я. Теория всплесков / И.Я. Новиков, В.Ю. Протасов, М.А. Скопина. - М.: Физматлит, 2005. - 308 с.

[2] Чуи, К. Введение в вейвлеты / К.Чуи. М.: Мир, 2001.

[3] Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / И.Добеши. М.-Ижевск: РХД , 2004. - 464 с.

[4] Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. - М.: Техносфера, 2004. - 280 с.

[5] Малла, С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Малла. - М.: Мир, 2005.

[6] Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. Boston: Birkhauser, 2002.

[7] Истомина М.Н. О расположении точек на сфере и фрейме Мерседес-Бенц / М.Н. Истомина, А.Б.Певный / Математическое просвещение. - 2007. -Сер. 3. - Вып. 11.

[8] Рудин, У. Функциональный анализ / У. Рудин. - М.: Мир, 1975.

[9] Goyal, V.K. Quantized frame expansions with erasures / V.K. Goyal, J.Kovacevic, J.A. Kelner // Appl. Comput. Harmonic Anal. - 2001. - V. 10. - No. 3. -P. 203-233.

[10] Casazza, P.G. Uniform Tight Frames with Erasures / P.G. Casazza, J. Kovace-vic. // Comp. Math. 18. - 2003. - No. 2-4. - P. 387-430.

[11] Наймарк, М.А. /М.А.Наймарк // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1940. -Т. 4. - №3. - C. 277-318.

[12] Кашин, Б.С. Замечание об описании фреймов общего вида / Б.С. Кашин, Т.Ю. Куликова // Матем. заметки. - 2002. - Т. 72. - Вып. 6. - С. 941-945.

[13] Casazza, P.C. The known equal norm Parseval Frames as of 2005 / P.C. Casazza, N. Leonhard.

Preprint: www.math.missouri.edu/~pete/

[14] Глазман, И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, Ю.И.Любич. - М.: Наука, 1969.

[15] Casazza, P.C. Constructing Frames with a given Frame Operator / P.C. Casazza, M. Leon

Preprint: www.math.missouri.edu/~pete/

Поступила в редакцию 6/VJ///2007; в окончательном варианте — 6/VT///2007.

THE VOLUME OF PARSEVAL FRAME3

© 2007 E.S. Drabkova, S.Ya. Novikov4

This work is a review of the results on Frames in finite dimensional unitary and Euclid spaces obtained in 2000-2007. The new estimates of MSE (mean square error) in transmission of a digital signal with a noise are obtained. The self-contained proof of the existence of Parseval Frame with arbitrary volume is provided. The full description of uniform tight Frames in R2 is given.

Paper received 6/VIII/2007. Paper accepted 6/ VIII/2007.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. S.V. Astashkin.

4 Drabkova Ekaterina Sergeevna (kadra82amail.ru), Novikov Sergei Yakovlevitsch

(nvksSssu.samara.ru), Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis, Samara State University, Samara, 443011, Russia.